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-\chapter{Corps et algèbres : premières définitions}
-
-Bien que l'on s'intéresse principalement dans cet ouvrage aux \textit{corps}
-$\QQ,\FF_p,\RR,\CC,\QQ(t),\QQ_p,\QQ((t)), \FF_p((t))$ etc., on s'apercevra
-vite que la théorie gagne beaucoup en souplesse en s'autorisant l'étude des \emph{algèbres}.
-On rapprochera ce phénomène du fait que l'étude des espaces
-topologiques gagne à considérer également les espaces non connexes même
-si \emph{in fine} seuls les espaces connexes nous intéressent.
-
-\section{Éléments algébriques}
-
-
-\begin{dfn}\label{entier}
-Soit $A$ un anneau commutatif et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $b\in B$
-est \emph{algébrique} ou \emph{entier} sur $A$ si la sous-$A$-algèbre
-de $B$ engendrée par l'élément $b$, $A[b]:=\{\sum_{i=0}^r a_i b^i; a_i\in A, r\in \NN\}$,
-est un $A$-module de type fini.
-\end{dfn}
-
-\begin{prp}\label{algébrique} Soit $b\in B$.
-Les conditions suivantes sont équivalentes :
-\begin{itemize}
-\item $b$ est algébrique sur $A$,
-\item il existe un polynôme unitaire $P\in A[X]$ tel que $P(b)=0$,
-\item il existe un sous-$A$-algèbre de $B$ finie sur $A$, contenant $b$.
-\end{itemize}
-\end{prp}
-
-\begin{proof}
-Établissons l'équivalence des deux premières conditions.
-Si $A[b]$ est de type fini sur $A$ (\cad $b$ algébrique sur $A$),
-de générateurs $P_1(b),\dots,P_r(b)$ (pour un choix convenable
-de $P_i\in A[X]$) alors $b^n$ appartient à $A+Ab+\cdots+Ab^{n-1}$
-pour tout entier $n$ supérieur ou égal aux degrés des polynômes $P_i$.
-Cela signifie précisément que $b$ est annulé par un polynôme \emph{unitaire}
-de degré $n$ à coefficients dans $A$.
-Réciproquement, d'une relation $P(b)=b^n+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots+a_0=0$, on tire immédiatement,
-par récurrence sur $r\in \NN$, le fait que $b^{n+r}$ appartient au $A$-module
-de type fini $A+Ab+\cdots+Ab^{n-1}$, qui
-n'est donc finalement autre que $A[b]$.
-
-Il reste à montrer que si $b$ est contenu dans une sous-algèbre $C$ finie sur $A$, alors
-$b$ est racine d'un polynôme unitaire.
-Si $c_1,\dots,c_r$ sont des générateurs de $C$ sur $A$, l'action de la multiplication par
-$b$ sur $C$ peut se décrire par un endomorphisme (non canonique) de $A^r$.
-Le polynôme caractéristique de cet endomorphisme s'annule en $b$ ; il est
-unitaire.
-\end{proof}
-
-\begin{lmm}
-Soit $A$ un anneau tel que $A[X]$ soit principal.
-Alors, si $B$ est une $A$-algèbre et $b\in B$ est entier
-sur $A$, il existe un unique polynôme unitaire $P$
-tel que $A[X]/P\iso A[b]$.
-C'est en particulier le cas si $A$ est un corps.
-\end{lmm}
-\begin{proof}
-L'algèbre $A[b]\subset B$ est un quotient de $A[X]$
-via l'application $A[X]\surj A[b],\ X\mapsto b$.
-Le noyau de celle-ci est un idéal donc par hypothèse
-principal, engendré par un polynôme $P$. Comme $P$ doit diviser un polynôme unitaire
-(car $b$ est entier), $P$ est à coefficient dominant inversible ; on peut le supposer
-égal à $1$. Enfin c'est un fait valable dans tout anneau $A$
-que si $(P)=(Q)$ avec $P,Q$ unitaires, alors $P=Q$.
-\end{proof}
-
-La généralité de l'énoncé précédent est illusoire :
-
-\begin{lmm}
-Soit $A$ un anneau tel que l'anneau de polynômes $A[X]$ soit
-principal. Alors, tout élément non diviseur de zéro de $A$ est une
-unité. En particulier, si $A$ est intègre, c'est un corps.
-\end{lmm}
-\begin{proof}
-Soit $a\in A$ non diviseur de zéro.
-Supposons qu'il existe $P_a\in A[X]$ tel que $(P_a)=(a,X)$.
-Il existe alors deux polynômes $Q_1,Q_2\in A[X]$ tels
-que $X=Q_1P_a$ et $a=Q_2P_a$. On en déduit tout d'abord que $P_a(0)Q_2(0)=a$
-si bien que $P_a(0)$ n'est pas un diviseur de zéro. Comme $P_a(0)Q_1(0)=0$,
-on a $Q_1(0)=0$, \cad $Q_1=\widetilde{Q}_1X$. On a alors $\widetilde{Q}_1P_a=1$ ;
-en particulier, $(P_a)=A[X]$ et donc $(a)=(P_a(0))=A$.
-\end{proof}
-
-L'élément $\sqrt{2}\in \RR$, annulé par le polynôme $X^2-2$,
-est un élément entier sur $\ZZ$. Par contre, $\frac{1}{2}$ ne l'est pas.
-Plus généralement :
-
-\begin{lmm}\label{entiers alg rationnels}
-Tout nombre rationnel entier sur $\ZZ$ est un entier relatif.
-\end{lmm}
-
-\begin{proof}
-Soit $r=a/b\in \QQ$, où $a,b\in \ZZ-\{0\}$ et $(a,b)=1$.
-Si l'on a
-$$
-\frac{a}{b}^n+a_{n-1}\frac{a}{b}^{n-1}+\cdots+a_1 \frac{a}{b}+a_0=0,
-$$
-où les coefficients sont entiers, on voit par multiplication par $b^{n}$
-que $b$ divise $a$. C'est donc une unité : $b=\pm 1$.
-\end{proof}
-
-\subsection{Le cas des corps}
-Soit $K$ un \emph{corps} et $A$ une $K$-algèbre.
-\begin{prp}
-Un élément $a\in A$ est algébrique sur $K$ si et seulement si $\dim_K K[a]$
-est finie. Dans ce cas, cet entier est aussi la dimension de l'\emph{unique}
-polynôme unitaire $\mathrm{Irr}_{K}(a)\in K[X]$ s'annulant en $a$ et de degré
-minimal. On l'appelle le polynôme minimal de $a$ sur $K$.
-\end{prp}
-
-Réciproquement, si $K$ est un corps et $P\in K[X]$ un polynôme unitaire (donc
-non nul) quelconque, l'algèbre $A:=K[X]/P$ est de dimension finie
-égale à $\deg(P)$ sur $K$ ; l'élément $x= (X \mod P)$ est algébrique
-de polynôme minimal $P$.
-En particulier un polynôme minimal n'est pas nécessairement, avec ce
-niveau de généralité, irréductible.
-
-Nous nous intéresserons particulièrement au cas où la $K$-algèbre $A$ est un corps.
-
-\begin{dfn}
-Soit $K$ un corps. On appelle \emph{extension} du corps $K$, tout morphisme $u:K\ra L$
-(noté en abrégé $L/K$), où $L$ est également un corps. Le morphisme $u$ est
-nécessairement une injection. Si la dimension $\dim_K L$ est finie,
-auquel cas on dit que $L/K$ est finie, on note cet entier
-$[L:K]$ et on l'appellera \emph{degré} de $L$ sur $K$.
-\end{dfn}
-
-Il résulte de la définition que si l'extension $L/K$ est finie, tout élément
-$\alpha$ de $L$ est algébrique sur $K$, de degré inférieur ou égale à $[L:K]$.
-(Le cas d'égalité sera discuté plus bas.) Dans ce cas, l'anneau $K[\alpha]\subset L$
-étant \emph{intègre}, le polynôme
-minimal $\mathrm{Irr}_K(\alpha)$ est \emph{irréductible} et
-$K[\alpha]$ est donc un \emph{corps}, que l'on notera également $K(\alpha)$.
-
-On laisse au lecteur le soin de définir les notions de sous-extension etc.
-
-\subsection{Structure des éléments algébriques}\label{1.1}
-
-\begin{prp}
-Soit $B$ une $A$-algèbre. L'ensemble des éléments de $B$ algébriques sur $A$
-est une sous-$A$-algèbre de $B$. En d'autres termes,
-si $b,b'$ sont deux éléments de $B$, algébriques sur $A$,
-il en est de même de $b+b'$, $bb'$ et $ab$ pour tout $a\in A$.
-\end{prp}
-
-(Si elle coïncide avec l'algèbre $B$ tout entière, on dit que $B$ est \emph{entière}
-sur $A$. Si $B/A$ est une extension de corps, on dit alors plutôt que
-l'extension est \emph{algébrique}.)
-
-\begin{proof}
-Par hypothèse, les sous-$A$-algèbres de $B$, $A[b]$ et $A[b']$ sont
-des $A$-modules de type fini.
-La multiplication dans $B$ induit un morphisme de $A$-algèbres
-$$A[b]\otimes_A A[b']\ra B,$$
-dont l'image est la sous-algèbre $A[b,b']=\{\sum_{i,j\geq 0} a_{i,j}b^i{b'}^j; a_{i,j}\in A
-\text{\ presque tous nuls}\}$. Ainsi, $A[b,b']$, qui est un quotient
-d'un $A$-module de type fini (le produit tensoriel de deux $A$-modules
-de type fini est de type fini), est de type fini.
-Finalement, comme $b+b'$, $bb'$ et les $ab$ appartiennent à $A[b,b']$,
-ils sont algébriques sur $A$ en vertu de \ref{algébrique}.
-\end{proof}
-
-\begin{exm}
-Il résulte de la proposition précédente que $\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}\in \CC$
-est entier sur $\ZZ$. (On dit alors que c'est un \emph{entier algébrique}.)
-Un moyen de trouver explicitement un polynôme est de remarquer que si
-l'on prend pour base de $\ZZ[X]/(X^3-2)\otimes_{\ZZ} \ZZ[Y]/(Y^2-3)$ les monômes
-(classes de) $1,X,X^2,Y,XY,X^2Y$, la matrice de la multiplication par $X+Y$
-est
-
-$$
-\left( \begin {array}{cccccc} 0&0&2&3&0&0\\\noalign{\medskip}1&0&0&0&3&0\\\noalign{\medskip}0&1&0&0&0&3\\\noalign{\medskip}1&0&0&0&0&2\\\noalign{\medskip}0&1&0
-&1&0&0\\\noalign{\medskip}0&0&1&0&1&0\end {array} \right)
-$$
-
-Son polynôme caractéristique est ${x}^{6}-9\,{x}^{4}-4\,{x}^{3}+27\,{x}^{2}-36\,x-23$.
-Il s'annule en $\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$. Cet élément étant de degré $6$ sur $\QQ$
-(exercice), le polynôme ci-dessus est irréductible sur $\QQ$.
-
-\end{exm}
-
-Nous n'utiliserons pas la définition suivante dans cette partie.
-
-\begin{dfn}\label{normal}
-Soit $A\ra B$ un morphisme d'algèbres. On appelle \emph{clôture intégrale},
-ou \emph{normalisation}, de $A$ dans $B$, la sous-$A$-algèbre de $B$ constituée
-des éléments entiers sur $A$.
-
-On dit qu'un anneau intègre $A$ de corps des fractions $K$ est \emph{intégralement clos},
-si tout élément de $K$ entier sur $A$ est dans $A$,
-\cad si la clôture intégrale de $A$ dans $K$ coïncide avec $A$.
-Un anneau quelconque est dit \emph{normal} s'il est intègre et intégralement clos.
-\end{dfn}
-
-On a vu en \ref{entiers alg rationnels} que l'anneau $\ZZ$ des entiers relatifs
-est normal.
-
-
-\begin{prp}
-Soit $F/L/K$ deux extensions finies de corps. Alors l'extension $F/K$ qui s'en déduit
-par composition est également finie et
-$$
-[F:K]=[F:L][L:K].
-$$
-\end{prp}
-
-\begin{proof}
-Par définition, on dispose d'isomorphismes $F\isononcan_L L^{[F:L]}$
-et $L\isononcan_K K^{[L:K]}$. On en tire immédiatement $F=\isononcan_K
-\big(K^{[L:K]}\big)^{[F:L]}\isononcan_K K^{[F:L][L:K]}$.
-\end{proof}
-
-La dernière égalité a également un sens sans hypothèse de finitude.
-
-\begin{crl}
-Si $L/K$ est une extension finie et $K'/K$ une sous extension, on
-a $[K':K] | [L:K]$.
-\end{crl}
-
-\begin{exm}
-Soit $P(X)=X^3-X+1\in \QQ[X]$, irréductible (exercice).
-Soit $L:=\QQ[X]/P$ ; c'est une extension de degré $3$ sur $\QQ$, engendrée
-(comme $\QQ$-algèbre) par la classe $\alpha$ de $X$ dans le quotient.
-Soit $K'=\QQ(\alpha^2)$. Comme $\alpha$ est de degré $3$ sur $\QQ$, $\alpha^2\notin \QQ$,
-donc l'extension $K'/\QQ$ est non triviale. Il en résulte
-que $[K':\QQ]=3$ et finalement que $\QQ(\alpha)=\QQ(\alpha^2)$.
-Nous laissons au lecteur la tâche simple d'exprimer $\alpha$ comme un polynôme en $\alpha^2$.
-\end{exm}
-
-Étudions maintenant plus en détail la structure de $K[X]/P$ pour un corps $K$
-et un polynôme $P$ quelconque. Remarquons qu'une $K$-algèbre est de cette
-forme si et seulement si elle est \emph{monogène} (\cad engendrée par un seul élément) et de dimension
-finie (\cad que l'élément générateur est algébrique sur $K$).
-Il résulte immédiatement du théorème chinois que si l'on décompose
-$P$ en $P=P_1^{\alpha_1}\cdots P_r^{\alpha_r}$ ($\alpha_i>0$), où les $P_i$ sont irréductibles et
-distincts deux à deux, on a :
-$$
-K[X]/P \iso \prod_{i=1}^r K[X]/P_i^{\alpha_i}.
-$$
-Un fait essentiel est que les algèbres $K[X]/P_i^{\alpha_i}$ sont \emph{locales},
-\cad non nulles n'ayant qu'un \emph{unique} idéal maximal $\MM_i$,
-engendré par $P_i$. Ce dernier
-est ici nilpotent : il existe un entier $n$ (ici $\alpha_i$) tel que $\MM_i^n=0$.
-
-Le théorème suivant affirme qu'on a un énoncé analogue pour des $K$-algèbres
-non nécessairement monogènes.
-
-\begin{thm}\label{structalgdimfinie}
-Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre de dimension finie.
-Alors :
-\begin{enumerate}
-\item $A$ a un nombre fini d'idéaux premiers $\wp_1,\dots,\wp_r$,
-\item $r=\# \SP(A)\leq \dim_k A$,
-\item les idéaux premiers $\wp_i$ sont \emph{maximaux},
-\item $\displaystyle A\iso \prod_{i=1}^r A_i$, où $A_i$ est une $k$-algèbre de dimension finie,
-\emph{locale}, dont l'idéal maximal est nilpotent.
-\end{enumerate}
-\end{thm}
-
-Rappelons la
-
-\begin{dfn}\label{spectre}
-Pour un anneau commutatif $A$, on note $\SP(A)$ le \emph{spectre} de $A$, qui
-est l'ensemble de ses idéaux premiers.
-Un morphisme d'anneaux commutatifs $f:A\ra B$ étant donné, on note $\SP(f)$
-l'application en sens inverse :
-$$\SP(B)\ni \wp\mapsto f^{-1}(\wp)\in \SP(A).$$
-\end{dfn}
-
-Nous utiliserons principalement le théorème précédent sous la forme suivante :
-
-\begin{crl}\label{algèbre réduite}
-Soit $A$ une $k$-algèbre de dimension finie, \emph{réduite} (\cad sans éléments nilpotents).
-Alors
-$$A\iso \prod_{i=1}^r K_i,$$ où les $K_i/k$ sont des extensions finies de corps.
-\end{crl}
-
-(Rappelons que les isomorphismes $A\iso B$ entre deux $k$-algèbres sont
-par définition $k$-linéaires.)
-
-\begin{crl}\label{hom versus dim}
-Soit $A$ une $k$-algèbre de dimension finie.
-Alors,
-$$
-\# \Hom_k(A,k) \leq \dim_k A.
-$$
-\end{crl}
-
-En effet, à un morphisme de $\Hom_k(A,k)$ correspond bijectivement un idéal maximal $\wp$ de $A$ dont le corps
-résiduel $\kappa(\wp):=A/\wp$ est isomorphe à $k$.
-
-\begin{proof}[Démonstration du théorème]
-Soit $\wp\in \SP(A)$ ; l'anneau quotient $A/\wp$ est intègre, de dimension finie sur $k$
-donc c'est un corps et $\wp$ est maximal.
-Soient $\wp_1,\dots,\wp_n$ des idéaux premiers distincts ; pour $1\leq i\neq j\leq n$
-on a $\wp_i+\wp_j=A$ d'où, par le lemme chinois, une surjection
-$$
-A\surj \prod_{i=1}^n A/\wp_i.
-$$
-
-Chaque facteur du terme de droite est non nul, donc de dimension sur $k$ supérieure
-ou égale à $1$. Il en résulte que $n\leq \dim_k A$. Cela prouve les deux premiers
-points. Soit $\SP(A)=\{\wp_1,\dots,\wp_r\}$ (les éléments sont supposés distincts).
-Le noyau du morphisme précédent (pour $n=r$) est $\cap_1^r \wp_i=\Nilp A$.
-Comme $A$ est noethérien, il existe $N\in \NN$ tel que $(\Nilp A)^N=0$.
-On en déduite que l'idéal produit $\wp_1^N\cdots \wp_r^N=0$, et finalement
-que $\cap \wp_i^N=0$. Pour ce dernier point on remarque que si
-$x$ est un élément de cette intersection, son annulateur $\mathrm{Ann}(x)$ contient $\prod_{j\neq i} \wp_j^N$,
-pour tout $i$.
-S'il existait un idéal maximal $\wp$ contenant $\mathrm{Ann}(x)$, il contiendrait donc en particulier
-$\prod_{\wp'\neq \wp \in \SP(A)} {\wp'}^N$, ce qui est absurde\footnote{Car si $x'\in \wp'-\wp$,
-$\prod_{\wp'\neq \wp} x'^N \in \wp$ est impossible.}.
-
-
-Ainsi,
-$$A\iso \prod_1^r A/\wp_i^N.$$
-L'anneau $A_i:=A/\wp_i^N$ est local (car l'ensemble
-$\SP(A/\wp^N)$ est en bijection avec les idéaux premiers contenant $\wp^N$ donc
-$\wp$), d'idéal maximal nilpotent.
-\end{proof}
-
-On laisse le soin au lecteur de vérifier que les anneaux locaux $A/\wp_i^N$
-s'identifient aux localisés $A_{\wp_i}$.
-On verra plus tard (\ref{décomposition algèbre artinienne}) que plus généralement,
-si $C$ est un anneau noethérien dont
-les idéaux premiers sont maximaux (anneau de « dimension nulle »),
-$C\iso\prod_{\wp\in \SP(C)} C_{\wp}$.
-
-\section{Extensions composées}
-
-\begin{dfn}
-Soit
-$$
-\xymatrix{
-& L & \\
-E \ar@{-}[ur]^u & & F \ar@{-}[ul]_v \\
-& K \ar@{-}[ul] \ar@{-}[ur] &
-}
-$$
-
-un diagramme commutatif d'extensions. On dit que $(L,u,v)$ est une \emph{extension
-composée} si $L$ est engendrée par $u(E)\cup v(F)$ comme $K$-algèbre.
-
-\end{dfn}
-
-Par exemple, si $E,F\subset K'$ et $E=K(\alpha_i, i\in I)$, $F=K(\beta_j, j\in J)$
-où les $\alpha_i,\beta_j$ sont dans $K'$, la sous-extension $L=K(\alpha_i,\beta_j, (i,j)\in
-I\times J)$ de $K'$ est une extension composée de $E$ et $F$.
-
-\begin{prp}\label{extension composée}
-Pour tout couple d'extensions, il existe une extension composée.
-\end{prp}
-
-\begin{proof}
-Soient $E_1/K$ et $E_2/K$ les deux extensions et considérons la $K$-algèbre
-produit tensoriel $E_1\otimes_K E_2$. Elle est non nulle et possède donc un idéal
-maximal (lemme de Krull) qui induit une surjection
-$$
-E_1\otimes_K E_2\surj L
-$$
-où $L$ est un corps.
-
-Le sous-corps engendré par les images de $E_1$ et $E_2$ dans $L$ est une extension
-composée désirée.
-\end{proof}
-
-Si $E_1/K$ et $E_2/K$ sont finies, toute extension composée
-est de dimension inférieure ou égale à $[E_1:K][E_2:K]$.
-On note en général $E_1E_2/K$ une telle extension.
-
-La question de l'« unicité » de l'extension composée sera abordée plus tard.
-
-\begin{rmr}\label{produit tensoriel infini}
-Il est utile de noter que le produit tensoriel d'un ensemble quelconque
-de modules ou d'algèbres $M_i$ ($i\in I$) sur un anneau existe ; il représente le
-foncteur $\mathrm{Bil}((M_i),T):=\cup_{J \text{ fini}\subset I} \mathrm{Bil}(M_{j\in J},T)$.
-\end{rmr}
-
-\section{Corps de rupture, de décomposition}
-
-\begin{prp}
-Soient $k$ un corps et $f\in k[X]$ un polynôme irréductible.
-Il existe une extension finie $K/k$ telle que $f$ ait une racine $\alpha$ dans $K$ et que
-$K/k$ soit engendré par cette racine. De plus, $K$ est nécessairement isomorphe (sur $k$)
-à $k[X]/f$. Un tel corps est appelé \emph{corps de rupture} de $f$ sur $k$.
-Une telle extension existe sans supposer $f$ irréductible mais elle n'est pas nécessairement
-unique.
-\end{prp}
-
-\begin{proof}
-Posons $k_f:=k[X]/f$ ; c'est un corps et $f(\sur{X})=0$ dans $k_f$. D'où l'existence.
-Pour $K$ et $\alpha$ comme plus haut, on a un morphisme $k[X]\surj K$, $X\mapsto \alpha$.
-Son noyau contient $f$ ; il se factorise donc en $k_f\surj K$. Ce morphisme étant
-nécessairement injectif, c'est un isomorphisme. Pour démontrer le second point, il
-suffit par exemple de considérer un facteur irréductible de $f$, ou plus savamment
-un corps quotient de $k[X]/f$.
-\end{proof}
-
-\begin{prp}\label{décomposition}
-Soit $f\in k[X]$. Il existe une extension $K/k$ telle que dans $K[X]$
-$f$ se factorise en $\prod_{i=1}^{\deg f} (X-\alpha_i)$ et que $K$ soit
-engendrée par les $\alpha_i$ sur $k$. Deux tels corps sont isomorphes sur $k$.
-Un tel corps est appelé corps de \emph{décomposition} de $f$ ; il sera
-parfois noté $\mathrm{d\acute{e}c}_k(f)$.
-\end{prp}
-
-\begin{proof}
-L'existence résulte de la proposition précédente, qui permet --- dans un sur-corps
-de $k$ --- de factoriser $f$ en $(X-\alpha)g$ et d'une récurrence sur le degré de $f$.
-Soient $K_1$ et $K_2$ deux corps de décomposition. D'après \ref{extension composée},
-il existe un diagramme
-$$
-\xymatrix{
-& E & \\
-K_1 \ar@{-}[ur]^u & & K_2 \ar@{-}[ul]_v \\
-& k \ar@{-}[ul] \ar@{-}[ur] &
-}
-$$
-Par hypothèse $u(K_1)$ est la sous-$k$-extension $\tilde{K}$ de $E$ engendrée par les racines
-de $f$. Il en est de même de $v(K_2)$. Comme les morphismes $u$ et $v$ sont injectifs
-(et induisent donc des isomorphismes $?^{|\tilde{K}}$ vers $\tilde{K}$),
-$(v^{|\tilde{K}})^{-1}u^{|\tilde{K}}$ induit un isomorphisme
-$K_1\iso K_2$.
-\end{proof}
-
-\subsection{Clôture algébrique}
-
-\begin{dfn}
-Un corps est dit \emph{algébriquement clos} si tout polynôme non constant
-a une racine dans ce corps.
-\end{dfn}
-Cela revient à supposer que toute extension algébrique (resp. toute
-extension algébrique \emph{monogène}) du corps est triviale.
-
-\begin{dfn}
-Une extension $K$ d'un corps $k$ est une \emph{clôture algébrique} de $k$
-si $K$ est un corps algébriquement clos et si l'extension $K/k$ est algébrique.
-\end{dfn}
-
-\begin{thm}[Steinitz]
-Pour tout corps $k$, il existe une clôture algébrique de $k$. Deux telles clôtures
-algébriques sont isomorphes (sur $k$).
-\end{thm}
- Elles sont habituellement dénotées
-par $\sur{k}$ ou $k^{\mathrm{alg}}$\footnote{
-Cette dernière notation a l'avantage d'éviter toute confusion
-avec un corps obtenu par réduction modulo un idéal et d'insister sur
-la différence entre la notion de clôture algébrique et celle
-assez semblable de \emph{clôture séparable}, introduite plus bas.}
-
-\begin{proof}
-Soit $F$ l'ensemble des polynômes irréductibles de $k$.
-Pour tout $f\in F$, notons comme plus haut $\mathrm{d\acute{e}c}(f)$ un corps de
-décomposition de $f$.
-Soit $K$ un corps quotient de l'algèbre $\displaystyle \bigotimes_{f\in F}
-\mathrm{d\acute{e}c}(f)$ (cf. remarque \ref{produit tensoriel infini}).
-Il est bien évident que l'extension $K/k$ est algébrique
-(car $\displaystyle \otimes_{f\in F}
-\mathrm{d\acute{e}c}(f)$ est la réunion des produits tensoriels finis).
-De plus, tout polynôme irréductible sur $k$ a une racine dans $K$.
-Cela suffit pour vérifier que $K$ est algébriquement clos. En effet,
-si $K'/K$ est une extension algébrique monogène, $K'=K(\alpha)\isononcan K[X]/P$,
-il existe $k'/k$ finie telle que $P\in k'[X]$. L'extension $k'_P=k'(\alpha)$
-est algébrique sur $k'$ donc sur $k$. Finalement $\alpha$ est algébrique sur $k$
-donc appartient à $K$ ; $K'/K$ est donc triviale.
-
-L'unicité se démontre comme en \ref{décomposition} : si $K_1$ et $K_2$ sont
-deux clôtures algébriques, on commence par choisir une extension composée
-contenant les deux corps dans laquelle l'isomorphisme est évident.
-\end{proof}
-
-
-Le lecteur est sans doute déjà convaincu que l'on aurait pu considérer
-la notion de corps de décomposition d'un ensemble quelconque de polynômes ;
-c'est ce que fait par exemple N.~Bourbaki.
-
-\begin{exm}
-Ainsi le corps des nombres réels $\RR$ possède une clôture algébrique.
-D'après le théorème de d'Alembert-Gauß, une telle clôture algébrique
-est isomorphe au corps des nombres complexes. Nous en donnerons une
-démonstration algébrique plus bas (cf. \ref{d'Alembert-Gauss}). Nous encourageons le
-lecteur à le démontrer dès maintenant en commençant par vérifier à la main que
-si une fonction polynomiale non constante $f\in \CC[z]$ prend une valeur non nulle (par exemple
-$1$) en un nombre complexe $z_0$ (par exemple $0$),
-elle prend également des valeurs strictement inférieures en module. (Et ce d'ailleurs dans
-des voisinages arbitrairement proches de $0$.)
-\end{exm}
-
-\subsection{Au sujet de l'unicité}
-Si $k$ est un corps, $K$ une extension algébrique et $\bar{k}$ une clôture algébrique.
-Toute clôture algébrique de $K$ étant une clôture algébrique de $k$ (exercice),
-et deux clôtures algébriques étant $k$-isomorphes, on voit qu'il existe un $k$-morphisme
-$K\hra \sur{k}$. Se pose alors la question de savoir quand un tel morphisme
-est unique.
-
-\begin{exm}\label{exemple radiciel}
-Soient $p$ un nombre premier, $k=\FF_p(t)$ le corps des fractions de l'algèbre $\FF_p[t]$
-des polynômes et $K=k[X]/(X^p-t)$. Le polynôme $X^p-t$ est irréductible (exercice
-ou cf. \ref{} [À rédiger]) donc $K$ est bien un corps. Toute clôture algébrique $\sur{k}$
-de $k$ scinde le polynôme $X^p-t$ en $(X-t')^p$, pour un unique $t'\in \sur{k}$.
-Il en résulte qu'il existe un unique morphisme $k$-linéaire $K\ra \sur{k}$ : celui envoyant
-la classe de $X$ dans $K$ sur $t'$. Le morphisme $\Hom(K,\sur{k})\hra \Hom(k,\sur{k})$
-est donc une bijection.
-\end{exm}
-
-\begin{dfn}
-Soient $K/k$ une extension et $p$ l'exposant caractéristique de $k$.
-On dit qu'un élément $x\in K$ est \emph{radiciel} sur $k$ s'il existe un entier
-$e$ tel que $x^{p^e}\in k$. Le plus petit entier $e$ satisfaisant à ce critère
-est la \emph{hauteur} de $x$, notée $\mathrm{ht}(x)$.
-\end{dfn}
-
-\begin{prp}
-Soient $K/k$ une extension et $x\in K$, radiciel de hauteur $e$ sur $k$.
-Alors
-$$
-\mathrm{Irr}_k(x)=X^{p^e}-x^{p^e}.
-$$
-En particulier, $[k(x):k]=p^e$.
-\end{prp}
-
-\begin{proof}
-Il s'agit de montrer que $X^{p^e}-x^{p^e}$ est irréductible sur $k$.
-Dans $\sur{k}$, une clôture algébrique de $k$, ce polynôme se
-factorise en $X^{p^e}-x^{p^e}=(X-x)^{p^e}$. Ainsi le polynôme minimal
-de $x$ sur $k$, qui divise nécessairement $X^{p^e}-x^{p^e}$ est de la forme
-$(X-x)^r$ pour un $r\in \NN$. Écrivons $r=p^{f}n$, avec $(p,n)=1$ ;
-
-$$(X-x)^r=(X^{p^f}-x^{p^f})^n.$$
-
-Si ce polynôme est à coefficient dans $k$, il en est en particulier ainsi de $n x^{p^f}$.
-Comme $n$ est inversible dans $k$, cela entraîne que $x^{p^f}\in k$ et donc $f=e$
-et finalement $r=n$.
-\end{proof}
-
-\subsection{Extensions radicielles}
-
-\begin{dfn}
-Une extension $K/k$ est dite \emph{radicielle} si tout élément
-de $K$ est radiciel sur $k$.
-\end{dfn}
-
-\begin{prp}
-Les conditions suivantes sont équivalentes :
-
-\begin{enumerate}
-\item $K/k$ est radicielle,
-\item pour tout corps $L$, l'application $\Hom(K,L)\ra \Hom(k,L)$ est une injection,
-\item pour tout corps \emph{parfait} $L$, l'application ci-dessus est une bijection.
-\end{enumerate}
-\end{prp}
-
-Le lien entre ces notions passe essentiellement par la remarque triviale
-mais importante suivante :
-
-\begin{lmm}\label{plongement racines}
-Soient $k$ un corps, $P\in k[X]$ un polynôme et $K$ l'\emph{anneau} quotient $k_P:=k[X]/P$.
-Alors, pour toute $k$-algèbre $A$, l'application
-$$\Hom_k(K,A)\ra \{a\in A, P(a)=0\},
-$$
-envoyant $f:K\ra A$ sur $f(X \mod P)\in A$ est une bijection.
-\end{lmm}
-
-On appliquera souvent ce lemme dans le cas où $P$ est irréductible, \cad $K$ est un corps,
-et $A$ est une extension algébriquement
-close de $k$ (p. ex. une clôture algébrique).
-
-Nous aurons également besoin du lemme suivant :
-
-\begin{lmm}\label{extension}
-Soient $K/k$ une extension et $L/K$ une extension algébriquement close de $K$.
-Alors l'application de restriction
-$$
-\Hom(K,L)\ra \Hom(k,L)
-$$
-est surjective.
-\end{lmm}
-
-\begin{proof}
-La démonstration est laissée au lecteur qui pourra en donner une directe à l'aide du lemme
-de Zorn ou bien utiliser une extension composée en s'inspirant de \ref{décomposition}.
-\end{proof}
-
-
-\begin{proof}[Démonstration de la proposition]
-(1) entraîne (2).
-Supposons $K/k$ radicielle, $L$ un corps et considérons un diagramme commutatif :
-$$
-\xymatrix{
-K \ar@<1ex>[r]^{v_1} \ar[r]_{v_2} & L \\
-k \ar[u] \ar[ur]^u &
-}
-$$
-Si $x\in K$, et $e=\mathrm{ht}(x)$, on a alors $u(x^{p^e})=v_1(x)^{p^e}=v_2(x)^{p^e}$,
-et finalement $v_1(x)=v_2(x)$.
-
-(2) ou (3) entraînent (1).
-L'extension $K/k$ étant donnée, notons pour tout $n\in \NN$, $k_n$
-l'ensemble des éléments de $K$ radiciels sur $k$ de hauteur inférieure ou égale à $n$.
-C'est un corps, tout comme la réunion $k_{\infty}$ de ces corps, dont on montre
-immédiatement que c'est l'extension radicielle maximale de $k$ dans $K$.
-Si $L$ est un corps (resp. un corps parfait), l'application
-$\Hom(k_{\infty},L)\ra \Hom(k,L)$ est injective (resp. bijective). L'injectivité résulte
-de l'implication ci-dessus ; la surjectivité dans le cas parfait bien du fait
-que l'on peut extraire dans $L$ des racines $p^i$-ièmes (de façon unique et donc
-cohérente).
-
-On peut donc supposer $K/k$ sans éléments radiciels (\cad de hauteur $>0$) sur $k$.
-Il nous suffit donc de montrer que sous cette hypothèse, si $\sur{K}$ est
-une clôture algébrique de $K$ (en particulier un corps parfait),
-l'injectivité de $\Hom(K,\sur{K})\ra \Hom(k,\sur{K})$ entraîne que $K=k$.
-
-Soit $x\in K$. Si $x$ n'est pas algébrique sur $k$, il existe une infinité d'extension
-d'un morphisme $k\ra L$ à $k(x)$. Ainsi, $K/k$ est nécessairement algébrique
-(car en vertu de \ref{extension}, on pourra toujours prolonger
-les morphismes de $k(x)$ à $K$ tout entier).
-Pour $x$ comme ci-dessus, si l'extension n'est pas radicielle, $\mathrm{Irr}_k(x)$
-a strictement plus d'une racine sur $\sur{K}$. Dans le cas contraire,
-ce polynôme serait de la forme $(X-\alpha)^r$ et, si l'on écrit $r=p^en$,
-$(X-\alpha)^r=(X^{p^e}-\alpha^{p^e})^n$, qui est à coefficient dans $k$
-contredit l'hypothèse : $n\alpha^{p^e}\in k$ donc $\alpha^{p^e}\in k$, $n=1$ et
-$x=\alpha$ est radiciel sur $k$. Or, pour $k\hra \sur{K}$ donné,
-chacune des racines de $\mathrm{Irr}_k(x)$ dans $\sur{K}$
-détermine une extension distincte de $k\hra \sur{K}$ à
-$k(x)=k[X]/\mathrm{Irr}_k(x)\hra \sur{K}$ (cf. lemme \ref{plongement racines} ci-dessus).
-\end{proof}
-
-Remarquons que la fibre en $\iota \in \Hom(k,L)$ de l'application
-$\Hom(K,L)\ra \Hom(k,L)$ s'identifie à $\Hom_k(K,L)$ où la structure
-de $k$-algèbre sur $L$ est donnée par $\iota$.
-
-
-%\begin{rmr}[Analogie]
-%En géométrie différentielle, l'analogue de la notion
-%de morphisme radiciel est celle de morphisme injectif (sous-variété).[...]
-%Nous allons introduire une classe de morphismes (dit étales ou séparables) qui
-%sont l'analogue des morphismes submersifs (ou lisse) en géométrie différentielle
-%(cf. \ref{caractérisation différentielle}).
-%\end{rmr}
-
-La théorie de Galois de $K/k$ se construit autour du groupe
-$\Aut_k(K)$ alors qu'a priori il est naturel de s'intéresser aux plongements
-$\Hom_k(K,\sur{K})$ (cf. \ref{plongement racines}). Enfin, et c'est bien
-plus essentiel, ce dernier ensemble pourrait être trop petit pour qu'on en tire
-de l'information (cf. \ref{exemple radiciel}) sur $K$. Ces deux aspects sont
-développés dans les paragraphes suivants.
-
-\section{Extensions séparables, algèbres étales}
-
-\begin{dfn}\label{def séparable}
-Soit $k$ un corps ; un polynôme $P\in k[X]$ est dit \emph{séparable}
-s'il n'a que des racines \emph{simples} dans toute clôture algébrique de $k$.
-Si $K/k$ est une extension, et $x\in K$ est algébrique sur $k$,
-on dit que $x$ est \emph{séparable} sur $k$ si et seulement
-si son polynôme minimal est séparable.
-\end{dfn}
-
-En particulier, un polynôme séparable est non nul.
-
-\begin{prp}\label{poly séparable}
-Les conditions suivantes sont équivalentes :
-\begin{enumerate}
-\item $P\in k[X]$ est séparable,
-\item $(P,P')=1$ \cad $P$ et sa dérivée $P'$ sont premiers entre eux,
-\item si $\sur{k}$ est une clôture algébrique de $k$, l'algèbre
-$k_P\otimes_k \sur{k}$ est réduite et de dimension finie sur $\sur{k}$.
-\end{enumerate}
-\end{prp}
-
-Remarquons que si $k_p\otimes_k \sur{k}$ est réduite (et de dimension
-finie sur $\sur{k}$), elle est nécessairement
-isomorphe à l'algèbre produit $\sur{k}^{\deg P}$ (\ref{algèbre réduite}).
-
-\begin{proof}
-(1) équivalent à (2). On remarque que $P$ et $P'$ sont premiers entre eux
-si et seulement si leurs images dans $\sur{k}[X]$ le sont. On peut donc supposer $k$ algébriquement
-clos auquel cas le résultat est trivial. (1)-(2) sont équivalents à (3). Factorisons
-$P$ sur $\sur{k}$ en $P=c_P\prod_{i=1}^r (X-\alpha_i)^{n_i}$, pour des $\alpha_i\in \sur{k}$
-distincts, des entiers $n_i>0$ et $c_p\in k^{\times}$.
-On a alors
-$$k_P\otimes_k \sur{k}\iso \sur{k}_P=\sur{k}[X]/\prod_{i=1}^r (X-\alpha_i)^{n_i}
-\iso \oplus_{i=1}^r \sur{k}[X]/(X-\alpha_i)^{n_i}.$$
-Cette dernière algèbre n'a pas d'élément nilpotent si et seulement si tous les entiers
-$n_i$ sont égaux à $1$. CQFD.
-\end{proof}
-
-Remarquons que l'algèbre $\sur{k}[X]/(X-\alpha_i)^{n_i}$ qui apparaît dans la démonstration
-est isomorphe à $\sur{k}[X]/X^{n_i}$ (que l'on imagine comme un \emph{épaississement}
-de $\sur{k}$).
-
-Cette dernière propriété nous incite à faire la
-
-\begin{dfn}\label{corps étale}
-Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre de dimension finie $A$ est dite \emph{étale}
-si pour toute clôture algébrique $\sur{k}$ de $k$, l'algèbre $A_{\sur{k}}:=A\otimes_k \sur{k}$
-est réduite. Une $k$-algèbre $A$ isomorphe à $k^X$ pour un ensemble fini $X$
-est dite \emph{diagonalisable}. On dit qu'une $k$-algèbre $A$ est \emph{diagonalisée}
-(ou trivialisée) par une extension $K/k$ si $A_K$ est diagonalisable.
-\end{dfn}
-
-Ainsi, une $k$-algèbre \emph{étale} est une algèbre qui devient \emph{diagonalisable}
-sur $\sur{k}$. Nous verrons d'autres conditions équivalentes plus bas.
-\begin{lmm}
-Une sous-$k$-algèbre d'une $k$-algèbre étale est nécessairement
-étale.
-\end{lmm}
-\begin{proof}Si $A\hra B$, alors $A_{\sur{k}}\hra B_{\sur{k}}$.
-\end{proof}
-
-Remarquons également que pour tout $k$-algèbre, et tout clôture algébrique
-$\sur{k}$ de $k$, le morphisme canonique $A\ra A_{\sur{k}}$ est une inclusion.
-Ainsi, si $A/k$ est étale, $A$ est également réduite. Il résulte
-alors de \ref{algèbre réduite} que $A$ est $k$-isomorphe à un produit fini d'extensions,
-nécessairement étales, $k_i/k$.
-
-Dans le cas des corps, on use en général d'une autre terminologie :
-\begin{dfn}Soit $k$ un corps. Une extension algébrique $K/k$ est dite \emph{séparable} si toute
-sous-extension finie est étale.
-\end{dfn}
-
-%Il faut donner une définition générale à un moment ou
-%à un autre dans le cas *non* algébrique. P. ex.
-%F_p((t)) / F_p{{t}} est séparable
-
-Commençons par deux propriétés essentielles des algèbres étales.
-
-\begin{prp}\label{sous-quotient étale}
-Soient $k$ un corps et $A,B$ deux $k$-algèbre étales.
-Alors $A\otimes_k B$ est étale. De plus, toute sous-$k$-algèbre (resp.
-$k$-algèbre quotient) de $A$ est étale.
-\end{prp}
-
-Bien que le cas des sous-algèbres ait été traité plus haut, nous
-en donnons une autre démonstration ici ; elle nous sera utile en
-\ref{primitif}.
-Compte tenu de l'isomorphisme $(A\otimes_k B)\otimes_k \sur{k}\isononcan
-A_{\sur{k}}\otimes_{\sur{k}} B_{\sur{k}}$, et du fait que $A\surj C$ (resp.
-$C\hra A$) entraîne, par tensorisation avec $\sur{k}$ sur $k$,
-$A_{\sur{k}} \surj C_{\sur{k}}$ (resp. $C_{\sur{k}}\hra A_{\sur{k}}$), il suffit
-de démontrer la proposition pour des algèbres \emph{diagonalisables} :
-tout \emph{sous-quotient} d'une algèbre diagonalisable est diagonalisable.
-Le produit tensoriel d'algèbres diagonalisables est en effet diagonalisable.
-
-Cela résulte des deux lemmes suivants.
-
-\begin{lmm}
-Soient $X$ un ensemble fini et $k$ un corps. Les idéaux de l'algèbre $k^X$
-des fonctions $f:X\ra k$ sont de la forme
-$$\mc{I}_Y:=\{f, f(y)=0 \ \forall y\in Y\}$$
-pour une unique partie $Y\subset X$. De plus, la restriction à
-$Y$ induit un isomorphisme $k^X/\mc{I}_Y\iso k^Y$.
-\end{lmm}
-
-\begin{proof}
-Soit $\mc{J}$ un idéal et posons $Y:=\{x\in X, f(x)=0 \ \text{pour tout } f\in \mc{I}\}$.
-On a un inclusion évidente : $\mc{J}\subset \mc{I}_Y$.
-Pour chaque $x\notin Y$, il existe $f\in \mc{J}$ telle que $f(x)\neq 0$. En particulier
-la fonction de Dirac en $x$, $\delta_x$ est égale à $\delta_x \frac{f}{f(x)}$ et appartient
-donc à $\mc{J}$. Comme toute fonction de $\mc{I}_Y$ est somme de Dirac à support hors
-de $Y$, on a l'inclusion opposée et finalement l'égalité.
-L'isomorphisme de restriction est évident.
-\end{proof}
-
-En particulier, le nombre d'idéaux de $k^X$ est $2^{\# X}$.
-Remarquons que la même démonstration est valable pour $X$ infini et $k^{(X)}$ (fonctions
-à support fini).
-
-\begin{lmm}\label{sous-algèbres diagonalisables}
-Soient $k$ un corps et $X$ un ensemble fini. Les sous-$k$-algèbres de $k^X$
-sont de la forme
-$$
-k^X e_{I_1}\oplus \cdots \oplus k^X e_{I_r}\subset k^X,
-$$
-où $(I_j)_{1\leq j \leq r}$ est une partition de $X$ et pour tout
-$I\subset X$, $e_I:=\sum_{i\in I} \delta_i$.
-\end{lmm}
-
-\begin{proof}
-Soit $A\hra k^X$ une sous-algèbre. Elle est finie sur $k$ et réduite
-donc elle est isomorphe à $\prod_{\wp \in \SP(A)} A/\wp^N$ pour un $N\gg 1$,
-où les facteurs sont des corps.
-Rappelons que $\SP(A)$ est fini et notons $k_{\wp}$ le corps correspondant
-au $\wp$-ième facteur ; c'est une extension finie de $k$.
-Nous allons voir qu'elle est triviale. En effet, on a un diagramme commutatif :
-
-$$
-\xymatrix{
-A \ar@{->>}[r] \ar@{^{(}->}[d] & k_{\wp} \ar@{^{(}->}[d] \\
-k^X \ar@{->>}[r] & k^X\otimes_A k_{\wp}
-}
-$$
-
-D'après le lemme précédent, le quotient $ k^X\otimes_A k_{\wp}$ de $k^X$ est isomorphe à
-$k^{X_{\wp}}$ pour une partie $X_{\wp}\subset X$.
-
-Comme $k_{\wp}$ est la localisation de $A$ en $\wp$,
-$k_{\wp}$ s'injecte dans $k^{X_{\wp}}$ (et en est un localisé). Finalement
-$k_{\wp}=k$ et $A$ est donc diagonale. Elle est donc de la forme
-$\displaystyle \oplus_i k e_i$,
-où les $e_i$ forment un système complet d'idempotents orthogonaux de $A$.
-(C'est-à-dire que les $(e_i)$ satisfont à : $e_i^2=e_i$, $e_ie_j=0$ pour $i\neq j$ et $\sum_i e_i=1$.)
-On vérifie alors sans peine que de tels idempotents de $k^X$ sont du type décrit plus haut.
-\end{proof}
-
-Dans le langage des corps, la proposition \ref{sous-quotient étale} se réécrit :
-
-\begin{crl}\label{sous-quotient séparable} Si $K_1/k$ et $K_2/k$ sont deux extensions séparables de $k$, il en est de même
-de toute extension composée $K_1K_2/k$ et de toute sous-extension de $K_1/k$. \end{crl}
-
-\begin{crl}
-Soit $K/k$ une extension finie. Alors $K/k$ est étale si et seulement si
-tout $\lambda\in K$ est séparable sur $k$ au sens de \ref{def séparable}
-\end{crl}
-\begin{proof}
-Une extension finie monogène $k(x)/k$, est étale si et seulement
-si $x$ est séparable (\cad $\mathrm{Irr}_k(x)$ séparable) (\ref{poly séparable}).
-Il en résulte que si $K/k$ est étale, $k(\lambda)/k$ étant
-également étale (c'est une sous-algèbre) ; compte tenu de \ref{poly séparable}
-et des définitions, $\lambda$ est séparable sur $k$.
-L'extension $K/k$ est la composée de ses sous-$k$-extensions monogènes,
-qui sont étales. La conclusion résulte alors du corollaire précédent.
-\end{proof}
-
-
-Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème principal de cette section.
-
-\begin{thm}\label{nbre points et degré}
-Soient $k$ un corps, $K/k$ une extension finie et $A$ une $k$-algèbre finie.
-Alors
-$$\# \Hom_k(A,K) \leq [A:k],$$
-avec égalité si et seulement si $A$ est diagonalisée par $K/k$.
-\end{thm}
-
-\begin{proof}
-Remarquons que pour tout $K/k$, $\Hom_k(A,K)\iso \Hom_K(A_K,K)$ (exercice) et
-que, bien entendu, $\dim_k A=\dim_K A_K$. On peut donc supposer que $K=k$, ce que nous faisons
-dorénavant. L'inégalité n'est autre que \ref{hom versus dim}.
-Comme $k$ est réduit, la surjection $A\surj A_{\red}$ (cf. définition ci-dessous) induit
-une bijection
-$$
-\Hom_k(A_{\red},k)\iso \Hom_k(A,k).
-$$
-Ainsi, l'égalité $\# \Hom_k(A,K) = [A:k]$ n'a lieu que si d'une part
-$\dim_k A_{\red}=\dim_k A$, \cad que $A$ est \emph{réduit}, et d'autre part
-que $\# \Hom_k(A_{\red},k)=[A_{\red}:k]$. Comme $A_{\red}\isononcan \prod_i k_i$,
-et que $\Hom_k(k_i,k)=\emptyset$ si $k_i/k$ est non triviale, la conclusion en résulte.
-\end{proof}
-
-Rappelons la définition suivante, utilisée dans la démonstration.
-
-\begin{dfn}
-Soit $A$ un anneau. Notons $\Nilp(A)$ l'ensemble de ses éléments nilpotents.
-On définit $A_{\red}$ comme le quotient $A/\Nilp(A)$ ; c'est le plus grand quotient réduit de $A$.
-\end{dfn}
-
-(On vérifie sans peine qu'il existe une bijection naturelle $\SP(A_{\red})\iso \SP(A)$.)
-
-\begin{crl}
-Soient $k$ un corps, $\sur{k}$ une clôture algébrique et $A$ une $k$-algèbre finie.
-L'égalité $\# Hom_k(A,\sur{k})=\dim_k A$ a lieu si et seulement si $A$ est étale sur $k$.
-\end{crl}
-
-
-\subsection{Une autre caractérisation des algèbres étales : formes différentielles
-(facultatif)}\label{dérivations-1}
-
-\begin{dfn2}
-Soient $k$ un anneau, $A$ une $k$-algèbre et $M$ un $A$-module. Une \emph{dérivation}
-de $A/k$ dans $M$ est une application $k$-linéaire $d:A\ra M$, $a\mapsto da$,
-satisfaisant à la règle
-de Leibnitz :
-$$
-d(ab)=adb+bda
-$$
-pour tous $a,b\in A$.
-\end{dfn2}
-Il résulte de la définition que pour tout $\lambda\in k$, $d(\lambda)=0$ (exercice).
-On note $\mathrm{D\acute{e}r}_k(A,M)$ l'ensemble de ces dérivations.
-
-\begin{prp2}\label{caractérisation différentielle}
-Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre finie.
-Alors $A/k$ est étale si et seulement si toute dérivation de $A/k$ est nulle.
-\end{prp2}
-
-\begin{proof}
-Soient $A$ une $k$-algèbre étale, $M$ un $A$-module et $d:A\ra M$
-une ($k$-)dérivation. Soit $a\in A$. Notons $P$ son polynôme minimal $\mathrm{Irr}_k(a)$
-sur $k$. La sous-algèbre $k[a]$ de $A$ est isomorphe à $k[X]/P$ ; elle est étale sur $k$
-(\ref{sous-quotient étale}). Il résulte immédiatement de la règle de Leibnitz
-que pour tout polynôme $Q\in k[X]$, $dQ(a)=Q'(a)da$. En particulier, $P'(a)da$ est nul.
-Comme $(P,P')=1$ (car $k[a]/k$ est étale donc séparable), $P'(a)$ est inversible
-dans $k[a]$ et finalement $da=0$. La dérivation est donc triviale.
-
-Démontrons la réciproque en quelques lemmes.
-\begin{lmm2}
-Soit $A$ une $k$-algèbre telle que toute $k$-dérivation de $A$ soit nulle. Alors, pour toute
-extension $K/k$, toute $K$-dérivation de $A_K:=A\otimes_k K$ est nulle.
-\end{lmm2}
-On écrit traditionnellement l'hypothèse ---~par analogie avec
-la géométrie différentielle~--- sous la forme : $\Omega^1_{A/k}=\{0\}$
-\begin{proof}
-Soient $M$ un $A_K$-module et $d:A_K\ra M$ une $K$-dérivation.
-Notons $d':A\ra A_K \ra M$ l'application qui s'en déduit par composition
-avec $A\hra A_K$. C'est une dérivation $k$-linéaire $A\ra M$ ($M$ étant vu
-comme $A$-module). Elle est donc nulle par hypothèse ;
-autrement dit, $d_{|A}=0$.
-Comme $A_K$ est engendré par $A$ comme $K$-espace vectoriel et
-que $d$ est $K$-linéaire, on a bien $d=0$. CQFD.
-\end{proof}
-Soit donc $A$-une $k$-algèbre finie telle que $\Omega^1_{A/k}=\{0\}$.
-On souhaite montrer que pour toute clôture algébrique $\sur{k}$ de $k$,
-$A_{\sur{k}}$ est réduite. D'après le lemme précédente, on a également
-$\Omega^1_{A_{\sur{k}}/\sur{k}}=\{0\}$ ; on peut donc supposer dans
-la démonstration $k$ algébriquement clos. Il s'agit donc de montrer
-que si $\Omega^1_{A/k}=0$, $k=\sur{k}$, $A$ est diagonale.
-Écrivons $A=\prod_{i=1}^r A_i$, où chaque $A_i$ est une $k$-algèbre finie
-\emph{locale}. Le lemme suivant nous ramène au cas où $A$ est elle-même locale.
-\begin{lmm2}
-Soient $(A_i)_{i=1,\dots,r}$ des $k$-algèbres et posons $A:=\prod_1^r A_i$.
-Alors, si $\Omega^1_{A/k}=\{0\}$, on a $\Omega^1_{A_i/k}=\{0\}$ pour tout
-$i\in [1,r]$.
-\end{lmm2}
-\begin{proof}
-Soient $i_0\in [1,r]$ et $d_{i_0}:A_{i_0}\ra M$ une $k$-dérivation.
-Considérons l'application $d_{i_0}^{|A}:A\ra M$ définie par le
-diagramme :
-$$
-\xymatrix{
-A_{i_0} \ar[r]^{d_{i_0}} & M \\
-A \ar[u]^{\mathrm{pr}_{i_0}} \ar[ur]^{d_{i_0}^{|A}} &
-}
-$$
-\cad
-$$
-d_{i_0}^{|A}\big(a_1,\dots,a_r\big)=d_{i_0}a_{i_0}.
-$$
-C'est une $k$-dérivation de $A$ dans $M$, où $M$ est muni d'une structure
-de $A$-module par le morphisme de projection $\mathrm{pr}_{i_0}: A\ra A_{i_0}$.
-Par hypothèse, $d_{i_0}^{|A}$ est nulle ; il en est donc de même de $d_{i_0}$.
-\end{proof}
-
-Finalement, il reste à démontrer le lemme suivant ; c'est le point clé.
-\begin{prp2}
-Soient $k$ un corps algébriquement clos et $A$ une $k$-algèbre locale finie.
-Alors, si $\Omega^1_{A/k}=\{0\}$, $k\iso A$.
-\end{prp2}
-\begin{proof}
-Soit $\MM_A$ l'idéal maximal de $A$. Comme $A/\MM_A$ est une extension finie
-de $k$, et $k$ est algébriquement clos, on a $k\iso A/\MM_A$. Il en résulte
-que pour tout $a\in A$, il existe un unique $c(a)\in k\cdot 1_A$ tel
-que $a-c(a)\in \MM_A$. Admettons un instant que l'application
-$$\begin{array}{l}
-d:A\ra \MM_A/\MM_A^2\\
-a\mapsto a-c(a)\mod \MM_A^2
-\end{array}
-$$
-soit une $k$-dérivation. Elle est d'une part surjective car $c(a\in \MM_A)=0$
-et d'autre part nulle par hypothèse. Il en résulte que $\MM_A=\MM_A^2$.
-Comme $\MM_A$ est nilpotent, on a donc $\MM_A=\{0\}$, \cad $A$ est un corps,
-égal à $k$.
-
-L'égalité $d(a+a')=d(a)+d(a')$ est manifeste.
-De plus, si $\lambda\in k$, $d(\lambda a)=\lambda d(a)$ pour tout $a\in A$.
-Calculons $d(aa')$ pour
-$a,a'\in A$. Par hypothèse, $a-c(a)$ et $a'-c(a')$ appartiennent à $\MM_A$.
-Il en résulte que
-$$
-\big(a-c(a)\big)\big(a'-c(a')\big)=aa'-\big(ac(a')+a'c(a)\big)+c(a)c(a')\in \MM_A^2,
-$$
-d'où
-$$
-d\Big(aa'-\big(ac(a')+a'c(a)\big)+c(a)c(a')\Big)=0.
-$$
-Comme $d(k)=\{0\}$ et que $d$ est additive, $k$-linéaire, on en tire :
-$$
-d(aa')=d(ac(a'))+d(a'c(a))=c(a')d(a)+c(a)d(a').
-$$
-La conclusion vient alors du fait que pour tout $m\in \MM_A/\MM_A^2$ et tout $a\in A$,
-$am=c(a)m$ car le $A$-module $\MM_A/\MM_A^2$ est annulé par $\MM_A$.
-\end{proof}
-\end{proof}
-
-%(On pense donc à $A/k$ étale comme un morphisme « lisse » (\cad une submersion) de dimension
-%relative $0$.)
-Sans hypothèse sur $A/k$, on peut
-définir un $A$-module $\Omega^1_{A/k}$ et une dérivation $d_{A/k}:A \ra \Omega^1_{A/k}$
-\emph{universelle} au sens où pour chaque $A$-module $M$,
-$$
-\Hom_{A-\mathrm{mod}}(\Omega^1_{A/k},M) \ra \mathrm{D\acute{e}r}_k(A,M)
-$$
-$$ f\mapsto f\circ d_{A/k} $$
-est une bijection.
-Pour un chaque ensemble $E$, on vérifie que
-$$
-\Omega^1_{k[X_e, e\in E]/k}:=\bigoplus_e k[X_e, e\in E] dX_e
-$$
-$$
-X_e \mapsto dX_e
-$$
-répond à la question pour la $k$-algèbre $k[X_e, e\in E]$.
-Dans le cas général, en choisissant des générateurs de $A$, on écrit $A\isononcan k[X_e, e\in E]/\mc{I}$, pour un idéal $\mc{I}$.
-On vérifie sans peine que le quotient de
-$\Omega^1_{k[X_e, e\in E]/k}$ par les $di$, $i\in \mc{I}$ convient (exercice).
-
-Nous reviendrons brièvement (et toujours de façon optionnelle)
-sur ces formes différentielles en \ref{dérivations-2}.
-Une autre caractérisation des extensions séparables
-sera donnée en \ref{séparable-formellement étale}.
-
-
-\section{Clôture séparable, corps parfaits}
-
-Compte tenu de \ref{sous-quotient séparable}, pour toute extension $K/k$, il existe une sous-extension maximale
-séparable. Si l'on prend $K$ une clôture algébrique de $k$ on en déduit l'existence de
-
-\begin{dfn}
-Une clôture séparable d'un corps $k$ est une extension algébrique $k^{\sep}$ telle que tout polynôme séparable
-sur $k$ soit scindé sur $k^{\sep}$.
-\end{dfn}
-
-Une telle extension est unique à isomorphisme près : deux telles extensions sont $k$-isomorphes
-(mais, hormis dans les cas triviaux, l'isomorphisme n'est pas unique).
-
-Soit $k$ un corps, rappelons que l'\emph{exposant caractéristique}
-de $k$ est égal à $\max\{\mathrm{car}(k),1\}$. En d'autres termes, si $car(k)>0$ il coïncide avec cette
-caractéristique mais si $car(k)=0$, il vaut $1$. Introduire cette quantité, peu populaire
-chez les anglophones p. ex., a l'avantage de permettre un traitement uniforme de certains énoncés.
-En voici un.
-
-\begin{dfn}
-Soient $k$ un corps et $p\geq 1$ son exposant caractéristique.
-On dit que $k$ est \emph{parfait} si l'endomorphisme du corps $k$, $x\mapsto x^p$, est
-surjectif.
-\end{dfn}
-
-En particulier, tout corps de caractéristique nulle est parfait.
-
-\begin{prp}
-Un corps $k$ est parfait si et seulement si toute extension finie de $k$ est séparable.
-\end{prp}
-
-\begin{proof}
-Si $k$ n'est pas parfait, il existe $a\in k$ tel que $P=X^p-a$ n'ait pas de racine dans $k$ ($p>1$).
-Un tel polynôme est irréductible et $k_p\otimes_k \sur{k}=\sur{k}[X]/X^p$ n'est pas réduit.
-Réciproquement, supposons $k$ est parfait et $K/k$ une extension monogène non séparable, $K\isononcan k_P$
-avec $P$ irréductible. Par hypothèse, $(P',P)\neq 1$. Comme $P$ est irréductible, on a $P'=0$.
-Cela ne peut se produire que si $p>1$ et $P=Q(X^p)$ pour un polynôme $Q\in k[X]$. Comme $k$ est
-parfait, $Q(X^p)=\big(\tilde{Q}(X)\big)^p$, où les coefficients de $\tilde{Q}$ sont les racines
-$p$-ièmes (qui existent et sont uniques) de ceux de $P$. Finalement $P$ n'est pas irréductible ; absurde.
-La conclusion résulte de ce que toute extension de $k$ est la composée de ses sous-extensions monogènes et que la composée
-d'extensions séparables est séparable.
-\end{proof}
-
-\begin{prp}
-Tout corps fini est parfait.
-\end{prp}
-
-\begin{proof}
-Un endomorphisme d'un corps est injectif donc, par finitude du corps, surjectif.
-\end{proof}
-
-\section{Le théorème de l'élément primitif}
-
-Comme nous l'avons vu ci-dessus (ou encore lors de la démonstration de \ref{caractérisation différentielle}),
-il est parfois techniquement plus commode d'avoir à faire à des extensions monogènes.
-Nous allons voir qu'il y en a beaucoup.
-
-\begin{prp}
-Soit $k$ un corps. Toute $k$-algèbre étale ne possède qu'un nombre fini
-de sous-$k$-algèbres.
-\end{prp}
-
-Rappelons que l'on a déjà vu que ces sous-algèbres sont également étales sur $k$.
-
-\begin{proof}Soit $A/k$ une telle algèbre.
-Commençons par remarquer que si $\sur{k}$ est une clôture algébrique de $k$,
-deux sous-$k$-algèbres $B_1,B_2\subset A$ sont égales si et seulement si ${B_1}_{\sur{k}}={B_2}_{\sur{k}}$ dans
-$A_{\sur{k}}$. (Rappelons que toute injection $B\hra A$ induit une injection $B_{\sur{k}}\hra A_{\sur{k}}$
-par tensorisation $-\otimes_k \sur{k}$ et que par abus de notation on identifie $B_{\sur{k}}$ à son image.)
-On peut donc supposer que $k$ est algébriquement clos et donc que $A$ est diagonalisable \cad
-isomorphe à $k^X$ pour un ensemble fini $X$.
-Les sous-algèbres de $k^X$ correspondent (cf. \ref{sous-algèbres diagonalisables})
-aux partitions de $X$, qui sont elles-mêmes en nombre fini.
-\end{proof}
-
-Il en résulte que si $K/k$ est une extension finie séparable (\cad étale), elle n'a qu'un nombre
-fini de sous-extensions. À l'inverse, l'algèbre locale non réduite $A=k[X,Y]/(X,Y)^2$
-a beaucoup de sous-$k$-algèbre : pour tout idéal $I\subset (X,Y)=\MM_A$,
-$k+I$ est une sous-$k$-algèbre et pour chaque $\alpha\in k$, $I_{\alpha}:=(X+\alpha Y)$
-est un idéal.
-
-\begin{thm}[Théorème de l'élément primitif]\label{primitif}
-Soit $K/k$ une extension de corps. Les conditions suivantes sont équivalentes :
-\begin{enumerate}
-\item le corps $K$ est une $k$-algèbre monogène,
-\item il n'existe qu'un nombre fini de sous-extensions de $K/k$.
-\end{enumerate}
-Ces conditions sont satisfaites si $K/k$ est finie séparable et en particulier
-si $K/k$ est finie et $k$ parfait.
-\end{thm}
-
-Prendre garde que l'extension transcendante pure $k(t)/k$ est monogène
-comme extension de \emph{corps} mais pas comme extension d'\emph{algèbres} (l'algèbre
-$k[t]$ étant bien plus petite).
-
-\begin{proof}
-(2) entraîne (1).
-Remarquons que $K/k$ est nécessairement algébrique : si $t$ était un élément transcendant
-sur $k$ (\cad non algébrique), les sous-extensions $k(t^n)$, $n\in \NN$ seraient toutes distinctes.
-Si $k$ est infini, tout l'inclusion
-$$\bigcup_{K_{\alpha}\,\text{sous}-k-\text{extension}} K_{\alpha} \subset K$$
-est stricte (l'ensemble d'indexation étant fini) ; tout élément dans le gros ensemble engendre nécessairement $K$ sur $k$.
-Enfin, si $k$ est fini, $K$ est également fini sans quoi on pourrait produire une suite strictement croissante de sous-extensions.
-Dans ce cas, $K^{\times}$ est cyclique (\ref{} [À
-rédiger]) ce qui entraîne (mais est beaucoup plus fort que) le fait que $K/k$ soit monogène.
-
-(1) entraîne (2)\footnote{Nous n'utiliserons pas cette implication.}
-Soit $x\in K$ tel que $k(x)=K$ ; notons $f$ son polynôme minimal sur $k$.
-Soit $k'$ une sous-$k$-extension de $K/k$ ; on a alors automatiquement
-$k'(x)=K$. Soit $f_{k'}$ le polynôme minimal de $x$ sur $k'$ ;
-c'est un diviseur de $f$ dans $k'[X]$ donc dans $K[X]$.
-Soit $k(f_{k'})$ le sous-corps engendré par les coefficients de $f_{k'}$ ;
-on a bien entendu $k(f_{k'})\subset k'$. Comme $f_{k'}(x)=0$,
-$[K:k(f_{k'})]\leq \deg f_{k'}$ ; comme d'autre part
-$[K:k']=\deg f_{k'}$, on a $k'=k(f_{k'})$. Les polynômes unitaires
-diviseurs de $f\in K[X]$ étant en nombre fini, on a le résultat.
-\end{proof}
-
-\begin{rmr}
-Il est tentant d'essayer de donner une démonstration par « extension des scalaires »
-(\cad passage à $\sur{k}$) de (1) implique (2). Cependant, le lecteur
-constatera que la $k$-algèbre \emph{monogène} $k[X]/X^4$ possède
-de nombreuses sous-$k$-algèbres ; par exemple les $k+k(X^2+\alpha X^3)$ pour
-$\alpha\in k$.
-\end{rmr}
-
-
-\begin{rmr}\label{k infini élément primitif}
-Si $k$ est infini, on peut être plus précis : si
-$K=k(x,y)$ est une extension algébrique de $k$ satisfaisant
-à l'hypothèse (2) ci-dessus, il
-existe $\lambda\neq \mu\in k$ tels que $k(x+\lambda y)=k(x+\mu y)=:k'$.
-Il en résulte que $(\lambda-\mu)y\in k'$, donc $y$ et
-$x=(x+\lambda y)-\lambda y$ appartiennent à $k'$.
-Finalement $k'=K$ et $k'$ est monogène.
-Par récurrence on en tire que si $k$ est infini, et que
-$x_0,\dots,x_n$ engendrent $K/k$ \emph{séparable},
-il existe $\alpha_1,\cdots,\alpha_n\in k$ tels que $K=k(x_0+\alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_n x_n)$.
-\end{rmr}
-
-\section{Théorie de Galois : premières définitions ; énoncé du théorème}
-
-\subsection{Extensions normales, galoisiennes}
-
-On a vu ci-dessus qu'une extension finie $K/k$ est séparable
-si et seulement si $\# \Hom_k(K,\sur{k})=\dim_k K$.
-Comme expliqué dans le paragraphe précédant \ref{def séparable}, la théorie de Galois
-s'appuie partiellement sur une hypothèse supplémentaire.
-
-\begin{dfn}
-Soit $K/k$ une extension et $\sur{K}$ une clôture algébrique de $K$.
-L'extension $K/k$ est dite \emph{normale} (ou \emph{quasi-galoisienne}) si elle est algébrique et si
-tout $k$-plongement $\iota: K\hra \sur{K}$, on a $\iota(K)\subset \sur{K}$.
-\end{dfn}
-
-De façon équivalente, on demande que pour tout $x\in K$ soit algébrique sur $k$
-et que les racines de $\mathrm{Irr}_k(x)$ dans $\sur{K}$ soient dans $K$.
-
-Sous cette hypothèse, $\Aut_k(K)\iso \Hom_k(K,\sur{K})$.
-
-
-\begin{prp}\label{transitivité normale}
-Soient $K/k$ une extension, $x\in K$ algébrique sur $k$ et
-$\sur{K}$ une clôture algébrique de $K$.
-Pour toute racine $y$ de $\mathrm{Irr}_k(x)$ dans $\sur{K}$, il existe un plongement $k$-linéaire
-$g:K\ra \sur{K}$ tel que $g(x)=y$. On dit que $y$ est conjugué à $x$.
-\end{prp}
-
-\begin{proof}
-Par hypothèse, on dispose d'un $k$-isomorphisme $k(x)\iso k(y)\hra \sur{K}$ envoyant $x$ sur $y$.
-Comme $\sur{K}$ est algébriquement clos, tout morphisme $k(x)\ra \sur{K}$ se prolonge
-en un morphisme $K\ra \sur{K}$ (\ref{extension}).
-\end{proof}
-
-\begin{lmm}\label{quasi-galoisien}
-Soient $k$ un corps et $f\in k[X]$ un polynôme. Toute extension de décomposition
-$K/k$ de $f$ est normale. Réciproquement, toute extension finie normale
-s'obtient comme extension de décomposition d'un polynôme à coefficient
-dans le petit corps.
-\end{lmm}
-
-\begin{proof}
-La démonstration ne présente pas de difficulté et est laissée
-en exercice au lecteur.
-\end{proof}
-
-%N'IMPORTE QUOI ?
-%Soit $L/K$ une extension finie séparable engendrée par un élément $x\in L$
-%de polynôme minimal $f$. Si $M$ est une extension de $L$ normale sur $K$,
-%$f$ est scindé sur $M$ donc $L\otimes_K M\isononcan K[X]/f\otimes_K M\isonon
-%M^{\deg(f)}$.
-%\begin{lmm}
-%Soit $L/K$ une extension fini séparable. Une extension fini $M/K$
-%est contenue dans une clôture normale de $L/K$ si et seulement si
-%il existe un entier $n$ et une surjection de $K$-algèbres :
-%$$\underbrace{L\otimes_K \cdots \otimes_K L}_{2^n\text{ facteurs}}\surj M.$$
-%\end{lmm}
-%\begin{proof}
-%Soit $L/K$ comme plus haut engendré par un élément primitif
-%de polynôme minimal $f$. On a $L\otimes_K L=L\times L'$ où $L'$ est une $L$-algèbre
-%de degré strictement $[L:K]-1$ dans laquelle $f$ se factorise en $(X-\alpha)g$.
-%\end{proof}
-
-
-\begin{dfn}
-Une extension $K/k$ dite \emph{galoisienne} si elle est quasi-galoisienne et séparable.
-Dans ce cas, on note $\ga(K/k)$ le groupe $\Aut_k(K)$. C'est le groupe de Galois de l'extension.
-\end{dfn}
-
-Remarquons qu'on ne suppose pas $K/k$ finie. Sous l'hypothèse galoisienne,
-$\Aut_k(K)\iso \Hom_k(K,K)$ ;
-ce n'est bien entendu pas vrai en toute généralité (exercice).
-
-\begin{prp}
-Toute extension séparable est contenue dans une extension galoisienne.
-\end{prp}
-
-\begin{proof}
-Soient $K/k$ une extension séparable et $k\sep$ une clôture séparable de $K$.
-Soit $K'$ le corps composé des $g(K)$, où $g:K\hra k\sep$ est un plongement.
-L'extension $K'/k$ est séparable, normale, contient $K$ et est minimale
-pour ces propriétés. C'est donc une clôture galoisienne.
-\end{proof}
-
-Pour tester abstraitement si une extension est une clôture galoisienne,
-cf. \ref{critère-linéaire-normal}.
-
-
-Si $K/k$ est galoisienne, $K/k$ est diagonalisable sur $\sur{k}$. Plus précisément, on a en fait l'important
-
-\begin{thm}\label{auto décomposition}
-Soit $K/k$ une extension finie galoisienne, de groupe $G$.
-Alors le morphisme
-$$
-K\otimes_k K \sr{(m_g)_{g\in G}}\ra \prod_{g\in G} K,
-$$
-$$
-a\otimes b \mapsto (g(a)b)_{g\in G}
-$$
-est un isomorphisme. En particulier, $K/k$ se trivialise elle-même
-et l'on dispose d'une bijection canonique
-$$G\iso \SP(K\otimes_k K)$$
-donné par $g\mapsto \ker\big(m_g:a\otimes b\mapsto g(a)b\big)$.
-\end{thm}
-
-\begin{proof}
-Pour chaque $g\in \ga(K/k)$, le produit tordu
-$$m_g:K\otimes_k K\surj K$$
-fait de $K$ un quotient de $K\otimes_k K$.
-Afin d'appliquer le théorème chinois, on utilise le lemme suivant :
-
-\begin{lmm}
-Si $g\neq g'$, les idéaux maximaux $\ker\,m_g$ et $\ker\,m_{g'}$ sont
-distincts.
-\end{lmm}
-
-\begin{proof}
-En effet, pour tout $a\in K$, on a :
-$$
-a\otimes 1 - 1\otimes g(a) \mapsto
-\left\{ \begin{array}{ll}
-0 & \text{via } m_g \\
- g'a-ga & \text{via } m_{g'}
-\end{array} \right.
-$$
-Comme il existe $a$ tel que ces deux éléments soient distincts,
-ce noyaux sont également distincts.
-\end{proof}
-
-Il résulte de ce lemme que $$\# \SP(K\otimes_k K)\geq \#G = \dim_k K=\dim_K (K\otimes_k K).$$
-
-Que la structure de $K$-algèbre sur $K\otimes_k K$ soit donnée
-par $\lambda\mapsto \lambda \otimes 1$ ou $\lambda\mapsto
-1\otimes \lambda$ ne change pas dimension sur $K$
-de $K\otimes_k K$. Par contre, les morphismes $m_g$ sont $K$-linéaires pour
-la seconde structure seulement, que nous considérons donc ici.
-
-Ainsi, la $K$-algèbre $K\otimes_k K$ est diagonalisable, un isomorphisme
-étant donné par les $\prod_{g\in G} m_g$.
-\end{proof}
-
-\begin{rmr}
-Prendre garde que s'il est vrai que $L/K$ séparable et $K/k$ séparable entraîne
-$L/k$ séparable, il n'en est pas ainsi de la propriété d'être galoisien.
-Ce point devrait s'éclaircir considérablement avec le théorème fondamental
-de la théorie de Galois.
-\end{rmr}
-
-
-Pour $K/k$ fini galoisienne, $\Aut_k K$, souvent noté $G_{K/k}$, est de cardinal $[K:k]$.
-
-\begin{prp}
-Soit $K/k$ une extension galoisienne, de groupe de Galois $G$.
-Alors, $$k\iso K^G:=\{\lambda\in K, \text{t.q. } g\lambda=\lambda \ \forall g\in G\}.$$
-\end{prp}
-
-\begin{proof}
-Ramenons nous au cas où l'extension est finie.
-\begin{lmm2}
-Soit $K'/k$ une sous-extension galoisienne de $K/k$. Alors,
-$G_{K/k}\surj G_{K'/k}$.
-\end{lmm2}
-\begin{proof}
-C'est une variante de \ref{extension}.
-\end{proof}
-Il résulte de ce lemme que l'on peut supposer l'extension finie.
-Soit maintenant $x\in K$, avec $K/k$ finie galoisienne de groupe $G$.
-Supposons $[k(x):k]>1$. Comme $x$ est séparable sur $k$ et $K/k$ est normale,
-le polynôme $\mathrm{Irr}_k(x)$ est scindé à racines simples sur $K$.
-Soit $y\neq x$ une telle racine ; d'après \ref{transitivité normale}, il
-existe $g:K\ra K$ tel que $g(x)=y\neq x$. Ainsi, $x$ n'est pas fixe par $G_{K/k}$.
-\end{proof}
-
-\subsection{Le lemme d'Artin et « descente galoisienne » (facultatif)}\label{descente 1}
-
-Nous allons donner ici une autre démonstration
-de la proposition précédente. Cette dernière n'étant
-qu'un prétexte pour démontrer quelques lemmes d'intérêt général,
-que nous utiliserons dans la section (facultative) \ref{H^1(GL)}.
-Cette méthode, due à A.~Grothendieck, s'est avérée essentielle
-dans de nombreux développements de la théorie de Galois et de l'algèbre
-en général (cf. \cite{sga1}).
-
-
-Il s'agit de montrer que la suite
-$$\xymatrix{
-0 \ar[r] & k\ar[r] & K \ar[r]^d & \prod_{G} K \\
-& & \lambda \ar[r] & (\lambda-g\lambda)_{g\in G}
-}
-$$
-est \emph{exacte}, \cad que l'image d'un morphisme est égal
-au noyau du morphisme suivant.
-
-Compte tenu du théorème précédent, cela revient à montrer que la suite
-
-$$\xymatrix{
-0 \ar[r] & k\ar[r] & K \ar[r]^d & K\otimes_k K \\
-& & \lambda \ar[r] & \lambda\otimes 1 - 1\otimes \lambda
-}
-$$
-l'est.
-
-Or, sous cette forme, l'énoncé précédent est vrai sous des hypothèses
-bien plus générales. C'est l'objet du lemme ci-dessous, que l'on appliquera
-à $B=K$ et $A=k$.
-
-\begin{lmm2}\label{descente-libre}
-Soient $A$ un \emph{anneau} et $B$ une $A$-algèbre \emph{fidèlement plate}
-(cf. \ref{fidèlement plat}), par exemple non nul et \emph{libre} comme $A$-module.
-La suite $0\ra A \ra B \sr{d}{\ra} B\otimes_A B$ définie par $d(b)=b\otimes 1 - 1 \otimes b$
-est exacte.
-\end{lmm2}
-
-Il est toujours vrai, sans hypothèse sur $B/A$, que le composé des deux derniers
-morphismes est nul.
-Comme nous le verrons plus bas, il suffit de démontrer le :
-
-\begin{sslmm2}\label{descente-section}
-Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. Supposons que le morphisme $f:A\ra B$ possède
-une \emph{rétraction}, \cad un morphisme $r:B\ra A$ satisfaisant à
-$$
-rf=\mathrm{Id}_{A}.
-$$
-Alors, la suite $0\ra A \ra B \sr{d}{\ra} B\otimes_A B$ est exacte.
-\end{sslmm2}
-
-\begin{proof}[Démonstration de \ref{descente-section}]
-Remarquons tout d'abord que $f$ est nécessairement une injection ; nous identifierons
-donc $A$ et son image par $f$ dans $B$.
-Soit donc un élément $b\in B$ tel que $db:=b\otimes 1 - 1 \otimes b=0$ dans $B\otimes_A B$ ; il
-s'agit de montrer qu'il est dans $A$.
-Munissons $B\otimes_A B$ d'une structure de $B$-algèbre par $b\mapsto 1\otimes b$.
-La rétraction $r$ de $f$
-induit une rétraction $B$-linéaire notée $r'$ de ce morphisme $B\ra B\otimes_A B$ :
-$$b\otimes b'\sr{r'}{\mapsto} r(b)b'.$$
-Remarquons que $r'$ est bien définie car $r'(ab\otimes b')=r(ab)b'=ar(b)b'=ar'(b\otimes b')$
-(la troisième égalité résulte de ce que $r$ est une rétraction de $f$).
-
-Finalement, $b=r'(1 \otimes b)=r'(b\otimes 1)=r(b)\in A$. CQFD.
-\end{proof}
-Plus généralement,
-\begin{lmm2}\label{Cech} Si $M_0$ est un $A$-module
-et $A\ra B$ est un morphisme d'anneaux ayant une rétraction $r:B\ra A$,
-la suite de $A$-modules
-$$0\ra M_0 \ra M_0\otimes_A B\sr{d}{\ra} M_0\otimes_A B\otimes_A B$$ est exacte.
-\end{lmm2}
-\begin{proof}
-L'injectivité résulte du fait que le composé $M_0\ra M_0\otimes_A B \sr{r_{M_0}}{\ra } M_0$
-soit l'identité ; la surjectivité se démontre comme plus haut : si
-$$
-m'=\sum_i m_i\otimes b_i \mapsto \sum_i \big(m_i\otimes b_i\otimes 1 - m_i\otimes 1\otimes
-b_i\big)=0,
-$$
-on a, en appliquant $r'_{M_0}:M_0\otimes_A B\otimes_A B\ra M_0\otimes_A B$,
-$$
-\sum_i m_i\otimes r(b_i)-\underbrace{\sum_i m_i\otimes b_i}_{m'}=0.
-$$
-Le terme de gauche appartient à l'image de $M_0$ dans $M_0\otimes_A B$.
-\end{proof}
-
-
-Montrons maintenant que le lemme précédent implique le lemme \ref{descente-libre}.
-Sous les hypothèses de ce dernier, $B/A$ n'a pas nécessairement de rétraction.
-Le point clé est qu'après application de $-\otimes_A B$, $A\ra B$
-devient $B\ra B\otimes_A B$, $b\mapsto 1\otimes b$ ; celui-ci ayant
-une rétraction $B$-linéaire, donnée par le produit. Il faut cependant vérifier que
-l'opération de tensorisation est inoffensive de ce point de vue ; c'est le cas si $B$ est libre
-sur $A$ (et plus généralement si $B/A$ est \emph{fidèlement plat}, essentiellement
-par définition de cette dernière propriété) cf. \ref{appendice 1}.
-
-
-En vertu de ce lemme, il suffit de vérifier que
-$$B=A\otimes_A B\ra B\otimes_A B \sr{d\otimes B}{\ra} (B\otimes_A B)\otimes_A B$$
-est exact. Comme $B\ra B\otimes_A B=:C$ possède une rétraction, il nous reste
-à vérifier que la suite exacte ci-dessus s'identifie à
-$$B\ra C\sr{d'}{\ra} C\otimes_B C.$$
-Rappelons que le premier morphisme $d\otimes B$ envoie $b\otimes b'$ sur
-$b\otimes 1 \otimes b' - 1 \otimes b \otimes b'$. Le second morphisme
-$d'$ envoie $c$ sur $c\otimes 1 - 1 \otimes c$.
-Ce point est l'objet du lemme suivant (où l'on note $S$ pour $B$ et $X=Y$ pour $C$).
-
-\begin{lmm}\label{un isom}
-Soient $S$ un anneau et $X,Y$ deux $S$-algèbres.
-Il existe un isomorphisme de $X$-algèbres
-$$
-\big(X\otimes_S X\big) \otimes_S Y \iso \big( X\otimes_S Y\big) \otimes_Y \big(X \otimes_S Y\big)
-$$
-qui envoie
-$$\big(d_{X/S}\otimes_S Y \big)(x\otimes y):=x\otimes 1 \otimes y - 1 \otimes x \otimes y$$
- sur
-$$d_{X\otimes_S Y /Y}(x\otimes y):=(x\otimes y)\otimes (1\otimes 1) -
-(1\otimes 1) \otimes (x\otimes y).$$
-\end{lmm}
-
-\begin{proof}
-On vérifie que les applications
-$$(x_1\otimes_S x_2) \otimes_S y \mapsto y\big((x_1\otimes_S 1)\otimes_Y (x_2\otimes_S 1)\big)
-= (x_1\otimes_S y)\otimes_Y (x_2\otimes_S 1) = (x_1 \otimes_S 1)\otimes_Y (x_2\otimes_S y) $$
-et
-$$
-(x_1\otimes_S y_1)\otimes_Y (x_2\otimes_S y_2) \mapsto (x_1 \otimes_S x_2) \otimes_S y_1y_2
-$$
-sont des bijections réciproques qui échangent bien les morphismes $d$.
-\end{proof}
-
-Ceci conclut la démonstration de la proposition.
-
-\begin{rmr}[Analogie]
-Il est à noter que le formalisme du produit fibré catégorique permet de rendre relativement
-transparent le lemme précédent. L'analogue ensembliste trivial de celui-ci dit
-que si $X,Y$ sont deux ensembles, $X\times X \times Y$ est canoniquement
-en bijection avec le sous-ensemble de $(X\times Y) \times (X\times Y)$
-consisté des éléments dont les deuxièmes et quatrièmes coordonnées coïncident.
-Ce dernier est habituellement noté $(X\times Y)\times_Y (X \times Y)$.
-Avec ce langage il est donc possible d'avoir un sentiment
-immédiat sur la véracité d'un énoncé tel que \ref{un isom}.
-Bien que nous ne développerons peu ou pas ce formalisme (cf. appendices),
-signalons qu'il permet de transformer l'heuristique précédente en
-une réelle démonstration.
-\end{rmr}
-
-Voyons maintenant la réciproque :
-
-\begin{thm}[Théorème d'E.~Artin]
-Soient $K$ un corps et $G$ un groupe fini.
-Alors $K/K^G$ est une extension finie galoisienne de groupe $G$.
-\end{thm}
-
-\begin{proof}
-Soit $k=K^G$. Par définition les $g\in G$ sont donc des automorphismes $k$-linéaires de $K$.
-Les éléments de $K$ sont séparables de degré $\leq \#G$ sur $k$ :
-si $x\in K$,
-$$
-P_x:=\prod_{g\in G/\mathrm{Fix}(x)} \big(X-g(x)\big)
-$$
-appartient à $k[X]$, est à racines distinctes dans $K$ et est de degré égal
-à l'indice du fixateur de $x$ dans $G$, inférieur à $\# G$.
-
-Cela montre également que l'extension $K/k$ est normale car les conjugués de $x$ sur $k$
-sont également dans $K$.
-
-Le lemme précédent montre que $K/k$ est finie galoisienne.
-
-\begin{lmm}
-Soit $K/k$ une extension galoisienne telle que tout élément soit de degré $\leq n$.
-Alors $K/k$ est finie, de degré $\leq n$.
-\end{lmm}
-
-\begin{proof}
-Soit $x\in K$ de degré maximal sur $k$. Supposons qu'il existe $y\in K-k(x)$.
-L'extension $k(x,y)/k$ étant (finie) séparable, elle est monogène (\ref{primitif})
-engendrée par un élément $z\in K$. Le fait que $k(z)$ contienne strictement $k(x)$
-contredit l'hypothèse faite sur $x$.
-Ainsi $K=k(x)$.
-\end{proof}
-
-Enfin, on a une inclusion $G\subset \Aut_k(K)$. Comme $\#\Aut_k(K)=[K:k]\leq \#G$,
-ces deux groupes sont en fait égaux.
-\end{proof}
-
-\begin{exm}\label{fonctions symétriques}
-Soient $n\in \NN$, $K=\QQ(X_1,\dots,X_n)$ et $G=\got{S}_n$ agissant par permutation.
-Notons $\sigma_1=\sum_1^n X_i$, $\sigma_2=X_1X_2+\cdots+X_{n-1}X_n$, etc.
-et $\sigma_n=X_1\cdots X_n$ les fonctions symétriques usuelles.
-Il est évident que $k:=\QQ(\sigma_1,\dots,\sigma_n)$ s'injecte dans $K^{\got{S}_n}$ :
-les fonctions $\sigma_i$ étant symétriques. Il résulte de l'égalité
-$$T^n-\sigma_1 T^{n-1}+\cdots+(-1)^n \sigma_n=(T-X_1)\cdots (T-X_n)$$
-que $K$ est le corps de décomposition d'un polynôme de degré inférieur à
-$n$ de $k[X]$. Cela entraîne (exercice) que $[K:k]\leq n!$. Comme
-$[K:k]\geq [K:K^{\got{S}_n}]=n!$ (théorème d'Artin), on a nécessairement $k=K^{\got{S}_n}$.
-\end{exm}
-
-Le lecteur vérifiera à titre d'exercice que cela entraîne l'égalité
-$\QQ[X_1,\dots,X_n]^{\got{S}_n}=\QQ[\sigma_1,\dots,\sigma_n]$, qu'il est d'ailleurs
-utile (cf. ) de savoir démontrer à la main.
-
-
-% DÉPLACER ET DÉTAILLER : inclure Saltman ?
-%\begin{rmr}
-%Divers exemples (Swan, Lenstra) montrent que si $H\leq \got{S}_n$ est un sous-groupe
-%il n'est pas vrai en général que le corps des invariants $\QQ(X_1,\dots,X_n)^H$
-%soit une extension purement transcendante de $\QQ$ (bien que ce soit le cas pour $H=\got{S}_n$.
-%C'est en particulier déjà faux pour $H=\ZZ/8$ [agissant sur $\QQ(H)$].
-%Cela est lié à de trés intéressantes propriétés (passage du local au
-%global) discutées dans \cite{Generic Galois@Saltman}.
-%[INCLURE CES RÉSULTATS ?]
-%\end{rmr}
-
-\subsection{Correspondance de Galois}
-
-\begin{thm}[Galois]
-Soit $K/k$ une extension finie galoisienne de groupe $G$.
-L''application $\{1\} \leq H \leq G$ $\leadsto$ $k\subset K^H \subset K$
-est une bijection décroissante entre l'ensemble des sous-groupes de $G$ et celui des sous-
-$k$-extensions de $K$. L'application inverse est donnée par $k\subset k'\subset K$ $\leadsto$
-$\ga(K/k')\leq G=\ga(K/k)$.
-De plus, $K/K^H$ est galoisienne de groupe $H$ et $K^H/k$ est galoisienne
-ssi $H\triangleleft G$ est un sous-groupe distingué, auquel cas son groupe
-de Galois est le groupe quotient $G/H$.
-\end{thm}
-
-Nous verrons une formulation équivalente, due à A.~Grothendieck, plus bas.
-
-\begin{proof}
-Soit $k\subset L \subset K$ une sous-extension et posons $H=\Aut_L(K)\leq G$.
-L'extension $K/L$ est séparable (en effet, le morphisme canonique
-$K\otimes_k K\surj K\otimes_L K$ fait de cette
-dernière un quotient d'une algèbre diagonalisable) donc galoisienne car elle
-est automatiquement normale. Son groupe de Galois est par définition $H$ et l'on a donc
-$L=K^H$.
-
-Réciproquement, si $H\leq G$, l'extension $K/K^H$ est galoisienne de groupe $H$.
-
-Il ne reste donc plus qu'à vérifier la dernière assertion.
-Pour $H\leq G$, l'extension $K^H/k$ est toujours séparable. Il faut donc voir à
-quelle condition elle est normale. Soit $g\in \ga(K/k)$ ; on a $g(K^H)=K^{gHg^{-1}}$.
-Compte tenu de la correspondance entre les sous-extensions et les sous-groupes,
-$g(K^H)=K^H$ ssi $gHg^{-1}=H$. Or, $K^H/k$ est normale ssi tous les \emph{corps
-conjugués} $g(K^H)$, pour $g$ variables, sont égaux à $K^H$. En effet, si $\sur{K}/K$
-est une clôture algébrique, toute injection $K^H\hra \sur{K}$ s'étend
-en une injection $K\sr{g}{\hra}K \hra \sur{K}$, pour $g\in G_{K/k}$.
-Ainsi, l'extension $K^H/K$ est normale ssi $H\triangleleft G$.
-Vérifions que le groupe de Galois est bien isomorphe au quotient.
-On conclue en remarquant que d'une part $[K^H:k]=[K:k]/[K:K^H]$ est égal à l'indice $(G:H)$
-et que d'autre part $G/H\ra G_{K^H/k}$ est une injection,
-car si $g_{|K^H}=\mathrm{Id}_{K^H}$, $g$ appartient à $H$.
-\end{proof}
-
-\section{Fonctorialité}\label{fonctorialité}
-
-Le lecteur peut, en première lecture, omettre cette section.
-
-Commençons par un lemme trivial.
-\begin{lmm}
-Soit
-$$
-\xymatrix{
-K \ar[r] & K' \\
-k \ar[r] \ar[u] \ar@/^1pc/[u]^{G} & k' \ar[u] \ar@/_1pc/[u]_{G'}
-}
-$$
-un diagramme commutatif où $G$ et $G'$ sont les groupes de Galois des extensions
-correspondantes.
-La restriction à $K$, $\sigma'\in G'=\ga(K'/k')\mapsto \sigma'_{|K}\in \Aut(K/(k'\cap K))
-\subset \ga(K/k)$ induit un morphisme de groupes $G'=\ga(K'/k')\ra G=\ga(K/k)$.
-\end{lmm}
-
-Nous allons voir que sous certaines hypothèses,
-c'est une injection et que l'on peut reconstruire $G$ à partir de $G'$ et
-d'un autre groupe de Galois.
-
-\begin{dfn}
-Soient $G_1,G_2,H$ trois groupes et $f_i:G_i\ra H$ ($i=1,2$)
-deux morphismes. On note $G_1\times_H G_2$ (notation abusive pour
-$G_1\times_{f_1,H,f_2} G_2$) le sous-groupe de $G_1\times G_2$ constitué
-des éléments $(g_1,g_2)$ tels que $f_1(g_1)=f_2(g_2)$. C'est le \emph{produit
-fibré} de $G_1$ et $G_2$ au-dessus de $H$.
-\end{dfn}
-
-\begin{prp}\label{prop fonctorialité}
-Soit
-$$
-\xymatrix{
-K \ar[rr] & & K'=Kk' \\
-& K\cap k' \ar[ul] \ar[rd] \ar[ur] & \\
-k \ar[rr] \ar[uu] \ar@/^1pc/[uu]^{G} \ar[ur] & & k' \ar@/_1pc/[uu]_{G'} \ar[uu]
-}
-$$
-un diagramme commutatif de corps, avec $K/k$ galoisienne finie de groupe $G$.
-Alors :
-\begin{itemize}
-\item L'extension $K'/k'$ est galoisienne, de groupe noté $G'$. Ce dernier
-s'injecte canoniquement dans $G$ et son image est égale
-à $\ga(K/K\cap k')$ ;
-\item si $k'/k$ est galoisienne, $K\cap k'/k$ et $K'/k$ le sont également ;
-et l'on a un isomorphisme canonique $$G_{Kk'/k}\iso G_{K/k}\times_{G_{K\cap k'/k}} G_{k'/k}.$$
-\end{itemize}
-En particulier, si $k'/k$ est galoisienne et que $K\cap k'=k$,
-le groupe de Galois $G_{K'/k}$ s'identifie canoniquement à $G_{K/k}\times G_{k'/k}$.
-\end{prp}
-
-\begin{proof}
-L'extension $Kk'=K'/k'$ est galoisienne : elle est séparable.
-Par exemple car $K'$ est un quotient de $K\otimes_k k'$ donc
-$K'\otimes_{k'} \sur{k'}$ est un quotient de $K\otimes_k \sur{k}$, qui est une algèbre
-diagonalisable. Elle est aussi normale car si $K$ est le corps de décomposition
-d'un polynôme $f\in k[X]$, $K'$ est un corps de décomposition de $f$, vu
-dans $k'[X]$ (cf. \ref{quasi-galoisien}).
-
-Le morphisme $G'\ra G$ est une injection car si $g'\in G'$
-agit trivialement en restriction à $K$, agissant déjà trivialement sur $k'$,
-il en est de même sur $Kk'=K'$.
-
-Il est bien évident que l'image de $G'$ est incluse dans $\ga(K/K\cap k')$.
-Il suffit de montrer que si
-$K\cap k'=k$, $G'\iso G$ (remplacer $k$ par $K\cap k'$). Seule la surjectivité
-est à vérifier. Soit $x\in K$ un élément invariant sous l'image : il appartient
-à $k'$ (étant fixe sous $G'$) et à $K$ (par hypothèse) donc à $k$. Ainsi
-$K^{G'}=k$ et par la correspondance de Galois, $G'=G$ (avec un léger
-abus de notation).
-
-
-Vérifions que si $k'/k$ est galoisienne, il en est de même de $K\cap k'/k$.
-Comme sous-extension d'une extension séparable, elle est séparable. Soit $x'$
-un conjugué de $x\in K\cap k'$. Il appartient à $K$ (car $K/k$ est normale),
-ainsi qu'à $k'$ pour la même raison. Finalement $x'\in K\cap k'$ et l'extension
-est quasi-galoisienne.
-
-Sous les hypothèses précédentes, on dispose de deux surjections
-$G_{K/k}\surj G_{K\cap k'/k}$ et $G_{k'/k}\surj G_{K\cap k'/k}$.
-De façon évidente, le morphisme $G_{Kk'/k}\ra G_{K/k}\times G_{k'/k}$,
-donné sur chaque composante par le morphisme évident, se factorise par
-le sous-groupe $G_{K/k}\times_{G_{K\cap k'/k}} G_{k'/k}$. C'est un isomorphisme.
-Ce morphisme est de façon évidente une injection ; il suffit alors de vérifier
-que les deux groupes ont même cardinaux.
-Montrons que le terme de droite a pour cardinal $\# G_{k'/k} \# G_{K'/k'}$,
-qui vaut trivialement $[k':k][K':k']=\#G_{K'/k}$.
-Cela revient à montrer que le cardinal des fibres de
-$G_{K/k}\surj G_{K\cap k'/k}$ est $\# G_{K'/k'}$. Ce dernier point
-résulte de la suite exacte
-$$
-G_{K'/k'}\iso G_{K/K\cap k'}\hra G_{K/k} \surj G_{K\cap k'/k}.
-$$
-\end{proof}
-
-
-
-\subsection{Théorie de Galois d'après A.~Grothendieck (facultatif)}
-
-\begin{thm}
-Soient $K/k$ une extension finie galoisienne de groupe $G$ et $\sur{k}$ une
-clôture algébrique de $k$.
-Les foncteurs
-$$
-k-\text{algèbres diagonalisables sur } K \leftrightarrows G-\text{ensembles finis},
-$$
-$$
-A \mapsto \Hom_k(A,\sur{k})
-$$
-
-$$
-\Hom_G(X,K) \mapsfrom X
-$$
-sont des équivalences de catégories inverses l'une de l'autre.
-\end{thm}
-
-\begin{rmr}[Exercice]
-Vérifiez que le groupe des automorphismes du foncteur d'oubli $G-\Ens \ra \Ens$
-s'identifie canoniquement à $G$.
-\end{rmr}
-
-%% À FAIRE !
-%%%%%%%%%%%%
-
-
-
diff --git a/2-chap-Galois.tex b/2-chap-Galois.tex
deleted file mode 100644
index ef873cc..0000000
--- a/2-chap-Galois.tex
+++ /dev/null
@@ -1,616 +0,0 @@
-
-\chapter{Exemples, calculs et premières applications}
-
-\section{Premières applications}
-
-\subsection{Le corps des nombres complexes est algébriquement
-clos}\label{d'Alembert-Gauss}
-\begin{enumerate}
-\item Il n'existe pas d'extension de degré impair de $\RR$ non triviale. \\
-C'est évident car tout polynôme de degré impair à coefficients réels à une racine
-réelle. On en déduit, par théorie de Galois que
-\item Toute extension finie $K/\RR$ est de degré une puissance de $2$.\\
-Le corps des nombres réels étant de caractéristique nulle, tout extension
-est séparable ; il suffit de démontrer cet énoncé dans le cas particulier
-où $K/\RR$ est une extension
-galoisienne de groupe $G$, ce que nous supposons donc.
-Soit $d=2^r m$ son degré, avec $r\geq 0$ et $m$ impair et $G_2$ un $2$-Sylow de $G$.
-L'extension $K/K^{G_2}$ est galoisienne de groupe $G_2\leq G$, avec $\# G_2=2^r$, si bien
-que $K^{G_2}/\RR$ est nécessairement de degré impair $m$. Finalement $m=1$ d'après le
-point précédent.
-\item Il n'existe pas d'extension de $K/\RR$ de degré $2^r$, $r>1$.\\
-On peut supposer l'extension galoisienne, de groupe noté $G$, car en vertu de ce qui précède,
-sa clôture galoisienne est également de degré une puissance de $2$.
-Soit $M\leq G$ un sous-groupe d'indice $2$ de $G$ (nécessairement distingué).
-(L'existence d'un tel sous-groupe est bien connue et laissée en exercice.)
-Ainsi, l'extension $K^M/\RR$ est galoisienne de groupe $\ZZ/2$, nécessairement
-obtenue par l'extraction d'une racine carrée\footnote{
-En effet, si $x\in K^M-\RR$, $[\RR(x):\RR]=2$ donc il existe
-des nombres réels $a,b$ tels que $x^2+ax+b=0$. Si $\Delta=a^2-4b$, il est évident
-que $\RR(x)=\RR(\sqrt{\Delta})=\RR(\sqrt{\mathrm{sgn}(\Delta)})$.}
-d'un nombre négatif donc isomorphe à $\CC/\RR$,
-auquel nous l'identifierons.
-Par hypothèse $r>1$ donc $\CC\subsetneq K$. L'extension $K/\CC$ étant de degré une puissance
-non triviale de $2$, on voit comme précédemment que $\CC$ possède alors une
-extension de degré $2$, obtenue par extraction d'une racine. Or, on vérifie
-facilement explicitement que tout nombre complexe à une racine carrée dans $\CC$.
-Contradiction.
-\end{enumerate}
-
-
-\subsection{Longueur maximale d'une chaîne de sous-extensions}\label{chaines}\ \\
-Soit $f\in \QQ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d$, et soit
-$X_f=\{\alpha_1,\dots,\alpha_d\}$ l'ensemble de ses racines dans une
-clôture algébrique $\sur{\QQ}$ de $\QQ$.
-Notons $G_f$ le groupe de Galois de $\QQ(\alpha_1,\dots,\alpha_d)/\QQ$.
-Ce groupe agit par permutation sur les racines, d'où un morphisme
-canonique $G_f\ra \got{S}_{X_f}$. \emph{Supposons que c'est un isomorphisme.}
-(Nous verrons plus tard que c'est \emph{en général} le cas ;
-cf. \ref{groupe galois générique} [À rédiger :
-Bourbaki, Algèbre, exercice chap. V, §12, №13].)
-
-\begin{itemize}
-\item Quel est le nombre de sous-corps distincts de $\QQ(X_f)$ ?\\
-Il résulte de la théorie de Galois que ce nombre coïncide avec
-le nombre de sous-groupes de $\got{S}_X$.
-Ses valeurs sont, pour $d=1,\dots,7$ égales à
-$$
-1,2,6,30,156,1455,11300,\dots
-$$
-Ainsi, si l'on prend par exemple un polynôme de degré $5$ de groupe de Galois $\got{S}_5$,
-le graphe des sous-corps de son corps de décomposition comporte $156$ sommets. Les arêtes
-de ce graphe correspondent par définition aux inclusions de corps.
-Les valeurs pour $d=\{8,9,10\}$ sont disponibles par exemple sur l'encyclopédie
-les suites entières\footnote{En ce début de \textsc{xxi}-ième siècle,
-on peut la trouver à l'adresse
-\texttt{http://www.research.att.com/~njas/sequences/indexfrench.html}.}
-(entrée \texttt{A005432}, anciennement \texttt{M1690}).
-
-\item Quelle est la longueur maximale d'une chaîne de sous-corps ? \\
-Il s'agit donc ici de trouver la longueur maximale d'une chaîne de sous-groupes
-de $\got{S}_n$. Les premières valeurs de cette suite sont :
-
-$$
-1,2,3,5,6,7,8,11,12,13,14,16,17.
-$$
-C'est la suite \texttt{A007238} (anciennement \texttt{M0945}) de \textit{loc. cit.}
-
-\item Quel est le nombre de sous-extensions de $\QQ(\alpha)$ pour
-$\alpha$ une racine quelconque de $f$ ?
-Comme le sous-corps $\QQ(\alpha)$ de $\QQ(X_f)$ correspond au fixateur
-de $\alpha$ dans $G_f=\got{S}_{X_f}$, il s'agit de compter les sous-groupes
-de $\got{S}_{X_f}$ qui contiennent $\mathrm{Stab}(\alpha)\iso \got{S}_{X_f-\alpha}$.
-Seulement deux possibilités se présentent : un tel groupe est soit le plus
-grand possible soit le plus petit possible. Ainsi, pour $\alpha$ comme plus haut
-(ce qui est \emph{généralement} le cas), $\QQ(\alpha)$ ne possède pas de sous-extension
-non triviale. (C'est bien entendu évident, sans hypothèse sur le groupe
-de Galois si $f$ est de degré premier.)
-\end{itemize}
-
-
-\section{Quelques exemples}
-
-\subsection{Équations de degré $2$}
-Une équation $K/k$ de degré $2$ est nécessairement monogène, même si elle n'est pas
-séparable. Elle est donc isomorphe à $k[X]/\big(X^2+a'X+b'\big)$ où $X^2+a'X+b'$ est
-un polynôme irréductible (et en particulier $b'\neq 0$).
-Si $\mathrm{car.}k\neq 2$, on obtient en écrivant $a'=2a$,
-$$K\isononcan k[X]/\big(X^2-c\big),$$ où $c\in k-k^2$. Dans le cas général, la substitution
-$\alpha\mapsto -\frac{a'}{b'}\alpha+1$ montre que
-$$K\isononcan k[X]/\big(X^2-aX+1\big)$$ pour un $a\in k$.
-
-\subsection{Équations de groupe $\ZZ/3\ZZ$}\label{groupe Z/3}
-On va voir que comme précédemment, ces équations sont, sans hypothèse
-sur la caractéristique du corps, donnée par une équation universelle à un paramètre.
-Comment trouver cette équation ?
-(La réponse à cette question, donnée par la théorie de \emph{Kummer} (exposée plus bas,
-\ref{Kummer}),
-est plus simple mais fait des hypothèses essentielles sur le corps de base.)
-Voici comment construire cette équation universelle.
-Il est bien connu que le groupe cyclique $\ZZ/3$ se plonge dans $\mathrm{PGL}_2(\QQ)\iso
-\Aut_{\QQ}(\QQ(t))$ (qui coïncident également avec le groupe des aux automorphismes
-de la droite projective $\PP^1_{\QQ}$) :
-$$
-1\in \ZZ/3 \leadsto \sigma:=\Big( t \mapsto \frac{1}{1-t} \Big).
-$$
-On veut décrire l'extension $\QQ(t)/\QQ(t)^{\ZZ/3}$, galoisienne de groupe $\ZZ/3$.
-Soit $a:=t+\sigma(t)+\sigma^2(t)\in \QQ(t)^{\ZZ/3}$. On calcule :
-$$
-a=\frac{t^3-3t+1}{t^2-t}
-$$
-donc $\QQ(a)=\QQ(t)^{\ZZ/3}$ (l'inclusion du terme de gauche étant évident \emph{a priori}).
-On vérifie par le calcul que $t\sigma(t)\sigma^2(t)=-1$ et
-$t\sigma(t)+t\sigma^2(t)+\sigma(t)\sigma^2(t)=a-3$ donc
-$$
-\mathrm{Irr}_{\QQ(a)}(t)=X^3-ax^2+(a-3)X+1.
-$$
-
-Remarquons que si $\mathrm{car.}k=3$, cette équation
-devient $Y^3-Y=-\frac{1}{a}$ via le changement de variable $Y=\frac{1}{1+X}$.
-C'est une équation d'\emph{Artin-Schreier} (cf. \ref{Artin-Schreier}).
-
-\begin{prp2} Soient $k$ un corps et $K/k$ une extension galoisienne de groupe $\ZZ/3$.
-Alors, il existe $a_K\in k$ tel que $$K\isononcan k[X]/\big(X^3-a_Kx^2+(a_K-3)X+1\big).$$
-\end{prp2}
-
-
-\begin{proof}
-Soient $K/k$ comme dans l'énoncé et $\sigma\in \ga(K/k)$ un générateur.
-Choisissons $x_1\in K-k$ ; posons $x_2=\sigma(x_1)$ et $x_3=\sigma(x_2)=\sigma^2(x_1)$.
-On cherche $y$, fonction rationnelle en les $x_i$ ($1\leq i \leq 3$) telle
-que $\sigma(y)=\frac{1}{1-y}$. On vérifie immédiatement que
-$y:=\frac{x_1-x_3}{x_1-x_2}$ répond à la question (bien entendu $x_1\neq x_2$).
-Il résulte des calculs effectués plus haut que $y$ est racine d'une équation
-du type attendu. Il nous faut cependant vérifier que $y\notin k$.
-Si c'est le cas alors $y(1-y)=1$, équation qui n'a au plus que deux solutions.
-Soit $1,\alpha,\beta$ une base de $K$ sur $k$ ; les quantités
-$y(\alpha),y(\beta),y(\alpha+\beta)$ ne peuvent prendre deux fois la même valeur.
-En effet, si par exemple
-$$
-\frac{\alpha-\sigma^2(\alpha)}{\alpha-\sigma(\alpha)}=\mu\in k=
-\frac{\beta-\sigma^2(\beta)}{\beta-\sigma(\beta)}
-$$
-on en déduit immédiatement que les fonctions $\mathrm{Id},\sigma$ et $\sigma^2$
-sont linéairement dépendantes sur $k$. Ce n'est pas le cas (exercice ou
-\ref{indépendance linéraire caractères} ci-dessous).
-Cette démonstration a été communiquée à l'auteur par Hugues Randriambololona.
-\end{proof}
-
-\begin{prp2}\label{indépendance linéraire caractères}\label{indep lineaire}
-Soit $K/k$ une extension finie de groupe de Galois $G$.
-Alors, les $g\in G$, vus comme éléments du $K$-espace vectoriel
-$\End_k(K)$ sont $K$-linéairement indépendants.
-\end{prp2}
-
-\begin{proof}
-Il suffit de démontrer ce résultat après extension des scalaires
-de $k$ à $K$. Pour chaque $g'\in G$, l'élément $g'\otimes_k K$ de $\End_K(K\otimes_k K)\iso
-\End_K(\Hom_{\Ens}(G,K))$
-correspond, en vertu de \ref{auto décomposition}, aux translations
-$$T_{g'} :(x_g)_{g\in G}\mapsto (x_{gg'})_{g\in G}.$$
-Celles-ci sont visiblement linéairement indépendantes : si $\sum \lambda_g T_g=0$,
-alors $\sum \lambda_g T_g(e_1)=(\lambda_g)_{g\in G}=0$,
-où $e_1$ est le Dirac en l'unité.
-\end{proof}
-
-Plus généralement, si $H$ est un groupe et $K$ un corps,
-les morphismes de groupes $H\ra K^{\times}$ sont $K$-linéairement indépendants
-(exercice ou \ref{} [À rédiger]) : c'est l'« indépendance linéaire des caractères ».
-On retrouve la proposition précédente en prenant $H=K^{\times}$.
-
-\subsection{Digression : discriminant}\label{discriminant}
-
-Soient $n\in \NN$ et
-$\displaystyle \delta:=\prod_{1\leq i<j\leq n} \big(x_i-x_j\big)\in \ZZ[x_1,\dots,x_n]$.
-On fait agir $\got{S}_n$ sur $\ZZ[x_1,\dots,x_n]$ par permutation des variables (cf.
-\ref{fonctions symétriques}).
-Pour chaque $\sigma\in \got{S}_n$, $\sigma\delta=\varepsilon(\sigma)\delta$, où
-$\varepsilon(\sigma)\in \{\pm 1\}$. Ainsi, $\sigma\delta^2=\delta^2=:\Delta$, pour
-tout $\sigma\in \got{S}_n$. Il en résulte que $\Delta$ est un polynôme
-en les fonctions symétriques élémentaires $\sigma_1=\sum_1^n x_i,\dots,\sigma_n=\prod_1^n x_i$ ;
-il est homogène de degré $n(n-1)$ en les variables.
-
-Pour $n=2$, $\Delta=(x_1-x_2)^2=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$
-donc $$\Delta=\sigma_1^2-4\sigma_2;$$ c'est le discriminant de l'équation
-$T^2-\sigma_1T+\sigma_2$. \\
-
-Pour $n=3$, on vérifie que
-$$\Delta=
--27{\sigma_3}^{2}+18\sigma_1\sigma_2\sigma_3+
-{\sigma_1}^{2}{\sigma_2}^{2}-4{\sigma_1}^{3}\sigma_3-4{\sigma_2}^{3},
-$$
-qui se réduit à $-27{\sigma_3}^{2}-4{\sigma_2}^{3}$ si $\sigma_1=0$.\\
-
-
-
-Enfin, pour $n=4$, si l'on en croit l'ordinateur,
-
-$$\begin{array}{l}
-\Delta=-192{\sigma_3}{\sigma_1}{{\sigma_4}}^{2}+
-144{\sigma_2}{{\sigma_1}}^{2}{{\sigma_4}}^{2}
--4{{\sigma_2}}^{3}{{\sigma_1}}^{2}{\sigma_4}
--6{{\sigma_3}}^{2}{{\sigma_1}}^{2}{\sigma_4}
--80{\sigma_3}{\sigma_1}{{\sigma_2}}^{2}{\sigma_4}
-+18{{\sigma_3}}^{3}{\sigma_1}{\sigma_2}
--27{{\sigma_1}}^{4}{{\sigma_4}}^{2}
-+18{\sigma_3}{{\sigma_1}}^{3}{\sigma_2}{\sigma_4}\\
-+{{\sigma_2}}^{2}{{\sigma_3}}^{2}{{\sigma_1}}^{2}
--4{{\sigma_3}}^{3}{{\sigma_1}}^{3}
-+16{{\sigma_2}}^{4}{\sigma_4}
--4{{\sigma_2}}^{3}{{\sigma_3}}^{2}
--128{{\sigma_2}}^{2}{{\sigma_4}}^{2}
-+144{\sigma_4}{{\sigma_3}}^{2}{\sigma_2}
--27{{\sigma_3}}^{4}
-+256{{\sigma_4}}^{3}.
-\end{array}
-$$
-
-Pour $X^4+pX^2+qX+r$, on trouve $16p^4r-4p^3q^2-128p^2r^2+144pq^2r - 27q^4+256r^3$.
-
-Soient $k$ un corps et $f\in k[X]$ un polynôme de degré $n$. Soient $x_1,\dots,x_n$
-les racines de $f$ dans une clôture algébrique de $k$. Alors, il résulte
-immédiatement de la définition que les racines de $f$ sont simples si et
-seulement si
-$\Delta(x_1,\dots,x_n)\neq 0$ ; cette dernière quantité s'exprime à l'aide des formules
-ci-dessus en remplaçant les $\sigma_i$ ($1\leq i \leq n$) par
-les coefficients $(a_i)_{1\leq i \leq n}$ dans $f=X^n-a_1X^{n-1}+\cdots+(-1)^n a_n$.
-
-\begin{prp2}
-Soient $k$ un corps de caractéristique différente de $2$ et $f\in k[X]$ un
-polynôme séparable irréductible de degré $d$. On suppose choisie un corps
-de décomposition $K$ de $f$. Alors, le sous-groupe
-$G_f$ de $\got{S}_{X_f}$ est contenu dans le groupe alterné $\got{A}_{X_f}$
-si et seulement si $\Delta_f$ est un carré dans $k$.
-\end{prp2}
-
-\begin{proof}
-Compte tenu de l'égalité $\sigma \delta = \varepsilon(\sigma)\delta$,
-$\delta\in K$ est fixe sous l'action de $G_f$ si et seulement si $\varepsilon(\sigma)=1$
-pour tout $\sigma\in G_f$ (rappelons que par hypothèse, $1\neq -1$ dans $K$).
-Donc $\delta\in k$ si et seulement si $G_f\subset \got{A}_{X_f}$. La conclusion
-résulte de ce que par définition $\delta^2=\Delta$.
-\end{proof}
-
-Par exemple, le discriminant de l'équation universelle de groupe $\ZZ/3\isononcan
-\got{A}_3$ (\ref{groupe Z/3}) est $(a^2-3a+9)^2$.
-
-En caractéristique $2$, le même argument montre que $\Delta$ est toujours un carré.
-
-
-\subsection{Équations de degré $3$ et $4$}
-
-\begin{dfn}
-Soit $f$ un polynôme séparable (non nécessairement irréductible) à coefficient
-dans un corps $k$. Notons $G_f$ le groupe de Galois d'un corps de décomposition de $f$ sur $k$
-et $X_f$ l'ensemble des racines de $f$ dans ce sur-corps.
-\end{dfn}
-
-Remarquons que l'extension considérée est bien galoisienne.
-
-Avec ces notations, on a :
-
-\begin{prp}\label{transitif}
-Si $f$ est irréductible, de degré $d$, alors $d$ divise le cardinal
-du groupe $G_f$.
-\end{prp}
-
-\begin{proof}
-Comme $f$ est irréductible, $G_f\hra \got{S}_{X_f}$ agit transitivement (cf.
-\ref{transitivité normale}). La conclusion en résulte.
-\end{proof}
-
-Cela explique le rôle crucial tenu par les sous-groupes transitifs des groupes
-des permutations. Nous verrons un exemple non trivial, utile à des fins calculatoires
-plus bas (\ref{degré 5}).
-
-\begin{exms}
-\begin{itemize}
-\item Soit $P=X^3-3X+1\in \QQ[X]$. Ce polynôme est irréductible : il n'a pas de racine
-rationnelle. Son discriminant vaut $81=9^2$ donc si $\alpha$
-est une racine de $P$ dans $\CC$, $\QQ(\alpha)/\QQ$ est galoisienne,
-de groupe $\ZZ/3$. (Remarquons que cette équation s'obtient en substituant
-$0$ à $a$ dans l'équation universelle ci-dessus.
-\item Soit $\FF_2$ le corps fini à deux éléments. Toute extension finie
-de ce corps est séparable (un corps fini est parfait) et normale donc galoisienne.
-Par exemple, si $P=X^3+X+1\in \FF_2[X]$, $K=\FF_2[X]/P$ est un corps,
-galoisien sur $\FF_2$.
-
-\item Soient $k$ un corps de caractéristique deux et $P=X^3+aX+b$ un polynôme irréductible
-séparable sur $k$. Montrons que $G_P=\got{A}_3$ ssi l'équation
-$$y^2+by+(a^3+b^2)$$ a une racine dans $k$. \\
-
-Soient $x_1,x_2,x_3$ les racines de $P$ dans une clôture algébrique de $k$
-et introduisons
-$$\alpha:=x_1 x_2^2+x_2 x_3^2+x_3 x_1^2$$
-(resp. $\beta=(12)\alpha=x_2 x_1^2 + x_1 x_3^2 + x_3 x_2^2$)
-le $\got{A}_3$-symétrisé de l'expression $x_1 x_2^2$. Remarquons que le polynôme
-définissant $\alpha$ n'est \emph{pas} $\got{S}_3$ invariant.
-
-Après quelques calculs (simplifiés par l'hypothèse sur la caractéristique de $k$)
-on trouve que
-
-$$(Y-\alpha)(Y-\beta)=Y^2-x_1x_2(x_1+x_2)Y + (...) = Y^2-bY+(a^3+b^2).$$
-
-Il est immédiat que si $G_P\subset \got{A}_3$, $\alpha\in k$ : l'expression
-le définissant est $\got{A}_3$-invariante. Réciproquement, cette équation
-en $Y$ a pour discriminant $b^2$, nécessairement non nul (car $P$ est irréductible
-donc $b\neq 0$) ; il s'en suit que $\alpha\neq \beta$. Si $G_P\subsetneq \got{A}_3$,
-il existe $g\leftrightarrow (12)$ dans le groupe de Galois tel que $g(\alpha)=\beta$. Cela entraîne
-que $g\alpha\neq \alpha$ et $\alpha\notin k$. CQFD.
-\end{itemize}
-\end{exms}
-
-%SECTION FACULTATIVE PAGE 10 ZAPPÉE
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-
-\section{Équations de degré $4$}\label{degré 4}
-
-Nous discuterons plus loin les méthodes de calculs de racines. Notre propos
-est ici de comprendre pour quelles valeurs de paramètres
-$\mathbf{T}=(T_1,\dots,T_4)$ une équation $f=X^4-T_1X^3+T_2X^2-T_3X+T_4\in k[X]$,
-pour un corps $k$ de caractéristique différente de deux, a pour groupe de galois
-$\got{S}_4$.
-
-Pour des valeurs des paramètres telles que l'équation soit séparable,
-le groupe de Galois est bien défini et est égal à $\got{S}_4$ ssi
-(tautologiquement) il n'est contenu dans aucun sous-groupe maximal strict de
-$\got{S}_4$. La proposition suivant en donne la courte liste.
-
-En plus grand degré $n>4$, il est d'ordinaire utile de remarquer que si
-l'équation est séparable et irréductible, son groupe de Galois agit transitivement
-sur les racines ; on peut donc se contenter de rechercher les sous-groupes
-maximaux \emph{transitifs}\footnote{
-À conjugaison près, le nombre de sous-groupes
-transitifs de $\got{S}_n$ est, pour $n\in [1,20]$ (d'après
-l'ordinateur pour $n\geq 16$)
-\begin{center}
-\begin{tabular}{|*{21}{c|}}
-\hline
-$n$&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20 \\
-\hline
-nb. sous-groupes transitifs & 1&1&2&5&5&16&7&50&34&45&8&301&9&63&104&1954&10&983
-&8&1117\\
-\hline
-\end{tabular}
-\end{center}}
-%$$
-%\begin{array}{*{31}{l}}
-%1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26&27&28&29&30&31 \\
-%1&1&2&5&5&16&7&50&34&45&8&301&9&63&104&1954&10&983
-%&8&1117&164&59&7&25000&211&96&2392&1854&8&5712&12
-%\end{array}
-%$$}}.
-
-\begin{prp}
-Les sous-groupes maximaux de $\got{S}_4$ sont $\got{A}_4$, $\got{S}_3\isononcan
-\mathrm{Stab}_x$ ($1\leq x \leq 4$) et les $2$-Sylow de $\got{S}_4$,
-isomorphes au groupe diédral $D_4$.
-\end{prp}
-
-\begin{proof}
-Soit $G$ un sous-groupe maximal de $\got{S}_4$, d'ordre $d\in \{12,8,6,4,3,2,1\}$.
-Traitons les cas un par un.\\
-$d=12$. Il s'agit d'un sous-groupe d'indice $2$ donc distingué ; c'est nécessairement
-$\got{A}_4$, qui est maximal.\\
-$d=8$. C'est un $2$-Sylow ; ils sont tous conjugués et l'on remarque que pour chaque
-numérotation des côtés d'un carré, le groupe $D_4$ des isométries du carré
-est un sous-groupe de $\got{S}_4$, d'ordre $8$. Il est maximal car non
-contenu dans $\got{A}_4$.\\
-$d=6$. Comme $4$ ne divise pas $d$, $G$ n'agit pas transitivement. Comme
-$G\subsetneq \mathrm{Fix}_{x_1,x_2}\times \mathrm{Fix}_{x_3,x_4}\subset \got{S}_4$
-pour $\{x_1,x_2,x_3,x_4\}=[1,4]$ (sans quoi son cardinal diviserait $4$),
-il est contenu dans, et même égal à, un fixateur $\mathrm{Fix}_x$ pour un $x\in [1,4]$.\\
-Un sous-groupe d'ordre $2$ ou $4$ est contenu dans un $2$-Sylow donc non maximal
-et un sous-groupe d'ordre $3$, nécessairement engendré par un $3$-cycle
-est contenu dans $\got{A}_4$ donc non maximal également.
-\end{proof}
-
-Pour simplifier les notations du théorème suivant, on identifiera $\got{S}_{X_f}$ à $\got{S}_4$
-(par le choix d'une numérotation des racines) et l'on écrira $G_f\subset \got{S}_3$
-(resp. $G_f\subset D_4$) pour signifier que $G_f$ est contenu
-dans un sous-groupe de $\got{S}_4$ isomorphe au terme de droite.
-
-\begin{thm}\label{S_4?} Soient $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$ et
-$f=X^4-t_1X^3+t_2X^2-t_3X+t_4\in k[X]$
-un polynôme séparable (non nécessairement irréductible) de degré $4$.
-\begin{itemize}
-
-\item $G_f\subset \got{A}_4$ ssi $\Delta$ est un carré.
-\item $G_f\subset \got{S}_3$ ssi $f$ a une racine dans $k$.
-\item $G_f \subset D_4$ ssi l'un des éléments $x_1x_3+x_2 x_4$, $x_1 x_2 + x_3 x_4$ ou
-$x_1 x_4 + x_2 x_3$ appartient à $k$. \\
-De façon équivalente, $G_f\subset D_4$ ssi le polynôme de $k[X]$
-{\small
-$$
-\big(X-(x_1x_3+x_2 x_4)\big)\big(X-(x_1 x_2 + x_3 x_4)\big))\big(X-(x_1 x_4 + x_2 x_3)\big)
-=X^3-t_2X^2+(t_1t_3-4t_4)X+(4t_2t_4-t_1^2t_4-t_3^2)$$}
-a une racine dans $k$.\\
-De plus le discriminant de cette cubique est égal au discriminant de $f$, non nul.
-\end{itemize}
-\end{thm}
-
-La cubique précédente est appelée une \emph{résolvante}.
-
-
-\begin{proof}
-Le premier point n'est mis que pour mémoire. Le second est évident.
-Passons au troisième point.
-L'expansion de la cubique est un simple calcul ; l'égalité
-des discriminants résulte de ce que
-$$
-(x_1 x_2 + x_3 x_4)-(x_1x_3+x_2 x_4)=(x_1-x_4)(x_2-x_3).
-$$
-%La nécessité de la condition est évidente : le polynôme $X_1X_3+X_2X_4$
-%est invariant par $D_4\isononcan\langle (1234),(12)(34)\rangle\subset \got{S}_4$.
-Les expressions $\{ X_1X_3+X_2 X_4, X_1 X_2 + X_3 X_4,X_1 X_4 + X_2 X_3\}$
-forment une orbite sous l'action de $\got{S}_4$ sur $\ZZ[X_1,\dots,X_4]$,
-les stabilisateurs des éléments étant précisément les groupes diédraux.
-Plus précisément, par exemple pour des raisons de degrés,
-$\QQ(X_1,\dots,X_4)^{D_4}=\QQ(X_1X_3+X_2X_4)$. Il en résulte que si $G_f$ n'est
-pas contenu dans un $D_4$, il agit sans point fixe sur les racines
-de la cubique.
-\end{proof}
-
-Voyons une application immédiate :
-
-\subsection{Exemple : détermination du groupe de
-Galois de $X^4-X+1\in \QQ[X]$}
-
-Il résulte des formules \ref{discriminant} que le discriminant de cette équation
-est $256-27=229\neq 0$. Le polynôme est donc séparable (on ne sait
-pas encore s'il est irréductible). Comme $229$ n'est pas un carré (c'est même un nombre
-premier), le groupe de Galois $G$ de l'équation n'est pas contenu dans $\got{A}_4$.
-Cette équation n'ayant pas de racine dans $\QQ$ (si c'était le cas, elle serait
-entière mais $n(x^3-1)\neq -1$ pour tout entier $n\in \ZZ$), $G$ n'est pas contenu
-dans un groupe $\got{S}_3$, stabilisateur d'une racine. Enfin, la cubique
-du théorème se spécialise ici en $X^3-4X-1$ qui n'a pas non plus de racine.
-Ainsi, d'après les deux résultats précédents, $X^4-X+1$ est irréductible
-sur $\QQ$, de groupe de Galois $\got{S}_4$.
-
-
-Nous encourageons le lecteur à choisir un polynôme
-« au hasard » et à faire de même avec son polynôme.
-
-
-
-\subsection{Exercice (N. Bourbaki)}
-Montrez qu'il existe une infinité de $a\in \ZZ$ tel que si $\alpha$
-est une racine de $f_a:=X^4-aX-1$, l'extension $\QQ(\alpha)/\QQ$ ne possède pas
-de sous-extension non triviale. Comme remarqué en fin de \ref{chaines},
-il suffit de trouver de tels $a\in \ZZ$ tels que $G_{f_a}\isononcan\got{S}_4$.
-%Indication : calculez la cubique résolvante.
-
-\section{Équations de degré $5$}\label{degré 5}
-
-On se propose de démontrer un analogue du théorème \ref{S_4?} pour de telles
-équations. On procède de façon semblable.
-
-\begin{prp}
-Les sous-groupes maximaux de $\got{S}_5$ sont $\got{A}_5$,
-les stabilisateurs d'un point $\mathrm{Fix}_{x}\isononcan \got{S}_4$
-les produits de fixateurs $\mathrm{Fix}_{x_1,x_2,x_3}\times \mathrm{Fix}_{x_4,x_5}
-\isononcan \got{S}_2\times \got{S}_3$ et les normalisateurs
-d'un $5$-Sylow (d'indice $6$) de $\got{S}_5$. Ces derniers groupes sont
-isomorphes au groupe des automorphismes de la droite affine sur $\FF_5$,
-$\{x\mapsto ax+b\ (a,b)\in \FF_5^{\times}\times \FF_5\ :
-\FF_5\ra \FF_5 \}\isononcan \FF_5 \rtimes \FF_5^{\times}$. Ils sont
-d'indice $6$ dans $\got{S}_5$.
-\end{prp}
-
-\begin{proof}
-Soit $G$ un sous-groupe non trivial de $\got{S}_5$. Si l'action de $G$ n'est pas transitive,
-soit il existe une orbite de cardinal $1$ et $G$ est contenu dans un $\got{S}_4$
-soit il existe une orbite de cardinal $2$ et $G$ est contenu dans un $\got{S}_2\times\got{S}_3$.
-Ces deux groupes sont maximaux.
-
-Supposons donc l'action de $G$ transitive ; le cardinal du groupe est donc
-divisible par $5$. Soit $n_5$ le nombre de $5$-Sylow (nécessairement
-cycliques d'ordre $5$) de $G$.
-
-\begin{itemize}
-\item Cas $n_5=1$. Comme $G$ normalise un $5$-Sylow de $\got{S}_5$, il contient
-un normalisateur, noté $\mathrm{H}_{20}$.
-Il reste à montrer qu'un tel groupe est maximal et isomorphe
-au groupe affine sur $\FF_5$. Commençons par le premier point. Soit $\mathrm{H}_{20}\subsetneq
-K \subsetneq \got{S}_5$ un sous-groupe. Comme $\mathrm{H}_{20}$ est d'indice $6$\footnote{
-Le nombre d'éléments d'ordre $5$ dans $\got{S}_5$ est $4!$ donc le nombre de $5$-Sylow
-est $4!/4=6$.}, $K$ est d'indice $2$ ou $3$. S'il est d'indice $2$ c'est $\got{A}_5$
-mais $\mathrm{H}_{20}$ n'est pas contenu dans $\got{A}_5$ : $(1243)\notin \got{A}_5$
-et stabilise le $5$-Sylow $\langle (12345) \rangle$. Ainsi, $K$ est d'indice $3$.
-Cela entraîne l'existence d'une action transitive $\got{S}_5\ra \got{S}_3$,
-ce qui est impossible. En effet, l'identité
-$(123)=(32145)(13254)$ montre que $\got{A}_5$,
-engendré par les $3$-cycles, l'est également par les $5$-cycles. Le morphisme
-précédent se factoriserait alors par $\got{S}_5/\got{A}_5\iso \ZZ/2$,
-car l'image d'un $5$-cycle dans $\got{S}_3$ est nécessairement triviale, ce qui est absurde.
-
-Ainsi, les groupes $\mathrm{H}_{20}$ sont maximaux. Identifiant $\got{S}_5$
-à l'ensemble des permutations de $\FF_5$, on peut envoyer $\{x\mapsto ax+b : \FF_5\ra \FF_5\}$
-dans $\got{S}_5$. On vérifie immédiatement qu'il normalise le $5$-Sylow
-$\langle (12345) \rangle$.
-
-\item Cas $n_5=6$. Sous cette hypothèse, $G$ contient tous les $5$-cycles
-de $\got{S}_5$. On a vu plus haut que ceux-ci engendrent $\got{A}_5$.
-Ainsi, $G$ contient $\got{A}_5$, qui est bien maximal dans $\got{S}_5$.
-\end{itemize}
-\end{proof}
-
-Un $5$-Sylow de $\got{S}_{\FF_5}$ étant donné, par exemple
-$\langle (01234) \rangle$, notons $\mathrm{H}_{20}$ son normalisateur.
-Il s'agit de l'ensemble des permutations $g\in \got{S}_{\FF_5}$
-tels que $g(01234)g^{-1}=(01234)^{i}$, $i\in \{1,2,3,4\}$. Géométriquement,
-c'est l'ensemble des éléments de $\FF_5$ qui envoient le premier pentagone
-ci-dessous sur un des quatre pentagones ci-dessous, éventuellement
-tourné.
-\begin{center}
-\input{pentagones.pstex_t}
-\end{center}
-Le fait que $H_{20}$ soit isomorphe au groupe affine de la droite affine
-sur $\FF_5$ est alors apparent.
-
-Soit
-$$u=(x_0x_1+x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_0)-
-(x_0x_2+x_2x_4+x_4x_1+x_1x_3+x_3x_0),$$
-obtenu en sommant les produits correspondants aux arêtes du premier pentagone (traits
-pleins) et en soustrayant les produits correspondants aux diagonales (traits
-en pointillés).
-Au signe près, on obtiendrait le même élément en considérant le deuxième pentagone.
-Il en résulte que
-cet élément de $\ZZ[x_1,\dots,x_5]$ est antisymétrique sous $\HH_{20}$, au sens
-où $\sigma(u)=\varepsilon(\sigma)u$ pour tout $\sigma\in \HH_{20}$.
-En effet, les translations de $\HH_{20}$ (vu comme groupe affine) agissent trivialement
-et le générateur $2\in \FF_5^{\times}$ (correspondant à
-$(1243)$ dans $\got{S}_{\FF_5}$) induit un changement de signe.
-Ainsi
-$$\alpha_1:=\frac{u}{\delta}$$
-($\delta=\prod_{i<j} (x_i-x_j)$) est invariant sous l'action de $\HH_{20}$
-et c'est même son stabilisateur.
-
-On est donc naturellement amené à considérer le polynôme
-$$
-(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)\cdots(X-\alpha_6)\in \ZZ[x_1,\dots,x_5][\delta^{-1}][X]
-$$
-où les $\alpha_i$ ($1\leq i \leq 6$) forment l'orbite de $\alpha_1$ sous
-$\got{S}_{\FF_5}$. Le groupe $\got{A}_{\FF_5}$ agit également transitivement sur ses racines,
-par exemple parce que $\langle\got{A}_{\FF_5},H_{20}\rangle=\got{S}_{\FF_5}$.
-Ce polynôme joue un rôle analogue à celui joué par la résolvante cubique (\ref{S_4?}).
-
-\begin{thm}\label{S_5?} Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$,
-$f$ un polynôme unitaire irréductible séparable de $k[X]$.
-Alors $G_f$ n'est ni contenu ni dans
-un $\got{S}_4$ ni dans un $\got{S}_2\times \got{S}_3$,
-et le groupe $G_f$ est contenu dans un $\mathrm{H}_{20}$ ssi
-le polynôme précédent a une racine dans $k$.
-\end{thm}
-
-\begin{proof}
-Le premier point est évident, de même que le fait que
-si $G\subset \HH_{20}$ (\cad \emph{un} tel groupe), alors la résolvante a
-une racine (correspondant à $\alpha_1$ avec les notations ci-dessus).
-Voyons la réciproque. Supposons l'une des racines $\alpha_1$ de la sextique dans $k$ et
-$G_f$ contenu dans aucun $\HH_{20}$. Puisque $G_f$ agit transitivement
-sur $X_f$, $5|\#G_f$. Si $n_5=1$, d'après la démonstration de la proposition
-précédente, $G$ contient un $\HH_{20}$ (maximal) et est donc, puisqu'il ne lui
-est pas égal, le groupe $\got{S}_5$ tout entier.
-Si par contre $n_5=6$, $G$ contient $\got{A}_5$. Dans ces deux cas,
-$\got{A}_5$ est contenu dans $G_f$. Comme le groupe $\got{A}_5$
-permute transitivement les racines $\alpha$, et qu'il est contenu
-dans le groupe de Galois, les racines $\alpha$ sont tous égales (car $\alpha_1\in k$).
-Nous allons voir que c'est impossible.
-Comme $$\alpha_1=\delta^{-1}\big((x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_5+x_5x_1)-
-(x_1x_3+x_3x_5+x_5x_2+x_2x_4+x_4x_1)\big),$$ on a :
-$$
-(12)\alpha_1=:\alpha_2=\delta^{-1}\big( (x_2x_3+x_3x_5+x_5x_1+x_1x_4+x_4x_2)-
-(x_2x_1+x_1x_3+x_3x_4+x_4x_5+x_5x_2)\big).
-$$
-
-
-L'égalité présumée $\alpha_1=\alpha_2$ se réécrit :
-
-$$
-x_1x_2+x_3x_4+x_4x_5=x_1x_4+x_2x_4+x_3x_5,
-$$
-
-et de même, en appliquant la transposition $(23)$ :
-
-$$
-x_1x_3+x_2x_4+x_4x_5=x_2x_5+x_4x_1+x_4x_3.
-$$
-
-En soustrayant ces deux égalités on obtient,
-après avoir factorisé par le facteur évident $x_2-x_3$ (qui annule l'opération
-$\mathrm{Id}-(23)$),
-
-$$
-(2x_4-x_1-x_5)(x_2-x_3)=0.
-$$
-
-Comme $f$ est supposé séparable, $2x_4=x_1+x_5$ ; par permutation
-on a également $2x_3=x_1+x_5$ et finalement, comme la caractéristique
-de $k$ est différente de $2$, $x_3=x_4$ : absurde !
-
-\end{proof}
-
-Nous allons maintenant étudier les extensions cycliques d'ordre premier à la
-caractéristique du corps.
-
diff --git a/3-chap-Galois.tex b/3-chap-Galois.tex
deleted file mode 100644
index ded85cc..0000000
--- a/3-chap-Galois.tex
+++ /dev/null
@@ -1,1764 +0,0 @@
-\chapter{Résolubilité par radicaux. Extensions cyclotomiques}
-
-\section{Traces et normes}\label{Traces et normes}
-
-\begin{dfn}
-Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre \emph{finie} et \emph{libre}.
-On définit la \emph{trace}, comme étant la forme $A$-linéaire
-$$
-\begin{array}{l}
-\mathrm{Tr}_{B/A}:B\ra A\\
-b\mapsto \mathrm{Trace}\big(x\mapsto bx\big)\in A
-\end{array}
-$$
-\end{dfn}
-
-Rappelons que la
-trace d'une application linéaire $u:M\ra M$, où
-$M$ est un $A$-module libre de type fini, est définie
-par $u\in \Hom_A(M,M)\giso M\otimes_A M^{\vee} \sr{\mathrm{ev}}{\ra} A$,
-où $M^{\vee}:=\Hom_A(M,A)$.
-L'isomorphisme $M\otimes_A M^{\vee}\iso \Hom_A(M,M)$ est caractérisé par
-$m\otimes \varphi\mapsto \big(m'\mapsto \varphi(m')m\big)$ et
-$\mathrm{ev}:M\otimes M^{\vee}\ra A$ n'est autre que l'évaluation $m\otimes\varphi\mapsto
-\varphi(m)$.
-
-Remarquons que si $a\in A$, $\mathrm{Tr}_{B/A}(a)=\dim_A B\cdot a$.
-
-Pour $C/B$ libre de type fini et $B/A$ libre de type fini, on a la formule de transitivité :
-$$
-\mathrm{Tr}_{B/A}\circ \mathrm{Tr}_{C/B}=\TR_{C/A}.
-$$
-De plus, pour $B/A$ libre de type fini, et $A'/A$ quelconque,
-on a
-$$
-\TR_{B/A}\otimes_A A'=\TR_{B\otimes_A A'/A'}: B\otimes_A A'\ra A'.
-$$
-
-\begin{prp}
-Soient $L/K$ une extension finie séparable, $\alpha\in L$ et $L\sep$
-une clôture séparable de $L$.
-Alors,
-$$\mathrm{Tr}_{L/K}(\alpha)=\sum_{\iota\in \Hom_K(L,L\sep)}\iota(a).$$
-En particulier, si $L/K$ est finie galoisienne,
-$$\mathrm{Tr}_{L/K}(\alpha)=\sum_{g\in \ga(L/K)} g(a).$$
-\end{prp}
-
-En d'autres termes, la trace d'un élément de $L$ est la somme de ses conjugués
-(avec multiplicités) dans une clôture séparable.
-
-\begin{proof}
-Calculons tout d'abord $\TR_{K(x)/K}(x)$. Le polynôme minimal de l'application $K$-linéaire
-multiplication par $x$ : $K(x)\ra K(x)$ est $\mathrm{Irr}_{K}(x)$. Il en résulte
-que $\TR_{K(x)/K}(x)$ est la somme des racines de ce polynôme, \cad
-$\sum_{\iota:K(x)\hra L\sep} \iota(x)$. La formule générale résulte des égalités :
-$$\begin{array}{ll}
-\TR_{L/K}(x)& =\TR_{K(x)/K}\big(\TR_{L/K(x)}(x)\big)\\
-&=\TR_{K(x)/K}([L:K(x)]x)=[L:K(x)]\sum_{\iota:K(x)\hra L\sep} \iota(x)\\
-& =\sum_{\iota:L\hra L\sep} \iota(x).
-\end{array}
-$$
-\end{proof}
-
-De même :
-
-\begin{dfn}
-Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre \emph{finie} et \emph{libre}.
-On définit la \emph{norme}, comme étant l'application
-multiplicative $B\ra A$ :
-$$
-\begin{array}{l}
-\mathrm{N}_{B/A}:B\ra A\\
-b\mapsto \mathrm{d\acute{e}t}\big(x\mapsto bx\big)\in A
-\end{array}
-$$
-\end{dfn}
-
-Si $a\in A$, $\mathrm{N}_{B/A}(a)=a^{\dim_A B}$. Les formules de transitivité
-et changement de base analogues à celles ci-dessus sont également valables.
-De même pour l'analogue de la proposition
-précédente : la norme est (pour une extension séparable finie) le produit est conjugués.
-
-\section{Théorie de Kummer}\label{Kummer}
-
-Soit $k$ un corps, $n$ un entier inversible sur $k$, et $K/k$ une extension galoisienne
-de groupe de Galois $\ZZ/n$. \emph{Supposons
-$\mu_n(\sur{k})=\{x\in \sur{k}, x^n=1\}\subset k$.}
-
-\begin{thm}
-Il existe $a\in k^\times/k^{\times n}$ tel que $K=k(\sqrt[n]{a})$. De plus
-$\langle a \rangle$ est bien défini dans $k^\times/k^{\times n}$.
-\end{thm}
-
-\begin{proof}
-Soit $c$ un générateur de $G=\ga(K/k)$. Si $K=k(\alpha)$ avec $\alpha^n\in k$,
-nécessairement $c\alpha=\zeta \alpha$ où $\zeta$ est une racine primitive
-$n$-ième de l'unité \cad $\frac{c\alpha}{\alpha}=\zeta$. Et réciproquement.
-Comme la norme de $\zeta$, $\mathrm{N}_{K/k}(\zeta)=\zeta^n=1$ (rappelons
-que $\zeta\in k$), le théorème (du moins l'existence de $a$) résulte
-de la proposition qui suit. Discutons l'ambiguïté de $a$. Supposons que
-$k(\sqrt[n]{a})=k(\sqrt[n]{b})\subset \sur{k}$ et montrons que les
-sous-groupes de $k^{\times}/k^{\times n}$, $\langle a \rangle $ et $\langle b \rangle$
-coïncident. En effet, $c(\sqrt[n]{a})=\zeta \sqrt[n]{a}$ et $c(\sqrt[n]{b})=\zeta' \sqrt[n]{b}$
-pour deux racines primitives $n$-ièmes de l'unité $\zeta$ et $\zeta'$. Comme
-il existe $r$ premier à $n$ tel que $\zeta^r=\zeta'$, on en déduit immédiatement
-que $\frac{\sqrt[n]{b}^r}{\sqrt[n]{a}}$, fixe par $c$, appartient à $k$.
-Cela signifie que $b^r=a$ dans $k^{\times}/k^{\times n}$.
-\end{proof}
-
-\begin{prop}
-Soient $K/k$ une extension cyclique de groupe $\ZZ/n\ni \langle c \rangle$
-et $x\in K$ tel que $\mathrm{N}_{K/k}(x)=1$. Alors, il existe $\alpha\in K^{\times}$ tel que
-$x=\frac{c\alpha}{\alpha}$.
-\end{prop}
-
-\begin{proof}
-Étant donné un tel $x$, on définit $\varphi:G\ra K^{\times}$ par $c^i\mapsto
-xc(x)\cdots c^{i-1}(x)$, pour $0\leq i \leq n-1$, étendue à $i\in \NN$
-en remarquant que $xc(x)\cdots c^{n-1}(x)= N(x)=1$.
-On vérifie immédiatement qu'elle satisfait à la condition :
-$$
-\varphi(g' g)=\varphi(g') g'(\varphi(g)),
-$$
-pour tous $g,g'\in G$.
-C'est ce qu'on appelle un $1$-\emph{cocycle} à valeurs dans $K^{\times}$.
-Il suffit de démontrer qu'il existe $\alpha\in K^{\times}$
-tel que pour tout $g\in G$, $\varphi(g)=\alpha g(\alpha^{-1})$ ; dans
-ce cas $x=\varphi(c)=\alpha c(\alpha)^{-1}$.
-Pour chaque $\alpha\in K^{\times}$, la fonction $g\mapsto \alpha g(\alpha^{-1})$ est
-un $1$-cocycle. Ceux de ce type sont appelés \emph{cobords}.
-Tout revient donc à démontrer le théorème suivant, qui ne fait plus
-d'hypothèse sur le groupe.
-\end{proof}
-
-\begin{thm}[Hilbert's 90 Satz]\label{90}
-Soit $K/k$ une extension finie galoisienne de groupe $G$. Tout $1$-cocycle
-$G\ra K^{\times}$, \cad toute fonction $f:G\ra K^{\times}$ satisfaisant à
-$f(g'g)=f(g')\cdot g'(f(g))$, est un cobord, \cad de la forme
-$g\mapsto \alpha g(\alpha^{-1})$ pour un $\alpha\in K^{\times}$.
-\end{thm}
-
-\begin{proof}
-Soit $x\in K$. Considérons la série de Poincaré
-$$
-b:=\sum_{g\in G}\varphi(g)g(x).
-$$
-Un simple calcul montre que pour tout $g\in G$, $\varphi(g)g(b)=b$.
-Compte tenu de l'indépendance linéaire des automorphismes
-\ref{indépendance linéraire caractères}, il existe un
-$x$ pour lequel $b\neq 0$. La conclusion en résulte.
-\end{proof}
-
-\begin{crl}
-Plus généralement, on a montré que $k^{\times}/k^{\times n}\iso \Hom(G_{k},\ZZ/n)$,
-où $G_{k}$ désigne le groupe de Galois \emph{absolu} de $k$ : $\ga(\sur{k}/k)$.
-On en déduit que pour tout $n$ inversible sur $k$ tel que $\mu_n(\sur{k})\subset
- k^{\times}$, si $k_n$ est l'extension composée des extensions abéliennes tuées par $n$,
-$$
-\ga(k_n/k)\iso \mu_n(k)\otimes (k^{\times}/k^{\times n})^{\vee}.
-$$
-
-Cela entraîne en particulier que l'extension $\QQ(\sqrt{2},\dots,\sqrt{p_r})/\QQ$
-($r$ nombres premiers distincts) est galoisienne de groupe $\FF_2^r$ :
-en effet, $\QQ^{\times}/\QQ^{\times 2}$ est un $\FF_2$-espace vectoriel
-libre de base $-1,2,3,5,7,\dots$.
-Les détails sont laissés au lecteur qui pourra consulter avec profit \cite{Algebre@Bourbaki}.
-\end{crl}
-
-\section{Théorème 90 de Hilbert, d'après A.~Grothendieck (facultatif)}\label{H^1(GL)}
-Dans toute cette section $K/k$ est une extension finie galoisienne de groupe $G$.
-Notre but est double : d'une part démontrer une généralisation
-du théorème \ref{90} (en remplaçant $K^{\times}=\mathrm{GL}_1(K)$ par $\mathrm{GL}_r(K)$)
-mais surtout de donner une démonstration conceptuelle mais plus tangible de cette dernière.
-Cela permet d'approfondir la méthode de la descente initiée en \ref{descente 1}.
-Précisons qu'il est possible de donner une démonstration assez semblable
-à celle donnée ci-dessus de la généralisation à $\mathrm{GL}_r$ (cf. p. ex.
-\cite{CL@Serre}, ?). Quelques uns des avantages de la méthode de A.~Grothendieck sont
-d'une part l'étendue de son champs d'application et d'autre part qu'il
-est possible de s'en faire une image mentale relativement simple.
-
-\begin{thm}\label{90'}
-Soient $K/k$ une extension finie galoisienne de groupe $G$ et
-$r$ un entier. Pour toute fonction
-$$
-\varphi:G\mapsto \mathrm{GL}_r(K)
-$$
-satisfaisant :
-$$\varphi(g'g)=\varphi(g') g'(\varphi(g))\ \text{pour tout}\ (g,g')\in G^2$$
-\cad --- par définition --- un $1$-\emph{cocycle} à valeur dans $\mathrm{GL}_r(K)$,
-il existe un élément $A\in \mathrm{GL}_r(K)$ tel que pour
-tout $g\in G$,
-$$
-\varphi(g)=A g(A^{-1}),
-$$
-\cad --- par définition --- que $\varphi$ est un \emph{cobord}.
-\end{thm}
-
-Ici, $g(A)$ désigne la matrice obtenue à partir de $A$ en appliquant $g$ à tous ses
-coefficients.
-Remarquons que l'on ne suppose pas $G$ cyclique.
-
-De nos jours on écrit plus savamment la conclusion du théorème sous
-une forme plus compacte :
-
-\begin{dfn}
-Soient $G$ un groupe fini et $(M,\cdot)$ un groupe muni d'un morphisme $G\ra \Aut(M)$ noté
-$g\mapsto (m\mapsto g(m))$.
-On note $$\HH^1(G,M)=\{\star\}$$ si pour toute application
-$\varphi:G\ra M$ satisfaisant à $\varphi(g'g)=\varphi(g')\cdot g'(\varphi(g))$ pour chaque
-$(g',g)\in G^2$, il existe $m\in M$ tel que $\varphi(g)=m\cdot g(m)^{-1}$, pour
-tout $g\in G$.
-\end{dfn}
-
-Ainsi, on écrira \ref{90'} sous la forme
-$$
-\HH^1(G_{K/k},\mathrm{GL}_r)=\{\star\}.
-$$
-
-
-\begin{rmr}
-Insistons sur le fait que si l'on remplace $\mathrm{GL}_r$
-par, par exemple, le groupe projectif linéaire $\mathrm{PGL}_r$, le résultat est faux :
-$$
-\HH^1(G_{K/k},\mathrm{PGL}_r)\neq \{\star\}
-$$
-en général (\cad certains cocycles ne sont pas des cobords). Cet ensemble
-est d'ailleurs lié au \emph{groupe de Brauer} du corps $k$. Plus de détails nous
-entraîneraient trop loin, mais nous renvoyons le lecteur curieux
-aux livres de Jean-Pierre Serre, \cite{CL@Serre}
-et \cite{CG@Serre}. Signalons tout de même, comme la notation
-le suggère, que --- du moins si $M$ est un groupe abélien --- l'on peut
-définir des groupes $\HH^i(G,M)$ pour chaque $i\in \NN$. Par exemple,
-pour $M=\ZZ/n$, muni de l'action \emph{triviale} de $G$, ces groupes
-s'identifient aux groupes de \emph{cohomologie} de l'espace topologique
-classifiant $BG$ (aussi noté $K(G,1)$), étudiés également par
-les topologues. Remarquons que si l'action de $G$ sur $M$ est triviale,
-un cocycle est un morphisme et tout cobord est trivial. Dans ce cas, on pose
-$\HH^1(G,M)=\Hom(G,M)$. En général, $\HH^1(G,M)$ est l'ensemble
-des « cocycles modulo cobord ». Comme nous n'utiliserons pas ce fait, nous ne
-donnons pas la définition de la relation d'équivalence par laquelle on quotiente.
-\end{rmr}
-
-Revenons à la démonstration.
-Rappelons que si $K/k$ est galoisienne de groupe fini $G$,
-on a un isomorphisme canonique $\mathrm{can}_1:K\otimes_k K\iso \prod_{g\in G} K$.
-Nous utiliserons souvent la notation $K_g$ pour désigner spécifiquement le $g$-ième facteur,
-correspondant au quotient $K\otimes_k K\surj K$, $a\otimes b\mapsto
-g(a)b$.
-
-\subsection{}\label{Spec(prod)}
-Nous aurons à étudier des modules sur différentes algèbres et en particulier
-sur $K\otimes_k K$ qui est diagonalisable ;
-il est donc utile de rappeler que si $A=\prod_{i\in I} A_i$
-($I$ fini) est un anneau produit, un $A$-module correspond à la donnée, pour
-chaque $i\in I$, d'un $A_i$-module $M_i$. On passe de $M$ à $M_i$
-en posant $M_i:=e_iM$, où $e_i$ est l'idempotent de $A$ correspondant au $i$-ième facteur.
-En particulier, un $K\otimes_k K$-module $V$ correspond à la donnée
-d'un $K$-espace vectoriel $V_g$ pour chaque $g\in G$.
-
-Enfin, si $p:A\ra B$ est un morphisme d'anneaux, on note
-$$
-p^*M\sr{\mathrm{d\acute{e}f}}{=} M\otimes_{A,p} B.
-$$
-Ceci pour mettre en évidence la dépendance en $p$. L'utilité d'une telle notation
-est évidente dans le lemme suivant.
-
-\begin{lmm}\label{desc:lmm1}
-Soient $$p_1:K\ra K\otimes_k K,\ \lambda\mapsto \lambda \otimes 1$$
-et $$p_2:K\ra K\otimes_k K,\ \lambda\mapsto 1 \otimes \lambda.$$
-Pour tout $K$-espace vectoriel $V$,
-la donnée d'un isomorphisme $K\otimes_k K$-linéaire
-$$\psi:p_1^*V \iso p_2^*V$$
-est équivalente à la donnée, pour chaque $g\in G$
-d'un isomorphisme $k$-linéaire $\Psi_g:V\ra V$ tel
-que $$\Psi_g(\lambda v)=g(\lambda)\Psi_g(v)$$ pour tout $(\lambda,v)\in K\times V$.
-\end{lmm}
-
-Une application \emph{additive} $\Psi_g$ comme ci-dessus est dite $g$-\emph{semi-linéaire}.
-
-
-\begin{proof}
-Dans notre cas, les morphismes $p_1$ et $p_2$ correspondent,
-via l'isomorphisme \ref{auto décomposition} aux deux morphismes
-
-$$\xymatrix{
-(g(\lambda))_{g} & \prod_{g\in G} K & (\lambda)_{g} \\
-\lambda \ar[u] & K \ar@<2ex>[u]^{q_1} \ar@<-2ex>[u]_{q_2} & \lambda \ar[u]}
-$$
-Ainsi, se donner un isomorphisme $\psi$ revient à
-se donner un isomorphisme $K$-linéaire
-$$\oplus_{g\in G} g^*V \iso \oplus_{g\in G} V,$$
-\cad, pour chaque $g\in G$, un isomorphisme
-$$
-\psi_g:g^*V:=V\otimes_{K,g} K\iso V.
-$$
-%[DESSIN : points pour chaque g etc.]
-Dans $g^*V$, on a $g(\lambda)\cdot(v\otimes 1)=v\otimes g(\lambda)=(\lambda v)\otimes 1$,
-pour tout
-$v\in V$ et $\lambda\in K$. Il existe une unique application additive
-$\Psi_g:V\ra V$ telle que $\psi_g(v\otimes 1)=\Psi_g(v)$.
-Par linéarité de $\psi_g$,
-on a :
-$$\Psi_g(\lambda v)=\psi_g((\lambda v)\otimes 1)=g(\lambda)\psi_g(v\otimes 1)=
-g(\lambda)\Psi_g(v).$$
-Ainsi, $\Psi_g(\lambda v)=g(\lambda)\Psi_g(v)$ ; c'est une application
-$g$-semi-linéaire.
-\end{proof}
-
-Le lemme combinatoire suivant, analogue à \ref{auto décomposition},
-permettra de traduire l'énoncé groupique de Hilbert en un énoncé bien plus
-général (\ref{descente fpqc}), ne faisant plus intervenir de groupes.
-La condition de cocycle
-$\varphi(g'g)=\varphi(g')g'(\varphi(g))$ fait intervenir les couples
-$(g,g')\in G^2$. On ne sera donc pas surpris de voir apparaître
-$K\otimes_k K \otimes_k K$ dans le lemme ci-dessous :
-$G^2$ est canoniquement isomorphe au spectre de cet anneau.
-
-\begin{lmm}\label{desc:lmm2}
-\begin{enumerate}
-\item Le morphisme
-$$\mathrm{can_2}:K\otimes_k K \otimes_k K\iso \prod_{(g,g')\in G^2} K$$
-défini par $$a\otimes b \otimes c\mapsto \Big((gg')a\cdot g(b)\cdot c\Big)_{(g,g')}$$
-est un isomorphisme.
-En particulier, $$G^2\ni (g,g')\mapsto \ker\Big(a\otimes b \otimes c\mapsto
-(gg')a\cdot g(b)\cdot c\Big)
-\in \SP(K\otimes_k K \otimes_k K)$$
-est un isomorphisme.
-\item
-Considérons les trois morphismes $K\otimes_k K\ra K\otimes_k K \otimes_k K$
-définis par $$p_{21}=p_{12}:a\otimes b\mapsto a\otimes b \otimes 1,$$
-$$p_{31}=p_{13}:a\otimes b\mapsto a\otimes 1 \otimes b$$ et
-$$p_{32}=p_{23}:a\otimes b\mapsto 1\otimes a \otimes b.$$
-Alors, on a un diagramme commutatif :
-$$\xymatrix{
-K\otimes_k K \otimes_k K \ar[r]^{\mathrm{can}_2} & \prod_{(g,g')\in G^2} K \\
-K\otimes_k K \ar@<5ex>[u]^{p_{12}} \ar[u]^{p_{13}} \ar@<-5ex>[u]^{p_{23}} \ar[r]^{\mathrm{can}_1} &
-\prod_{g\in G} K \ar@<5ex>[u]^{q_{12}} \ar[u]^{q_{13}} \ar@<-5ex>[u]^{q_{23}} \\
-K \ar@<2ex>[u]^{p_1} \ar@<-2ex>[u]^{p_2} \ar[r]^{=} & K \ar@<2ex>[u]^{q_1} \ar@<-2ex>[u]^{q_2}
-}$$
-où les morphismes en haut à droite sont (au niveau des spectres
-puis sur les facteurs se correspondant) :
-$$
-q_{12}\left\{
-\begin{array}{l}
-\SP(q_{12}): G^2\ni (g,g') \sr{\mathrm{pr}_2}{\mapsto} g'\in G \\
- K_g\sr{g}{\ra} K_{g,g'}
-\end{array}
-\right.
-$$
-
-$$
-q_{23}\left\{
-\begin{array}{l}
-\SP(q_{23}): G^2\ni (g,g') \sr{\mathrm{pr}_1}{\mapsto} g\in G \\
- K_{g'}\sr{\mathrm{Id}}{\ra} K_{g,g'}
-\end{array}
-\right.
-$$
-et
-$$
-q_{13}\left\{
-\begin{array}{l}
-\SP(q_{13}): G^2\ni (g,g') \sr{\mathrm{prod}}{\mapsto} gg'\in G \\
- K_{gg'}\sr{\mathrm{Id}}{\ra} K_{g,g'}
-\end{array}
-\right.
-$$
-\end{enumerate}
-\end{lmm}
-
-\begin{proof}
-Cela résulte des trois diagrammes commutatifs :
-$$\xymatrix{
-a\otimes b \ar[r]^{p_{12}} \ar[d]_{\mathrm{can}_1} & a\otimes b \otimes 1 \ar[d]^{\mathrm{can}_2} \\
-(g(a)b)_g \ar@{.>}[r]^{q_{12}} & \Big(g\big(g'(a)b\big)\Big)_{g,g'}
-}$$
-
-$$\xymatrix{
-a\otimes b \ar[r]^{p_{13}} \ar[d]_{\mathrm{can}_1} & a\otimes 1 \otimes b \ar[d]^{\mathrm{can}_2} \\
-(g(a)b)_g \ar@{.>}[r]^{q_{13}} & \big((gg')(a)b\big)_{g,g'}
-}$$
-et
-$$\xymatrix{
-a\otimes b \ar[r]^{p_{23}} \ar[d]_{\mathrm{can}_1} & 1\otimes a \otimes b \ar[d]^{\mathrm{can}_2} \\
-(g(a)b)_g \ar@{.>}[r]^{q_{23}} & (g(a)b)_{g,g'}
-}$$
-\end{proof}
-
-Avant d'énoncer le lemme suivant, une observation s'impose. Nous avons défini
-plus haut la notation $p^*M:=M\otimes_{A,p} B$ pour
-$M$ un $A$-module et $p:A\ra B$ un morphisme d'anneaux. Nous aurons besoin
-d'étendre cette notation aux morphismes : si $f:M\ra M'$ est un morphisme
-de $A$-modules, on notera $p^*f$ le morphisme $f\otimes_{A} B :M \otimes_{A} B
-\sr{f\otimes_A \mathrm{Id}}{\ra} M'\otimes_A B$.
-% ; compte tenu de la multiplicité des morphismes
-%entre les anneaux $A$ et $B$ que nous considérons (cf. par exemple
-%$A=K$ et $B=K\otimes_k K$ et les morphismes considérés plus haut !), il importe
-%d'incorporer le morphisme dans la notation.
-En d'autres termes, nous
-avons défini un \emph{foncteur} $p^*$ de la catégorie des $A$-modules
-vers la catégorie des $B$-modules.
-
-Enfin, la transitivité du produit tensoriel entraîne que
-si l'on se donne $g:B\ra C$, $f:A\ra B$ et $M$ un $A$-module,
-les $C$-modules $g^*f^*M$ et $(gf)^*M$ sont naturellement isomorphes.
-
-\begin{rmr}[Analogie]\label{heuristique descente}
-La signification tangible du théorème 90 de Hilbert, revu par A.~Grothendieck
-est d'étudier ce que l'on perd en passant de $A$ à $B$ : certains $B$-modules
-ne s'obtiennent pas par cette construction. (Par exemple, si $A$ est un corps $k$ et $B$
-est une $k$-algèbre quelconque les $B$-modules obtenus comme ceci sont nécessairement libres
-sur $B$.) Une idée essentielle d'A.~Grothendieck est d'avoir rapproché\footnote{Au meilleur
-sens possible : il existe une théorie générale (dite des topos) qui
-contient comme cas particulier les deux problèmes.}
- ce problème à la question plus classique suivante :
-soient $A$ un espace topologique et $(U_i)$ un recouvrement ouvert de $A$.
-Toute fonction (disons réelle pour fixer les idées)
-continue $f$ sur $A$ induit, par restriction à chaque $U_i$,
-une fonction $f_{|B}$ sur l'espace topologique « union disjointe » $B=\coprod_i U_i$.
-Parmi les fonctions continues sur $B$, celles obtenues par restriction de $A$ à $B$
-ont la propriété caractéristique de coïncider sur les intersections $U_i\cap U_j$.
-On considérera donc avec profit ici $K\otimes_k K$ en pensant si possible
-aux $U_i\cap U_j$ ; de même on pense aux intersections triples
-$U_i\cap U_j \cap U_k$ quand on considère
-$K\otimes_k K \otimes_k K$. La nécessité de considérer des intersections triples
-apparaît en topologie quand on veut recoller non pas des fonctions mais des objets
-(fibrés vectoriels, espaces topologiques etc.).
-Nous renvoyons le lecteur à \sga{1}{}{} pour des définitions précises
-et des détails sur cette analogie,
-qui nous emmèneraient un peu plus loin que nous ne le souhaitons ici.
-\end{rmr}
-
-\begin{lmm}\label{desc:lmm3}
-Soient $V$ et $\psi$ comme dans le lemme \ref{desc:lmm1}.
-Pour chaque choix d'indices $(i,j,k)\in \[1,3\]^2\times \[1,2\]$,
-les $K\otimes_k K \otimes_k K$-modules
-$p_{ij}^*p_k^*V$ correspondent via \ref{desc:lmm2} et \ref{Spec(prod)} à la donnée d'un
-$K$-espace vectoriel $V_{g,g'}$ pour chaque $(g,g')\in G^2$. Notons,
-comme en \ref{desc:lmm1}, $\Psi_g:V\ra V$ le morphisme déduit
-de $\psi$ sur le $g$-ième facteur.
-Au moyen de cette identification et avec ces notations, on a une correspondance,
-sur le facteur $(g,g')$ :
-$$p_{12}^*\psi \longleftrightarrow \Psi_{g'}$$
-$$p_{23}^*\psi \longleftrightarrow \Psi_{g}$$
-$$p_{13}^*\psi\longleftrightarrow \Psi_{gg'}.$$
-\end{lmm}
-
-\begin{proof}
-Ce n'est qu'une traduction des lemmes précédents :
-compte tenu du \ref{desc:lmm2}, la $(g,g')$-composante de
-$p_{12}^*\psi$ correspond $\Psi_{q_{12}(g,g')=g'}$. (Ici, on identifie
-$G\times G$ à $\SP(K\otimes_k K \otimes_k K)$ et l'on note $q_{12}$ pour
-$\SP(q_{12})$. De même, comme $q_{23}(g,g')=g$ et $q_{13}(g,g')=gg'$, on a le résultat souhaité.
-\end{proof}
-
-Avant d'exploiter le lemme précédent, remarquons les égalités suivantes :
-$$
-\begin{array}{l}
-p_{13}p_1=p_{12}p_1=:P_1\\
-p_{12}p_2=p_{23}p_1=:P_2\\
-p_{13}p_2=p_{23}p_2=:P_3
-\end{array}
-$$
-où $P_1(a)=a\otimes 1 \otimes 1$, $P_2(a)=1\otimes a \otimes 1$ et
-$P_3(a)=1\otimes 1 \otimes a$.
-
-Ainsi, compte tenu des isomorphismes canoniques $(fg)^*\isononcan f^*g^*$, on a que, pour
-$\psi$ comme plus haut,
-$$p_{12}^*\psi:p_{12}^*p_1^*V\iso p_{12}^*p_2^*V$$
-correspond à un isomorphisme :
-$$\sous{p_{12}}^*\psi:P_1^*V\iso P_{2}^*V.$$
-De même, on note $$\sous{p_{23}}^*\psi:P_2^*V\iso P_3^*V$$
-et $$\sous{p_{13}}^*\psi:P_1^*V \iso P_{3}^*V$$
-les deux autres isomorphismes déduits de ces identifications.
-
-L'avantage de ces identifications est qu'elles nous permettent
-de composer deux de ces isomorphismes.
-
-\begin{crl}[Condition de cocycle]\label{cocycle galoisien}
-La condition sur un isomorphisme $\psi$ comme plus haut :
-$$\sous{p_{23}}^*(\psi) \circ \sous{p_{12}}^* (\psi)=\sous{p_{13}}^*\psi:P_1^*V\iso P_3^*V$$
-est équivalente à la condition
-$$
-\Psi_{g}\Psi_{g'}=\Psi_{gg'},
-$$
-où l'application $g$-semi-linéaire $\Psi_g$ déduite de la $g$-composante $\psi_g$
-de l'isomorphisme $\psi$ (cf. \ref{desc:lmm1}).
-\end{crl}
-
-\begin{proof}
-En effet, sur le facteur $(g,g')$, le composé de gauche correspond d'après le lemme
-précédent à
-$\Psi_{g}\circ \Psi_{g'}$ tandis que le terme de droite correspond à
-$\Psi_{gg'}$.
-On remarquera que $\Psi_{gg'}$ est $gg'$-semi-linéaire, comme
-le composé $\Psi_g\circ \Psi_{g'}$.
-\end{proof}
-
-Nous allons voir que ces lemmes permettent d'interpréter le théorème 90 de Hilbert
-comme un cas particulier du théorème suivant d'A.~Grothendieck, dont la démonstration
-sera donnée dans la section suivante.
-
-\begin{thm}[Descente fidèlement plate]\label{descente fpqc}
-Soient $k$ un anneau et $p:k\ra A$ une $k$-algèbre fidèlement plate, par exemple
-$k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre quelconque. Soient
-$M$ un $A$-module et $\psi:p_1^*M\iso p_2^*M$ un isomorphisme $A\otimes_k A$-linéaire
-tel que $\sous{p_{23}}^*\psi \circ \sous{p_{12}}^*\psi=\sous{p_{13}}^*\psi$.
-Alors, il existe un $k$-module $M_0$ et un isomorphisme
-$f:p^*M_0:=M_0\otimes_k A\iso M$ tel que le diagramme suivant soit commutatif :
-$$
-\xymatrix{
-p_1^*p^*M_0 \ar[r]^{p_1^*f} \ar[d]_{\mathrm{iso.can.}} & p_1^*M\ar[d]^{\psi} \\
-p_2^*p^*M_0 \ar[r]^{p_2^*f} & p_2^*M
-}
-$$
-Ce que l'on écrira plus suggestivement, modulo identification des deux termes de gauche :
-$$
-\psi \circ p_1^*(f)=p_2^*f.
-$$
-\end{thm}
-
-On dit dans ce cas que le $A$-module $M$ se \emph{descend} en un $k$-module $M_0$.
-Le théorème précédent est donc une condition \emph{suffisante} pour qu'un $A$-module
-se descende. La \emph{nécessité} de l'existence d'un isomorphisme
-$\psi$ satisfaisant la condition de cocycle résulte formellement de l'égalité $p_1p=p_2p$.
-Plus précisément :
-
-\begin{lmm}\label{psi-can}
-Soient $M_0$ un $k$-module, $p:k\ra A$ un morphisme d'anneaux et $M:=p^*M_0$.
-Il existe un isomorphisme canonique $\psi_{\mathrm{can.}}:p_1^*M\iso p_2^*M$.
-\end{lmm}
-
-Remarquons également que la commutativité du diagramme est ici essentielle :
-si $A\ra B$ est une extension de corps, tout $B$-module, étant libre, est isomorphe
-à l'image inverse d'un $A$-module. Dans ce contexte, le contenu non trivial de l'énoncé
-vient donc du second point, \cad la commutativité du diagramme.
-
-
-\subsection{La descente fidèlement plate entraîne Hilbert's satz 90}
-
-Soient $V=K^r$ et $\varphi:G\mapsto \mathrm{GL}_r(K)$ un $1$-cocycle.
-Soit $\Psi_g$ l'application $g$-semi-linéaire $V\ra V$ dont la matrice dans la base
-canonique est $\varphi(g)$. En d'autre termes,
-$\Psi_g(\sum_{1}^r \lambda_i e_i)=\sum_1^r g(\lambda)\Psi_g(e_i)=
-\sum_i g(\lambda)\varphi(g)(e_i)$.
-Il résulte de la condition de cocycle sur $\varphi$,
-\ref{desc:lmm1} et \ref{cocycle galoisien},
-que $\varphi$ et le $\Psi_g$ correspondent
-à un isomorphisme $\psi:p_1^*V\iso p_2^*V$ satisfaisant
-à la condition de cocycle \ref{cocycle galoisien}. D'après \ref{descente fpqc},
-il existe un $k$-espace vectoriel $V_0$ et un isomorphisme $f:p^*V_0\iso V$ ($K$-linéaire)
-tel que $\psi \circ p_1^*(f) = p_2^*(f)$. Choisissons une base de $V_0$ sur $k$,
-une base de $V$ sur $K$ et considérons la matrice $F\in \mathrm{GL}_r(K)$ induite par $f$.
-Plus précisément, soient $(e_i)_{1\leq i \leq r}$ une base de $V_0$ sur $k$ et $(e'_i)$
-une base de $V$ sur $K$.
-L'isomorphisme $$f:(\oplus k e_i)\otimes_k K\iso \oplus K e'_i$$ envoie
-$e_i\otimes 1$ sur $\sum_{j} f_{ji}e'_j$. On note $F$ la matrice $(f_{ij})\in K^{r\times r}$.
-Pour chaque $g\in G$, l'égalité $\psi \circ p_1^*(f) = p_2^*(f)$, entraîne, sur le
-$g$-ième facteur la commutativité du diagramme :
-$$
-\xymatrix{
-g^*V \ar[r]^{\psi_g} & V \\
-g^*p^*V_0 \ar[u]^{g^*f} \ar[r]^{\mathrm{iso.can.}} & p^*V_0 \ar[u]_{f}
-}
-$$
-Il reste à comprendre que la matrice de $g^*f$, dans les bases choisies plus haut,
-est $g(F)$. On aura alors $g(F)\Psi_g =F$ \cad $\Psi_g=F g(F^{-1})$, ce que l'on voulait
-démontrer.
-L'application $g^*f$ est déterminée par :
-$$
-\begin{array}{l}
-(V_0\otimes_k K)\otimes_{K,g} K \sr{g^*F}{\ra} V\otimes_{K,g} K\\
-(e_i\otimes_k 1)\otimes_{K,g} 1 \mapsto (\sum_j f_{ji}e'_j)\otimes_{K,g} 1 =
-\sum_j \big(e'_j \otimes_{K,g} g(f_{ji})\big)=\sum_j g(f_{ji})(e'_j\otimes_{K,g} 1)
-\end{array};
-$$
-sa matrice est bien $g(F)$.
-
-
-
-\subsection{Démonstration de \ref{descente fpqc}}
-
-Soit $(M,\psi)$ comme dans l'énoncé et supposons que $(M_0,f)$
-soit une solution au problème.
-Par définition, on a un diagramme
-$$
-\xymatrix{
-& p^*M_0 \ar[dl] \ar[d] \ar[rr]^f & & M \ar[dl] \ar[d] \\
-p_1^*p^*M_0 \ar[r]^{\mathrm{can}.} \ar@/_1pc/[rr]_{p_1^*f}
- & p_2^*p^*M_0 \ar@/_1pc/[rr]_{p_2^*f} & p_1^*M \ar[r]^{\psi} & p_2^*M }
-$$
-dont la partie inférieure est commutative, et dont les flèches horizontales
-sont des isomorphismes.
-
-On en déduit un isomorphisme $k$-linéaire
-$$
-K(p^*M_0,\psi_{\mathrm{can}.})\sr{K(f)}{\iso} K(M,\psi),
-$$
-où
-$$
-K(M,\psi):=\lim_{k-\mathrm{mod}}\left(
-\xymatrix{M \ar[r]^{p_1} \ar[dr]^{p_2} & p_1^*M \ar[d]^{\psi} \\ &
-p_2^*M}\right).$$
-Par définition, le terme de droite est le $k$-module constitué des éléments
-de $M$ dont les deux images dans $p_2^*M$ coïncident.
-De façon tautologique, pour tout $(M,\psi)$ on a une injection de $k$-modules :
-$K(M,\psi)\hra M$.
-D'autre part, comme $p$ est fidèlement plat,
-on a d'après \ref{Cech} un isomorphisme canonique $M_0\iso K(p^*M_0,\psi_{\mathrm{can}.})$.
-En résumé, on a \emph{nécessairement},
-$$
-M_0\iso K(p^*M_0,\psi_{\mathrm{can}.}) \iso K(M,\psi)\hra M.
-$$
-Ainsi, sans même supposer l'existence de $M_0$, on dispose d'un candidat
-naturel : $K(M,\psi)$.
-
-Ceci étant, commençons par démontrer le théorème dans un cas particulier :
-
-\begin{thm}[Descente avec une section]
-Pour que les conclusions du théorème \ref{descente fpqc} soient satisfaites,
-il suffit que $k\ra A$ ait une \emph{rétraction}.
-\end{thm}
-
-\begin{proof}
-Soient donc $p:k\ra A$ un morphisme d'anneaux et $r_0:A\ra k$ tel que $r_0 p=\mathrm{Id}_k$.
-Posons $M_0:=r_0^*M$.
-En particulier, on dispose d'un endomorphisme $\iota=p r_0:A\ra A$
-tel que $r_0\iota=r_0$.
-Pour $M$ et $\psi$ comme dans \emph{loc. cit.}, posons $M_0:=r_0^*M$.
-On va montrer que $p^*M_0$ est isomorphe à $M$, avec un isomorphisme
-satisfaisant aux conditions requises.
-Définissons $r_1:A\otimes_k A\ra A$ par $a\otimes b\mapsto \iota(a)\cdot b$ ;
-on a $r_1\circ p_1=\iota$ et $r_1\circ p_2=\mathrm{Id}_A$.
-En particulier, $({r_1}\circ p_1)^* M\isononcan p^*r_0^* M$.
-Appliquons $r_1^*$ à l'isomorphisme $\psi:p_1^*M\iso p_2^*M$ ;
-on en déduit un isomorphisme $f:p^* M_0 \iso M$. Il nous reste donc à vérifier
-la commutativité du diagramme du \ref{descente fpqc} ;
-cela va résulter de la condition de cocycle.
-À cette fin, on construit ${r_2}:A^{\otimes 3}\ra A^{\otimes 2}$
-de telle sorte que $r_2^*$, appliqué à $p_{23}^*\psi \circ p_{12}^*\psi$,
-donne $\psi\circ p_1^*f$, tandis qu'appliqué à $p_{13}^*\psi$ on obtienne $p_2^*f$.
-On veut donc :
-$$
-\left\{
-\begin{array}{lll}
-r_2 p_{23}=\mathrm{Id} & \Longleftrightarrow &
-1\otimes a \otimes b \sr{r_2}{\mapsto} a\otimes b \\
-r_2 p_{12}=p_1 r_1 & \Longleftrightarrow & a\otimes b \otimes 1 \sr{r_2}{\mapsto} \iota(a)b\otimes 1 =
-\iota(a)(b\otimes 1) \\
-r_2 p_{13}=p_2 r_1 & \Longleftrightarrow & a\otimes 1 \otimes b \sr{r_2}{\mapsto} 1\otimes \iota(a)b=
-\iota(a)(1\otimes b) \\
-\end{array} \right.
-$$
-On n'a guère le choix que de poser ${r_2}:a\otimes b \otimes c\mapsto \iota(a)(b \otimes c)$ ;
-ce dernier répond à la question.
-\end{proof}
-
-
-
-
-Montrons que le cas où $A/k$ a une rétraction entraîne le cas général, ceci dans
-le même esprit que la démonstration de \ref{descente 1}.
-
-Soient $M,A/k,\psi$ comme dans le théorème.
-L'application $k$-linéaire $K(M,\psi)\ra M$ correspond naturellement
-à une application $A$-linéaire
-$$
-f:p^*K(M,\psi)\ra M.
-$$
-On va montrer que c'est un isomorphisme et que cet isomorphisme
-satisfait bien, modulo l'identification habituelle, $p_2^*f=\psi\circ p_1^*f$.
-
-Soient $B/k$ une $k$-algèbre et notons $B':=A\otimes_k B$,
-$M':=M\otimes_k B\isononcan M\otimes_A B'$.
-
-\begin{lmm}
-Le diagramme
-$$\xymatrix{
-A\otimes_k A \ar[r] & B'\otimes_B B'\\
-A \ar@<2ex>[u]^{p_{1}} \ar@<-2ex>[u]_{p_{2}} \ar[r] & A\otimes_k B=B'
-\ar@<2ex>[u]^{p_{1B}} \ar@<-2ex>[u]_{p_{2B}} \\
-k \ar[u]^p \ar[r] & B \ar[u]^{p_B}
-}$$
-est commutatif et
-$B'\otimes_k B'$ s'identifie canoniquement à $(A\otimes_k A)\otimes_k B$.
-\end{lmm}
-C'est évident.
-
-Il en résulte que si l'on applique le foncteur $-\otimes_k B$
-au diagramme définissant $K(M,\psi)$, on obtient le diagramme
-définissant $K(M',\psi_B)$, où $\psi_B$ est déduit de $\psi$ par
-extension des scalaires à $B$.
-Finalement, on a un morphisme
-$$
-K(M,\psi)\otimes_k B\ra K(M',\psi_B).
-$$
-
-\begin{lmm}
-Si $B/k$ est \emph{plat}, c'est un isomorphisme.
-\end{lmm}
-En effet, les $K(?,?)$ sont des noyaux ; leur formation
-commute donc aux extensions des scalaires qui sont plates.
-
-
-Ainsi, pour tout $B/k$ plat, on a un diagramme commutatif
-$$\xymatrix{
-p^*K(M,\psi)\ar[r]^f \ar[d] & M \ar[d]\\
-p_B^*K(M',\psi_B) \ar[r]^{f_B} & M'}
-$$
-où la ligne inférieure est déduite de la précédente par tensorisation avec $B$ sur $k$.
-Enfin, si $B/k$ est \emph{fidèlement} plat, $f$ est un isomorphisme
-si et seulement si $f_B$ l'est.
-On a vu précédemment que si $(B'=A\otimes_k B)/B$ a une \emph{rétraction},
-$f_B$ est un isomorphisme. Comme c'est le cas pour $B=A$, $f$ est bien
-un isomorphisme.
-De même, l'égalité $\psi_B\circ p_{2B}^*f_B=p_{1B}^*f_B$ entraîne l'égalité
-analogue pour $f$ et $\psi$. Ceci achève la démonstration du théorème.
-
-\section{Théorie d'Artin-Schreier}\label{Artin-Schreier}
-
-Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$. Ici, $\mu_p(k)=\{x\in k, x^p=1\}$
-est réduit à un unique élément, $1\in k$. Malgré tout, il existe une théorie semblable
-à la théorie de Kummer pour les extensions de degré $p$ ; cette dernière a d'ailleurs
-l'avantage de ne pas faire d'hypothèse supplémentaire sur le corps (cf. l'hypothèse
-$\#\mu_n(k)=n$
-en théorie de Kummer).
-%Commençons par un exemple : $P=X^p-X-t^{-1}\in \FF_p(t)[X]$. C'est un polynôme irréductible
-%(cf. plus bas) et séparable (car $P'=-1$) qui définit une extension
-
-\begin{dfn}[Notation]
-Soit $A$ un anneau de caractéristique $p$. On notera $\wp$
-l'endomorphisme $\FF_p$-linéaire de $A$ défini par $\wp(x)=x^p-x$.
-\end{dfn}
-
-\begin{thm}
-Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$.
-\begin{itemize}
-\item Si $a\in k-\wp(k)$, le polynôme $P_a=X^p-X-a$ est irréductible, séparable ;
-son corps de rupture
-est galoisien sur $k$, de groupe cyclique $\ZZ/p$. Plus précisément,
-si $\alpha:=\sqrt[\wp]{a}$ est une racine de $P$ dans une extension de $k$,
-la sous-extension $k(\alpha)/k$ est galoisienne, de groupe de Galois engendré
-par l'élément d'ordre $p$, $c:\alpha\mapsto \alpha+1$.
-Toute extension de décomposition de $P$ est notée $k(\sqrt[\wp]{a})/k$.
-\item Réciproquement, toute extension de $k$ de groupe de Galois
-$\ZZ/p$ s'obtient ainsi. De plus, la classe de $a$ est bien définie
-dans $k/\wp(k)$.
-\item Le morphisme
-$$
-\begin{array}{l}
-k/\wp(k)\iso \Hom_{\mathrm{cont.}}(G_k,\ZZ/p) \\
-a \mapsto \big(\varphi_a:s\mapsto s(x)-x\big)
-\end{array}
-$$
-où $x$ est une racine de $x^p-x=a$,
-est un isomorphisme.
-\end{itemize}
-\end{thm}
-
-
-
-\begin{rmrs}
-\begin{itemize}
-\item Il existe une variante de cette construction qui décrit les extensions
-de groupe $\ZZ/p^n$ pour $n\geq 1$. Elle s'appuie sur les vecteurs de Witt tronqués
-$\mathsf{W}_n(k)$. (Cf. \cite{Algebre@Lang}, p330 [version anglaise] et \cite{CL@Serre})
-
-\item On déduit du dernier énoncé que $\ga(k_p/k)\iso (k/\wp(k))^{\vee}$
-où $k_p$ est le composé des extensions abéliennes de $k$ de groupe de type
-$(p,\dots,p)$ et où l'on note $G^{\vee}$ le dual (compact)
-de Pontryagin $\Hom(G,S^{1})$ d'un groupe (discret) $G$, muni de la topologie
-compacte-ouverte\footnote{C'est-à-dire de la convergence uniforme sur les compacts.}.
-\end{itemize}
-\end{rmrs}
-
-\begin{proof}
-Soient $a$ comme dans l'énoncé, $R\in k[X]$ un facteur irréductible de $P_a$
-et $\alpha$ une racine de $P_a$ dans une clôture séparable $k\sep$ de $k$.
-Comme $\FF_p\subset k$ est le noyau de $\wp$, les $\alpha+\lambda$, $\lambda\in \FF_p$
-sont également des racines de $P_a$. Elles sont distinctes donc ce dernier
-se factorise sur $k\sep$ est $\prod_{\lambda\in \FF_p}(X-(\alpha+\lambda))$.
-Ainsi, $R=\prod_{\lambda\in X\subset \FF_p} (X-(\alpha+\lambda))$, pour une partie $X$
-de cardinal $\deg(R)=r$. Par expansion, le coefficient de $X^{r-1}$ dans $R$ est
-égal à $-r\cdot\alpha+(\text{élément}\in \FF_p)$. Cela force $r\alpha$ à appartenir
-à $k$ ; ce n'est possible que si $r=p$ (auquel cas $r\cdot\alpha=0$).
-Le polynôme $P_a$ est donc irréductible et séparable. (Remarquons à ce propos
-que la dérivée $P_a'=-1$, ce qui démontre alternativement la séparabilité de $P_a$.)
-Enfin, l'extension $k(\alpha)$, étant normale, est galoisienne : les conjugués
-de $\alpha$ sont les $\alpha+\lambda$, $\lambda\in \FF_p$. Cela force le groupe
-de Galois à être comme indiqué.
-
-Réciproquement, soit $K/k$ une extension de groupe de Galois $G$
-cyclique d'ordre $p$.
-Soit $f:G\iso \ZZ/p\subset K$ un isomorphisme (correspondant au choix
-d'un générateur $c$ du groupe) ; tautologiquement, on a
-$$f(gg')=f(g)+g(f(g'))=f(g)+f(g')$$ \cad : $f$ est un \emph{cocycle}
-(pour la structure additive de $K$ cette fois).
-S'il existe $\alpha\in K$ tel que $f(g)=g(\alpha)-\alpha$ (\cad
-$f$ est un \emph{cobord}) pour
-tout $g\in G$, on aura en particulier $c(\alpha)=\alpha+1$
-si bien que $k(\alpha)=K$ ($\alpha$ n'est pas invariant).
-Comme $c\big(\alpha^p-\alpha\big)=(\alpha^p+1^p)-(\alpha+1)=\alpha^p-\alpha=:a$,
-ce dernier appartient à $k$ et $\alpha$ est donc une racine
-du polynôme $X^p-X-a$.
-
-Il reste donc a montrer que tout cocycle comme plus haut est un cobord
-(\cad « $\HH^1(G_{K/k},K)=\{\star\}$ »), ceci en supposant seulement que
-$K/k$ est une extension fini galoisienne (\cad non nécessairement cyclique).
-Une façon de procéder
-consiste à adapter la démonstration élémentaire de la trivialité
-de $\HH^1(G_{K/k},K^{\times})$ donnée plus haut (\ref{90}, voir \cite{Algebre@Lang}, chap. VI, §6 pour une démonstration) ou bien utiliser le résultat de la section
-suivante. %(cf. \emph{loc. cit.},).
-On peut également utiliser
-le fait que $\HH^1(G_{K/k},\mathrm{GL}_2(K))=\{*\}$ ; c'est ce que nous allons faire.
-Soit $f:G\ra K$ un cocycle à valeur dans $K$. Soit
-$\varphi:G\ra \mathrm{GL}_2(K)$ l'application
-$$
-g\mapsto \left(
-\begin{array}{ll}
-1 & f(g)\\
-0 & 1
-\end{array}
-\right)
-$$
-Un petit calcul montre que c'est un $1$-cocycle. Il existe donc une matrice
-$A\in \mathrm{GL}_2(K)$ telle que $g(A)\varphi(g)=A$ pour tout $g\in G$.
-Si
-$$
-A=\left(
-\begin{array}{ll}
-a & b\\
-c & d
-\end{array}
-\right)\in \mathrm{GL}_2(K)
-$$
-on a donc, pour tout $g\in G$ :
-$$
-\left( \begin{array}{ll}
-g(a) & g(b) \\
-g(c) & g(d)
-\end{array}
-\right)
-=
-\left(
-\begin{array}{ll}
-a & af(g)+b\\
-c & cf(g)+d
-\end{array}
-\right)
-$$
-Il est résulte immédiatement que $a,c\in k$
-et que $g(b)=af(g)+b$ pour tout $g\in G$. Si $a\neq 0$,
-on a donc $f(g)=g(ba^{-1})-ba^{-1}$. De même, si $c\neq 0$,
-$f$ est un $1$-cobord. Comme $\mathrm{d\acute{e}t}(A)\neq 0$,
-$a$ et $c$ ne peuvent être simultanément nuls. CQFD.
-\end{proof}
-
-\begin{rmr}
-À défaut de prétendre, à tort, que cette démonstration du fait
-que $\HH^1(G_{K/k},K)=\{\star\}$ est la plus courte possible, nous avons vu
-ici comment exploiter une information pour un groupe $\mathrm{GL}_2$
-pour en déduire une propriété d'un autre groupe (ici un sous-groupe).
-Dans le même genre d'idée, nous proposons au lecteur de démontrer
-que $\HH^1(G_{K/k},\mathrm{SL}_2(K))$ est trivial
-en utilisant le fait que $\HH^1(G_{K/k},\mathrm{GL}_2(K))$ l'est.
-Pour une vue d'ensemble de ces résultats, ainsi que beaucoup d'autres,
-on renvoie le lecteur à \cite{CG@Serre}.
-\end{rmr}
-
-\section{Le théorème de la base normale, d'après N.~Bourbaki}\label{base-normale}
-
-Soient $k$ un anneau et $G$ un groupe. Rappelons que l'on note $k[G]$ l'algèbre
-de groupe $G$. Par définition, c'est le $k$-module libre $k^{(G)}$,
-de base $[g]$, $g\in G$, dont le produit est défini par $[g][g']=[gg']$,
-étendu par $k$-linéarité. Soit $M$ un $k$-module. Rappelons également
-que la donnée d'une action $k$-linéaire du groupe $G$ sur $M$ (\cad
-un morphisme $G\ra \Aut_k(M)$)
-est équivalente à la donnée d'une structure de $k[G]$-module sur $M$.
-
-\begin{thm}
-Soit $K/k$ une extension finie galoisienne de groupe $G$. Il existe $x\in K$ tel que
-les $g(x)$, pour $g\in G$, forment une base de $K$ sur $k$. En d'autres termes,
-le $k[G]$-module $K$ est libre de rang $1$.
-\end{thm}
-
-La démonstration procède en
-deux étapes : on « monte », par tensorisation $-\otimes_k K$,
-de $k$ à $K$ ---
-où le théorème est relativement transparent --- puis on « redescend » l'énoncé obtenu
-sur $K$, à $k$.
-
-Commençons par la deuxième étape, qui présente un intérêt indépendant du théorème.
-
-\begin{prp}
-Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre, \emph{non nécessairement commutative}.
-Soient $M_1$, $M_2$ deux $A$-module à gauche de dimensions finies sur $k$.
-Alors $M_1\isononcan_A M_2$ si et seulement si il existe une extension
-$K/k$ telle que $M_1\otimes_k K \isononcan_{A\otimes_k K} M_2\otimes_k K$.
-\end{prp}
-($M_i\otimes_k K$ est muni d'une structure de $A\otimes_k K$-module à gauche
-via $(a\otimes \lambda)\cdot (m\otimes \lambda')=(am\otimes \lambda \lambda')$.)
-
-Appliquons cette proposition à $A=k[G]$, $M_1=A$ et $M_2=K$. (Rappelons que l'on veut
-montrer que $K$ est isomorphe comme $A$-module à $A$.)
-Cela revient donc à vérifier que le $\big(K[G]=k[G]\otimes_k K\big)$-module
-$K\otimes_k K$ est libre de rang $1$. Ici, $\lambda g\in K[G]$ agit par
-$\lambda g\cdot a\otimes b=g(a)\otimes \lambda b$. Cela résulte
-de \ref{auto décomposition}.
-
-
-\begin{proof}[Démonstration de la proposition dans le cas où $k$ est infini]
-(Le cas où $k$ est fini est traité dans \ref{Lam} [un livre de Lam],\P 19.5
-mais nous ne nous en servirons pas.)
-Soient $M_1,M_2$ comme plus haut, que l'on suppose de même dimension sur $k$, sans
-quoi ils ne peuvent être isomorphes sur $A$ ou $A_K:=A\otimes_k K$.
-On cherche donc $\phi\in \Hom_A(M_1,M_2)$
-qui soit inversible, \cad de déterminant sur $k$ non nul. Le $k$-espace vectoriel
-$\Hom_A(M_1,M_2)$ est un sous-espace vectoriel de $\Hom_k(M_1,M_2)$ ; il est donc de
-dimension finie et possède en conséquence une base $\phi_1,\dots,\phi_r$.
-Il existe donc un morphisme $\phi$ comme plus haut si et seulement si on peut trouver
-$\lambda_1,\dots,\lambda_r\in k$ tels que
-$$\det(\lambda_1\phi_1+\cdots+\lambda_r\phi_r)\neq 0.$$
-\begin{lmm2}
-Pour toute extension $K/k$, $\Hom_A(M_1,M_2)\otimes_k K\iso \Hom_{A_K}(M_{1K},M_{2K})$.
-\end{lmm2}
-
-\begin{proof}[Démonstration du lemme](Rappelons que l'on suppose
-$M_1$ et $M_2$ de dimensions finies sur $k$.)
-Soit $X\subset A$ un sous-ensemble \emph{fini} tel que l'image de $X$ dans $\mathrm{End}_k(M_1)$
-engendre l'image de $A$, comme $k$-espace vectoriel.
-Sous cette hypothèse, la suite
-$$
-\xymatrix{
-0 \ar[r]& \Hom_A(M_1,M_2) \ar@{^(->}[r] & \Hom_k(M_1,M_2) \ar[r] & \Hom_k(M_1,M_2)^{(X)} \\
-& & f \ar[r] & \big(f(a\cdot)-af(\cdot)\big)_{a\in X}
-}
-$$
-est exacte. De plus, $\Hom_k(M_1,M_2)\otimes_k K\iso \Hom_K(M_{1K},M_{2K})$
-(cf. \ref{localisation-changement de base plat et pf}
-[À écrire : sorites pour l'appendice])
-et $X\subset A_K$ engendre également $A_K$ dans $\End_K(M_{1K})$.
-Ainsi, on a un diagramme commutatif de suites exactes :
-$$
-\xymatrix{
-0 \ar[r]& K\otimes_k\Hom_A(M_1,M_2) \ar[d] \ar@{^(->}[r] & K\otimes_k\Hom_k(M_1,M_2) \ar[d]
-\ar[r] &
-K\otimes_k \Hom_k(M_1,M_2)^{(X)} \ar[d]\\
-0 \ar[r]& \Hom_{A_K}(M_{1K},M_{2K}) \ar@{^(->}[r] & \Hom_K(M_{1K},M_{2K}) \ar[r] &
-\Hom_K(M_{1K},M_{2K})^{(X)}
-}
-$$
-où les deux dernières flèches verticales sont des isomorphismes.
-La première flèche verticale est donc également un isomorphisme.
-\end{proof}
-
-Ainsi, les $\phi_i\otimes_k K$ forment une base de $\Hom_{A_K}(M_{1K},M_{2K})$
-sur $K$. Supposons qu'il existe une famille $(\Lambda_i)\in K^r$
-telle que le déterminant ci-dessus soit non nul. Ce dernier, vu comme polynôme
-à coefficient dans $k$ est donc non identiquement nul ; puisque $k$ est infini,
-il prend une valeur non nul en un point $(\lambda_i)\in k^r$.
-
-
-Il nous reste donc à démontrer le théorème dans le cas particulier où $k$ est fini.
-Supposons donc maintenant $k$ fini, de cardinal $q$, et $K/k$ (galoisienne) de degré $r$.
-%Un $x\in K$ tel que les $x,\FR_{k}(x)=x^q,\dots,\FR^{r-1}_{k}(x)=x^{q^{r-1}}$
-%soient linéairement indépendants sur $k$ est nécessairement une
-%racine primitive $(q^r-1)$-ième de l'unité :
-%dans le cas contraire, il existerait $i<r$ tel que $x^{q^i}$ soit égal égal $x$.
-%Voyons que réciproquement, une telle racine primitive de l'unité
-%(également générateur multiplicatif du groupe $K^{\times}$) convient.
-Exploitant le fait que $\ga(K/k)$ est ici cyclique (d'ordre $r$), voyons
-$K$ comme un $k[X]$-module, où $X$ agit via $\FR_{k}$. Montrons que l'annulateur $\got{a}\subset
-k[X]$ de $K$ est l'idéal $(X^r-1)$. Soit $a\in \got{a}$ ; par
-division euclidienne, $$a=\lambda_0+\lambda_1 X+\cdots \lambda_{r-1} X^{r-1}+(X^r-1)b,$$
-où $b$ est un polynôme et les $\lambda_i$, $0\leq i \leq r-1$ sont dans $k$.
-Finalement l'application $k$-linéaire $\lambda_0+\lambda_1 \FR_k+\cdots+\lambda_{r-1} \FR_k$
-est nulle. D'après \ref{indep linéaire}, cela entraîne les égalités
-$\lambda_0=\cdots=\lambda_{r-1}=0$, \cad $a\in (X^r-1)$ ou encore $\got{a}=(X^r-1)$.
-Le polynôme $X^r-1$ est le ppcm des annulateurs des éléments de $K$, et donc d'un
-nombre fini d'éléments $x_1,\dots,x_n$ de
-$K$\footnote{Ici $K$ est fini mais cela est vrai plus généralement
-car $\dim_k K$ est finie.}. Pour chaque $i\in [1,n]$, soit $p_i$ l'annulateur de $x_i$.
-Par hypothèse $X^r-1=\mathrm{ppcm}_i\,p_i$. Si $p_i=r_i q_i$, l'annulateur
-de $q_i(x_i)$ est $r_i$. On peut donc supposer les $p_i$ premiers entre eux.
-Dans ce cas, $y:=p_1(x_1)+\cdots+p_n(x_n)$
-a pour annulateur $\mathrm{ppcm}_i\,p_i$. Ainsi les
-$y,X\cdot y=\FR_k(y),X^2\cdot y=\FR_k(y),\dots,X^{r-1}\cdot y=\FR_k(y)$ sont linéairement
-indépendants sur $k$, CQFD.
-%[DÉMO À LA MAIN ?]
-\end{proof}
-
-\begin{rmr2}
-Bien entendu, on ne prétend pas que $K$, en tant que $k$-algèbre
-soit isomorphe à $k[G]$. Cette dernière n'est d'ailleurs pas intègre pour $G$ fini non
-trivial. Sa structure est d'ailleurs intimement liée aux représentations irréductibles
-du groupe $G$.
-\end{rmr2}
-
-\section{Résolubilité par radicaux}
-
-Dans cette section, nous allons démontrer un théorème, dû à É.~Galois, qui fut sa
-principale motivation pour établir sa théorie.
-
-\begin{dfn}
-Soient $k$ un corps et $k\sep$ une clôture séparable. On note
-$k^{\mathrm{rad}}$ le plus petit sous-corps de $k\sep$ qui soit stable
-par les opérations $\sqrt[n]{\ }$, $(n,\mathrm{car}.k)=1$ et également $\sqrt[\wp]{\ }$ si
-$\mathrm{car}.k>0$. C'est une clôture \emph{radicale} de $k$.
-\end{dfn}
-
-\begin{thm}\label{extension radicale}
-Soit $K/k$ une extension galoisienne finie contenue dans $k\sep$. Alors
-$K\subset k^{\mathrm{rad}}$ si et seulement si le groupe $G_{K/k}$ est \emph{résoluble}.
-\end{thm}
-
-Rappelons qu'un groupe est dit résoluble (\cite{Bourbaki})
-s'il existe une filtration finie croissante
-$(G_i)$ de $G$ telle que, pour les indices adéquats,
-$G_i\triangleleft G_{i+1}$ et $G_{i+1}/G_i$ soit abélien. Cela entraîne en particulier
-que les sous-groupes sont en fait distingués dans $G$. Si $G$ est fini, on peut
-supposer les quotients cycliques d'ordre premier.
-
-\begin{proof}
-Supposons $K/k$ galoisienne finie de groupe de Galois $G$ résoluble et écrivons
-$\#G=p^{\alpha}n$ où $p=\mathrm{exp.car.}k$ est premier à $n$. Soit $k_n=k(\zeta_n)$
-l'extension (Galoisienne) de $k$ engendrée par une racine primitive $n$-ième de l'unité.
-Soit $\tilde{G}$ le groupe de Galois de l'extension $K_n=K k_n/k_n$. On a vu
-en \ref{fonctorialité} que $\tilde{G}$ s'injecte canoniquement dans $G$ ; il est
-en particulier résoluble. Il suffit donc de montrer que $K_n\subset k^{\mathrm{rad}}$.
-Ainsi, il suffit de démontrer le théorème dans le cas particulier où $k$ contient
-les racines de l'unité d'ordre divisant l'ordre de $G$. (Ceci afin d'utiliser la théorie
-de Kummer.) Nous ferons donc cette hypothèse supplémentaire.
-Dans ce cas, la filtration de $G$ par des sous-groupes $\{1\}=G_0\leq
-G_1\leq \cdots G_r=G$ induit une filtration de $K/k$ en
-$$k=K_r\subset \cdots K_i=K^{G_i} \cdots \subset K_{r-1} \subset
-K_1 \subset K_0=K.$$ Le groupe de Galois de $K/K^{G_i}$ est $G_i$ donc
-et celui de $K^{G_i}/K^{G_{i+1}}$ est $G_{i+1}/G_i$, que l'on peut supposer cyclique
-d'ordre premier $\ell$. Il résulte des théories de Kummer et d'Artin-Schreier
-que $K_i=K_{i-1}(\sqrt[\ell]{a})$, $a\in K_{i-1}$, où soit $\ell\neq p$ est un nombre premier
-soit $\ell=\wp$.
-
-
-Réciproquement, si $K\subset k^{\mathrm{rad}}$. Il existe une suite d'extensions
-$k\subset k_1 \subset \cdots \subset k_r$ du type précédent telle que $K\subset k_r$.
-Par la correspondance de Galois encore, le groupe de Galois de l'extension $k_r/k$ est
-résoluble et se surjecte sur celui de $K/k$. Ce dernier est donc résoluble.
-\end{proof}
-
-Que $K/k$ soit galoisienne n'est pas essentiel : il importe seulement
-qu'elle soit séparable et que le groupe de Galois de sa
-clôture galoisienne soit résoluble. Cela résulte du théorème précédent
-et du lemme suivant :
-
-\begin{lmm}
-Soit $K/k$ séparable finie. Alors, $K\subset k^{\mathrm{rad}}$ si et seulement si il
-en est ainsi de la clôture galoisienne de $K$ dans $k\sep$.
-\end{lmm}
-
-\begin{proof}
-Supposons $K\subset k^{\mathrm{rad}}$. Il est donc contenu dans
-l'aboutissement $k_r$ d'une tour d'extensions $k_{i+1}=k_i(\sqrt[n_i]{a})$ où
-$n_i\in \NN$, que l'on peut supposer premier à $p$, ou $n_i=\wp$.
-Dans le dernier cas, l'extension correspondante est galoisienne. Dans le premier
-cas elle ne l'est pas nécessairement mais si l'on introduit $k'=k(\mu_{\prod n_i}(k\sep))$,
-on voit immédiatement que $k'/k$ est galoisienne et que $k'k_{i+1}/k'k_{i}$ l'est
-également. Ainsi, $K$ est contenu dans $k'k_r$ qui est bien galoisienne
-sur $k$ et contenue dans $k^{\mathrm{rad}}$. La conclusion en résulte.
-\end{proof}
-
-Étant donné un corps $k$, on dira qu'une « équation » $f\in k[X]$
-est résoluble par radicaux si les racines de $f$ sont contenues
-dans $k^{\mathrm{rad}}$. (En particulier, $f$ est séparable.)
-Cela signifie que l'on peut écrire les racines
-à partir des coefficients en s'autorisant à extraire des racines, éventuellement
-$\wp$-ièmes, ainsi que les autres opérations algébriques classiques.
-
-\begin{crl}[N.~Abel]
-L'équation générale de degré $n\geq 5$ sur un corps quelconque n'est pas résoluble
-par radicaux.
-\end{crl}
-
-\begin{proof}
-Le groupe de Galois de l'extension générale :
-$$
-X^n-\sigma_1X^{n-1}+\cdots+(-1)^n \sigma_n\in k(\sigma_1,\dots,\sigma_n)[X]
-$$
-est le groupe symétrique $\got{S}_n$. Celui-ci n'est pas résoluble pour $n\geq 5$.
-(En effet, le groupe alterné correspondant est simple.)
-Cf. \cite{}.
-\end{proof}
-%[PAGE 14' zappée !]
-Remarquons qu'il n'est \emph{a priori} pas évident que le théorème d'Abel
-entraîne qu'il existe ne serait-ce qu'une équation à coefficients rationnels
-qui ne soit pas résoluble : on pourrait penser qu'il n'existe pas de formule
-valable pour toutes les équations mais que pour chaque polynôme, il existe une
-formule adaptée. Il n'en est rien.
-
-\begin{thm}\label{S_n}
-Soit $n\geq 1$ un entier. Il existe un polynôme unitaire $f_n$ de degré $n$ à coefficients
-rationnels de Galois groupe $S_n$.
-\end{thm}
-
-D'une certaine façon, la majeure partie du reste de l'ouvrage consiste
-à présenter les idées qui nous permettrons
-de donner trois démonstrations totalement différentes
-de ce théorème : une par « réduction modulo $p$ » \ref{S_n-1} (\cad via
-$\QQ\supset \ZZ\surj \FF_p$), une par « spécialisation » \ref{S_n-3} (\cad via $\QQ[t]\surj \QQ$)
-et enfin une démonstration $p$-adique \ref{S_n-2} (\cad via $\QQ\hra \QQ_p$), avec l'hypothèse
-supplémentaire que $4$ ne divise pas $n$ mais l'avantage d'écrire explicitement le polynôme.
-
-\section{Comportement par spécialisation}\label{spécialisation}
-Cette section peut-être omise en première lecture.
-Soient $A$ un anneau intègre, intégralement clos\footnote{Par
-exemple $A=\ZZ$ ou $A=\QQ[T]$.} (cf. \ref{normal}), $K$ son corps des fractions.
-Soient $$f=X^d+\cdots+a_0\in A[X]$$ un polynôme séparable
-sur $K$, et $L=K(X_f)$ un corps de décomposition de $f$, où $X_f$ est
-l'ensemble des racines de $f$ dans $L$. Notons $G_f$ le groupe
-de Galois de l'extension $L/K$.
-Soit $\MM_A$ un idéal maximal de $A$, de corps résiduel $\kappa:=A/\MM_A$.
-Soit $\lambda=\kappa(X_{\sur{f}})$ un corps de
-décomposition de $\sur{f}:=f\ \mathrm{mod}\ \MM_A\in \kappa[X]$
-sur $\kappa$. \emph{Supposons l'extension finie $\lambda/\kappa$
-séparable} ; notons $G_{\sur{f}}$
-son groupe de Galois.
-
-\begin{prp}Sous les hypothèses précédentes,
-il existe un sous-groupe (non canonique) $D\leq G_{f}$,
-appelé \emph{sous-groupe de décomposition} et une \emph{surjection}
-naturelle $D\surj G_{\sur{f}}$.
-Si l'on suppose $\sur{f}$ \emph{séparable}, c'est un \emph{isomorphisme}.
-Autrement dit, dans ce cas, \emph{le groupe de Galois de l'équation réduite $\sur{f}$
-s'identifie (non canoniquement) à un sous-groupe du groupe de Galois de l'équation $f$}.
-\end{prp}
-
-\begin{proof}
-Soit $B:=A[X_f]$ la $A$-sous-algèbre de $L$ engendrée par les racines de $f$.
-On veut exprimer $\lambda$ comme un quotient de cette algèbre. Supposons qu'il existe
-un idéal maximal $\MM_B$ de $B$ au-dessus (via l'application $\SP(B)\ra \SP(A)$)
-de $\MM_A$. Soit $\lambda'$ le quotient $B/\MM_B$ ; c'est une extension de $\kappa=A/\MM_A$ et
-le polynôme $\sur{f}$ est scindé sur $\lambda'$ : l'image $X'_f$ de $X_f$ dans $\lambda'$
-est l'ensemble
-des racines. De plus, $\lambda'$ est engendré par $X'_f$ sur $\kappa$. C'est donc un corps
-de décomposition, $\kappa$-isomorphe à $\lambda$.
-Ainsi, moyennant l'existence de $\MM_B$, on a montré qu'on a un diagramme commutatif :
-$$
-\xymatrix{
-L \supset B = A[X_f] \ar@{.>>}[r] \ar@<4ex>[d]^{G_f} & \lambda=\kappa[X_{\sur{f}}] \\
-K \supset A \ar@{-}[u] \ar@{->>}[r] & \kappa \ar@{-}[u]
-}
-$$
-L'existence de $\MM_B$ est équivalente au fait que l'anneau quotient $B/\MM_A B$ soit
-non nul. Ce dernier est nul si et seulement si $B=\MM_A B$, \cad si l'on peut
-écrire $1_B=m_A b$ où $m_A\in \MM_A$ et $b\in B$. En prenant la norme $N_{L/K}$
-on obtient $1_A=m_A^n N_{L/K}(b)$ où $n=[L:K]$ et $N_{L/K}(b)$, entier sur $A$
-(comme produit d'éléments entiers) et dans $K$ (c'est une norme), est nécessairement
-un élément de l'anneau $A$, intégralement clos par hypothèse. On aurait donc $1_A\in
-\MM_A$, ce qui est absurde.
-
-Dans la situation du diagramme précédent, considérons
-$$
-D:=\{g\in G_{f}, g\MM_B\subset \MM_B\}\leq G_{f}.$$
-On définit alors :
-
-$$
-\begin{array}{l}
-D\ra \ga(\lambda/\kappa)\\
-\sigma \mapsto \sur{\sigma}:\big(b \mod \MM_B \mapsto \sigma(b) \mod \MM_B\big).
-\end{array}
-$$
-(Le morphisme $\sur{\sigma}$ est bien défini.)
-
-On va montrer que ce morphisme est une surjection.
-\begin{lmm}
-Pour tout $\beta\in \lambda$, il existe $b\in B$ tel que $b\mod \MM_B=\beta$
-et $b\in \sigma(\MM_{B})$ pour tout $\sigma\in G_{f}-D$.
-\end{lmm}
-
-\begin{proof}
-Soient $\MM_1,\dots,\MM_r$ les différentes images $\sigma(\MM_B)$ pour $\sigma\notin D$.
-Il s'agit d'idéaux maximaux de $B$ car tout automorphisme
-$\sigma$ de $B$ induit un isomorphisme $B/\MM_B\ra \sigma(B)/\sigma(\MM_B)=B/\sigma(\MM_B)$
-; par le théorème chinois, l'application
-$$
-B\ra B/\MM_B\times B_{\MM_1}\times\cdots\times B_{\MM_r}
-$$
-est donc surjective.
-Un $b\in B$ relevant $(\beta,0,\dots,0)$ répond à la question.
-\end{proof}
-
-Soient maintenant $\beta\in \lambda$ un élément primitif de l'extension séparable
-$\lambda/\kappa$,
-et un $b\in B$ comme plus haut.
-Soit $P=\prod_{g\in G_{f}} (X-g(b))\in K[X]\cap B[X]=A[X]$. La réduction $\sur{P}\in \kappa[X]$
-de $P$ modulo $\MM_A$ s'annule en $\beta$ ; par hypothèse sur $b$, les racines non
-nulles de $\sur{P}$ sont les $\sur{\sigma}(\beta)$ pour $\sigma\in D$. Ainsi, tout
-conjugué de $\beta$ est de cette forme. La morphisme $D\ra G_{\sur{f}}$ est donc surjectif.
-
-Supposons maintenant $\sur{f}$ séparable.
-Le morphisme précédent est alors
-injectif car si $\sigma(x)\equiv x \mod \MM_B$ pour tout $x\in X_f$,
-les racines de $\sur{f}$ étant simples (donc $X_{f}\iso X_{\sur{f}}$),
-on a alors $\sigma(x)=x$ pour tout $x\in X_{f}$. Comme $X_f$ engendre $L$ sur $K$,
-l'automorphisme $\sigma$ est l'identité.
-\end{proof}
-
-Le morphisme est en fait surjectif sans l'hypothèse de séparabilité sur $\lambda/\kappa$,
-cf. \cite{CL@Serre}, \textsc{i}, prop.~20.
-
-Si l'on part de l'équation générique $f_{g\acute{e}n,n,k}\k(\{\sigma_i\}_{i\leq n}[X]$
-de degré $n$, de groupe $S_n$,
-la question de savoir pour quelles spécialisations des coefficients $\sigma_i\mapsto
-s_i\in k$ le groupe de Galois de $\sur{f}$ (supposée séparable) est encore le groupe symétrique
-entier est délicate.
-En \ref{degré 4} et \ref{degré 5}, nous avons vu que cela se traduit par
-l'absence de racines à des équations
-associées (les résolvantes introduites dans \emph{loc. cit.}),
-dont les coefficients sont des polynômes en les coefficients de l'équation
-originale.
-
-\section{Un critère pour $G_f=\got{S}_p$, $p$ premier, et $f$ de degré $p$}
-
-\begin{lmm}
-Soit $G\leq \got{S}_p$ un sous-groupe transitif\footnote{C'est-à-dire agissant
-transitivement sur $[1,p]$.}. Si $G$ contient une transposition, alors $G=\got{S}_p$.
-\end{lmm}
-
-\begin{proof}
-Comme $G$ est transitif, $p|\# G$. D'après un théorème de Cauchy, il contient
-donc un élément d'ordre $p$ ; c'est nécessairement un $p$-cycle que l'on peut
-supposer être $c=(1,2,3,\dots,p)$, quitte à renuméroter.
-Comme pour tout $i\neq 1$, on a $\langle c,(1i) \rangle=\got{S}_p$,
-la conclusion en résulte.
-\end{proof}
-
-On en déduit la proposition suivante.
-
-\begin{prp}
-Soit $f\in \QQ[X]$ un polynôme irréductible de degré $p$ ayant exactement deux
-racines non réelles dans $\CC$. Alors, $G_f=\got{S}_p$.
-\end{prp}
-
-En effet, l'automorphisme induit par la conjugaison complexe permute
-les deux racines non réelles et laisse invariantes les autres.
-
-\begin{exm}
-Soit $f=X^5-6X+3\in \QQ[X]$. C'est un polynôme irréductible par exemple d'après
-\ref{Eisenstein} ou bien l'irréductibilité sur $\FF_5$ (que l'on peut vérifier
-à l'aide de \ref{Berlerkamp}).
-Soit $\alpha\in \{\pm \sqrt[4]{\frac{6}{5}}\}$
-une racine réelle de $f'$. On a $5f(\alpha)=-24\alpha+15$. Comme $|\alpha|>1$,
-$\mathrm{sgn}(f(\alpha))=-\mathrm{sgn}(\alpha)$. Ainsi, les deux extréma locaux
-de $f$ sont de signes opposés et $f$ a trois racines réelles.
-Finalement
-$$
-\ga(X^5-6X+3/\QQ)=\got{S}_5.
-$$
-En particulier, cette équation n'est pas résoluble par radicaux.
-\end{exm}
-
-\section{Calculs explicites des racines}
-
-\subsection{Équations de degré $3$, en caractéristique $>3$}\label{racines équation degré 3}
-
-Soient $k$ un corps de caractéristique différente de $2$ ou $3$
-et $g$ un polynôme unitaire séparable de degré $3$ à coefficients dans $k$.
-Choisissons une clôture séparable $k\sep$ de $k$ et notons $X_g$ l'ensemble
-$\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ des racines de $g$ dans $k\sep$.
-
-Supposons $g$ irréductible ; si $\Delta\in k$ est le discriminant
-de $g$, l'extension $k(X_g)/k(\sqrt{\Delta})$ est une donc une extension de degré $3$ et
-notons $c$ un générateur du groupe de Galois.
-Soit $j\in k\sep$ une racine primitive cubique de l'unité. Il résulte de la théorie de Kummer
-que $k(X_g,j)=k(\sqrt{\Delta},j)(\sqrt[3]{x})$ pour un $x\in k(\sqrt{\Delta},j)$ à trouver.
-Un tel $x\neq 0$ est caractérisé par le fait que $c(x)=jx$ ou $c(x)=j^2x$ ; cet $x$ sera
-automatiquement un élément primitif, de cube dans le corps de base $k(\sqrt{\Delta},j)=:k_0$.
-
-Afin de simplifier les calculs, on supposera que la somme $\sigma_1$ des
-racines de $g$ est nulle. On ramène le cas général à ce cas particulier
-en changeant $g(T)$ en $g(T+\frac{\sigma_1}{3})$ ; c'est possible
-$3$ est inversible dans $k$. Ainsi on écrira classiquement
-$$
-g(X)=X^3+pX+q
-$$
-
-Les racines $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ ne sont pas linéairement indépendantes sur
-$k_0$ (la preuve en est que leur somme est nulle) mais il existe
-$\lambda,\mu\in k_0$ tels que $\alpha_1+\lambda\alpha_2+\mu \alpha_3$
-soit un élément primitif de $k(X_g)$ (cf. \ref{k infini élément primitif}
-ou bien la démonstration qui suit).
-
-Il est donc naturel de chercher $x$ de la forme $\alpha_1+\lambda \alpha_2 +
-\mu \alpha_3$. Comme l'automorphisme $c$ permute les racines, l'élément
-$$
-u:=\alpha_1+j\alpha_2+j^2\alpha_3
-$$
-satisfait $c(u)\in \{ju,j^2u\}$. Si $u$ est non nul (ce qui se révélera être vrai),
-$k_0(\sqrt[3]{u})=k_0(X_g)$. Il reste à calculer $u$ et exprimer
-les racines en fonctions de $u$.
-Remplaçant $j$ par son conjugué $j^2$, on introduit :
-$$
-v:=\alpha_1+j^2\alpha_2+j\alpha_3
-$$
-Il résulte immédiatement de ces deux définitions et du fait que
-$$
-0=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3
-$$
-que $$u+v=3\alpha_1$$ et, plus généralement, par l'inversibilité de la matrice
-de Vandermonde construite sur $1,j,j^2$ (ou bien d'un rapide calcul explicite),
-que les $\alpha_i$ ($1\leq i \leq 3$)
-s'expriment linéairement en $u$ et $v$ (avec des coefficients dans $k(j)$).
-Remarquons en passant que
-$$uv=-3p ;$$
-en particulier $v,u\neq 0$.
-Calculons $u^3$, qui appartient à $k_0$. Introduisons, pour le meilleur
-ou pour le pire, une notation. Si $H\leq \got{S}_3$ est un sous-groupe,
-celui-ci agit sur $k_0[X_1,X_2,X_3]$ par permutation
-des variables. Pour $f\in k_0[X_1,X_2,X_3]$, notons
-$$\mathrm{Sym}^+_H(f(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3))=
-\sum_{g\in H\cdot f} g(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$$
-la somme sur les $H$-orbites de $f$ ; de même pour $\mathrm{Sym}^\times$ pour
-le produit.
-Avec cette convention,
-$$
-u^3=\mathrm{Sym}^+_{\got{A}_3}(\alpha_1^3+3j \alpha_1^2 \alpha_2+3j^2 \alpha_1 \alpha_2^2)+6
-\mathrm{Sym}^{\times}_{\got{A}_3}(\alpha_1).
-$$
-Comme $$\sqrt{D}:=\delta:=-\mathrm{Sym}^{\times}_{\got{A}_3}(\alpha_1-\alpha_2)=
-\mathrm{Sym}_{\got{A}_3}^+(\alpha_1^2 \alpha_2) -
-\mathrm{Sym}_{\got{A}_3}^+(\alpha_1\alpha_2^2),$$
-on en tire $\mathrm{Sym}^+_{\got{A}_3}\alpha_1^2 \alpha_2=
-\frac{1}{2}(\mathrm{Sym}^+_{\got{S}_3}(\alpha_1^2\alpha_2)+\delta)$, et
-$\mathrm{Sym}^+_{\got{A}_3}\alpha_1 \alpha_2^2=
-\frac{1}{2}(\mathrm{Sym}^+_{\got{S}_3}(\alpha_1^2\alpha_2)-\delta).$
-Finalement, comme $j+j^2=-1$ et $j-j^2=\frac{\sqrt{-3}}{2}$\footnote{Ce par quoi
-on entend que $2(j-j^2)$ est une racine carrée de $-3$, dénotée $\sqrt{-3}$.},
-$$u^3=\mathrm{Sym}_{\got{A}_3}^+(\alpha_1^3)-
-\frac{3}{2}\cdot \mathrm{Sym}^+_{\got{S}_3}(\alpha_1^2\alpha_2)+
-6\cdot \mathrm{Sym}^{\times}_{\got{A}_3}(\alpha_1)+\frac{3}{2}\sqrt{-3}\cdot \delta.$$
-Il reste à calculer les expressions
-$\mathrm{Sym}_{\got{A}_3}^+(\alpha_1^3)$ et
-$\mathrm{Sym}^+_{\got{S}_3}(\alpha_1^2\alpha_2)$
-en fonction des fonctions symétriques élémentaires. Se rappelant que
-$$(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)(X-\alpha_3)=X^3+pX+q,$$
-on trouve après un court calcul (exercice)\footnote{L'absence de terme en $p$
-dans la formule ci-dessous résulte \emph{a priori} de considérations de degrés
-($u^3$ est de degré $3$ en les racines) et du fait que $p\sigma_1$, de degré $3$
-également, est nul.}
-$$u^3=-\frac{27}{2}q+\frac{3}{2}\sqrt{-3}\cdot \delta ; $$
-changeant $j$ en $j^2$, on change la racine carrée $\sqrt{-3}$ en sa conjuguée
-$-\sqrt{-3}$ et ainsi,
-$$v^3=-\frac{27}{2}q-\frac{3}{2}\sqrt{-3}\cdot \delta.$$
-On remarquera que ces quantités appartiennent bien à $k_0$.
-Enfin on rappelle (\ref{discriminant}), que $\delta^2=-4p^3-27q^2$.
-(Changer un choix de $\delta$ en un autre, échange $u^3$ et $v^3$.)
-
-Résumons. Soit $X^3+pX+q$ une équation de discriminant $D=-4p^3-27q^2\neq 0$
-sur un corps de caractéristique $\neq 2,3$. Soient $\delta$ une racine carrée de $D$
-dans $k\sep$ et $j$ une racine cubique primitive de l'unité dans $k$.
-Soit $u_1,u_2,u_3$ (resp. $v_1,v_2,v_3$) les racines cubiques de
-$-\frac{27}{2}q+\frac{3}{2}\sqrt{-3}\cdot \delta$ (resp.
-$-\frac{27}{2}q-\frac{3}{2}\sqrt{-3}\cdot \delta$).
-
-Choisissons $u_1,v_1$ de telle sorte que $u_1v_1=-3p$ : on peut faire un tel choix
-de trois façons différentes ; chacun correspond à la détermination de la
-numérotation des éléments sur $X_g$ (multiplier $u$ plus haut par $j$ revient
-à permuter les racines $\alpha_i$).
-
-Alors, $\alpha:=\frac{1}{3}(u_1+v_1)$ est une racine de l'équation.
-On aime parfois écrire cette formule :
-$$
-\alpha=\frac{1}{3}\big( \sqrt[3]{-\frac{27}{2}q+
-\frac{3}{2}\sqrt{-3}\sqrt{-4p^3-27q^2}}
-+ \sqrt[3]{-\frac{27}{2}q - \frac{3}{2}\sqrt{-3}\sqrt{-4p^3-27q^2}}\big).
-$$
-
-Les autres racines de $X^3+pX+q$ s'obtiennent en remplaçant $u_1$ par
-$j^ru_1$ et $v_1$ par $j^{-r}v_1$.
-
-%[EXPLIQUER COMMENT DEVINER QU'IL Y A UNE RELATION SUPPLÉMENTAIRE $UV=-3p$
-%D'OÙ ÇA SORT !? ]
-
-\subsection{Équations de degré $4$, en caractéristique $>4$}
-
-Nous allons procéder comme dans la section précédente pour calculer
-les racines d'une équation de degré $4$ sur un corps $k$ de caractéristique différente
-de $2$ ou $3$.
-Ici encore, il est commode de supposer
-que cette équation est de la forme : $f=X^4+pX^2+qX+r$. (On utilise
-le fait que $4$ est inversible dans $k$.)
-
-La théorie de Galois, et spécialement le théorème \ref{extension radicale},
-montre que cette question est intimement liée aux filtrations de Jordan-Hölder
-du groupe $\got{S}_4$.
-
-Dans le cas universel $G_{f}\iso \got{S}_{X_f}$,
-on a la correspondance suivante, où les degrés des extensions
-sont notés à droite :
-$$
-\xymatrix{
-\{1\} \ar@{-}[d] & K \\
-\ZZ/2 \ar@{-}[d] & K^{\ZZ/2} \ar@{-}[u]^2\\
-V_4=\{(12)(34),(13)(24),(14)(23),1\} \ar@{-}[d] & K^{V_4} \ar@{-}[u]^2\\
-\got{A}_4 \ar@{-}[d] & K^{\got{A}_4}=k(\sqrt{D}) \ar@{-}[u]^3 \\
-\got{S}_4 & k \ar@{-}[u]^2
-}$$
-où $V_4$ est \emph{un} sous-groupe « de Klein » de $\got{S}_4$. De façon générale,
-on notera, pour $\got{H}\leq \got{S}_{4}$, $K^{\got{H}}:=K^{\got{H}\cap G_{f}}$ ; avec
-cette convention, le diagramme ci-dessus vaut encore mais les degrés des extensions
-peut-être des diviseurs des degrés indiqués.
-
-On doit procéder de bas en haut. Notons $\sous{x}:=(x_1,\dots,x_4)$ les racines (ordonnées)
-de $f$ dans une clôture séparable de $k$.
-L'extension galoisienne de degré divisant $3$,
-$K^{V_4}/K^{\got{A}_4}$ est engendrée par n'importe quel élément de $k(X_f)$
-qui est l'évaluation en $\sous{x}$ d'un polynôme de $k(X_1,X_2,X_3,X_4)$
-qui est invariant sous $V_4$ mais pas sous $\got{A}_4$.
-Un tel polynôme est
-$$(X_1+X_2)(X_3+X_4).$$
-\begin{rmr} Ce polynôme n'est pas un générateur de $k(X_1,X_2,X_3,X_4)^{\got{A_4}}$ ;
-cela est dû à l'existence d'un groupe non contenu dans $\got{A}_4$,
-$V_4\leq D_4\leq \got{S}_4$, ici $D_4=V_4\cup \{(12),(34),(1324),(1432)\}$,
-laissant invariant cette expression.
-\end{rmr}
-
-Soient
-$$
-\begin{array}{l}
-\theta_1=(x_1+x_2)(x_3+x_4)\\
-\theta_2=(x_1+x_3)(x_2+x_4)\\
-\theta_3=(x_1+x_4)(x_2+x_3)
-\end{array}
-$$
-les évaluations en $\sous{x}$ des trois orbites de $(X_1+X_2)(X_3+X_4)$ sous
-l'action de $\got{A}_4$. Un calcul (cf. par exemple \cite{Algebra@VdW} donne
-$$
-(\Theta-\theta_1)(\Theta-\theta_2)(\Theta-\theta_3)=\Theta^3-2p\Theta^2+(p^2-4r)\Theta+q^2.
-$$
-Que $\sqrt{D}$ n'apparaisse pas dans les coefficients, résulte du fait que les $\theta_i$
-forment aussi une orbite sous l'action de $\got{S}_4$ tout entier (cf. remarque).
-D'après la section précédente, on sait résoudre cette équation.
-On cherche maintenant une expression $\ZZ/2$-invariante mais non $V_4$ invariante, pour
-un $\ZZ/2\leq V_4$. Le polynôme $X_1+X_2$ en est un, pour le groupe
-$\{(12)(34),1\}\leq V_4$.
-Comme
-$$
-(Y-(x_1+x_2))(Y-(x_3+x_4))=Y^2-(x_1+x_2+x_3+x_4)Y+(x_1+x_2)(x_3+x_4),
-$$
-on a $x_1+x_2=\sqrt{-\theta_1}$ (cf. $\sigma_1=0$), pour un choix d'une telle racine, et
-$x_3+x_4$ est son opposé $-\sqrt{-\theta_1}$.
-De même façon, pour les deux autres choix de groupes cycliques d'ordre $2$ dans $V_4$,
-on a
-$$
-\begin{array}{l}
-x_1+x_3=\sqrt{-\theta_2}\\
-x_1+x_4=\sqrt{-\theta_3}
-\end{array}
-$$
-Le choix des racines carrées doit être fait de telle sorte que le produit
-$$\prod_{i=1}^3 \sqrt{-\theta_i}=(x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_1+x_4)\sr{\text{calcul}}{=}
--q.$$
-Enfin, comme $2x_1=(x_1+x_2)+(x_1+x_3)+(x_1+x_4)=\sum_{i=1}^3 \sqrt{-\theta_i}$,
-on obtient $x_1$.
-
-\section{Extension cyclotomiques}
-
-Dans cette section, nous supposons choisie une fois pour toute une clôture
-séparable $\sur{\QQ}$ de $\QQ$.
-
-\subsection{Rappels}
-Nous renvoyons le lecteur par exemple à \cite{Algebre@Bourbaki}, \cite{Algebre@Lang}.
-pour les détails.
-Sur $\ZZ$, le polynôme $X^n-1$ se factorise en
-$$X^n-1=\prod_{d|n}\Phi_d(X),$$
-où
-$$
-\Phi_d(X)=\prod_{\begin{array}{l} \zeta^d=1 \\ \text{primitive} \end{array}} (X-\zeta)\in \ZZ[X],
-$$
-de degré la valeur en $d$, notée $\varphi(d)$, de l'indicatrice d'Euler.
-
-\begin{thm}[K.F. Gau\ss]
-Les polynômes $\Phi_d$ sont irréductibles.
-\end{thm}
-
-\begin{proof}
-La démonstration procède par réduction modulo $p$, alors que les polynômes
-$\Phi_{d,\FF_p}=\Phi_{d} \mod p$ ne sont pas en général irréductibles.
-Cf. \emph{op. cit.}.
-\end{proof}
-% À FAIRE !?
-\begin{crl}
-Soit $n\geq 1$ un entier.
-L'extension $\QQ(\mu_{n}(\sur{\QQ}))/\QQ$ est galoisienne,
-et le morphisme
-$$
-\begin{array}{l}
-\Aut(\mu_n(\sur{\QQ}))\ra \ga(\QQ(\mu_{n}(\sur{\QQ}))/\QQ)\\
-s \mapsto \sigma=\big(\zeta\mapsto s(\zeta)\big)
-\end{array}
-$$
-est un isomorphisme. En particulier, $$[\QQ(\mu_{n}(\sur{\QQ})):\QQ]=\varphi(n).$$
-\end{crl}
-
-On réécrit souvent cet isomorphisme sous la forme, moins canonique mais peut-être
-plus parlante :
-
-$$
-\begin{array}{l}
-(\ZZ/n)^{\times}\iso \ga(\QQ(\zeta_n)/\QQ)\\
-(a \mod n) \mapsto \sigma_a=\big(\zeta_n \mapsto \zeta_n^a\big),
-\end{array}
-$$
-où $\zeta_n$ est une racine primitive $n$-ième quelconque de l'unité.
-
-Voyons quelques applications de ce fait.
-
-\begin{crl}[3,5,17,257,65537,?]
-Soient $n\geq 1$ un entier et $\zeta_n$ une racine primitive $n$-ième
-de l'unité. Alors, $[\QQ(\zeta_n):\QQ]\in 2^{\NN}$
-si et seulement si $n$ est une puissance de $2$ multipliée par un produit de
-nombres premiers de Fermat distincts.
-\end{crl}
-
-La condition que le degré de l'extension soit une puissance de $2$ signifie
-exactement que $\zeta_n$ est \emph{constructible (à la règle et) au compas}
-(cf. \emph{loc. cit.} et \cite{Lecons@Lebesgue}). Pour les constructions
-avec 折紙 (origami), cf. \cite{Galois@Cox}.
-
-
-Rappelons qu'un nombre premier de Fermat est un nombre premier de la forme
-$2^{r}+1$ ($r$ est alors nécessairement une puissance de $2$).
-
-Au début du \textsc{xxi}-ième siècle, seuls les nombres de Fermat premiers connus
-du grand public sont ceux indiqués plus haut.
-
-\begin{crl}
-Tout groupe fini abélien est isomorphe au groupe de Galois d'une extension
-de $\QQ$.
-\end{crl}
-
-On conjecture même que \emph{tout groupe fini est groupe de galois sur $\QQ$}
-(cf. \cite{Topics@Serre}).
-
-\begin{proof}
-Nous aurons besoin du lemme suivant :
-\begin{lmm2}
-Soit $n$ un entier, il existe une infinité de nombres premiers congrus à $1$ modulo $n$.
-\end{lmm2}
-\begin{proof}
-Si l'entier $r$ tend vers $+\infty$, l'entier $\Phi_n(nr)$ tend vers $+\infty$
-également ; en particulier il est $>1$ pour $r$ grand.
-Soit $p$ un diviseur d'une telle valeur. En particulier,
-$p$ divise $(nr)^n-1$. Cela entraîne que $p$ et $n$ sont premiers entre eux.
-Ainsi, pour chaque diviseur strict $d$ de $n$,
-$p$ ne divise pas $(nr)^d-1$ ; s'il en était ainsi,
-$X^n-1$, qui est divisible par $\Phi_n(X)\cdot \Phi_d(X)$ aurait
-une racine double modulo $p$, ce qui est absurde compte tenu du fait qu'il
-est séparable. Ainsi $n$ est l'ordre de $nr$ modulo $p$ et $n$ divise
-donc $p-1=\#\FF_p^{\times}$.
-En remplaçant par exemple $n$ par un multiple, on voit qu'il existe
-une infinité de tels nombre premiers.
-\end{proof}
-Ainsi, pour $n$ fixé et $p=1+an$ comme plus haut,
-$$
-(\ZZ/p)^{\times}\isononcan \ZZ/(p-1)=\ZZ/an,
-$$
-donc
-$\ZZ/n$ est un quotient de $(\ZZ/p)^{\times}\isononcan
-\ga(\QQ(\zeta_p)/\QQ)$, où $\zeta_p$ est une racine $p$-ième non triviale
-de l'unité.
-D'après la théorie de Galois, il existe donc une sous-extension $K_{n,p}$
-$$
-\xymatrix{
-\QQ(\zeta_p) \ar@{-}[dd] & \\
-& K_{n,p} \ar@{-}[lu] \ar@{-}[dl]\\
-\QQ \ar@/^1pc/[uu]^{(\ZZ/p)^{\times}} \ar@/_1pc/[ur]_{\ZZ/n}}
-$$
-
-\begin{lmm2}\label{Linéairement disjointes}
-Soient $p_1,\dots,p_r$ des nombres premiers \emph{distincts} et
-$\zeta_{p_i}$ des racines primitives de l'unité d'ordre $p_i$
-dans une clôture algébrique $\sur{\QQ}$ de $\QQ$. Alors,
-le morphisme de multiplication
-$$\QQ(\zeta_{p_1})\otimes_{\QQ}\cdots \otimes_{\QQ} \QQ(\zeta_r)\ra \QQ(\zeta_{p_1\cdots p_r})=
-\QQ(\zeta_{p_1})\QQ(\zeta_{p_2})\cdots \QQ(\zeta_r)
-$$
-est un isomorphisme.
-%On a $\QQ(\zeta_{p_i})\cap \QQ(\zeta_{p_j})=\QQ$ pour tout $i \neq j$.
-\end{lmm2}
-
-\begin{proof}
-Le degré sur $\QQ$ de la $\QQ$-algèbre de gauche est $\prod_i \varphi(p_i)$ ;
-celui de celle de droite est $\varphi(\prod_i p_i)$. La conclusion en résulte
-par « multiplicativité » de $\varphi$.
-\end{proof}
-
-De façon générale, on fait la définition suivante (ou le lecteur pourra
-supposer $I$ fini s'il le souhaite) :
-\begin{dfn2}
-Soient $(K_i)_{i\in I}$ une famille d'extension d'un corps $k$ et
-$K$ une extension composée de $(K_i)_{i\in I}$. On dit que ces extensions
-sont \emph{linéairement disjointes} si le morphisme
-$\bigotimes_{i\in I} K_i \ra K$ est un isomorphisme.
-(Le produit tensoriel est pris sur $k$.)
-\end{dfn2}
-
-Cela revient à supposer que le produit tensoriel est intègre \cad ici un corps.
-Il résulte immédiatement de la définition que pour tout $J\subset I$,
-les $(K_j)_{j\in J}$ sont également linéairement disjoints.
-
-\begin{lmm2}
-Sous les hypothèses de la définition, pour tout $i\neq j \in I$,
-$K_i\cap K_j=k$, l'intersection étant prise dans $K$.
-\end{lmm2}
-\begin{proof}
-Soit en effet $a\in K_i\cap K_j$.
-L'élément $a\otimes 1-1\otimes a$ s'envoie sur $0$ dans l'extension
-composée $K_iK_j$ ; il est donc nul
-dans $K_i\otimes_{k} K_j$.
-S'il en est ainsi, il est également nul dans $K_iK_j\otimes_{k} K_iK_j$.
-Or on a vu en \ref{descente-libre}
-que si $d(a)=a\otimes 1 - 1\otimes a=0$, $a\in k$.
-\end{proof}
-
-Soit $C=\prod_{i=1}^r \ZZ/n_i$ un groupe abélien fini. On a vu qu'il existe
-$r$ nombres premiers distincts $p_1,\dots,p_r$ et $r$ sous-extensions
-de $\QQ(\zeta_{p_i})/\QQ$, notées $K_{n_i,p_i}$, de groupes de galois $\ZZ/n_i$.
-Considérons $K$ l'extension composée des $K_{n_i,p_i}$, $1\leq i \leq r$.
-Comme les extensions $K_{n_i,p_i}$ sont également linéairement disjointes
-il résulte par applications successives de \ref{prop fonctorialité}
-que $\ga(K/\QQ)\isononcan C$. (On utilise implicitement
-le fait que $\QQ(\zeta_{p_1,\dots,p_i})$ et $\QQ(\zeta_{p_{i+1}})$ soient
-linéairement disjointes.
-\end{proof}
-
-\begin{rmr}[Kronecker-Weber]
-Réciproquement, il est vrai, et difficile à démontrer, que
-\quote{Toute extension finie abélienne de $\QQ$ est contenue dans une extension cyclotomique.}
-\end{rmr}
-
-\subsection{Démonstration explicite et élémentaire de la constructibilité de $\zeta_{3,5,17,257,65537,?}$ : sommes de Gauß et de Jacobi}
-
-Soient $p$ un nombre premier, $\zeta_p$ une racine primitive $p$-ième de l'unité et
-$\chi:\FF_{p}^{\times}\ra \CC^{\times}$ un morphisme de groupes (un « caractère
-multiplicatif de $\FF_p$ »). Par commodité, on pose $\chi(0)=0$.
-Notons $\mathbf{1}$ le caractère trivial \cad
-constant de valeur $1$. Suivant, au signe près, Gauß et Jacobi, posons :
-$$
-g(\chi):=-\sum_{x\in \FF_p}\chi(x)\zeta_p^x
-$$
-et
-$$
-J(\chi,\chi'):=-\sum_{x+y=1} \chi(x)\chi'(y).
-$$
-
-La somme des racines $p$-ièmes de l'unité étant nulle, on a
-$g(\mathbf{1})=1$. Dualement\footnote{La formule précédente
-se réécrirait $g(\mathbf{1})=0$ si l'on avait pris la convention
-que $\mathbf{1}(0)=1$.}, si $x\in \FF_{p}^{\times}$ n'est pas l'unité,
-$$
-\sum_{\chi} \chi(x)=0,
-$$
-où $\chi$ parcourt l'ensemble des caractères de $\FF_{p}^{\times}$
-\footnote{Rappelons que le groupe des caractères
-$\widehat{\FF_p^{\times}}:=\Hom(\FF_p^{\times},\CC^{\times})$ est cyclique
-d'ordre $p-1$. Plus généralement si $G$ est un groupe fini,
-$\# G = \# \widehat{G}$ et $G\iso \widehat{\widehat{G}}$ canoniquement.}
-
-\begin{lmm2}
-\begin{enumerate}
-\item Si $\chi\neq \mathbf{1}$, $g(\chi)g(\sur{\chi})=p$. En particulier,
-$|g(\chi)|=\sqrt{p}$,
-\item $g(\chi)g(\chi')=g(\chi\chi')J(\chi,\chi')$.
-\end{enumerate}
-\end{lmm2}
-
-La démonstration est laissée en exercice au lecteur
-(cf. \cite{Ireland-Rosen}). [Cf. notes cours à Hyères, à
-inclure partiellement ?.]
-
-Supposons maintenant que $p=2^n-1$ soit un nombre premier de Fermat.
-La constructibilité de $\zeta_p$ s'explique simplement : d'une part
-par construction $J(\chi,\chi')\in \ZZ[\zeta_{p-1=2^n}]$ (chaque $\chi(x)$ isolément
-est une racine $p-1$-ième de l'unité) et
-$\zeta_p$ est une combinaison linéaire à coefficient $\QQ$ en les sommes de Gauß ;
-ces dernières sont dans $\ZZ[\zeta_{p-1=2^n}]$ en vertu du lemme précédent. Voici les
-détails.
-
-\begin{lmm2}
-$$
-\zeta_{p}=-\frac{1}{p-1}\sum_{\chi\in \widehat{\FF_p^{\times}}} g(\chi).
-$$
-\end{lmm2}
-
-\begin{proof}
-Calculons :
-$$
-\begin{array}{ll}
-\sum_{\chi} -g(\chi)&=\sum_{x\in \FF_p^{\times}} \zeta_p^{x}\big(\sum_{\chi}\chi(x)\big) \\
-& =\zeta_{p}(p-1)
-\end{array}
-$$
-la contribution des facteurs pour $x\neq 1$ étant nulle.
-\end{proof}
-
-Il reste donc à montrer que chaque $g(\chi)$ est constructible (\cad
-de degré sur $\QQ$ une puissance de $2$) ; comme $g(\mathbf{1})=1$,
-supposons $\chi$ non trivial et d'ordre $2^r$, $r>1$.
-Calculons :
-$$\begin{array}{ll}
-g(\chi)^{2^r}=g(\chi)\cdots g(\chi)&=\big(g(\chi)g(\chi)\big)g(\chi)^{2^r-2}\\
-&=J(\chi,\chi)\big(g(\chi^2)g(\chi)\big)g(\chi)^{2^r-4}\\
-&=J(\chi,\chi)J(\chi^2,\chi)\big(g(\chi^3)g(\chi)\big)g(\chi)^{2^r-6}\\
-&= \cdots \\
-&=\big(\prod J(\chi^i,\chi)\big) g(\mathbf{1})
-\end{array}
-$$
-Finalement $g(\chi)^{2^r}$ est constructible et $g(\chi)$, qui en est
-une racine $2^r$-ième, aussi.
-
-\subsection{Réduction modulo $p$ des $\Phi_n$}
-
-\begin{prp2}
-Le polynôme $\Phi_8(X)=X^4+1$ est irréductible sur $\QQ$ mais sa réduction
-modulo $p$ notée $\Phi_{8,\FF_p}$, est réductible sur $\FF_p$
-pour chaque nombre premier $p$.
-\end{prp2}
-
-\begin{proof}
-Supposons $p\geq 3$ ; $\Phi_{8,\FF_2}(X)=(X+1)^4$.
-Soit $x$ une racine de $X^4+1$ dans $\FF_p$. On a donc $x^8=1$. Comme pour $p\geq 3$,
-$8$ divise $p^2-1$, $x$ appartient à $\FF_{p^2}$ \cad $x$ est de degré $2$ sur $\FF_p$.
-\end{proof}
-
-En particulier, on remarquera que l'irréductibilité d'un polynôme à coefficients
-entiers ne se vérifie pas simplement en réduisant modulo les nombres premiers.
-Malgré tout, on montre que $X^p-X+1\in \ZZ[X]$ est irréductible, en remarquant par exemple
-que sa réduction modulo $p$ l'est dans $\FF_p[X]$.
-
-Plus précisément, on a :
-
-\begin{prp2}
-Soient $n$ un entier, $p$ un nombre premier ne divisant pas $n$ et
-$\FF_p(\zeta_n)/\FF_p$ le corps de décomposition de $\Phi_{n,p}$.
-Alors, $[\FF_p(\zeta_n):\FF_p]=f$, où $f$ est l'ordre de $p$ dans $(\ZZ/n)^{\times}$.
-\end{prp2}
-
-\begin{proof}
-En effet, $\zeta_n\in \FF_{q=p^r}$ si et seulement si $\zeta_n^{q-1}=1$.
-Cela ne se produit que si $n$ divise $q-1$ car $\zeta_n$ est exactement d'ordre
-$n$ (cf. $(p,n)=1$).
-\end{proof}
-
-Il en résulte que $\Phi_{n,\FF_p}$ est un produit de $\frac{\phi(n)}{f}$ polynômes irréductibles
-de degré $f$.
-
-Par exemple, $\Phi_{12}(X)=X^4-X^2+1$ et $\Phi_{12,\FF_5}=(X^2-2X-1)(X^2-2X-1)\in \FF_{5}[X]$ ;
-$5^2\equiv 1 \mod 12$.
-
-\begin{exo2}
-Montrer que $n$ étant donné, il existe $p$ premier à $n$
-tel que $\Phi_{n,\FF_p}$ soit irréductible si et seulement si
-$n=1,2,4,\ell^{\alpha},2\ell^{\alpha}$ pour un nombre premier $\ell$.
-On pourra utiliser le théorème de la progression arithmétique
-pour une des deux implications.\end{exo2}
-
diff --git a/4-chap-Galois.tex b/4-chap-Galois.tex
deleted file mode 100644
index 4e8ccb3..0000000
--- a/4-chap-Galois.tex
+++ /dev/null
@@ -1,745 +0,0 @@
-\chapter{Réduction modulo $p$ : le théorème de Frobenius}
-
-Dans toute cette section on suppose choisies une clôture séparable $\sur{\QQ}$ de $\QQ$
-et pour chaque nombre premier $p$ une clôture séparable $\sur{\FF_p}$ de $\FF_p$
-Comme dans les chapitres précédents, un polynôme $f\in \QQ[X]$ étant
-donné, on notera $X_f$ l'ensemble de ses racines dans $\sur{\QQ}$.
-
-\section{Un résultat liminaire}
-
-Soient $X$ un ensemble fini de cardinal $d$ et $\{d_1,\dots,d_r\}$ une suite
-d'entier positifs de somme égale à $d$. Nous dirons que $\sigma\in \got{S}_X$
-est \emph{de type $d_1,\dots,d_r$} si $\sigma$ se décompose en le produit
-de $r$-cycles, d'ordres $d_1,\dots,d_r$. (En d'autres termes, l'action de $\sigma$
-sur $X$ a $r$ orbites, de cardinaux ces entiers.)
-
-Commençons par un résultat sur les corps finis :
-
-\begin{lmm}\label{cycles tautologiques}
-Soit $g=g_1\cdots g_r$ un produit de polynômes irréductibles
-distincts de $\FF_p[X]$, de degrés respectifs $d_1,\dots,d_r$.
-L'extension $\FFp(X_g)/\FFp$ est de degré $e=\mathrm{ppcm}_i\, d_i$
-et $\FR_p$, vu comme élément de $\got{S}_{X_g}$ est un élément
-de type $d_1,\dots,d_r$.
-\end{lmm}
-
-\begin{prp}\label{Dedekind} Soit $f=a_d X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme séparable de degré $d\geq 2$.
-Soit $p$ un nombre premier ne divisant pas $a_d$ et supposons que
-$$
-f\mod p = f_1\cdots f_r \in \FF_p[X],
-$$
-où les $f_i$ sont irréductibles, distincts et d'ordres respectifs $d_i$.
-Alors, il existe un élément $\sigma_p\in G_f\subset \got{S}_{X_f}$
-de type $d_1,\dots,d_r$.
-\end{prp}
-
-Remarquez que l'on ne suppose pas $f$ irréductible.
-Les hypothèses de séparabilité peuvent se résumer en $(p,\mathrm{disc}(f))=1$.
-
-\begin{dfn}
-Sous les hypothèses de la proposition, nous dirons que $f \mod p$ est \emph{
-de type $d_1,d_2,\dots,d_r$}.
-\end{dfn}
-
-\begin{exm}
-Soit $f=X^4+3X^2+7X+4\in \ZZ[X]$. On a :
-$$
-\begin{array}{lll}
-f \mod 2 & = & X(X^3+X+1) \\
-f \mod 11 & = & (X^2+5X-1)(X^2-5X-4)
-\end{array}
-$$
-Il en résulte que $f$ est séparable, et qu'il existe un $3$-cycle et un
-élément de type $2,2$ dans le groupe de Galois de $f$.
-Celui-ci agit donc transitivement sur $X_f$ ce qui est équivalent à dire
-que $f$ est irréductible.
-\end{exm}
-
-\begin{proof}
-Nous avons vu en \ref{spécialisation}, du moins si $a_d=1$,
-que $G_{f\mod p}$ est (non canoniquement)
-isomorphe à un sous-groupe de $G_{f}$ ; la conclusion résulte alors
-du lemme \ref{cycles tautologiques}\footnote{Le cas général
-en résulte en multipliant $f$ par $a_d^{d-1}$ et en posant $Y=a_d X$.}.
-Pour la commodité du lecteur,
-voici une autre démonstration (les deux premiers lemmes étant parfaitement
-identiques à ceux donnés en \emph{loc. cit.}).
-Rappelons (cf. appendice ?), que l'on note $\ZZ_{(p)}$ le localisé
-de $\ZZ$ en l'idéal maximal $(p)$. C'est un anneau principal local d'idéal maximal
-$(p)$, intégralement clos (\ref{normal}),
-que l'on identifiera au sous-anneau de $\QQ$,
-$\{\frac{a}{b} \in \QQ,\, a\in \ZZ, b\in \ZZ-(p)\}$.
-Les racines de $f$ sont entières (\ref{entier}) sur $\ZZ_{(p)}$ car
-$a_d$ est une unité de cet anneau.
-Notons $A_f=\ZZ_{(p)}[X_f]$ la sous-$\ZZ_{(p)}$-algèbre de $\sur{\QQ}$
-engendrée par les racines
-de $f$. Notons $n$ le degré de l'extension galoisienne $\QQ(X_f)/\QQ$. Les deux premiers
-lemmes sont, à la localisation en $(p)$ près, des cas particuliers de \ref{spécialisation}.
-\begin{lmm2} Il existe un morphisme $\varphi_p:A_f\ra \sur{\FF_p}$.
-\end{lmm2}
-\begin{proof}
-Un tel morphisme se factorise canoniquement par $A\otimes_{\ZZ}\FF_p\isononcan A_f/pA_f$ qui
-est une $\FF_p$-algèbre entière de type finie
-donc de dimension finie. Si $\MM_p$ est un idéal maximal
-de cette algèbre, son corps résiduel est donc fini et s'injecte dans $\sur{\FF_p}$.
-L'existence d'un tel idéal maximal revient à montrer que le quotient est non
-nul \cad $A_f\neq pA_f$. S'il en était ainsi, on pourrait écrire $pa=1$ pour un $a\in A_f$.
-En appliquant la norme $\mathrm{N}_{\QQ(X_f)/\QQ}$ on obtiendrait
-$p^n\cdot (\mathrm{\acute{e}l\acute{e}ment}\in \ZZ_{(p)})=1$, ce qui est absurde.
-\end{proof}
-
-\begin{lmm2}
-Tout morphisme $\varphi_p:A_f\ra \sur{\FFp}$ induit par
-restriction une bijection $X_f\iso X_{f,p}$,
-où $X_{f,p}$ est l'ensemble des racines de $f\mod p$ dans $\sur{\FF_p}$.
-\end{lmm2}
-\begin{proof}
-Comme $f=\prod_{\alpha\in X_f} (X-\alpha)$, $\varphi_p f=f \mod p$
-se factorise en $\prod_{\alpha\in X_f} \big(X-\varphi_p(\alpha)\big)$, qui
-doit être égal à $\prod_{\beta\in X_{f,p}}(X-\beta)$. Ainsi, $\varphi_p$ induit
-une surjection $X_f\surj X_{f,p}$ ; comme $f \mod p$ est séparable, $X_{f,p}$ a
-pour cardinal $d$ donc $\varphi_p$ induit bien une bijection.
-\end{proof}
-\begin{lmm2}Soient $\varphi'_p,\varphi_p:A_f\ra \sur{\FFp}$ deux homomorphismes.
-Il existe un unique $\sigma\in G_f$ tel que $\varphi'_p=\varphi_p\circ \sigma$.
-\end{lmm2}
-\begin{proof}
-Si $\sigma\in G_f$, $\sigma:A_f\ra A_f$ induit une permutation de $X_f$ et est caractérisé
-par cette dernière. Ainsi, $\varphi_p\circ \sigma\neq \varphi_p\sigma'$ si $\sigma\neq \sigma'$.
-Il ne reste donc plus qu'à montrer que
-$$\# \Hom_{\mathrm{alg}.}(A_f,\sur{\FFp})\leq [\QQ(X_f):\QQ]=\# G_f.$$
-Pour cela, nous faisons appel au sous-lemme suivant :
-\begin{sslmm2}
-Soit $f\in \ZZ_{(p)}[X]$ un polynôme à coefficient dominant inversible.
-Alors, $\ZZ_{(p)}[X_f]$
-est un $\ZZ_{(p)}$-module libre de rang $[\QQ(X_f):\QQ]$.
-\end{sslmm2}
-On sait que $\Hom_{\ZZ-\mathrm{alg}.}(A_f,\sur{\FFp})\iso
-\Hom_{\FFp-\mathrm{alg}.}(A_f/p,\sur{\FFp})$ et que ce dernier ensemble est de cardinal
-au plus $\dim_{\FF_p}A_f/p$ d'après \ref{nbre points et degré}. Le sous-lemme dit que
-$\dim_{\FF_p}A_f/p=[\QQ(X_f):\QQ]$.
-\begin{proof}[Démonstration du sous-lemme]
-Le $\ZZ_{(p)}$-module $\ZZ_{(p)}[X_f]$ est de type fini sur $\ZZ_{(p)}$ et
-sans torsion donc libre.
-De plus, $\ZZ_{(p)}[X_f]\otimes_{\ZZ_{(p)}} \QQ\sr{\ref{}?}{\isononcan}
-\mathrm{Frac}(\ZZ_{(p)}[X_f])=\QQ(X_f)$
-d'où l'égalité des rangs.
-%[CF. PAGE 22 DES NOTES]
-\end{proof}
-\end{proof}
-Partant d'un morphisme $\varphi_p:A_f\ra \sur{\FF_p}$ (et il en existe !),
-on peut en construire un autre
-par composition avec $\FR_p:x\mapsto x^p\in \ga(\sur{\FFp}/\FFp)$. D'après le lemme
-précédent, il existe un unique $\sigma_p\in G_f$ tel que
-$\FR_p\circ \varphi_p=\varphi_p \circ \sigma_p$. En d'autres termes,
-si $\wp=\ker(\varphi_p)$, $\sigma_p(a)-a^p\in \wp$ pour tout $a\in A_f$.
-L'action de $\sigma_p$ sur $X_{f}$ correspond via $X_{f}\sr{\varphi_p}{\iso} X_{f,p}$
-au Frobenius agissant sur $X_{f,p}$. La conclusion résulte alors du lemme \ref{cycles
-tautologiques}
-\end{proof}
-
-\begin{rmr2}
-La notation $\sigma_p$ est ambiguë : elle dépend d'un choix de $\varphi_p$.
-On peut vérifier que les différentes subsitutions obtenues sont conjuguées
-dans le groupe de Galois.
-En particulier, si $G_f$ est abélien, la substitution de Frobenius est bien définie.
-Par exemple, si $f$ est le polynôme cyclotomique $\Phi_n$, $\sigma_p$, pour $(p,n)=1$,
-correspond à $p\in (\ZZ/n\ZZ)^{\times}$.
-\end{rmr2}
-
-
-%[BIZARRE : EN \ref{spécialisation} on n'utilise pas l'hypothèse sur le RANG
-%DE A ?!]
-
-\subsection{Application}
-
-\begin{thm2}[$\got{S}_n$ par réduction modulo $p$]\label{S_n-1}
-Pour tout $n\geq 1$, il existe un polynôme unitaire de degré $f\in \ZZ[X]$
-de degré $n$ et de groupe de Galois le groupe symétrique $\got{S}_n$.
-\end{thm2}
-
-\begin{proof}
-Considérons trois polynômes de degré $n$ :
-$f_2\in \FF_2[X]$ le produit d'un terme linéaire et d'une polynôme irréductible,
-$f_3\in \FF_3[X]$ le produit d'un facteur irréductible de degré $2$ et de facteurs
-irréductibles de degrés impairs et enfin $f_5\in \FF_5[X]$ irréductible.
-L'existence de tels polynômes résulte de \ref{Zêta A^1}. Considérons des relèvements
-unitaires arbitraires $g_2,g_3,g_5$ de ces polynômes à $\ZZ[X]$ et posons
-$$f:=15g_2+10g_3+6g_5\in \ZZ[X] ;$$
-pour $p\in \{2,3,5\}$, $f \mod p = f_p$.
-D'après la proposition précédente (\ref{Dedekind}), le groupe de Galois de $f$
-contient donc un $(n-1)$-cycle, un $n$-cycle et le produit d'une transposition
-par des cycles d'ordres impairs. Un tel groupe est nécessairement le groupe
-symétrique entier (cf. lemme ci-dessous).
-\end{proof}
-
-\begin{lmm2}
-Soient $n\geq 2$ un entier et $G\leq \got{S}_n$ contenant un $(n-1)$-cycle,
-un $n$-cycle et le produit d'une transposition par des cycles d'ordres impairs.
-Alors, $G=\got{S}_n$.
-\end{lmm2}
-
-\begin{proof}
-Quitte à élever l'élément du troisième type à une puissance impaire, et
-renuméroter, on peut supposer que $G$ contient $(12)$. En conjuguant $(12)$ par
-le $n$-cycle, on peut obtenir une transposition dont un des deux éléments
-est fixe par le $(n-1)$-cycle. Quitte à renuméroter, on peut donc supposer que
-$G$ contient $(12)$ et $(234\cdots n)$. Il en résulte que $G$ contient
-$(1i)$ pour tout $i\in [2,n]$ et finalement, $G=\got{S}_n$.
-\end{proof}
-
-[La remarque ci-dessous devrait être un énoncé, avec
-démonstration ; cité en la première page du chapitre
-deux.]
-
-\begin{rmr2}
-Le lecteur prouvera dans l'exercice \cite{Algebre@Bourbaki}, \textsc{v},\S 12, nº13,
-que la proportion des polynômes de $\ZZ[X]$ de degré $n$ fixé et de groupe de Galois
-$\got{S}_n$ tend vers $1$ quand les coefficients appartiennent à des intervalles
-$[-N,N]$ avec $N\ra +\infty$ (van der Waerden, \osn{1931}).
-Cf. \emph{infra} pour un résultat d'irréductibilité.
-\end{rmr2}
-
-\subsection{Polynômes irréductibles sur $\FF_p[X]$}
-
-\subsubsection{Fonction Zêta de $\FF_p[X]$}\label{Zêta A^1}
-Commençons par la formulation élémentaire.
-Soient $q$ une puissance d'un nombre premier $p$, et $\FF_q$ un corps fini
-à $q$ éléments. C'est un corps de décomposition sur $\FF_p$ du
-polynôme $X^{q}-X$. Comme il en est également ainsi pour toute puissance
-de $q$, on a, pour tout $n\in \NN$ :
-$$
-X^{q^n}-X=\prod_{\begin{array}{l} P \ \text{irr\'ed.unit.}\in \FF_q[X]\\
-\deg\ \text{divisant}\ n \end{array}} P.
-$$
-La formule d'inversion de Möbius nous dit que le nombre de polynômes
-irréductibles sur $\FF_q$ de degré $d$ est :
-$$
-N(q^d):=\frac{1}{d}\sum_{d'|d} \mu(d')q^{\frac{d}{d'}}.
-$$
-Il en résulte que
-$$
-N(q^d)>\frac{q^d}{d}(\frac{q-2}{q-1})
-$$
-En particulier, il existe des polynômes irréductibles de tous degrés sur $\FF_q$.
-Plus précisément,
-
-Soit $$\zeta_{\FF_q[X]}(t)=\prod_{d\geq 1}\big(\frac{1}{1-t^d}\big)^{N(q^d)}=\prod_P
-\frac{1}{1-t^{\deg(P)}}\in 1+t\ZZ\[t\]$$
-la fonction zêta de $\FF_p[X]$.
-
-\begin{lmm2}
-$$\zeta_{\FF_q[X]}(t)=\frac{1}{1-qt}.$$
-\end{lmm2}
-
-Cela résulte de la proposition bien plus générale suivante :
-
-\begin{prp2}
-Soit $A$ une $\FF_q$-algèbre de type fini.
-\begin{enumerate}
-\item Pour tout idéal \emph{maximal} $\wp\in \SP(A)$, l'extension
-résiduelle $(A/\wp) / \FF_q$ est \emph{finie} ; on note son degré $\deg(\wp)$.
-\item On a l'égalité :
-$$
-\zeta_A(t):=\prod_{\wp\in \SP\mathrm{max}.(A)} \frac{1}{1-t^{\deg(\wp)}}=
-\exp\big(\sum_{n\geq 1} \#\Hom_{\FF_q}(A,\FF_{q^n})\frac{t^n}{n}\big).
-$$
-\end{enumerate}
-\end{prp2}
-
-Pour toute extension $\FF$ de $\FF_q$, l'ensemble $\Hom_{\FF_q}(A,\FF)$
-est souvent noté $A(\FF)$ et est appelé l'ensemble des points de $A$ à valeurs
-dans $\FF$. En effet, si $A=\FF_q[X_1,\dots,X_N]/(f_1,\dots,f_e)$,
-$$\begin{array}{l}
-\Hom_{\FF_q}(A,\FF)\ra \FF^N\\
-\varphi \mapsto \big(\varphi(X_1),\dots,\varphi(X_N)\big)
-\end{array}
-$$
-induit une bijection entre $\Hom_{\FF_q}(A,\FF)$ et le sous-ensemble
-de $\FF^N$ constitué des $N$-uplets solutions des équations
-$f_1=\cdots=f_e=0$.
-
-\begin{proof}
-Le premier point est un cas particulier du \emph{Nullstellensatz} de Hilbert \ref{Nullstellen}.
-Pour démontrer le second, on calcule :
-$$-t\frac{d\log}{dt}\zeta_A(t)=
-\sum_{d\geq 1} \Big(N(d)d t^d\sum_{r\geq 0} t^{dr}\Big)=\sum_{n\geq 1}
-\big(\sum_{d|n} N(d) d\big) t^n,$$
-où $N(d)$ est le nombre (fini) d'idéaux maximaux de degré $d$ de $A$.
-D'autre part,
-$$
--t\frac{d\log}{dt}\exp\big(\sum_{n\geq 1} \#A(\FF_{q^n})\frac{t^n}{n}\big)=
-\sum_{n\geq 1} \#A(\FF_{q^n})t^n.
-$$
-L'égalité des deux séries formelles résulte alors
-de l'égalité
-$$
- \#A(\FF_{q^n})=\sum_{d|n} \#\{\wp\in \SP\mathrm{max}.(A), \deg(\wp)=d\}\cdot d,
-$$
-dont la vérification est laissée en exercice au lecteur.
-\end{proof}
-
-\begin{rmr2}
-Plus généralement, un théorème de B.~Dwork (\osn{1959}) et A.~Grothendieck (\osn{1963})
-affirme que la fonction zêta de toute $\FF_{q}$-algèbre de type finie
-est une fonction rationnelle. A.~Grothendieck a également démontré qu'elle
-vérifie une équation fonctionnelle et P.~Deligne (\emph{circa} \osn{1974}) a étudié
-les zéros et les pôles de ces fonctions (« hypothèse de Riemann sur les corps finis »).
-\end{rmr2}
-
-\subsubsection{« Algorithme » de Berlerkamp}\label{Berlerkamp}
-
-\begin{propsansnum}
-Soient $f\in \FF_p[X]$ un polynôme séparable de degré $d$
-et $A=\FF_p[X]/f$.
-Alors, $f$ est irréductible si et seulement si l'application
-$\FR_p-\mathbf{1}:A\ra A$, $x\mapsto x^p-x$, est de rang $d-1$.
-\end{propsansnum}
-
-Plus généralement, la dimension du noyau donne exactement le nombre
-de facteurs irréductibles.
-
-\begin{proof}
-En effet, $A$ est un produit de corps correspondants aux facteurs
-irréductibles de $f$. Chacun de ces corps contient $\FF_p$ sur lequel
-le morphisme de Frobenius agit trivialement. Ainsi, il n'y a qu'un corps
-si et seulement si son noyau est de dimension $1$.
-\end{proof}
-
-\subsubsection{Irréductibilité générique}
-
-Nous allons montrer que la plupart des polynômes unitaires irréductibles de degré fixé
-sont irréductibles.
-
-Fixons un entier $d\geq 1$.
-Soient $p_1,\dots,p_r$, $r$ nombres premiers distincts.
-Posons
-$$\delta_i:=\frac{\#\{\text{polynômes irréductibles unitaires de degré }
-d \text{ sur } \FF_{p_i}\}}{p_i^d}.$$
-Il résulte du théorème de Bézout que la proportion
-de polynômes $f=X^d+a_1X^{d-1}+\cdots+a_d\in \ZZ[X]$ satisfaisant
-$0\leq a_i<p_1\cdots p_r$ et \emph{réductibles} modulo $p_1,\dots,p_r$
-est :
-$$
-(1-\delta_1)\cdots (1-\delta_r).
-$$
-Si $p_i\geq 3$, $\frac{p_i-2}{p_i-1}\geq \frac{1}{2}$ donc $\delta_i\geq \frac{1}{2d}$ ;
-il en résulte que la proportion de polynômes unitaires réductibles modulo $p_1,\dots,p_r$
-et à coefficients strictement inférieurs à $p_1\cdots p_r$ est
-au plus $(1-\frac{1}{2d})^r$. On en déduit aisément la proposition suivante :
-
-\begin{prp2}
-$$\frac{\#\{\text{polynômes unitaires de degré } d \text{ de } \ZZ[X],
-\text{ à coefficients dans } [0,N]\} } {N^d} \sr{N\ra +\infty}{\ra} 1.$$
-\end{prp2}
-
-
-\section{Le théorème de Frobenius : énoncés et quelques applications}
-
-\begin{thm}[Frobenius, 1880]\label{thm Frobenius}
-Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
-Soit $G_f=\ga(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \got{S}_{X_f}$ son groupe de Galois.
-Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\got{S}_{X_f}$ \cad
-une partition de $d$.
-Alors, pour $s>1$ tendant vers $1$,
-$$
-\sum_{\begin{array}{l} p\ \textrm{tel que}\,f \mod p\\ \textrm{soit de type}\ \lambda \end{array}}
-p^{-s} = \frac{g_\lambda}{g}\log(\frac{1}{s-1})+\mathsf{O}(1),
-$$
-où $g_f=\# G_f$ et $g_{\lambda}$ est le nombre d'élément de $G_f$ de type $\lambda$.
-\end{thm}
-
-Bien que nous n'en ferons que fort peu usage, voici une définition
-naturelle :
-
-\begin{dfn}
-Un ensemble $\mc{P}$ de nombre premiers a pour densité (analytique)
-$\delta$ si
-$$
-\frac{\sum_{p\in \mc{P}} p^{-s}}{\log(\frac{1}{s-1})}\sr{s\ra 1+}{\longrightarrow} \delta.
-$$
-\end{dfn}
-
-On utilisera de façon essentielle dans la démonstration du théorème,
-que comme on s'y attend, l'ensemble des nombres premiers a pour densité $1$,
-\cad que $\sum_{p} p^{-s}\sim \log(\frac{1}{s-1})$, pour $s\ra 1+$.
-Cela sera démontré plus loin \ref{} [À rédiger dans
-l'appendice ?].
-
-\begin{crl}
-Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
-Il existe une infinité de nombre premiers $p$ tel que $f$ modulo $p$ n'a pas
-de racine dans $\FFp$.
-\end{crl}
-
-On peut également montrer que cet ensemble a une densité $\geq \frac{1}{d}$,
-cf. \cite{Jordan@Serre}.
-
-\begin{proof}
-Le polynôme $f$ a une racine dans $\FFp$ si et seulement si,
-la substitution de Frobenius agissant sur les racines dans $\sur{\FFp}$ a un point
-fixe. Grâce au théorème, il s'agit de démontrer que $G$ possède un élément agissant
-sans point fixe (\cad qui ne soit pas de type $(1,\dots)$).
-La formule
-$$
-\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\mathrm{Fix}(\sigma)=\# \mathrm{Orbites},=1\
-\textrm{par transitivit\'e}
-$$
-entraîne que $\#\mathrm{Fix}(\sigma)$ ne peut être systématiquement $\geq 1$. En effet,
-la contribution égale à $d\geq 2$ de l'identité jointe à ces inégalités larges
-entraînerait $\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\mathrm{Fix}(\sigma)>1$.
-\end{proof}
-
-\begin{crl}
-Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
-Le polynôme $f \mod p$ se décompose totalement pour une infinité de nombre premiers $p$,
-de densité $\frac{1}{\# G_f}$.
-\end{crl}
-
-Pour un énoncé plus concret, voici :
-
-\begin{crl}
-Soit $a\in \ZZ$ un nombre entier qui est un carré modulo $p$ pour tout $p$.
-Alors, $a$ est un carré.
-\end{crl}
-
-\begin{proof}
-Si $X^2-a$ était irréductible (\cad $a$ non carré), $a \mod p$ ne serait
-pas un carré pour une infinité de $p$.
-\end{proof}
-
-Avant d'aborder la démonstration, voici quelques exemples.
-
-\begin{exms}
-\begin{enumerate}
-\item $f=X^2+1$. $f$ a une racine modulo $p$ si et seulement si $p\equiv 1\mod 4$.
-D'après le théorème c'est le cas pour « la moitié » des nombres premiers.
-(C'est un cas particulier du théorème de Dirichlet.)
-\item $f_d=X^d-1$. Son discriminant est $(-1)^{\binom{d}{2}}d^d$.
-Voici le type de décomposition de $f_{12}$ modulo $p$, pour $(p,12)=1$.
-On note $a^b$ pour signifier qu'il y a $b$ facteurs irréductibles
-de degré $a$.
-\begin{center}
-\begin{tabular}{|*{2}{c|}}
-\hline
-$p\mod 12$ & type de d\'ecomposition \\
-\hline
-$1$ & $1^{12}$\\
-\hline
-$5$ & $1^4\cdot 2^4$\\
-\hline
-$7$ & $1^6\cdot 2^3$\\
-\hline
-$11$ & $1^2\cdot 2^5$\\
-\hline
-\end{tabular}
-\end{center}
-On obtient cette table en écrivant $f_{12}=\prod_{d|12} \Phi_d$ ; on sait
-que si $o$ est l'ordre de $p$ dans $\ZZ/d^{\times}$,
-chaque $\Phi_d$ modulo $p$ est le produit de $\varphi(d)/o$ polynômes irréductibles
-sur $\FF_p$ de degré $o$.
-
-De même, pour $d=10$, la décomposition de $f_{10}=X^{10}-1$ est :
-\begin{center}
-\begin{tabular}{|*{2}{c|}}
-\hline
-$p\mod 11$ & type de d\'ecomposition \\
-\hline
-$1$ & $1^{10}$\\
-\hline
-$3$ ou $7$ & $1^2\cdot 4^2$\\
-\hline
-$9$ & $1^2\cdot 2^4$\\
-\hline
-\end{tabular}
-\end{center}
-
-En particulier, on remarque que le type de décomposition de $f_d$ modulo $p$ ne permet pas
-toujours de retrouver la classe de $p$ modulo $d$. C'est pour cette raison que
-le théorème de Frobenius ci-dessus n'entraîne pas le théorème
-de Dirichlet sur les nombres premiers en progression arithmétique.
-\end{enumerate}
-\end{exms}
-
-\begin{rmr}
-Il existe une version plus fine du théorème de Frobenius ci-dessus : le théorème
-de \v Cebotarev. Dans ce cas, on étudie les classes de conjugaison de la substitution
-de Frobenius non pas dans $\got{S}_{X_f}$ mais dans $G_f$ ce qui est en général
-plus précis. Cette version raffinée distingue les classes $3,7$ ci-dessus.
-%[DÉTAILLER]
-\end{rmr}
-
-\section{Démonstration du théorème de Frobenius}
-
-\begin{prp}\label{point clé Frob}
-Soit $F\in \ZZ[X]$. Notons $n_p(F)$ le nombre de racines de $F$ modulo $p$,
-comptés avec multiplicités.
-Alors,
-$$
-\sum_p n_p(F)p^{-s}\sr{s>1}{=} \big(\# \textrm{facteurs irr\'eductibles de}\ F \textrm{dans}
-\ \QQ[X] \big)
-\log(\frac{1}{s-1}) + \mathsf{O}(1).
-$$
-\end{prp}
-Ce que l'on résume en :
-\begin{quote}
-« le nombre moyen de racines est égal au nombre de facteurs irréductibles ».
-\end{quote}
-
-%[MULTIPLICITÉ(S)?] (orthographe)
-
-\begin{proof}
-Les racines étant comptées avec multiplicités, les termes de gauche et de droite
-sont additifs vis-à-vis d'une décomposition de $F$ en produit. On peut donc
-supposer $F$ irréductible. Enfin, quitte à multiplier $F$ par une constante et changer
-de variable, ce qui ne change $n_p(F)$ que pour un nombre fini de nombres premiers,
-on peut supposer $F$ unitaire (cf. démonstration de \ref{Dedekind}), de degré noté $d$.
-Posons $A_F=\ZZ[X]/F$, et $K=\mathrm{Frac}(A_F)$.
-L'application $\SP(A_F)\ra \SP(\ZZ)$ : $\wp\mapsto \wp\cap \ZZ$ envoie un
-idéal maximal sur un idéal maximal et le cardinal de ses fibres est
-au plus $d$ (cf. \ref{going-up}). Si $p=\wp\cap \ZZ$, on dit que $p$ divise
-$\wp$, noté $p|\wp$. Revenons à notre problème.
-
-
-Les racines de $F$ modulo $p$ sont en bijection avec les morphismes
-$A_F\surj \FF_p$, \cad les idéaux maximaux $\wp$ de $A_F$ tel que $N\wp$
-soit un nombre premier $p$. De tels idéaux maximaux sont dit « de degré $1$ »
-car en général, $A_F/\wp$ est une extension finie de $\FF_p$ (de degré $\leq d$).
-Ainsi,
-$$
-Z_F(s):=\sum_p n_p(F)p^{-s}=\sum_{p} \#\{\wp\in \SP\mathrm{max}.A_F, p|\wp\ \textrm{ et }
-N(\wp)=p\}p^{-s},
-$$
-où $N\wp:=\# A_F/\wp$.
-Cette série est convergente pour $s>1$ : comme
-$n_p(F)\leq d$, elle est majorée par $d\zeta_{\ZZ}(s)$, où
-$\zeta_{\ZZ}=\zeta$ est la fonction de Euler-Riemann qui converge pour $s>1$.
-De plus, comme $\zeta(2s)$ est bornée au voisinage de $1$,
-on a
-$$
-Z_F(s)=\sum_{\wp\in \SP\mathrm{max}.A_F} \frac{1}{N\wp^s}+\mathsf{O}(1).
-$$
-En effet, les idéaux premiers de degré $\geq 2$ contribuent au maximum à hauteur
-de $d\zeta(2s)$.
-En particulier,
-le produit
-$$
-\zeta_{A_F}(s):=\prod_{(0)\neq \wp \in \SP(A_F)} \frac{1}{1-(N\wp)^{-s}}=
-\prod_{\wp} \big( 1+(N\wp)^{-s}+(N\wp)^{-2s}+\cdots\big)
-$$
-est également convergeant pour $s>1$
-%\footnote{On rappelle
-%que si $a_i\in \RR_{+}-\{1\}$, $i\in \NN$, le produit $\prod_{i\geq 0} \frac{1}{1-a_i}$
-%converge vers un nombre réel non nul si
-%la série $\sum a_i$ est convergeante.}
-%DONNER RÉFÉRENCE !!! Watson ?
-et l'on a :
-$$
-\log \zeta_{A_F}(s) = Z_F(s)+\mathsf{O}(1).
-$$
-Soit $\mc{O}_K$ l'ensemble des éléments de $K$ entiers sur $\ZZ$ ;
-c'est un $\ZZ$-module de type fini (\ref{normalisation finie}).
-L'inclusion $A_F\ra \mc{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$.
-Ainsi (cf. \ref{spectre générique}), à un nombre \emph{fini} de facteurs près,
-$\zeta_{A_F}$ coïncide
-avec $\zeta_{\OO_K}(s)=:\zeta_K(s)$, la fonction zêta de Dedekind.
-En particulier,
-$$
-\log \zeta_{\OO_K}=\log \zeta_{A_F} + \mathsf{O}(1).
-$$
-La conclusion résulte alors du fait que les fonctions zêta de Dedekind
-ont un pôle simple en $1$, cf. \ref{pôle en 1 de Dedekind}.
-\end{proof}
-
-La démonstration procède en plusieurs étapes ; partant du polynôme $f$ qui nous
-intéresse, on construit de nombreux polynômes intermédiaires $F$ auxquels
-on appliquera finalement la proposition précédente et un peu de théorie des groupes.
-
-\begin{lmm}\label{Frob_1}
-Soit $f$ comme en \ref{thm Frobenius}. Choisissons un ordre sur les racines :
-$X_f=\{\alpha_1,\dots,\alpha_d\}$ ; on pose $\sous{\alpha}:=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in
-\sur{\QQ}^d$. Pour tout sous-groupe $S\leq \got{S}_d$,
-il existe un polynôme $\Psi_{S}\in \ZZ[X_1,\dots,X_d]$ satisfaisant les conditions
-suivantes :
-\begin{enumerate}
-\item Pour $s\in \got{S}_d$, on a l'égalité $s\Psi_S=\Psi_d$ si et seulement si $s\in S$.
-\item $s\Psi_S(\sous{\alpha})\neq s'\Psi_S(\sous{\alpha})$ si $s S\neq
- s' S$.
-\end{enumerate}
-\end{lmm}
-
-\begin{proof}
-Le premier point n'est mis que pour mémoire : d'après le théorème de l'élément
-primitif, il existe $\Psi_S$ tel que $\QQ(X_1,\dots,X_d)^{S}=
-\QQ(\sigma_1,\dots,\sigma_d)(\Psi_S)$.
-Cherchons $\Psi_S$ de la forme :
-$$
-\Psi_S(X_1,\dots,X_d)=\prod_{s\in S}(u_0+u_1X_{s(1)}+\cdots+u_d X_{s(d)}),
-$$
-où les variables $u_i$ seront choisies plus tard dans $\ZZ$.
-Un tel polynôme est bien $S$-invariant.
-Le second point entraîne donc le second.
-\begin{sslmm2}
-Si $sS\neq s'S$, le polynôme $(s\Psi_S)(\sous{\alpha})-(s'\Psi_S)(\sous{\alpha})$,
-vu comme élément de $\sur{\QQ}[u_0,\dots,u_d]$, est non nul.
-\end{sslmm2}
-\begin{proof}
-L'anneau $\sur{\QQ}[u_0,\dots,u_d]$ est factoriel et le
-polynômes $u_0+u_1\alpha_{s(1)}+\cdots+u_d \alpha_{s(d)}$ sont irréductibles.
-L'égalité $s\Psi_S(\sous{\alpha})=s'\Psi_S(\sous{\alpha})$ entraînerait
-$u_0+u_1\alpha_{s(1)}+\cdots+u_d \alpha_{s(d)}=u_0+u_1\alpha_{s'\sigma(1)}+\cdots+u_d
-\alpha_{s'\sigma(d)}$ pour un $\sigma\in S$. Comme les racines sont toutes distinctes,
-cela force l'égalité $s=s'\sigma$ \cad $sS=s'S$.
-\end{proof}
-Les polynômes en $\sous{u}$ $(s\Psi_S)(\sous{\alpha})-(s'\Psi_S)(\sous{\alpha})$ étant non nuls
-pour $sS\neq s'S$, et en nombre fini, il existe un élément $\sous{u}\in \ZZ^{d+1}$,
-tel que le polynôme $\Psi_S$ correspondant satisfasse la seconde condition du lemme.
-\end{proof}
-
-\subsection{}Pour chaque $S\leq \got{S}_d$ choisissons un tel $\Psi_S$ et posons :
-$$
-f_S:=\prod_{\sigma\in \got{S}_d}\big(X-(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha})\big)\in \ZZ[X].
-$$
-C'est un polynôme de degré $d!$, qui est la puissance $\# S$-ième de $\tilde{f}_S$,
-défini par le même produit mais restreint aux $\sigma$ parcourant
-les représentants de $\got{S}_d/S$ (classes à gauche).
-Soient $\Delta=\mathrm{disc}(f)$ et $\Delta_S=\mathrm{disc}(\tilde{f}_S)$
-leurs discriminants respectifs.
-Ils appartienent tous deux à $\ZZ-\{0\}$. Soit $\Sigma_S$ l'ensemble des nombres premiers
-divisant $\Delta\Delta_S$.
-
-Soit $p\notin \Sigma_S$ ; $f\mod p$ et $\tilde{f}_S \mod p$
-sont donc à racines simples dans $\sur{\FFp}$. Choisissons un morphisme $\ZZ[X_f]\ra \sur{\FFp}$
-et notons $\{\alpha_{1,p},\alpha_{2,p},\dots,\alpha_{d,p}\}$
-les images des racines de $f$ par ce morphisme ; ce sont les
-racines de $f \mod p$ ; les racines du second sont alors
-les $\{(\sigma \Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\}$, pour $\sigma\in \got{S}_d/S$.
-Le morphisme de Frobenius $\FR_p\in \ga(\sur{\FFp}/\FFp)$ agit sur les racines de
-ces deux polynômes par $\alpha_{i,p}\mapsto \alpha_{i,p}^p$ et correspond à
-une permutation des indices $F_p\in \got{S}_d$. Une racine de $f_S \mod p$ est
-dans $\FFp$ si et seulement si elle est stable par l'action de $\FR_p$, ce que l'on réécrit :
-$$
-\begin{array}{ll}
-(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\in \FFp &\Longleftrightarrow
-\FR_p\big((\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\big)=(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\\
-& \Longleftrightarrow (F_p\sigma)\Psi_S(\sous{\alpha}_p)=\sigma\Psi_S(\sous{\alpha}_p)\\
-& \Longleftrightarrow \sigma^{-1}F_p \sigma \in S
-\end{array}
-$$
-On en tire :
-$$
-N_p(f_S)=\{\sigma\in \got{S}_d, \sigma^{-1}F_p\sigma\in S\}.
-$$
-Prendre garde que ce n'est \emph{pas} le cardinal
-de l'intersection $\big\{\textrm{classe de conjugaison de }F_p\big\}\cap S$. Rappelons également
-que $f_S$ n'est pas séparable si $S\neq \{1\}$ et
-que les racines ci-dessus sont comptées avec multiplicités.
-
-Notons $\lambda$ le \emph{type} de la permutation $F_p$, $s_\lambda$ le nombre d'éléments
-de type $\lambda$ dans $S$, $d!_{\lambda}$ le nombre de tels éléments dans
-$\got{S}_d$ et enfin $s=\# S$. Avec ces notations, l'égalité précédente
-se réécrit :
-$$
-(\star)\ N_p(f_S)=s_{\lambda}\frac{d!}{d!_{\lambda}}.
-$$
-
-\subsection{}Soit $g_f$ le cardinal du groupe de Galois $G_f$ de $\QQ(\sous{\alpha})/\QQ$.
-Pour tout $S\leq \got{S}_d$, on a un diagramme :
-$$
-\xymatrix{
-\QQ(\sous{\alpha}) \ar@{-}[dd] & \\
-& \QQ(\Psi_S(\sous{\alpha})) \ar@{-}[ul] \ar@/_3ex/[ul]_{G_f\cap S} \\
-\QQ \ar@/^3ex/[uu]^{G_f} \ar@{-}[ur] &
-}
-$$
-En effet, un élément $g\in G_f$ fixe les $\Psi_S(\sous{\alpha})$ si et seulement si
-il appartient à $S$. Ainsi le degré de l'extension $\QQ(\Psi_S(\sous{\alpha}))/\QQ$
-est
-$$
-c_S:=\frac{g_f}{\#(G_f\cap S)}.
-$$
-%Rappelons qu'\emph{a priori}, l'inclusion $G_f\hra \got{S}_d$ peut-être stricte :
-%un élément quelconque de $\got{S}_d$ ne correspond pas nécessairement à un automorphisme
-%de corps.
-Pour $S$ donné, les conjugués (sur $\QQ$) de
-$\Psi_S(\sous{\alpha})$ sont donc au nombre de $c_S$ ; ce sont
-des racines de $f_S$ :
-$\sigma_1\Psi_S(\sous{\alpha}),\dots,\sigma_{c_S}\Psi_S(\sous{\alpha})$,
-pour des $\sigma_i\in \got{S}_d$ convenables. Pour chaque $\sigma\in \got{S}_d$,
-la fonction polynomiale $\sigma\Psi_{S}$ satisfait aux conditions du lemme \ref{Frob_1},
-pour le sous-groupe $S_{\sigma}:=\sigma S \sigma^{-1}$ de $\got{S}$.
-Notons $$g_{\sigma,S}=\# G_f\cap S_{\sigma}$$ le cardinal de cette intersection.
-En vertu de la formule précédente,
-les $\sigma_i\Psi_S(\sous{\alpha})$ sont de degré $\frac{g_f}{g_{\sigma,S}}$
-sur $\QQ$. Comme ils sont tous conjugués, on a : $\frac{g_f}{g_{\sigma,S}}=c_S=
-\frac{g_f}{g_{e,S}}$.
-Finalement, $$g_f=c_S g_{e,S}=\sum_{i=1}^{c_S}g_{\sigma_i,S}.$$
-Si l'on somme sur tous les $\sigma\in \got{S}_d$ cette égalité,
-on obtient :
-$$
-\sum_{\sigma\in \got{S}_d} g_{\sigma,S}=m_S g_f,
-$$
-où $m_S$ est le nombre de facteurs irréductibles de $f_S$.
-En regroupant par type :
-$$
-\sum_{\lambda}
-\underbrace{\sum_{\sigma\in\got{S}_d}\big(\textrm{nombre d'éléments de }S_{\sigma}\cap G_f
-\textrm{ de type }\lambda\big)}_{=s_{\lambda} g_{\lambda}\frac{d!}{d!_{\lambda}}}.
-$$
-où l'égalité sous l'accolade résulte de ce que, si $s_1,\cdots,s_{s_{\lambda}}$ sont
-les éléments de $S$ de type $\lambda$ et $g_1,\dots,g_{g_{\lambda}}$
-ceux de $G$, pour chaque $\sigma\in \got{S}_d$,
-les $\sigma s_i \sigma^{-1}$ sont les éléments de type $\lambda$ dans $S_{\sigma}$
-et $\# \{\sigma,\ \sigma s_i \sigma^{-1}=g_j \}=\frac{d!}{d!_{\lambda}}$.
-
-Les égalités précédentes se combinent pour donner :
-$$
-(\star\star)\ m_S=\frac{d!}{g_f}\sum_{\lambda} \frac{s_\lambda g_{\lambda}}{d!_{\lambda}}.
-$$
-
-On a alors les égalités, utilisant \ref{point clé Frob} (« $\zeta(1)=+\infty$ ») :
-$$
-\begin{array}{ll}
-\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s}& \sr{(\star)}{=}
-\sum_{\lambda} s_\lambda \frac{d!}{d!_\lambda}
-\big( \sum_p p_{\lambda}^{-s}\big),\\
-\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s} & \sr{\zeta(1)=+\infty \& (\star\star)}{=}
-\frac{d!}{g_f} \big(\sum_{\lambda} \frac{s_\lambda g_{\lambda}}{d!_{\lambda}}\big)
-\log(\frac{1}{s-1}) + \mathsf{O}_S(1),
-\end{array}
-$$
-où $\sum_p p_{\lambda}^{-s}$ est la somme sur les $p$ tel que $f\mod p$ soit
-de type $\lambda$.
-Posons :
-$$
-\sum_p p_{\lambda}^{-s}=\frac{g_{\lambda}}{g_f}\log(\frac{1}{s-1})+R_{\lambda}(s).
-$$
-On veut montrer que $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ \cad reste bornée
-quand $s\ra 1+$.
-Avec ces notations, les égalités précédentes deviennent :
-$$
-(\star\star\star)_S\ \sum_{\lambda} \frac{s_\lambda}{d!_{\lambda}}R_{\lambda}=\mathsf{O}_S(1).
-$$
-
-\subsection{} Jusqu'à présent, le sous-groupe $S$ était fixe. On va utiliser des groupes
-variables pour démontrer $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ par récurrence.
-Introduisons l'ordre partiel suivant sur les types d'éléments de $\got{S}_d$ :
-$$
-\lambda'<\lambda \textrm{ si et seulement si les nombres d'orbites correspondants vérifient
-l'inégalité opposée}.
-$$
-Par exemple, l'élément minimal est le type de l'identité et l'élément
-maximal le type d'un $d$-cycle.
-Soient $s\in\got{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s \rangle$
-le sous-groupe engendré. Compte tenu du fait que $S$ n'a aucun élément
-de type $\lambda'>\lambda$ (le nombre d'orbites augmente en élevant à une puissance),
-l'égalité $(\star\star\star)_S$ se devient :
-$$
-\frac{s_\lambda}{d!_\lambda}R_{\lambda}+\sum_{\lambda'<\lambda}(\textrm{idem})=\mathsf{O}_S(1).
-$$
-Ainsi, grâce à l'hypothèse de récurrence, $R_{\lambda}$ est une combinaison linéaire
-de fonctions bornées au voisinage de $1+$. Il ne reste plus qu'à remarquer
-que, pour $\lambda_0$ le type de l'identité, $R_{\lambda_0}=\mathsf{O}_{e}(1)$ ; la récurrence
-est donc amorcée.
-Cela achève la démonstration de \ref{thm Frobenius}, modulo la démonstration
-du pôle simple $1$ des fonctions $\zeta$ de Dedekind, donnée en \ref{pôle en 1 de Dedekind}.
diff --git a/5-chap-Galois.tex b/5-chap-Galois.tex
deleted file mode 100644
index f3a7d11..0000000
--- a/5-chap-Galois.tex
+++ /dev/null
@@ -1,1837 +0,0 @@
-\chapter{Méthodes adiques}
-
-%[ILLUSTRATION DE KATO ! ENFANTS ET NOMBRES $p$-adiques.]
-%[INTRO]
-
-\section{Préliminaires}
-
-Bien que nous soyons principalement intéressés par les nombres $p$-adiques, nous commençons
-par une section générale, qui nous permettra de considérer également des anneaux plus
-« géométriques » que $\ZZ$, comme $\QQ[t],\FFp[t]$. Certains détails sont laissés
-en exercice au lecteur.
-
-%[RÉFÉRENCES]
-
-\subsection{Complétion : définitions}
-
-Si $A$ est un anneau et $\MM_A$ un idéal maximal, pour tout $n\in \NN$,
-nous notons $A_n$ le quotient $A/\MM_A^{n+1}$. Pour $n=0$, c'est le \emph{corps résiduel}
-de $A$, \cad $A/\MM_A$. Pour chaque $n\in \NN$, on dispose
-d'applications surjectives naturelles :
-$\pi_{n+1,n}:A_{n+1}\surj A_n$ envoyant $x \mod \MM_A^{n+2}$ sur $x \mod \MM_A^{n+1}$ ainsi que
-de la surjection évidente $\pi_n:A\surj A_n$.
-
-Supposons que $A$ soit une $S$-algèbre et soit $f\in S[X_1,\dots,X_n]$.
-Si l'équation $f=0$ a une solution (à coefficients) dans $A$, elle en a
-nécessairement, par réduction, une dans chaque $A_n$. Considérer les $A_n$ permet
-de définir des conditions nécessaires à l'existence de solution à des équations.
-%À virer probablement.
-%\begin{exm2}
-%L'équation $y^2=tX^3+t$ n'a pas de solution dans $\QQ[t]$ car elle n'en a pas
-%dans $\QQ[t]/t^2$ (alors qu'elle en a dans $\QQ[t]/t=\QQ$).
-%De même l'équation [...] n'a pas de solution dans $\ZZ$
-%car elle n'en a pas dans $\ZZ/2^2$ (alors qu'elle en a dans $\ZZ/2$).
-%\end{exm2}
-On souhaiterait également que les $A_n$, pour $n$ croissant, forment une approximation
-de plus en plus fine de $A$. Le moins que l'on puisse demander est que
-ces approximations successives suffisent pour distinguer deux éléments de $A$,
-\cad\footnote{Puisque l'on est dans un groupe additif, on peux supposer que
-le second élément est l'élément nul.} que pour
-tout $a\neq 0$ dans $A$, il existe $n\gg 0$ tel que $\pi_n(a)\neq 0$.
-Cela revient à supposer que $$\cap_{n\geq 0} \MM_A^n=(0).$$
-On définit une topologie sur $A$ de la façon suivante :
-les ouverts sont les sous-ensembles $U$ de $A$ tels que pour tout $u\in U$,
-il existe $n\geq 0$ tel que $u+\MM_A^{n+1}\subset U$. On peut donc mesurer
-la petitesse d'un élément par la fonction
-$$\begin{array}{l}
-v_{\MM_A}:A\ra \NN\cup \{+\infty\}\\
-a\mapsto \max\{n\in \NN,\ a\in \MM_A^{n}\}
-\end{array}
-$$
-Pour $a,a'\in A$, on a $v(aa')\geq v(a)+v(a')$ et $v(a+a')\geq \min\{v(a),v(a')\}$.
-
-L'hypothèse $\cap_{n\geq 0} \MM_A^n=(0)$ est équivalente
-au fait que $v(a)=+\infty$ (\cad $a$ est aussi petit que possible) si et seulement si $a=0$.
-Cela est également équivalent au fait que $A$ soit \emph{séparé} pour cette topologie,
-dite $\MM_A$-\emph{adique} ; en particulier, les limites, si elles existent,
-sont alors uniquement définies. De façon équivalente,
-$$
-\begin{array}{l}
-A\ra \prod_n A_n\\
-a \mapsto \big(\pi_n(a)\big)_n
-\end{array}$$
-est \emph{injective}.
-
-Comme on le constate si $A$ est un corps, l'anneau de droite est très gros comparé à
-$A$. Plus précisément,
-l'image de $A$ n'est pas dense pour la topologie produit, où chaque $A_n$ est muni
-de la topologie quotient, qui est discrète.
-Ainsi, afin également de traduire l'idée d'« approximation successive »,
-on considère le sous-anneau $\widehat{A}$ de $\prod_n A_n$,
-constitué des suites « cohérentes », pour lesquelles
-l'élément au cran $n+1$ relève l'élément au cran $n$.
-En symboles :
-$$
-\widehat{A}:=\{(a_n)_{n\geq 0}\in \prod_n A_n, \pi_{n+1,n}(a_{n+1})=a_n\}.
-$$
-(Le terme de droite s'écrit aussi $\lim_n A_n$ : c'est la limite
-du système \emph{projectif} des $\pi_{n+1,n}:A_{n+1}\ra A_n$.)
-Le morphisme diagonal $A\ra \prod_n A_n$ se factorise naturellement à travers
-l'injection $\widehat{A}\hra \prod_n A$ en le morphisme canonique :
-$$
-A\ra \widehat{A},
-$$
-qui fait de $\widehat{A}$ une $A$-algèbre ; c'est également l'adhérence
-de l'image de $A$ dans $\prod_n A_n$. L'anneau $\widehat{A}$ est appelé
-le \emph{séparé-complété} en $\MM_A$ de $A$ ; cette appellation étant conforme
-à l'usage qui en est fait en topologie compte tenu des remarques précédentes.
-Si $A$ est séparé pour la topologie $\MM_A$-adique, $A\ra \widehat{A}$ une injection ; on dit
-qu'il est \emph{complet} pour cette topologie, si c'est une surjection.
-Remarquons que le critère de Cauchy pour s'assurer de la convergence d'une suite
-est très simple : si $A$ est complet, $(x_i)_{i\geq 0}$ est convergente
-si et seulement si $(x_{i+1}-x_i)$ tend vers zéro.
-
-Un élément $(a_n)$ de $\widehat{A}$ est inversible si et seulement si $a_0\in A_0=A/\MM_A$
-est non nul. En effet, chaque $A_n$ est local d'idéal maximal
-$\MM_AA_n$ de sorte que si $a_0\neq 0$, $a_n\in A_n^{\times}$ pour tout $n\in\NN$.
-L'unicité de l'inverse force le système des $(a_n)^{-1}$ à être cohérent.
-Ainsi, $\widehat{A}$ est \emph{local}\footnote{Rappelons \ref{1.1}
-qu'un anneau \emph{local} est
-un anneau dans lequel il existe un seul idéal maximal, qui
-est alors le complémentaire de l'ensemble des éléments inversibles.}
-d'idéal maximal le noyau de $\widehat{A}\surj A/\MM_A$, noté $\MM_{\widehat{A}}$.
-On a donc $\widehat{A}/\MM_{\widehat{A}}\iso A/\MM_A$ et $\MM_A\widehat{A}\subset
-\MM_{\widehat{A}}$.
-
-Si l'on suppose $A$ \emph{noethérien}, d'après le lemme
-de Nakayama (\ref{Nakayama}), pour tout idéal maximal $\MM_A$,
-$A$ est séparé pour la topologie $\MM_A$-adique.
-D'après \ref{complété-cas noethérien}, $\widehat{A}$ est plat
-sur $A$ et $\MM_{\widehat{A}}=\MM_A \widehat{A}$.
-On s'intéressera essentiellement au cas où $A$ est (intègre) principal,
-par exemple $\ZZ$ ; dans ces cas particulier, on peut donner
-une démonstration élémentaire directe de ces résultats (cf. par exemple
-\cite{Cours@Serre}).
-
-
-\subsection{Nombres $p$-adiques, séries formelles et anneaux
-de valuation discrète}
-Appliquons la construction précédentes aux anneaux $\ZZ$ et $k[t]$ ($k$ un corps).
-On note $\ZZ_p$ le complété en $(p)$ de $\ZZ$ et, pour tout anneau $k$,
-$k\[t\]$ le complété de $k[t]$ en $(t)$. On les appelle respectivement
-\emph{anneau des entiers} $p$-\emph{adiques} et \emph{anneau des séries
-formelles}\footnote{On pensera un élément de $k\[t\]$ comme une expression
-$\sum_{i\in\NN} a_i t^i$, où les $a_i$ appartiennent à $k$, le produit étant
-défini comme pour les polynômes. Insistons sur le fait qu'aucune condition
-n'est imposée sur les coefficients (d'où l'adjectif « formel ») ; l'anneau
-$k$ n'ayant pas de structure supplémentaire (topologie, etc.), c'est bien naturel.}
-sur $k$.
-Ces anneaux sont locaux, complets (comme c'est le cas en toute généralité)
-mais aussi, si $k$ est un corps pour le second, intègres et principaux.
-%[p.21 ...]
-Un \emph{anneau de valuation discrète} (avd en abrégé) est un anneau principal intègre ayant un
-unique idéal premier non nul. Dans un tel anneau, si $\pi$ est un générateur
-de l'idéal maximal, tout élément $a\in A-\{-0\}$ s'écrit de façon unique
-$a=u\pi^r$ où $u\in A^{\times}$ est une unité et $r\in \NN$. Cet entier,
-qui coïncide avec l'entier $v_{\MM_A}(a)$ introduit plus haut est la \emph{valuation}
-de $a$. Dans le cas d'un anneau de valuation discrète, on a égalité
-$v(aa')=v(a)+v(a')$. Un générateur de l'idéal maximal est appelé une \emph{uniformisante}.
-Deux uniformisantes différent par la multiplication par une unité.
-
-Les anneaux $\ZZ_p$ et $k\[t\]$, pour $k$ un corps, sont
-des anneaux de valuation discrète ;
-on note $\QQ_p$ et $k((t))$ leurs corps des fractions : le corps
-des nombres $p$-adiques (resp. le corps des \emph{séries de Laurent} formelles).
-On étend la valuation à $\ZZ\cup \{+\infty\}$ par $v(ab^{-1})=v(a)-v(b)$ ($b$ non nul),
-ce qui est indépendant des choix. On procède de même pour tout avd $A$. Le sous-anneau
-$A$ de $K=\mathrm{Frac}(A)$ est alors l'ensemble des éléments de $K$ de valuation positive.
-
-Pour faire un pas de plus en direction de l'analyse, faisons la définition suivante :
-\begin{dfn2}
-Soit $K$ un corps. On appelle \emph{valeur absolue} sur $K$ toute application
-$|\cdot | : K\ra \RR_{+}$ satisfaisant les trois conditions
-suivantes, pour chaques $x,y\in K$ :
-$$
-\left\{ \begin{array}{l}
-|x|=0 \Longrightarrow x=0\\
-|xy|=|x||y|\\
-|x+y|\leq |x|+|y|
-\end{array} \right.
-$$
-Elle est dite \emph{non archimédienne} si pour $|x+y|\leq \max\{|x|,|y|\}$ ;
-de façon équivalente, $\{|n|,n\in \ZZ\}\subset \RR $ est borné.
-\end{dfn2}
-À chaque corps valué $(K,|\cdot|)$, on associe une topologie métrique sur $K$ par
-$d(x,y)=|x-y|$.
-Si la valeur absolue est non archimédienne, la boule unité fermée
-$A_K:=\{x\in K, |x|\leq 1\}$ est un sous-anneau de $K$ ; c'est aussi
-l'ensemble des $x\in K$ tel que l'ensemble $\{x^n, n\in \NN\}$ est borné.
-
-\begin{exms2}
-Pour chaque corps $K$, la fonction valant $0_{\RR}$ en $0_K$ et $1_{\RR}$ ailleurs
-est une valeur absolue dite \emph{triviale}, notée $|\cdot|_{\mathrm{triv}.}$. La topologie
-correspondante sur $K$ est la topologie discrète.\\
-Les corps $\QQ,\RR,\CC$ munis de la valeur absolue usuelle $|\cdot|_{\infty}$
-sont des corps valués.
-Pour chaque anneau de valuation discrète $A$, et tout nombre réel $0<c<1$, la formule
-$|a|:=c^{v(a)}$ pour $a\in \mathrm{Frac}(A)^{\times}$, étendue à $0_{\RR}$ en $0_A$, définit
-une valeur absolue non archimédienne. En particulier, les corps $\QQ_p$ et $k((t))$ sont
-naturellement valués. La valuation de $\QQ_p$ est souvent normalisée de sorte
-que $|p|=p^{-1}$ (\cad $c=p^{-1}$). Par restriction à $\QQ\hra \QQ_p$ on en déduit
-une valeur absolue sur $\QQ$\footnote{Signalons pour le lecteur curieux le fait suivant,
-dû à Ostrovsky : à \emph{équivalence près} les seules valeurs absolues de $\QQ$ sont
-les $|\cdot|_p$ ($p$ premier), $|\cdot|_{\infty}$ et $|\cdot|_{\mathrm{triv}.}$.
-On dit que deux valeurs absolues sont équivalentes si elles définissent les mêmes
-topologies. On peut montrer que cela revient à supposer qu'il existe une constante
-$c\in \RR^{\times}_{+}$ telle que l'on passe de l'une à l'autre par élévation à la puissance
-$c$.}.
-\end{exms2}
-%[p.22 Ostrovsky : en exercice !]
-Revenons à la théorie de Galois.
-
-\subsection{Théorie de Galois et localisation}
-
-Soient $K/\QQ$ une extension galoisienne et $p$ un nombre premier.
-Suivant \ref{fonctorialité}, on forme le diagramme :
-$$
-\xymatrix{
-K \ar@{-}[r] & K\QQ_p \\
-\QQ \ar@{-}[r] \ar@{-}[u] & \QQ_p \ar@{-}[u] }
-$$
-où $K\QQ_p=:K_p$ est une extension composée. Concrètement, si $K/\QQ$ est le corps
-de décomposition d'un polynôme $f\in \QQ[X]$, $K_p$ est un corps
-de décomposition de $f$ vu comme polynôme dans $\QQ_p[X]$. Abstraitement,
-$K_p$ est un quotient de l'algèbre $K\otimes_{\QQ} \QQ_p$.
-On a déjà vu en \emph{loc. cit.} qu'un tel diagramme induit une injection
-$$\ga(K_p/\QQ_p)\hra \ga(K/\QQ).$$
-De même qu'en \ref{Dedekind}, on souhaite utiliser ces sous-groupes $\ga(K_p/\QQ_p)$ pour
-en déduire une information, autrement difficile à obtenir, sur $\ga(K/\QQ)$.
-
-On aimerait que la structure supplémentaire de corps (discrètement) valué complet
-sur $\QQ_p$, qui ouvre la voie vers des méthodes plus analytiques, nous permette
-d'étudier $\ga(K_p/\QQ_p)$. À cette fin, il est raisonnable d'espérer munir $K_p$
-d'une valeur absolue ou d'une valuation. Cela est possible en vertu du théorème suivant :
-
-\begin{thm}\label{normalisation avd}
-Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions $K$
-et $L/K$ une extension finie séparable. Alors, la clôture intégrale $B$
-de $A$ dans $L$ est libre de rang $[L:K]$ sur $A$ et est un anneau de valuation
-discrète complet. Il existe un entier $e\geq 1$ divisant $[L:K]$ tel que
-la valuation $v_B$ restreinte à $A$ soit égale à $\frac{1}{e}v_A$.
-\end{thm}
-
-Nous allons démontrer ce théorème dans la (longue) section suivante ;
-nous y comblons aussi quelques lacunes précédentes (par exemple dans la
-démonstration de \ref{point clé Frob}) et généralisons quelques énoncés
-(\ref{structalgdimfinie} en \ref{décomposition algèbre artinienne} par exemple).
-Le lecteur en trouvera une démonstration plus courte mais dans un esprit
-différent dans \cite{CL@Serre}, chap.~\textsc{ii}, \S~2.
-
-\section{Un peu d'algèbre commutative}
-
-Tout d'abord, remarquons que si l'on applique le procédé du théorème \ref{normalisation avd}
-à une extension triviale, on a $A\iso B$ ; en d'autres termes :
-
-\begin{lmm}\label{avd=normal}
-Un anneau de valuation discrète est normal.
-\end{lmm}
-
-Cela montre également que l'anneau de valuation discrète $B\leq L$ que nous
-cherchons doit être intégralement clos : il doit donc contenir la normalisation de $A$.
-
-\begin{proof}
-Soient $A$ un tel anneau, $K$ son corps des fractions et $x\in K$ entier sur $A$ :
-il existe $n\geq 1$, $a_0,\dots,a_{n-1}\in A$ tels que
-$$
-x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_0=0.
-$$
-Supposons $v(x)<0$. Dans ce cas, pour $0\leq i \leq n-1$,
-$v(a_ix^i)\geq v(x^i)\geq v(x^{n-1})=(n-1)v(x)$. Ainsi,
-$$
-v(a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_0)\geq (n-1)v(x).
-$$
-Pourtant le terme de droite, $x^{n}$ a une valuation strictement plus petite. Contradiction.
-\end{proof}
-
-Ce genre d'argument sera grandement amplifié en \ref{polygone de Newton}.
-
-\begin{lmm}
-Soient $A\subset B$ deux anneaux de valuation discrète de même corps des fractions. Alors,
-$A=B$.
-\end{lmm}
-\begin{proof}
-Commençons la démonstration sous la seule hypothèse que $A$ et $B$
-satisfont les propriétés suivantes : il s'agit d'anneaux \emph{intègres}
-tels que si un élément n'est pas dans l'anneau, son inverse, dans son corps
-des fractions, est dans l'anneau.
-Ce sont ce qu'on appelle des \emph{anneaux de valuation}. L'ensemble
-des idéaux d'un tel anneau est totalement
-ordonné (exercice). En particulier, un anneau de valuation est local.
-Soit $K$ le corps de fractions de $A$ ; c'est aussi celui de $B$.
-Soit $0\neq m_B\in \MM_B$ ; son inverse $m_B^{-1}$ n'appartient pas à $B$ et \emph{a fortiori}
-pas à $A$. Donc $m_B\in A$, et finalement $\MM_B\subset \MM_A$.
-(On dit dans ce cas que le morphisme $A\ra B$ est \emph{local} :
-$\SP(B)\ra \SP(A)$ envoie l'idéal maximal sur l'idéal maximal.)
-Montrons maintenant que $\MM_B$ est un idéal premier de $A$.
-Soient $a,a'$ dans $A$ tels que $aa'\in \MM_B$. Un élément de $B-\MM_B$
-est une unité de $B$ donc si ni l'un ni l'autre de ces éléments n'est dans $\MM_B$,
-ils sont tous deux inversibles dans $B$, de même que leur produit ; absurde.
-
-
-Comme $A$ est un anneau de valuation \emph{discrète}, son seul
-idéal premier non nul est $\MM_A$. Ainsi, $(0)\neq \MM_B=\MM_A$.
-Or un anneau de valuation est déterminé par son corps des fractions
-et son idéal maximal : $A=\{x\in K^{\times}, x^{-1}\notin \MM_A\}\cup \{0\}$,
-et $B=A$.
-\end{proof}
-
-\begin{prp}\label{normalisation finie}
-Soit $A$ un anneau \emph{normal} noethérien de corps des fractions $K$.
-Soient $L/K$ une extension finie \emph{séparable} et $B$ la normalisation
-de $A$ dans $L$. Alors, $B$ est un $A$-module de type fini.
-\end{prp}
-
-Si $A$ est un anneau de valuation discrète (donc normal, \cad intègre,
-et intégralement clos et noethérien cf. \ref{normal} et \ref{avd=normal}), le $A$-module
-$B$ étant sans torsion, il est
-également \emph{libre} (de type fini).
-
-Nous ferons un usage essentiel de la proposition suivante :
-
-\begin{prp}\label{trace non dégénérée}
-Soit $L/K$ une extension finie séparable. L'accouplement défini par la trace
-$$
-\begin{array}{l}
-L\otimes_K L \ra K\\
-x\otimes y \mapsto \mathrm{Tr}_{L/K}(xy)
-\end{array}
-$$
-est \emph{non dégénéré} : l'application $K$-linéaire
-$$
-\begin{array}{l}
-L\ra \Hom_{K-\mathrm{lin}.}(L,K)\\
-x\mapsto \mathrm{Tr}_{L/K}(x\cdot)
-\end{array}
-$$
-est un isomorphisme.
-\end{prp}
-
-La réciproque est également vraie, cf \ref{trace-étale}.
-L'accouplement est non dégénéré si et seulement si, pour
-tout $x\in L$ non nul, il existe $y\in L$ tel
-que $\TR(xy)\neq 0$. C'est équivalent à la \emph{surjectivité} de la trace.
-Puisque $\TR_{L/K}(1)=[L:K]\cdot 1$, seul le cas de la caractéristique
-positive peut poser problème.
-
-
-\begin{proof}
-Soit $K\sep$ une clôture algébrique de $K$.
-Il suffit de montrer que l'application $K\sep$-bilinéaire
-$$\big(L\otimes_K L\sr{\mathrm{Tr}_{L/K}}{\ra} K\big)\otimes_K K\sep=
-(L\otimes_K K\sep)\otimes_{K\sep} (L\otimes_K K\sep)\sr{\mathrm{Tr}_{L_{K\sep}/K\sep}}{\ra}
-K\sep$$
-est non dégénérée.
-Dans ce cas, qui est « décomposé » car $L\otimes_K K\sep \iso_{K\sep} {K\sep}^{X}$
-($X=\Hom_{K}(L,K\sep)$), la situation est simple : l'accouplement
-correspond à
-$$\begin{array}{l}
-{K\sep}^{X}\otimes_{K\sep} {K\sep}^{X}\ra K\sep\\
-(x_i)\otimes (y_i)\mapsto \sum_{i\in X} x_i y_i
-\end{array}$$
-Ce dernier est bien non dégénéré.
-\end{proof}
-
-\begin{proof}[Démonstration de \ref{normalisation finie}]
-Puisque $A$ est normal, $\TR_{L/K}(B)\subset A$ : la trace d'un élément de $b$
-appartient à $K$ et est algébrique sur $A$. Pour tout $A$-sous-module $M$ de $L$,
-notons $M^{\star}$ le $A$-module
-$\{x\in L, \TR_{L/K}(xM)\subset A\}$. Ainsi, $B\subset B^{\star}$.
-Si $M$ est un $A$-module libre de type fini, $M^{\star}$ l'est également
-par non dégénérescence de la trace.
-Soient $d=[L:K]$ et $e_1,\dots,e_d$ une base de $L$ sur $K$ ; puisque
-$KB=L$, on peut supposer ces éléments dans $B$. On a donc :
-$$
-\oplus_1^d Ae_i \subset B \subset B^{\star} \subset \big(\oplus_1^d Ae_i\big)^{\star}.
-$$
-Le terme de droite est (libre) de type fini ; $B$ est donc également de type fini.
-CQFD.
-\end{proof}
-Remarquons que $B$ est également noethérien donc normal.
-
-\begin{rmr}
-Si $A$ est un anneau local noethérien complet, la conclusion de la proposition
-tient encore même si $L/K$ n'est pas séparable (Nagata~M.).
-%Mettre en japonais (de même que les noms russes etc.)
-On dit, suivant A.~Grothendieck,
-qu'un tel anneau est \emph{japonais}. Pour vérifier qu'un anneau est japonais,
-il suffit de démontrer la proposition précédente pour $L/K$ radicielle.
-\end{rmr}
-
-
-Poursuivons par quelques lemmes.
-Ce premier lemme est un des points de départ de la théorie de la dimension
-des anneaux commutatifs.
-
-\begin{lmm}\label{entier sur corps}
-Soit $A\subset B$ deux anneaux. Supposons $B$ entière sur $A$ et intègre.
-Alors, $A$ est un corps si et seulement si $B$ est un corps.
-\end{lmm}
-\begin{proof}
-Si $B$ est un cors et $0\neq a\in A$, $a^{-1}\in B$ et est entier sur $A$.
-Il en résulte que $(a^{-1})^n+a_{n-1}(a^{-1})^{n-1}+\cdots+a_0=0$ où les coefficients
-sont dans $A$. En multipliant cette égalité par $a^{n-1}$, on voit que $a^{-1}\in A$.
-Réciproquement, si $A$ est un corps, et $0\neq b\in B$, la sous-algèbre $A[b]$ de $B$
-est intègre et de type finie sur le corps $A$. C'est donc un corps. En particulier,
-$b$ est inversible dans $A[b]$ et \emph{a fortiori} dans $B$.
-\end{proof}
-
-Commençons notre brève étude des fibres de $\SP(B)\ra \SP(A)$ dans le
-cas où $A$ est local.
-Rappelons (\ref{spectre quotient}) qu'en toute généralité, la fibre en
-$\wp_A$ de ce morphisme s'identifie canoniquement avec $\SP(B/\wp_AB)$.
-
-\begin{lmm}\label{going-up1}
-Soient $A$ un anneau local d'idéal maximal $\MM_A$ et $B$ une $A$-algèbre finie.
-L'application $$\SP(B/\MM_AB)\ra \SP\max(B)$$ est une bijection :
-un idéal premier de $B$ qui est maximal contient l'idéal $\MM_AB$ et réciproquement.
-En conséquence, l'ensemble des idéaux maximaux de $B$ est fini, de cardinal inférieur
-à $dim_{A/\MM_A} B\otimes_A A/\MM_A$ et
-$\MM_B$ appartient à l'image de $\SP(B)\ra \SP(A)$.
-\end{lmm}
-\begin{proof}
-Comme $B/\MM_AB$ est une $A/\MM_A$-algèbre \emph{finie}, son spectre est également fini
-(cf. \ref{structalgdimfinie}).
-Vérifions la première assertion.
-Soit $\wp$ un idéal maximal de $B$ ; le quotient $B/\wp$ est un corps.
-Si $N$ est le noyau de $A\ra B\surj B/\wp$, on a $A/N\hra B/\wp$ et $B/\wp$ est
-fini sur $A/N$.
-D'après le lemme précédent, les quotient $A/N$ est donc un corps ; comme $A$ est local,
-$N=\MM_A$ et finalement $\MM_AB\subset \wp$. On montre de même que si $\wp_B$ est maximal,
-il contient $\MM_A$.
-\end{proof}
-
-Pour $B/A$ comme dans \ref{entier sur corps},
-le morphisme $\SP(B)\ra \SP(A):\wp_B\mapsto \wp_B\cap A$
-n'est pas injectif en général. Dans la proposition suivante, nous allons voir
-qu'il résulte du lemme \ref{entier sur corps} qu'il est strictement croissant au sens suivant
-et du lemme \ref{going-up1} qu'il est surjectif.
-
-\begin{lmm}\label{going-up}
-Soient $B$ un anneau et $A$ un sous-anneau sur lequel $B$ est entier.
-\begin{enumerate}
-\item $\SP(B)\ra \SP(A)$ est surjectif.
-Si $B$ est libre de rang $d$ sur $A$, le cardinal des fibres
-est au plus $d$,
-\item si $\wp_B\subsetneq \wp_B'$ sont deux idéaux premiers distincts de $B$,
-$\wp_B\cap A\neq \wp'_{B}\cap A$.
-
-\end{enumerate}
-\end{lmm}
-\begin{proof}
-Soit $\wp\in \SP(A)$ ; l'anneau localisé en $\wp$, $A_\wp$ est
-naturellement un sous-anneau de l'algèbre $B_{\wp}=B\otimes_A A_\wp$.
-Considérons le diagramme commutatif :
-$$\xymatrix{
-\SP(B_{\wp}) \ar@{^(->}[r] \ar[d] & \SP(B) \ar[d] \\
-\wp\in \SP(A_\wp) \ar@{^(->}[r] & \SP(A)
-}$$
-Comme $B_{\wp}/A_{\wp}$ entière (cf. \ref{normalisation et localisation}),
-$\wp$ --- identifié à son image dans $\SP(A)$ --- appartient à l'image de la
-flèche verticale de gauche (\ref{going-up1}). La surjectivité en découle. L'inégalité
-sur le cardinal des fibres résulte également de \ref{going-up1}.
-
-Supposons maintenant qu'il existe une inclusion stricte
-$\wp_B\subset \wp_B'\subset B$ telle que $\wp_B\cap A= \wp'_{B}\cap A=\wp_A$.
-Quitte à remplacer $A$ par $A_\wp$, on peut supposer $A$ local d'idéal maximal $\wp$.
-(Cette réduction est légitime car $\wp_B$ et $\wp_B'$, qui contiennent $\wp$,
-appartiennent tous deux à $\SP(B_{\wp})\hra \SP(B)$.)
-On a vu en \ref{going-up1} que les idéaux de $B$ au-dessus $\wp$ sont tous maximaux.
-Il ne peut donc pas y avoir d'inclusion stricte.
-\end{proof}
-
-\begin{dfn}\label{dimension}
-Soit $A$ un anneau. On appelle \emph{dimension} de $A$ la borne supérieure
-des entiers $d$ tels qu'il existe une chaîne strictement croissante
-$$
-\wp_0\subsetneq \wp_1 \subsetneq \cdots \subsetneq \wp_{d}\subset A
-$$
-d'idéaux premiers.
-\end{dfn}
-
-Un corps est de dimension nulle ; un anneau de valuation discrète est de dimension
-$1$.
-
-
-\begin{rmr}\label{rmr-dimension}
-Prendre garde que même si $A$ est noethérien, il peut être
-de dimension infinie.
-%(par exemple : [...]).
-Par contre, on peut montrer que tout anneau \emph{local} noethérien
-est de dimension finie (cf. \cite{Algebre@Serre}).
-\end{rmr}
-
-
-
-Voici une généralisation de \ref{structalgdimfinie}.
-
-\begin{prp}\label{décomposition algèbre artinienne}
-Soient $A$ un anneau local noethérien complet et $B$ une $A$-algèbre finie.
-Alors le spectre maximal $\SP\max(B)$ est fini et
-$$
-B\iso \prod_{\wp\in \SP\max(B)} B_{\wp}.
-$$
-\end{prp}
-
-Un anneau local satisfaisant cette propriété (pour tout $B$) est appelé un anneau
-local \emph{hensélien}. Ils jouent un rôle crucial en géométrie algébrique.
-Il résulte immédiatement de la propriété ci-dessus que si $A$ est local hensélien
-et $B$ est une $A$-algèbre finie locale, $B$ est également hensélien.
-
-\begin{lmm2}\label{anneau dimension nulle}
-Soit $C$ un anneau noethérien de dimension nulle. Alors, $\SP(C)$ est fini
-et $C\iso \prod_{\wp\in \SP(C)}C_\wp$.
-\end{lmm2}
-
-Remarquons que nous appliquerons ce lemme à l'anneau $B/\MM_A^n$, dont on sait déjà
-que son spectre est fini. Le lecteur pourra donc omettre le passage correspondant
-de la démonstration qui va suivre dans conséquence.
-
-\begin{proof}
-
-
-\begin{itemize}
-
-\item Un anneau noethérien de dimension nulle est \emph{artinien} : toute suite décroissante
-d'idéaux est stationnaire. \\
-En effet,
-d'après \ref{idéaux premiers associés}, il existe une filtration
-$0=C_{-1}\subset C_0 \subset \cdots \subset C_n=C$ de $C$ par des idéaux
-dont les quotients successifs sont isomorphes, comme
-$C$-modules, à $C/\wp$ pour $\wp\in \SP(C)$ variable.
-Comme $C$ est de dimension nulle, tout idéal premier est maximal ; $C/\wp$ est donc
-un corps et $C$ est de longueur finie (comme $C$-module).
-La conclusion résulte de \ref{longueur finie et artinien}.
-\item Le spectre $\SP(C)$ est fini. \\
-Soient $\wp_1,\dots,\wp_n$ des idéaux premiers distincts
-de $C$. Comme ils sont maximaux par le théorème de Bézout,
-$$
-C\surj \prod_1^n C/\wp_i.
-$$
-D'après \ref{additivité longueur}, $\mathrm{long}_C(C)\geq \mathrm{long}_C(\prod_1^n C/\wp_i)$.
-Comme $\mathrm{long}_C(\prod_1^n C/\wp_i)=\sum_1^n \mathrm{long}_C C/\wp_i\geq n$
-et que chaque $C/\wp_i$ est de longueur $1$, on voit que le nombre d'idéaux maximaux
-de $C$ est borné par $\mathrm{long}_C(C)<+\infty$.
-
-\item Soit $\wp_1,\dots,\wp_r$ les idéaux premiers de $C$. Le nilradical
-de $C$, $\mc{N}=\cap_{\wp\in \SP(C)} \wp$ est de type fini : il existe donc
-$N\in \NN$ tel que $\mc{N}^N=(0)$. Il en résulte, comme dans la démonstration
-de \ref{structalgdimfinie}, que $\cap_{\wp} \wp^N=(0)$
-et finalement que
-$$
-C\ra \prod_{\wp\in \SP(C)} C/\wp^{N}
-$$
-est un isomorphisme.
-
-\item Chaque $C/\wp^{N}$ est isomorphe à $C_{\wp}$.\\
-Ces anneaux sont locaux : tout idéal maximal contenant $\wp^N$ contient $\wp$.
-La conclusion résulte de \ref{spectre d'un produit}.
-\end{itemize}
-\end{proof}
-
-Nous allons démontrer la proposition en appliquant le lemme précédent
-aux quotients $B_n:=B/\MM_A^{n+1}$, pour $n$ variable et passer à la limite.
-
-Il est intéressant que pour autant que les anneaux $B_n$ grossissent,
-leurs spectres sont tous canoniquement en bijection :
-
-\begin{lmm2}\label{épaississements}
-Soit $C$ un anneau et $I$ un idéal de $C$. Pour tout $n\in \NN$,
-l'application canonique
-$$
-\SP(C/I)\ra \SP(C/I^{n+1})
-$$
-est une bijection.
-\end{lmm2}
-\begin{proof} En effet, si $I^{n+1}\subset \wp$, $I\subset \wp$.\end{proof}
-
-
-Fixons $n\in \NN$. L'anneau quotient $A_n=A/\MM_A^{n+1}$ est noethérien, local
-et de dimension nulle (tout idéal premier contenant $\MM_A^{n+1}$ est égal à $\MM_A$).
-Il en résulte que la $A_n$ algèbre finie $B_n:=B\otimes_A A_n=B/\MM_A^{n+1}B$
-est noethérien et de dimension nulle (\ref{épaississements} et \ref{structalgdimfinie}).
-
-Nous avons vu plus haut que $\SP(B_0)$ est canoniquement en bijection
-avec $\SP\max(B)$.
-Ainsi, le lemme précédent, appliqué aux $B_n$ se réécrit :
-$$
-B_n \iso \prod_{\wp_n\in \SP(B_n)} (B_n)_{\wp_n}\isononcan \prod_{\wp\in \SP\max(B)}
-B_{\wp}/\MM_A^{n+1}.
-$$
-On utilise implicitement le lemme suivant pour identifier $(B_n)_{\wp_n}$
-à $B_{\wp}/\MM_A^{n+1}$ si $\wp$ est l'image de $\wp_n$ par $\SP(B_n)\ra \SP(B)$.
-
-\begin{lmm2}
-Soient $A$ un anneau, $I$ un idéal et $\wp_I\in \SP(A/I)$. Soit $\wp$
-l'image inverse de $\wp_I$ dans $A$. Alors,
-il existe un isomorphisme canonique
-$$
-(A_{\wp})/(IA_{\wp})\isononcan (A/I)_{\wp_I}.
-$$
-\end{lmm2}
-\begin{proof}
-En effet, ces deux anneaux représentent le foncteur
-$$C\in \ob \mathsf{Ann} \mapsto \{f\in \Hom(A,C),\ f(I)=0\ \& \ f(A-\wp)\in C^{\times}\}\in
-\ob \Ens.$$
-\end{proof}
-
-Comme $B$ est un $A$-module \emph{libre} de type fini, il est \emph{séparé} et \emph{complet}
-pour la topologie $\MM_A$-adique : $B\ra \widehat{B}$ est un isomorphisme.
-
-
-Ainsi,
-$$
-B\iso \lim_n B_n=\prod_{\wp\in \SP\max(B)} \lim_n (B_\wp)/\MM_A^{n+1}=\prod_{\wp\in
-\SP\max(B)} \widehat{B_\wp}.
-$$
-Nécessairement (cf. \ref{spectre d'un produit}),
-$B_\wp\iso \widehat{B_\wp}$.
-
-Soient $A,L/K,B$ comme dans le théorème \ref{normalisation avd}.
-On a vu que $B$ est intègre donc local, normal, noethérien, de type fini sur $A$, complet.
-Il est de dimension $1$ car il est de dimension inférieure à $1$
-(cf \ref{going-up}) sans être un corps (cf \ref{entier sur corps}).
-Il reste à vérifier que c'est un anneau de valuation discrète.
-
-\begin{lmm2}
-Tout anneau local normal noethérien de dimension $1$ est un anneau
-de valuation discrète : son idéal maximal est principal.
-\end{lmm2}
-
-\begin{proof}
-Soient $C$ un tel anneau, $\MM_C$ son idéal maximal et $x\in \MM_C-\MM_C^2$.
-(D'après \ref{Nakayama2}, $\MM_C^2\subsetneq \MM_C$.)
-Le quotient $C/(x)$ est de dimension nulle donc il existe $n$ tel que
-$\MM_{C/(x)}^n=(0)$. En d'autres termes, $\MM_{C}^n\subset (x)$. Considérons
-$n$ minimal pour cette propriété, de sorte qu'il existe $y\in \MM_C^{n-1}-(x)$.
-Comme $$\left\{\begin{array}{l} \MM_C y \subset (x) \\ y\notin (x) \end{array}\right.,$$
-on voit que $\MM_C (\frac{y}{x})\subset C$.
-Deux cas se présentent.
-\begin{itemize}
-\item $\MM_C (\frac{y}{x})\subset \MM_C$, auquel cas $\frac{y}{x}$ est algébrique
-sur $C$ (rappelons que $\MM_C$ est de type fini), donc appartient à $C$. Absurde !
-\item $\MM_C (\frac{y}{x})=C$, auquel cas $1=\pi\frac{y}{x}$, pour un $\pi\in \MM_C$.
-Mézalor, pour tout $m\in \MM_C$, $m=\underbrace{\frac{my}{x}}_{\in A}\pi$, \cad
-$(\pi)=\MM_C$.
-\end{itemize}
-\end{proof}
-
-Achevons la démonstration de \ref{normalisation avd}.
-Fixons les notations :
-$$
-\xymatrix{
-k_L:=B/\pi_L \ar@{-}[d]^{\deg=:f} & \ar@{->>}[l] B \ar@{^(->}[r] \ar@{-}[d] & L
-\ar@{-}[d]^{\mathrm{s\acute{e}p},\deg=n} \\
-k_K:=A/\pi_K & A \ar@{->>}[l] \ar@{^(->}[r] & K
-}
-$$
-où $\pi_K$ et $\pi_L$ sont des uniformisantes respectives des anneaux
-de valuation discrète $A$ et $B$. Soit $e\geq 1$, tel que $\pi_K=\pi_L^{e}u_B$, pour
-une unité $u_B\in B^{\times}$ : $e=v_L(\pi_K)$.
-L'extension $k_L/k_K$ est appelée \emph{extension résiduelle}.
-
-\begin{lmm2}\label{n=ef}
-Avec les notations précédentes, $$n=ef.$$
-\end{lmm2}
-
-\begin{proof}
-On a vu (\ref{} [À rédiger]) que $B$ est libre de rang $n$. La $k_K$-algèbre $B\otimes_A k_K=B/\pi_K=
-B/\pi_L^e$ est donc de dimension $n$. D'un autre côté, on peut filtre $B/\pi_L^e$
-par les sous-$k_K$-module $\pi_L^{i}B/\pi_L^e$, pour $i=0,\dots,e$.
-Les gradués de cette filtration décroissante sont les $(\pi_L^{i})/(\pi_K^{i+1})$ ($0\leq i \leq
-e-1$). La conclusion résulte de ce que ces $k_k$-espaces vectoriels
-sont tous isomorphes à $k_L=\pi_L^0/\pi_L^1$, donc de $k_K$-dimension $f$.
-En effet,
-$$
-\begin{array}{l}
-k_L\ra (\pi_L^{i})/(\pi_K^{i+1})\\
-(B\ni b \mod \pi_L)\mapsto (b\pi_L^i \mod \pi_L^{i+1})
-\end{array}
-$$
-est un isomorphisme.
-\end{proof}
-
-
-\begin{dfn2}
-On dit qu'une extension $L/K$ comme plus haut est \emph{totalement ramifiée}
-si $e=n$, autrement dit, si l'extension résiduelle correspondante est triviale.
-De façon générale, on appelle $e$ l'\emph{indice de ramification} de l'extension
-considérée.
-\end{dfn2}
-
-C'est donc automatiquement le cas si $k_K$ est algébriquement clos, par exemple
-si $A=\CC[[t]]$.
-
-\begin{exm2}
-$\QQ_p(\sqrt{p})/\QQ_p$ : $n=e=2$, $f=1$.
-\end{exm2}
-
-\begin{crl2}\label{extension-va}
-Sous les hypothèses du théorème, il existe une unique valeur absolue $|\cdot|_L$
-sur $L$ prolongeant celle de $K$, $|\cdot|_K$.
-\end{crl2}
-
-\begin{proof}
-L'existence résulte de la définition suivante : $|x|_L=a^{v_L(x)/e}$, pour $x\in L$,
-où $a\in ]0,1[$ est tel que $|x|_K=a^{v_K(x)}$ pour tout $x\in K$.
-\end{proof}
-
-On peut remarquer que cette valeur absolue coïncide nécessairement avec
-$|\mathrm{N}_K(x)|_K^{1/n}$ (exercice).
-
-\begin{crl2}
-Sous les hypothèses précédentes, si $L/K$ est galoisienne,
-on a $v_L(x)=v_L(\sigma x)$ pour tout $\sigma\in \ga(L/K)$ et tout $x\in L$.
-\end{crl2}
-
-\begin{proof}
-Cela revient à démontrer que $|x|_L=|\sigma x|_L$. Cela découle
-de l'unicité de la valuation prolongeant $|\cdot|_K$.
-\end{proof}
-
-\section{Puiseux-Newton}
-
-\begin{dfn}
-Soient $K$ un corps muni d'une valuation discrète et $f=a_nX^n+\cdots+a_0$
-un polynôme à coefficients dans $K$. On appelle \emph{polygone de Newton}
-l'enveloppe convexe de l'ensemble des points de $\RR^2$ au-dessus
-des couples $(i,v(a_i))$, avec $0\leq i \leq n$ et $a_i\neq 0$.
-\end{dfn}
-
-
-\begin{thm}\label{polygone de Newton}
-Soient $K$ le corps des fractions d'un anneau de valuation discrète
-complet et $f=a_nX^n+\cdots+a_0\in K[X]$ un polynôme séparable de degré $n$.
-Soient $L$ un corps de décomposition de $f$ et $v_L$ la valuation de $L$ prolongeant
-celle de $K$. Soient $(x_i,y_i)$, $i=1,\dots,r$ les sommets
-du polygone de Newton. Alors,
-$$
-f=g_1\cdots g_r
-$$
-où :
-\begin{enumerate}
-\item Chaque polynôme $g_i\in K[X]$ est de degré $x_i-x_{i-1}$,
-\item Les racines de $g_i$ sont toutes de $v_L$-valeur absolue :
-$$
--\frac{y_i-y_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}=:v_i.
-$$
-\end{enumerate}
-\end{thm}
-
-\begin{crl}[Eisenstein]\label{Eisenstein}
-Soit $f=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0\in K[X]$ un polynôme à coefficients dans $\ZZ$.
-Supposons qu'il existe un nombre premier $p$ tel que $p|a_i$ mais $p^2$ ne divise pas $a_0$.
-Alors $f$ est irréductible.
-\end{crl}
-
-\begin{proof}
-
-\end{proof}
-
-\begin{exm}
-Exemple numérique pour montrer qu'un polynôme n'est pas irréductible.
-\end{exm}
-
-\begin{proof}
-Quitte à diviser les coefficients par $a_n$, ce qui a pour effet de translater verticalement
-le polygone, et aucun effet sur les racines, on peut supposer que $a_n=1$.
-Soient $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ les racines de $f$ dans $L$ ordonnées par valuation :
-$$
-\underbrace{\alpha_1,\dots,\alpha_{d_1}}_{v_1},\underbrace{\alpha_{d_1+1},\dots,
-\alpha_{d_1+d_2}}_{v_2},\dots,\underbrace{\alpha_{d_1+\cdots+d_{r-1}+1},\dots,
-\alpha_{d_1+\cdots+d_{r-1}+d_r=n}}_{v_r},
-$$
-où $v_1<\cdots < v_r$.
-Le terme constant $a_0$ est, au signe près, le produit des racines ;
-sa valuation est :
-$$
-v(a_0)=d_1v_1+\cdots+d_r v_r.
-$$
-Pour chaque $0\leq i < d_r$, $a_i$ est, au signe près, une somme de $n-i$ produits de racines ;
-ainsi :
-$$
-v(a_i)\geq d_1v_1+\cdots+d_{r-1}v_{r-1}+(d_r-i)v_r\ (0\leq i < d_r).
-$$
-Comme, au signe près,
-$$a_{d_r}=\alpha_1\cdots\alpha_{n-d_r}+\big(\text{somme dont chaque terme a
-une valuation}>\big),$$
-on a :
-$$
-v(a_{d_r})= d_1v_1+\cdots+d_{r-1}v_{r-1}.
-$$
-De même, on montre
-que pour $i\in [1,r]$,
-$$
-v(a_{d_r+\cdots+d_i})=d_1v_1+\cdots+d_{i-1}v_{i-1}
-$$
-et, pour $0\geq j < d_{i-1}$,
-$$
-v(a_{d_r+\cdots+d_i+j})\geq d_1v_1+\cdots+(d_{i-1}-j)v_{i-1}.
-$$
-Enfin $v(a_n)=0$.
-Ces égalités et inégalité traduisent exactement le fait que
-les sommets du polygone de Newton sont du type indiqué dans l'énoncé.
-
-Enfin, si $g_i:=\prod_{f(\alpha)=0,\,v_L(\alpha)=v_i}(X-\alpha)$
-appartient à $K[X]$ car deux racines conjuguées ont la même valuation.
-%[FIGURE !]
-\end{proof}
-
-Nous utiliserons ce théorème dans deux cas : $K=\QQ_p$ ou $K=k((t))$.
-Commençons par une application.
-
-\section{Groupe de Galois de l'exponentielle tronquée}
-
-\textbf{Cette section est une traduction rapide, non relue, du franglais vers le français
-de l'examen final.}
-
-\subsection{Énoncé ; résultats $p$-adiques}
-
-Soit $f_n(X)=1+X+\frac{X^2}{2}+\cdots+\frac{X^n}{n!}\in \QQ[X]$
-le $n$-ième polynôme de Taylor à l'origine de la fonction exponentielle.
-
-Nous allons démontrer, suivant Robert F. Coleman \cite{} :
-
-\begin{thm2}[Issai Schur, 1930 : $\got{S}_n$ par voie $p$-adique]\label{S_n-2}
-Le groupe de Galois de $f_n$ est soit le groupe alterné
-$\got{A}_n$ si $4|n$ soit le groupe symétrique $\got{S}_n$.
-\end{thm2}
-
-Ce théorème est à comparer avec \ref{S_n-1} (cf. \ref{S_n}).
-
-Fixons un nombre premier $p$.
-
-Écrivons $n=b_1p^{n_1}+b_2p^{n_2}+\cdots+b_s p^{n_s}$, où $n_1>n_2>\cdots>n_s$ et $0<b_i<p$.
-Posons $x_i=b_1p^{n_1}+b_2p^{n_2}+\cdots+b_i p^{n_i}$.
-Alors, les sommets du polygone de Newton $p$-adique de $f_n$ sont les
-$$
-\big(x_i,-v_p(x_i !)\big),\ 1\leq i \leq s.
-$$
-
-Il en résulte que :
-\begin{itemize}
-\item Si $p^m$ divise $n$, $p^m$ divise également le degré de chaque facteur de
-$f_n$ sur $\QQ_p$.
-\item Si $p^k\leq n$, $p^k$ divise le degré du corps de décomposition de
-$f_n$ sur $\QQ_p$.
-\end{itemize}
-
-Il résulte que $f_n$ est irréductible.
-De plus, si $\frac{n}{2}<p\leq n$ est un nombre premier,
-$\ga_{\QQ}(f_n)$ contient un $p$-cycle.
-
-Pour distinguer $\got{A}_n$ de $\got{S}_n$ nous aurons besoin de connaître
-le discriminant de $f_n$ :
-
-\begin{lmm2}
-Le discriminant $D_n$ de $f_n$ is $(-1)^{\binom{n}{2}}(n!)^n$.
-\end{lmm2}
-\begin{proof}
-On écrit $D_n$ comme le produit de dérivées ; produit que l'on calcule
-en remarquant que $f'_n(X)=f_n(X)-\frac{X^n}{n!}$.
-\end{proof}
-
-On achève la démonstration du théorème, pour $n\geq 8$ en faisant appel
-au postulat de Bertrand \ref{Bertrand} et au théorème de Jordan \ref{Jordan} ci-dessous.
-Les cas restants se traitent à la main par des techniques semblables (exercice).
-
-\subsection{Un théorème de Jordan}
-
-On veut démontrer :
-
-\begin{thm2}\label{Jordan}
-Soit $G$ un sous-groupe transitif de $\got{S}_n$ qui contient un $p$-cycle
-pour un nombre premier $p$ strictement compris entre $\frac{n}{2}$ et $n-2$.
-Alors $G$ contient $\got{A}_n$.
-\end{thm2}
-
-Nous ferons usage de la terminologie suivante :
-
-\begin{dfn2}
-Soit $X$ un ensemble fini. Un sous-groupe $G$ de $\got{S}_X$ agissant
-transitivement sur $X$ est dit \emph{primitif} si les seuls sous-ensembles
-$Y\subset X$ tels que pour tout $g\in G$, $g(Y)\cap Y\in\{\vide,Y\}$
-sont $\vide,X$, et les singletons.
-\end{dfn2}
-De façon équivalente, on demande qu'il n'y ait pas de
-partition\footnote{En particulier, par définition,
-chaque constituant est non vide.}
-$\{Y_1,\dots,Y_s\}$ de $X$ avec $\#X>s>1$, stable
-sous l'action de $G$ (au sens où, pour tout $i$, il existe
-un indice $j$ tel que $g(Y_i)=Y_j$).
-
-Établissons quelques lemmes généraux.
-
-\begin{lmm2}
-Un groupe transitif agissant sur un ensemble d'ordre premier est primitif.
-\end{lmm2}
-
-\begin{lmm2}
-Soient $G$ un groupe agissant transitivement sur un ensemble fini $X$,
-$H$ un sous-groupe de $G$ et $P$ une orbite de $H$. Supposons que $H$
-agit transitivement sur $P$ et que $\# X < 2 \# P$. Alors,
-$G$ agit également transitivement sur $X$.
-\end{lmm2}
-
-Ainsi, sous l'hypothèse du théorème de Jordan ci-dessus, $G$ est un sous-groupe
-primitif de $\got{S}_n$ contenant un $p$-cycle.
-
-\begin{lmm2}
-Soient $G$ un sous-groupe $f$-transitif de $\got{S}_X$, $C$ un sous-groupe
-de $G$ tel que le cardinal de $F=\mathrm{Fix}(C)\subset X$ soit égal à $f$.
-Alors, si $C$ est conjugué and $G_F$ à tout sous-groupe de $G_F$ conjugué
-\emph{dans $G$} à $C$, le normalisateur de $C$ dans $G$ agit $f$-transitivement
-sur $F$.
-\end{lmm2}
-
-\begin{lmm2}
-Soit $X=F\cup P$ une partition de $X$ telle que $\# P>1$ et $2\#P>\#X$.
-Supposons que $G$ soit un sous-groupe primitif de $\got{S}_X$ tel que $G_F$ agisse
-transitivement sur $P$. Alors, l'action de $G$ est doublement transitive.
-(C'est-à-dire : $G$ est transitif et pour chaque $x$, $G_x$ agit
-transitivement sur $X-x$.)
-\end{lmm2}
-\begin{proof}
-Faisons le par récurrence sur $f$. Le cas $f=1$ est tautologique.
-\begin{itemize}
-\item Si $\alpha$ et $\beta$ sont deux éléments distincts de $F$,
-il existe un $g\in G$ tel que $\alpha\in g(F)$ mais $\beta\notin g(F)$.
-En effet, considérons $\displaystyle E=\cap_{g\in G: \alpha \in g(F)} g(F)$ et
-remarquons que si $g'(E)\cap E\neq \vide$, alors $g'(E)=E$.
-(Commencer par le voir dans le cas $\alpha\in g'(E)$.)
-
-\item Le sous-groupe $H=\langle G_F, gG_F g^{-1}\rangle$ agit transitivement
-sur $P\cup g(P)$. (Rappel : $2\#P>\#X$.)
-
-\item Soit $F'=F\cap g(F)$, \cad l'ensemble des éléments qui
-sont fixes par tout élément de $H$. On conclut en utilisant l'hypothèse de récurrence.
-\end{itemize}
-\end{proof}
-
-\begin{thm2}[Camille Jordan, 1870]
-Soit $G$ un sous-groupe primitif de $\got{S}_X$, où $\#X=n=p+f$, $p$ est premier
-et $f\geq 3$. Si $G$ contient un cycle de longueur $p$ alors $G$
-contient $\got{A}_n$.
-\end{thm2}
-
-\begin{proof}[Démonstration dans le cas où $2p>n$.]
-La démonstration du théorème est divisée en quelques étapes :
-$G$ est primitif, doublement transitif, $f$-transitif, puis contient $\got{A}_n$.
-Nous n'utiliserons que le cas $2p>n$ (cf. \ref{Jordan}), hypothèse que
-nous supposons satisfaite.
-En particulier, $G$ est primitif. Notons $c$ un cycle de longueur $p$
-dans $G$, et $F$ (resp. $P=X-F$) l'ensemble des points fixes de $c$ ;
-on a donc $\#F=f$ (resp. $\#P=p$).
-Notons $G_F=G\cap \got{S}_F\subset \got{S}_X$ le sous-groupe de $G$ agissant trivialement
-sur $F$, et de même pour divers sous-groupes et sous-ensembles.\\
-Par récurrence sur $f$, on voit que $G$ est $f$-transitif.\\
-Soient $C=\langle c \rangle$ le sous-groupe d'ordre $p$ et $N$ son
-normalisateur dans $G$. On démontre les faits suivants :
-\begin{itemize}
-\item Le sous-groupe $N$ est $f$-transitif sur $F$ (rappelons
-que $C$ est un $p$-Sylow) et donc $N\surj \got{S}_F$, via le morphisme
-de restriction, bien défini ici.
-\item pour tout $\pi\in P$, $N_{\pi}:=\mathrm{Stab}_N(\pi)$ satisfait
-$N_{\pi}\surj \got{S}_F$. En effet, $N=N_{\pi} G_F$ car $G_F$ agit
-transitivement sur $P$ et $N$ agit sur $P$.
-\item Pour tout $\pi\in P$, l'image de $N_{\pi}$ dans $\got{S}_{P}$
-est isomorphe à un sous-groupe de $\Aut(C)$ et est donc abélienne.
-\item Soit $D$ le groupe dérivé de $N_{\pi}$ ; on a vu que l'image
-de $D\ra \got{S}_P$ est le groupe trivial $\{1\}$. Il en résulte que $D\surj A_F$.
-\end{itemize}
-\end{proof}
-
-Voici enfin le dernier ingrédient, plus classique, pour achever la
-démonstration du théorème.
-
-\subsection{Le postulat de Joseph
-Bertrand}\label{Bertrand}
-
-On veut démontrer :
-
-\begin{thm2}[Pafnuty Tschebyshef, 1852]
-Pour tout entier $n\geq 2$, il existe un nombre premier $\frac{n}{2}<p\leq n$.
-\end{thm2}
-
-De la même façon, on voit que pour $n\geq 8$, $n-2$ convient.
-
-Soit $n\geq 3$ et posons $N=\binom{2n}{n}$.
-
-\begin{proof}
-\begin{enumerate}
-\item De l'inégalité $v_p(N)\leq \log_p(2n)$, il résulte que
-pour $p>\sqrt{2n}$, la valuation $p$-adique de $N$ est au plus~$1$.
-\item Observons que si $p$ satisfait : $\frac{2}{3}n<p\leq n$ alors $p$ ne divise pas $N$.
-\item Enfin, pour tout nombre réel $x\geq 2$,
-$$\prod_{p\leq x} p \leq 4^{x-1}.$$
-\end{enumerate}
-Il résulte de ces faits que si $n$ est un contre-exemple
-au théorème, on a :
-$$\frac{4^{n}}{2n}\leq (2n)^{\sqrt{2n}}4^{\frac{2}{3}n-1}.$$
-C'est absurde, du moins pour $n$ grand ; plus exactement $>4000$.
-Enfin, du fait que
-$$2,3,5,7,13,23,43,83,163,317,631,1259,2503,4001$$
-sont des nombres premiers, la conclusion du théorème est également
-valable pour $n$ petit.
-\end{proof}
-
-\subsection{Laguerre polynomials}
-
-$$L_n(X)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{(-X)^k}{k!}.$$
-
-\section{Théorème de Puiseux}
-
-\begin{thm}\label{Puiseux}
-Soit $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique nulle.
-Alors,
-$$k((t))\sep=\cup_{n\geq 1} k((t^{1/n})).$$
-\end{thm}
-
-Nous aurons besoin de la proposition suivante :
-
-\begin{prp}
-Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet, $K$ son corps des fractions,
-et $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Soit $B$ la normalisation de $A$ dans
-$K$. On suppose l'extension résiduelle $k_L/k_K$ triviale, \cad
-$L/K$ \emph{totalement ramifiée}.
-Alors, $A[X]/f\iso B=A[\pi_B]$ où $\pi_B$ est une uniformisante
-de $B$ et $f$ est le polynôme minimal de $\pi_B$ sur $K$.
-C'est un polynôme d'Eisenstein, \cad unitaire, chaque $a_i$ appartenant à $\MM_A$ et
-le terme constant $a_0$ n'appartenant pas à $\MM_A^2$.
-\end{prp}
-
-\begin{proof}
-%Comme $k_L/k_K$ est finie séparable, il existe $\sur{x}\in k_L$ qui engendre $k_L$
-%sur $k_K$. Soit $x\in B$ arbitraire le relevant. Noson $f$ son polynôme minimal
-%sur $K$. Ses coefficients sont entiers sur $A$ et dans $K$ donc $f\in A[X]$.
-%Comme $\sur{f}(\sur{x})=f(x) \mod \MM_A = 0$,
-%par concordance des degrés, $\sur{f}$ est le polynôme minimal de $\sur{f}$ ;
-%en particulier, il est irréductible. L'anneau quotient $A_f:=A[X]/f$
-%est donc local : $A[X]
-Écrivons $f=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_n$. Ses coefficients sont entiers sur $A$
-et dans $K$. Comme la valuation $\MM_A$-adique (étendue à $L$) de $x$ est $1/e=1/n$,
-le polygone de Newton de $f$ a pour unique pente
-$-\frac{1}{n}$ (cf. \ref{polygone de Newton}).
-%[DESSIN ; cf. p 25'].
-Il en résulte que $v(a_0)=1$ et que
-$v(a_i)\geq 1$ pour chaque $a_i$.
-Le morphisme $A[X]/f\ra B$ est injectif car $f$ est le polynôme minimal de $x$.
-Il devient un isomorphisme une fois tensorisé avec $A/\MM_A=:k_A$ :
-Cela résulte des propriétés des coefficients de $f$ pour le premier et de l'hypothèse de
-ramification totale pour le second.
-Le lemme de Nakayama \ref{Nakayama} montre donc que c'est une surjection donc
-un isomorphisme.
-\end{proof}
-
-\begin{dfn}\label{dfn-ramification}
-Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions $K$,
-$L/K$ une extension galoisienne totalement ramifiée de groupe $G$
-et $B$ le normalisé de $A$ dans $L$.
-Soit $\pi_L$ une uniformisante de $B$. On pose, pour $i\ge -1$,
-$$
-G_i:=\{\sigma\in G,\ v_L(\sigma(\pi_L)-\pi_L)\geq i+1\}
-$$
-Ce sont les sous-groupes de \emph{ramification} de $G$. Ils forment
-une filtration décroissante de $G$.
-\end{dfn}
-
-Plus généralement on définit classiquement de tels sous-groupes en supposant
-seulement $k_L/k_K$ séparable. Récemment,
-斎藤毅 (SAITÔ Takeshi) et Ahmed Abbes
-ont étendu cette construction au cas général en utilisant des méthodes
-de géométrie algébrique « rigide » (cf. \cite{imparfait-I@Abbes-Saito}
-et \ref{intersection} pour une interprétation
-plus géométrique des groupes ci-dessus).
-
-Étudions les gradués de la filtration précédente.
-
-\begin{prp}
-Soit $G$ comme en \ref{dfn-ramification}.\\
-Introduisons une filtration décroissante du groupe des unités de $B$,
-$B^{\times}=:U^{(0)}_L$, notée $U^{(i)}_L:=1+\MM_B^i$ pour $i\geq 1$.
-\begin{enumerate}
-\item $G_0\iso G$,
-\item Chaque $G_i$ est un sous-groupe de $G$, indépendant du choix de $\pi_L$,
-\item L'application
-$$\left\{\begin{array}{l}G_i\ra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\\ \sigma\mapsto
-\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\end{array}\right.$$ est indépendante du
-choix de $\pi_L$, et induit une injection canonique
-$$
-G_i/G_{i+1}\hra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L.
-$$
-\item On a des isomorphismes canoniques :
-$$
-\begin{array}{l}
- U^{(0)}_L/U^{(1)}_L\iso k_L^{\times}\\
- U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\iso \MM_B^i/\MM_B^{i+1}
-\end{array}
-$$
-pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}\isononcan k_L$, non canoniquement.
-\end{enumerate}
-\end{prp}
-
-\begin{proof}
-1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0\iso G$.
-Soit $\sigma\in G$. Comme $B$ est local, $\sigma(\MM_B)=\MM_B$ et $\sigma$
-induit donc un automorphisme de $k_L$ sur $k_K$, nécessairement trivial (car
-$k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, \cad
-$v_L(\sigma(x)-x)\geq 1$ et, en prenant $x=\pi_L$, $\sigma\in G_0$.
-Remarquons que comme, d'après la proposition précédente, $B=A[\pi_L]$,
-réciproquement, si $\sigma\in G_i$,
-pour tout $x\in B$, on a $v_L(\sigma(x)-x)\geq i+1$.
-
-2) Pour $\sigma,\sigma'\in G_i$, l'égalité
-$$\sigma'\sigma(\pi_L)-\pi_L=\sigma'\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big)+\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big),
-$$
-où deux termes de droite appartiennent à $\MM_L^{i+1}$, suffit à montrer
-que $G_i\subset G$ est un sous-groupe.
-
-3) Montrons que pour chaque $\sigma\in G_i$, la quantité
-$\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\in U^{(i)}_L$ est, modulo $U_L^{(i+1)}$, indépendante du choix de
-l'uniformisante $\pi_L$. Soit $u\in B^{\times}$ une unité. L'égalité
-$$
-\frac{\sigma(u\pi_L)}{u\pi_L}=\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\frac{\sigma(u)}{u}.
-$$
-jointe au fait que pour un tel $\sigma$, $\sigma(u)-u\in \MM_L^{i+1}$, et donc
-$\frac{\sigma(u)}{u}\in 1+ \MM_L^{i+1}$, montre que modulo $U_L^{(i+1)}$ cette image est
-bien indépendante du choix de l'unité $u$.
-
-Pour tout $\sigma\in G$, $\sigma(\pi_L)$ est une uniformisante. Il en résulte
-que pour chaque $\sigma'\in G_i$,
-$$
-\frac{\sigma'\big(\sigma(\pi_L)\big)}{\sigma(\pi_L)}=
-\frac{\sigma'(\pi_L)}{\pi_L} \mod U^{(i+1)}_L.
-$$
-Ainsi, pour $\sigma,\sigma'\in G_i$,
-l'égalité
-$$
-\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\pi_L}=\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\sigma(\pi_L)}
-\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}
-$$
-entraîne que $G_i\ra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L$ est un morphisme de groupe ; son
-noyau est par définition $G_{i+1}$.
-
-4) L'anneau $B$ étant local, la surjection canonique $B\surj k_L$ induit
-un isomorphisme $B^{\times}\ra 1+\MM_B\ra k_L^{\times}$.
-Enfin,
-$$
-\begin{array}{l}
-U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\ra \MM_B^{i}/\MM_B^{i+1}\\
-1+x\mapsto x
-\end{array}
-$$
-est un isomorphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite).
-Comme $\MM_B$ est principal, le terme de droite est un $k_L$-espace
-vectoriel de dimension $1$.
-\end{proof}
-
-\begin{crl}
-Sous les hypothèses précédentes :
-\begin{enumerate}
-\item $G_0/G_1$ est cyclique d'ordre premier à la caractéristique de $k_K$,
-\item si $\mathrm{car}(k_K)=0$, $G_1=\{1\}$ et $G_0$ est cyclique.
-\end{enumerate}
-\end{crl}
-
-\begin{proof}
-Comme $G_0/G_1$ est isomorphe à un sous-groupe fini de $k^{\times}$, il est cyclique
-et d'ordre premier à la caractéristique.
-
-Enfin, pour $i\geq 1$, $U^{(i)}_L / U^{(i+1)}_L\isononcan k_L$ n'a pas de sous-groupe
-fini si $k_L$ est de caractéristique nulle. En particulier $G_i/G_{i+1}=\{1\}$,
-pour tout $i>0$. Comme $G_i=\{1\}$ pour $i\geq N:=\max_{\sigma\in G-\{e\}} v_L(\sigma(\pi_L)-
-\pi_L)$, on a bien $G_1=G_2=\cdots = G_N=\{1\}$.
-\end{proof}
-
-
-Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème \ref{Puiseux}.
-
-Soit $L$ une extension finie g aloisienne de $K=k((t))=\mathrm{Frac}(k\[t\])$ où
-$k$ est algébriquement clos de caractéristique nulle. En particulier
-$L/K$ est totalement ramifiée. Il résulte du corollaire
-précédent que $G=\ga(L/K)$ est cyclique d'ordre $[L:K]$.
-Comme $k$ est algébriquement clos et contient donc $n$ racines
-de l'unité, l'extension (de Kummer) $K_n:=K(\sqrt[n]{t})/K$ est galoisienne
-de groupe $\mu_n(k)$.
-Considérons une extension composée $L_n=L K_n$ :
-$$
-\xymatrix{
-L \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & L_n \\
-K=k((t)) \ar@{-}[r] & K_n=k((t^{1/n})) \ar@{-}[u]
-}
-$$
-L'extension $L_n/K$ est elle aussi galoisienne, de groupe cyclique.
-Son groupe de Galois étant cyclique, il n'a donc qu'un seul quotient isomorphe à $\ZZ/n$.
-Cela se traduit par l'égalité $L=K_n$
-et finalement $K\sep=\cup_n K_n$.
-
-Pour l'application que nous avons en vue (\ref{Irréductibilité-Hilbert}), nous aurons besoin
-d'une variante complexe analytique du théorème précédent.
-
-
-\section{Groupes de ramification et nombres d'intersection
-(facultatif)}\label{intersection}
-
-Une fois familiarisé avec les définitions, les résultats de cette section
-sont de nature essentiellement tautologique
-mais ont l'intérêt d'ouvrir
-la voie vers une géométrisation de la ramification via la théorie des schémas.
-
-\begin{dfn}
-Soit $k$ un corps. On appelle \emph{courbe affine} sur $k$
-toute $k$-algèbre de type fini $C$ qui est de dimension $1$.
-On dit que $C$ est \emph{régulière} en un idéal premier $c$
-si son localisé en ce point est un anneau de valuation discrète (pour $c$ maximal)
-ou un corps (pour $c$ premier non maximal). L'ensemble
-des idéaux premiers réguliers est noté $\reg{\SP(C)}$.
-\end{dfn}
-
-De façon générale, un anneau local noethérien $A$, d'idéal maximal $\MM_A$
-et de corps résiduel $k$, est dit \emph{régulier} si $\dim(A)=\dim_k \MM_A/\MM_A^2$
-(cf. \ref{rmr-dimension}).
-
-Par la suite, on dira souvent « point » en lieu et place de « idéal premier ».
-
-\begin{exm}
-La $\QQ$-algèbre $C_{\mathrm{rebr}}:=\QQ[X,Y]/(Y^2-X^3)$ est une $\QQ$-courbe affine.
-On peut montrer qu'elle est intègre mais non normale : $z:=y/x\in
-\mathrm{Frac}(C_{\mathrm{rebr}})$ est entier sur $C_{\mathrm{rebr}}$ car
-$z^2=x$ mais $z$ n'appartient pas à $C_{\mathrm{rebr}}$.
-Elle n'est pas régulière en « l'origine » $(X,Y)$
-mais l'est en tout autre point (exercice).
-\end{exm}
-
-\begin{dfn}\label{graphe endomorphisme}
-Soit $g$ un $k$-endomorphisme d'une $k$-courbe affine $C$.
-On appelle \emph{graphe} de $g$, et on note $\Gamma_g$, l'idéal de
-$C\otimes_k C$ noyau du morphisme
-$$\begin{array}{l}
-C\otimes_k C \sr{m_g}{\ra} C\\
-a\otimes b \mapsto a\cdot g(b).
-\end{array}
-$$
-On note $\Delta=\Gamma_{\mathrm{Id}}$ le graphe de l'identité, appelé
-\emph{diagonale}. C'est le noyau de la multiplication
-$m:C\otimes_k C \surj C$.
-\end{dfn}
-
-Rappelons qu'en \ref{auto décomposition}, nous avons déjà considéré
-une situation semblable en dimension nulle : la $k$-algèbre considérée
-était alors \emph{finie} sur $k$.
-
-\begin{lmm}\label{points fixes 1}
-Soient $C,g$ comme ci-dessus et munissons $C\otimes_k C$ d'une structure
-de $C$-module par multiplication sur le facteur de gauche.
-L'idéal $\Gamma_g$ est engendré comme $C$-module par les
-$g(b)\otimes 1 - 1 \otimes b$, où $b\in C$.
-\end{lmm}
-
-\begin{proof}
-Les éléments ci-dessus appartiennent tautologiquement à $\Gamma_g$, qui
-est un idéal. Réciproquement, si $x=\sum a_i\otimes b_i$ est tel que
-$\sum a_i g(b_i)=0$, on a $x=\sum \big(a_ig(b_i)\otimes 1 - a_i\otimes b_i\big)$.
-Le terme entre parenthèse n'est autre que $a_i\cdot\big(g(b_i)\otimes 1 - 1 \otimes b_i\big)$.
-\end{proof}
-
-Le lemme suivant justifie s'il en était besoin la terminologie :
-
-\begin{lmm}\label{points fixes 2}
-Soit $x\in \SP(C\otimes_k C)$. Si
-$$\Delta\subset x$$
-on a
-$$
-p_1^{-1}(x)=p_2^{-1}(x).
-$$
-\end{lmm}
-
-Rappelons que $p_1,p_2$ sont les deux morphismes $C\rra C\otimes_k C$.
-
-
-\begin{proof}
-Soient $x$ un idéal contenant la diagonale
-et $a\in p_1^{-1}(x)\subset C$. Par hypothèse, $p_1(a)=a\otimes 1 \in x$ ;
-comme $p_1(a)-p_2(a)=a\otimes 1 - 1 \otimes a \in \Delta\subset x$, on a également
-$p_2(a)\in x$.
-L'inclusion opposée se démontre de même.
-\end{proof}
-
-\begin{dfn}
-Sous les hypothèses précédentes, on dit que $c\in \SP(C)$ est un
-\emph{point fixe} si $(\Delta,\Gamma_g)\subset m^{-1}(c)$ et
-on note $F_g$ leur ensemble.
-Enfin, on dit que les points fixes sont \emph{isolés}
-si l'anneau quotient
-$$
-(C\otimes_k C)/\mathrm{Fix}(g)
-$$
-est de dimension finie sur le corps $k$.
-\end{dfn}
-
-Dans ce cas, on considère $\dim_k (C\otimes_k C)/\mathrm{Fix}(g)$
-comme le « nombre d'intersection » de la diagonale $\Delta$
-avec le graphe $\Gamma_g$ de $g$ (cf. \emph{infra}).
-
-Les points fixes de l'identité ne sont jamais isolés car
-$F_{\mathrm{Id}}\iso C$ n'est pas de dimension finie sur
-$k$. En effet, s'il en était ainsi, pour tout $\wp\in \SP(C)$, $C/\wp$ serait
-intègre et de dimension finie sur $k$ donc un corps, \cad
-$\wp$ maximal. Par hypothèse, $\dim(C)=1$ donc il existe
-un idéal premier non maximal.
-
-Cette terminologie est également justifiée par le lemme suivant :
-
-\begin{lmm}
-Soient $C$ une $k$-courbe affine et $g$ un $k$-endomorphisme.
-\begin{enumerate}
-\item Si $c\in F_g$ est un point fixe, on a
-$g^{-1}(c)=c$.
-\item Si $k$ est \emph{algébriquement clos},
-et $c$ est un idéal \emph{maximal} de $C$, si $g^{-1}(c)=c$,
-$c$ est un point fixe.
-\item Si les points fixes sont isolés, les points fixes sont tous
-des idéaux maximaux.
-\item Supposons pour simplifier $C$ intègre.
-Si les points fixes sont isolés, $\SP(m):\SP(C)\ra \SP(C\otimes_k C)$
-induit une bijection entre $F_g$ et
-le sous-ensemble $\SP((C\otimes_k C)/\mathrm{Fix}(g))$ de $\SP(C\otimes_k C)$.
-\end{enumerate}
-\end{lmm}
-
-
-\begin{proof}
-\begin{enumerate}
-\item Compte tenu de \ref{points fixes 1}
-et du fait que l'on a toujours l'inclusion $\Delta=m^{-1}(\{0\})\subset m^{-1}(c)$,
-l'inclusion $\mathrm{Fix}(g)\subset m^{-1}(c)$
-est équivalente au fait que $g(a)-a\in c$ pour tout $a\in C$.
-
-\item Soit $c\in \SP(C)$ tel que $g^{-1}(c)=c$. Le morphisme $g$ induit donc
-par passage au quotient un morphisme $k$-linéaire $\sur{g}:C/c\ra C/c$.
-Si $c$ est un idéal maximal et $k$ algébriquement clos, on a $k\iso C/c$
-(cf. \ref{Nullstellen}). Nécessairement $\sur{g}=\mathrm{Id}$,
-\cad $g(a)-a\in c$ pour tout $a\in C$, \cad $\mathrm{Fix}(g)\subset m^{-1}(c)$.
-
-\item Si $c\in F_g$,
-on a la chaîne de surjections $C\otimes_k C / \mathrm{Fix(g)} \surj C\otimes_k C / m^{-1}(c)
-\iso C/c$. Si les points fixes sont isolés, $C/c$ est donc de dimension
-finie sur $c$ ; cela n'est possible que si c'est un corps \cad $c$ maximal.
-
-\item
-Supposons donc l'anneau quotient $C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)$ artinien
-et considérons $\wp\in \SP(C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g))$.
-Alors (\ref{points fixes 2}) $p_1^{-1}(\wp)=p_2^{-1}(\wp)=:c$. De plus,
-$c\neq (0)$\footnote{Il faudrait modifier légèrement la rédaction
-pour couvrir le cas où $C$ n'est pas intègre.}, sans quoi $C\hra C\otimes_k C/\wp$ où le
-terme de droite est de dimension finie sur $k$.
-
-On vérifie sans peine que $m^{-1}(c)\subset \wp$ :
-si $\alpha=\sum a_i\otimes b_i\in m^{-1}(c)$,
-on a $p_1m(\alpha)=\sum a_ib_i\otimes 1\in \wp$.
-Comme
-$$a_ib_i\otimes 1=(a_i\otimes 1)\big(\underbrace{b_i\otimes 1 -1 \otimes b_i}_{\in \wp}\big)+
-a_i\otimes b_i$$
-on a bien $\alpha\in \wp$.
-Finalement, $m^{-1}(c)$ étant maximal (car $C\otimes_k C/m^{-1}(c)\iso C/c$ et $c$ est
-non nul donc maximal), on a $\wp=m^{-1}(c)$.
-\end{enumerate}
-\end{proof}
-
-En d'autres termes, dans le cas des singularités isolées
-sur un corps algébriquement clos, les idéaux premiers de $\SP((C\otimes_k C)/\mathrm{Fix(g)})$
-correspondent bijectivement, via $\SP(m):\SP(C)\ra \SP(C\otimes_k C)$,
-aux idéaux maximaux $c$ de $\SP(C)$ tels que $g^{-1}(c)=c$.
-
-
-
-Avant d'énoncer le résultat principal de cette section, fixons quelques notations.
-Si $x\in F_g$, le morphisme $g:C\ra C$ induit un morphisme également noté
-$g$ entre les localisés en $x$ : $g:C_x\ra C_x$. (Cela résulte
-de ce que $g^{-1}(x)=x$). Si de plus $x\in \reg{\SP(C)}$ est un idéal
-maximal, l'anneau $C_x$ est un anneau de valuation discrète. Nous noterons
-$v_x$ la valuation associée et $\pi_x$ une uniformisante.
-
-\begin{prp}
-Soient $k$ un corps \emph{algébriquement clos}, $C$ une courbe affine intègre sur $k$,
-$g$ un $k$-endomorphisme de $C$ dont les points fixes sont isolés.
-Supposons que $F_g \subset \reg{\SP(C)}$.
-On a alors,
-$$
-\dim_k C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g) = \sum_{x\in F_g} v_x(g(\pi_x)-\pi_x)).
-$$
-\end{prp}
-
-Ainsi l'entier $v_x(g(\pi_x)-x))$, qui est la contribution
-du point fixe à $ \dim_k C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)$, peut à juste titre
-être considéré comme la multiplicité d'intersection
-en $x$ de la diagonale et du graphe de $g$.
-
-%[DESSIN!]
-
-\begin{proof}
-Ainsi, l'isomorphisme
-$$
-C\otimes_k C / \Delta \sr{m}{\iso} C
-$$
-induit un isomorphisme
-$$
-C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)\iso C/\langle g(a)-a ,\ a\in C\rangle.
-$$
-L'isomorphisme
-$$
-C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)\iso \prod_{\wp\in \SP(C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g))}
-\Big(C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)\Big)_{\wp},
-$$
-et la bijection $F_g\iso \SP(C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g))$
-se traduisent donc en :
-$$
-C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)\iso \prod_{x\in F_g} C_x/\langle g(a_x)-a_x ,\ a_x\in C_x\rangle.
-$$
-La conclusion résulte aussitôt du fait que $\langle g(a_x)-a_x ,\ a_x\in C_x\rangle=
-\big(g(\pi_x)-\pi_x\big)$ et du fait que pour $r\neq 0$, $\dim_k C_x/(r)=v_x(r)$.
-\end{proof}
-
-
-
-Ainsi, la filtration de ramification (du moins dans les cas
-anneaux de valuation discrètes qui sont des $k$-algèbres), correspond
-à la filtration par le nombre d'intersection du graphe avec la diagonale.
-
-\section{Théorème de irréductibilité de Hilbert}
-
-\begin{thm}\label{Puiseux-analytique}
-Soit $f(t,X)\in \CC[t,X]$ un polynôme unitaire en $X$ de degré $n$.
-Il existe $\varphi(t)=\sum_{i\geq 0} c_i t^{i/n}\in \CC\[t^{1/n}\]$ telle que
-$f(t,\varphi(t))=0$ et la série entière complexe $\sum_{i\geq 0} c_i X^i$ soit
-convergente au voisinage de $0$.
-\end{thm}
-
-Nous en donnerons une démonstration plus bas.
-
-\begin{crl}
-Soit $f(t,X)=X^n+a_1(t)X^{n-1}+\cdots+a_n(t)\in \CC(t)[X]$.
-Il existe un entier relatif $r$, un réel $R>0$ et une série
-de Puiseux $\varphi(t)=\sum_{i\geq -r} c_i t^{-i/n}$ tels que
-$\varphi$ converge absolument pour tout nombre réel $t>R$ et
-que pour de tels $t$ on ait $f(t,\varphi(t))=0$.
-\end{crl}
-
-\begin{proof}
-C'est un simple changement de variable, dont voici les détails.
-Pour passer d'un voisinage de l'origine à un voisinage de $+\infty$, on
-pose $t_{\infty}=\frac{1}{t}$. On a alors,
-en mettant au même dénominateur les $a_i(t_{\infty})\in \CC(t_\infty)$,
-on a $f(t_{\infty},X)=X^n+\frac{\widetilde{a_1}(t_\infty)}{P(t_\infty)}X^{n-1}
-+\cdots+\frac{\widetilde{a_n}(t_\infty)}{P(t_\infty)}$
-pour un $P(t_\infty)\in \CC[t_\infty]-\{0\}$ et des $\widetilde{a_i}(t_\infty)\in \CC[t_\infty]$.
-Finalement, $f(t_{\infty},X)=\frac{1}{P^n(t_\infty)} g(t_\infty,(P(t_\infty)X))$, où
-$g\in \CC[t_\infty,Y]$. D'après le théorème précédent, il
-existe une série $\sum_{i\geq 0} c_i t_\infty^{i/n}$ racine de $g$
-qui converge pour $|t_\infty^{1/n}|$ assez petit.
-Il en résulte que $\frac{1}{P(1/t)}\sum_{i\geq 0} c_i t^{-i/n}$ est une racine
-de $f(t,X)$, qui converge pour $|t^{1/n}|$ suffisamment grand.
-Comme $\frac{1}{P(1/t)}$ est une série de Puiseux en $1/t$ convergente
-pour $t\gg 0$, on a le résultat.
-\end{proof}
-
-Démontrons le théorème précédent. Compte tenu de \ref{Puiseux}, quitte
-à effectuer un changement de variable $t\mapsto t^{n}$, il
-nous suffit de démontrer le théorème suivant :
-
-\begin{thm}\label{clôture algébrique C[[t]]}
-Tout élément de $\CC\[t\]$ algébrique sur $\CC[t]$
-est convergent dans un voisinage de $0$.
-\end{thm}
-
-En d'autres termes, $\CC[t]$ est algébriquement clos dans $\CC\[t\]$.
-\begin{rmr}
-L'argument que nous allons donner montre d'une part que l'anneau
-$\CC\{t\}$ des séries convergentes au voisinage de $0$ est également
-algébriquement clos dans $\CC((t))$ et d'autre part qu'il
-en est plus généralement ainsi si l'on remplace $\CC$ par un corps $k$
-muni d'une valuation non triviale pour laquelle il est complet.
-\end{rmr}
-
-\begin{proof}[Démonstration de \ref{clôture algébrique C[[t]]}]
-Soit $\varphi=\sum_{0}^{\infty} \alpha_i t^i$ algébrique sur $\CC[t]$.
-Notons $f(t,X)$ son polynôme minimal sur $\CC(t)$ :
-$$f(t,X)=\prod_{i=1}^d (X-\varphi_i),$$
-où $\varphi_i \in \sur{\CC((t))}$ et $\varphi_1=\varphi$.
-Rappelons que le corps $\CC((t))$ peut-être muni d'une valeur absolue
-en posant $|t|=c$ pour un $c\in ]0,1[$. Fixons $c$ et notons encore $|\cdot|$ l'unique
-extension de celle-ci à $\sur{\CC((t))}$ (\ref{extension-va}).
-Comme $f$ est séparable, ses racines $\varphi_i$ sont distinctes et
-$\delta:=\min_{i>1}|\varphi-\varphi_i|>0$. Pour un entier $N$ indéterminé,
-introduisons $Y$ défini par
-$$
-X=Y+\sum_{0}^N \alpha_i t^i.
-$$
-Réécrivant $f$ en termes de $Y$, on a :
-$$
-f(t,X)=f(t,Y+\sum_{j=0}^N \alpha_j t^j)=g(t,Y),
-$$
-où les racines de $g$ sont maintenant les $\psi_i:=\varphi_i-\sum_{0}^N \alpha_j t^j$.
-Remarquons que $\varphi_1=\varphi$ est convergente si et seulement si
-il en est ainsi de $\psi:=\psi_1$. De plus $|\psi|\leq |t|^{N+1}$.
-Pour $i>1$, on a $|\psi_1-\psi|=|\varphi_i-\varphi|\geq \delta$ ;
-pour $N$ suffisamment grand (de sorte que $|\psi|$ soit suffisamment petit), on
-a donc $|\psi_i|\geq \delta$. Enfin, pour ces valeurs de $N$, les $\mu_i:=\frac{\psi_i}{t^N}$
-satisfont : $|\mu_1|\leq |t|<1$ et $|\mu_i|\geq \frac{\delta}{|t|^N}$, pour $i>1$.
-Pour $N$ plus grand encore, le terme de droite est strictement supérieur à $1$.
-La convergence de $\mu_1$ étant équivalente à celle de $\varphi$, on
-a donc vérifié que l'on peut supposer notre élément $\varphi$ de valeur
-absolue $<1$ et de conjugués $\varphi_i$, $i>1$, de valeurs absolues $>1$.
-Le produit $f(t,X)=\prod_i (X-\varphi_i)$ appartient maintenant à
-$\CC(t)[X]$ car on a divisé un élément algébrique sur $\CC[t]$ par $t^N$.
-Quitte à multiplier $f$ par une puissance convenable de $t$, on peut
-écrire :
-$$
-f(t,X)=\underbrace{(\sum_{i\geq 0} b_{0,i}t^i)}_{a_0(t)}+
-\underbrace{(\sum_{i\geq 0} b_{1,i}t^i)}_{a_1(t)}X+\cdots +
-\underbrace{(\sum_{i\geq 0} b_{d,i}t^i)}_{a_d(t)}X^d
-$$
-où l'un des coefficients constant $b_{j0}$ est non nul.
-
-Compte tenu de notre hypothèse sur les valuations des racines,
-le polygone de Newton de son image dans $\CC((t))[X]$
-n'a qu'une pente strictement négative, de longueur horizontale $1$, les autres
-étant strictement
-positives. (Ce qui ne contredit \emph{pas}
-l'irréductibilité sur $\CC(t)$.)
-Ce polygone est au-dessus de la droite des abscisses
-%[FIGURE ; page 27']
-%\begin{figure}[htbp]
-% \begin{center}
-% \includegraphics[angle=-90]{puiseux}
-% \end{center}
-% \caption{\footnotesize Polygone de Newton}
-%\end{figure}
-
-Il en résulte que $v(a_1)=0$, \cad que $b_{1,0}\neq 0$, les autres coefficients
-constants étant tous nuls :
-$$
-f(t,X)=(\sum_{j\geq 1} b_{0,j}t^j)+(\underbrace{b_{1,0}}_{\neq 0}+\cdots)X+\sum_{i=2}^d
-\big(\sum_{j\geq 1} b_{i,j}t^j\big)X^i.
-$$
-Comme $\varphi$ est une racine de $f$, on a donc
-$$
--b_{1,0}\varphi=\underbrace{a_0(t)}_{\mathrm{val}\geq 1}+
-\underbrace{\widetilde{a_1}(t)}_{\mathrm{val}\geq 1}\varphi + \sum_{i=2}^d
-\underbrace{a_i(t)}_{\mathrm{val}\geq 1}\varphi^i,
-$$
-ce que l'on réécrit :
-$$
-\varphi=\sum_{i=0}^d\big(\sum_{j\geq 1} c_{i,j}t^j\big)\varphi^i.
-$$
-On sait d'autre part que $\varphi=\sum_{i\geq 1} \alpha_i t^i$ ;
-l'équation précédente se traduit en un système d'équations
-polynomiales :
-$$
-(\star)\ \alpha_{m+1}=P_m(\alpha_1,\dots,\alpha_m; (c_{i,j})),
-$$
-où les polynômes $P_m$, $m\geq 1$, sont à coefficients dans $\NN$ (et donc \emph{positifs}).
-Les coefficients $c_{i,j}$ sont en nombre fini ; notons $M:=\max_{i,j} |c_{i,j}|$.
-Considérons le cas universel où $d$ est infini et les coefficients $c_{i,j}$ tous égaux
-à $M$, pour $j\in \NN-\{0\}$, $i\in \NN$.
-Soit $\varphi_M\in \CC\[t\]$, racine de l'équation :
-$$
-\varphi_M=\sum_{i\geq 0} (Mt+Mt^2+\cdots)\varphi_M^i.
-$$
-Le terme de droite n'est autre que la série formelle
-$$\big(\frac{Mt}{1-t}\big)\frac{1}{1-\varphi_M},$$
-et comme $\varphi_M$ s'annule en $0$,
-$$\varphi_M=\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{Mt}{1-t}}.$$
-
-Soient $\beta_i$, $i\geq 1$, les coefficients de cette série \emph{convergente}.
-Le premier coefficient $\beta_1=M$ est positif ; il résulte
-de l'équation $(\star)$ (ou bien de la formule explicite pour cette racine
-carrée) que tous les $\beta_m$ sont positifs. Enfin, la même équation, et l'inégalité
-$$
-|\alpha_{m+1}|\leq P_m(|\alpha_1|,\dots,|\alpha_m|,|c_{i,j}|)
-$$
-montre par récurrence que pour chaque $m$, $|\alpha_m|\leq \beta_m$.
-On amorce cette récurrence en remarquant que par hypothèse sur $M$,
-$|\alpha_1|=|c_{1,0}|\leq M=\beta_1$.
-\end{proof}
-
-Voici l'énoncé du théorème d'irréductibilité de Hilbert :
-
-\begin{thm}[Hilbert]\label{Irréductibilité-Hilbert}
-Soit $f\in \QQ(t)[X]$ irréductible sur $\QQ(t)$ de degré $d$ et de groupe de Galois
-$G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$. Notons $\Sigma_f\subset \QQ$ l'ensemble des pôles
-de coefficients de $f$. Alors, il existe une infinité de $a\in \ZZ-\Sigma_f$
-tels que $f_a:=f(a,X)$ soit irréductible sur $\QQ$, de groupe de Galois
-$G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$.
-\end{thm}
-
-\begin{exm}
-On peut montrer que le groupe de Galois de l'équation $X^n-X-t$ est $\got{S}_n$.
-%\ref{} [À FAIRE !])
-Il en résulte qu'il existe une infinité de $a\in \ZZ$
-tel que $f_a=X^n-X-a$ soit irréductible sur $\QQ$ de groupe de Galois $\got{S}_n$.
-%(On a vu en \ref{Selmer}, que par exemple $X^n-X-1$ est irréductible.)
-\end{exm}
-
-\begin{prp}\label{Hibert-n variables}
-Variante sur $\QQ(t_1,\dots,t_n)$.
-\end{prp}
-%À faire !
-
-
-\begin{lmm}[Lemme clé]
-Soit $\varphi(t)=\sum_{i\geq -r} c_i t^{-i/n}$ une série de Puiseux à coefficients
-réels, convergente pour $t\geq R$ qui n'est pas un polynôme à coefficients
-rationnels. Soit
-$$\Omega_{\varphi}:=\{t\in \ZZ\cap [R,+\infty[,\ \varphi(t)\in \ZZ\}.
-$$
-Il existe $\varepsilon>0$ tel que
-$$
-\# \Omega_{\varphi}\cap [1,B]\sr{B\ra +\infty}{=}\mathsf{O}(B^{1-\varepsilon}).
-$$
-\end{lmm}
-
-\begin{proof}
-Si $\varphi$ est un polynôme, à coefficients non tous rationnels,
-il ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs rationnels en des entiers.
-On donc supposer dans la suite que $\varphi$ n'est pas un polynôme.
-Il existe $n\geq 1$ tel que les exposants de la dérivée $(n-1)$-ième
-$\varphi^{(n-1)}$ sont tous négatifs (et $\varphi^{(n-1)}\neq 0$).
-En particulier,
-$$\varphi^{(n-1)}(t)\sr{t\ra +\infty}{\sim} c_1 t^{-\mu}$$
-pour une constante $c_1\in \RR^{\times}$ et un nombre rationnel $\mu>0$.
-
-\begin{sslmm}Il existe $\alpha,c>0$ tels que si $t\gg 1$,
-$[t,t+ct^{\alpha}]\cap \Omega_{\varphi}$ contient au plus $n-1$ points.
-\end{sslmm}
-\begin{proof}
-Soient $t_1<\cdots<t_n$ $n$ points de $\Omega_\varphi$ et posons
-$y_i:=\varphi(t_i)\in \ZZ$.
-Il existe un unique polynôme $P$ de degré $n-1$ interpolant $\varphi$ en les
-$t_i$ :
-$$
-P(t)=\sum_j y_j \frac{\prod_{i\neq j}(t-t_i)}{\prod_{i\neq j}(t_j-t_i)}.
-$$
-La fonction $\varphi-P$ étant nulle en ces $n$ points, il existe $\xi\in [t_1,t_n]$
-tel que $\varphi^{(n-1)}(\xi)=P^{(n-1)}(\xi)$. Le terme de droite
-est, à un facteur près, le coefficient dominant de $P$ :
-$$
-P^{(n-1)}(\xi)=(n-1)!\sum_j \frac{y_j}{\prod_{i\neq j}(t_j-t_i)}\in \QQ.
-$$
-En particulier, le dénominateur est inférieur à $|\prod_{i\neq j}(t_j-t_i)|\leq
-|t_n-t_1|^{\frac{n(n-1)}{2}}$. Pour $t_1$ suffisamment grand,
-$$0<|\varphi^{(n-1)}(\xi)\leq c_2t_1^{-\mu}$$
-pour une constante $c_2>0$ si bien que si $l:=t_n-t_1$ on a à la fois :
-$$
-\left\{\begin{array}{l}
-1\leq l^{\frac{n(n-1)}{2}}|\varphi^{(n-1)}(\xi)| \\
-l^{\frac{n(n-1)}{2}} c_2t_1^{-\mu} \geq 1
-\end{array}\right.
-$$
-Il en résulte que $$l\geq c_3 t_1^{\alpha}$$ où
-$\alpha=\frac{2\mu}{n(n-1)}$ et $c_3>0$.
-\end{proof}
-
-Posons $\varepsilon:=\frac{1}{1+\alpha}<1$.
-Pour $B>1$ fixé, décomposons $[1,B]$
-en $[1,B^\varepsilon]\cap [B^\varepsilon,B]$. Dans le premier intervalle, le nombre d'éléments
-de $\Omega_{\varphi}$ est tautologiquement $\mathsf{O}(B^{\varepsilon})$.
-L'intervalle restant $[B^\varepsilon,B]$ se décompose en intervalles de longueur
-$cB^{\alpha \varepsilon}$, qui s'intersectent en au plus $n-1$ points avec $\Omega_{\varphi}$.
-Ces intervalles étant en nombre $\mathsf{O}(B/B^{\alpha\varepsilon})$,
-on a donc
-$$\# \Omega_{\varphi}\cap [1,B]=\mathsf{O}(B^{\varepsilon}+B^{1-\alpha\varepsilon})=
-\mathsf{O}(B^\varepsilon).$$
-\end{proof}
-
-Soit $f$ comme dans \ref{Irréductibilité-Hilbert}.
-Chaque $a\in \ZZ$ définit une surjection
-$A=\QQ[t]\ra \QQ$, $t\mapsto a$, \cad un idéal maximal $\MM_a=(t-a)$
-de $\QQ[t]$. On a vu a plusieurs reprises (cf. par exemple \ref{spécialisation})
-que le groupe de Galois de $f_a$ est isomorphe à un
-sous-groupe de $G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$ : le groupe de Galois de la spécialisation
-est plus petit que le groupe de Galois « générique ».
-On veut montrer qu'ils sont en fait souvent isomorphes.
-Par un argument relativement standard de théorie de Galois, nous ramènerons
-cette question à la proposition suivante (qui donne son nom au théorème).
-
-\begin{prp}\label{Irréductibilité-prp}
-Sous les hypothèses de \ref{Irréductibilité-Hilbert}, il existe une infinité de $a\in
-\ZZ-\Sigma_f$ tel que $f_a$ soit irréductible sur $\QQ$. Plus généralement,
-on a un énoncé semblable avec un nombre arbitraire fini de polynômes.
-\end{prp}
-
-\begin{proof}
-Quitte à remplacer $f(t,X)$ en $f(t,q(t)X)$, pour un polynôme $q\neq 0$,
-et factoriser, on peut supposer $f\in \QQ[t,X]$, unitaire en $X$.
-D'après le théorème de Puiseux, et sa variante analytique, il existe un
-entier $e\in \NN-\{0\}$ (qui divise le degré $d$ de $f$ en $X$) et
-$d$ séries $\varphi_1,\dots,\varphi_d\in \sur{\QQ}((t^{-1/e}))$ convergentes pour
-tout $|t|\gg 1$ (on suppose choisi un plongement $\sur{\QQ}\hra \CC$) telles
-que $$f(t,X)=\prod_{i=1}^d(X-\varphi_i(t)).$$
-Pour tout sous-ensemble $I\subset [1,d]$, notons
-$$g_I(t,X):=\prod_{i\in I}(X-\varphi_i(t))$$
-le produit des facteurs correspondants.
-Comme $f$ est supposé irréductible dans $\QQ(t)[X]$, si
-$I$ n'est ni $\vide$, ni $[1,d]$, $g_I\notin \QQ(t)[X]$.
-Pour tout tel $I$, il existe donc un coefficient $c_I$ de $g_I$ qui appartienne
-à $\sur{\QQ}((t^{-1/e}))-\QQ(t)$. D'autre part, les $c_I$ sont entiers sur
-$\QQ[t]$ (car les $\varphi_i$ le sont) si bien qu'il existe $N\in \ZZ-\{0\}$
-tel que si $c_I(a)\in \QQ$ pour un $a\in \ZZ$, $Nc_I(a)\in \ZZ$. D'après le
-lemme clé précédent, appliqué aux parties réelles et imaginaires des
-$Nc_I$, il existe une
-infinité de $a\in \ZZ$ tels que les $c_I(a)$ n'appartiennent pas à $\QQ$. Pour
-de telles valeurs, les $g_I(a,X)$, qui sont les diviseurs non triviaux
-de $f_a$ dans $\CC[X]$, n'appartiennent pas à $\QQ[X]$. Ainsi $f_a$ est irréductible
-sur $\QQ$. L'énoncé avec plusieurs polynômes se démontre de même.
-\end{proof}
-
-On laisse le soin au lecteur de préciser une version quantitative de la proposition
-précédente et du théorème de Hilbert.
-
-\begin{proof}[Fin de la démonstration de \ref{Irréductibilité-Hilbert}]
-Supposons $f\in \QQ[t,X]$ unitaire (cf. \emph{supra}).
-Soit $K$ une clôture galoisienne de $\QQ(t)_f:=\QQ(t)[X]/f$ ; d'après le théorème
-de l'élément primitif, il existe $F\in \QQ[t,X]$ séparable unitaire tel que $K$ soit
-$\QQ(t)$-isomorphe à $\QQ(t)_F:=\QQ(t)[X]/F$. Ainsi, $G_{F,\mathrm{g\acute{e}n}}$
-est isomorphe à $G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$.
-
-Le discriminant de $f$ (resp. $F$) est un polynôme en $t$, non nul par hypothèse.
-Ces deux polynômes n'ont donc qu'un nombre fini de zéros dans $\QQ$ si bien que pour
-presque tout $a\in \QQ$ (\cad tous sauf un nombre fini), $f_a$ et $F_a$ sont séparables.
-D'après la proposition \ref{Irréductibilité-prp}, il existe une infinité de $a\in \ZZ$
-tels que $F_a:=F(a,X)$ et $f_a:=f(a,X)$ soient irréductibles sur $\QQ$, et séparables.
-Pour ces valeurs, le groupe de Galois $G_{F_a}$ de la spécialisation est
-isomorphe à un sous-groupe de $G_{F,\mathrm{g\acute{e}n}}$, \emph{a priori} plus
-petit. Comme d'une part $\# G_{F,\mathrm{g\acute{e}n}}=\deg_X F$
-(car $\QQ(t)_F/\QQ(t)$ est galoisienne)
-et d'autre part $\#G_{F_a}\geq \deg_X F_a=\deg_X F$
-(car $F_a$ est supposé irréductible), on a finalement
-$G_{F_a}\isononcan G_{F,\mathrm{g\acute{e}n}}\isononcan G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$
-pour $a\in A\subset \ZZ$, où $A$ est infini. Pour conclure, il nous suffit de démontrer
-que pour $a$ comme précédemment, $f_a$ et $F_a$ ont des corps de décomposition
-sur $\QQ$ isomorphes, sauf éventuellement pour un nombre fini de valeurs.
-On aura alors $G_{f_a}\isononcan G_{F_a}$ donc isomorphe à $G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$.
-
-
-L'idée est la suivante : il existe des critères
-simples en terme d'algèbre linéaire pour tester si une extension
-contient une clôture galoisienne d'une extension séparable donnée ou bien si elle est contenue
-dans une telle clôture. La nature même de ces énoncés fait que
-leur validité « générique » (\cad sur $\QQ(t)$) entraîne leur validité
-pour presque tout $a$ comme ci-dessus. Voici les détails.
-
-Par hypothèse $\QQ(t)_F$ décompose $f$ : on a un isomorphisme
-de $\QQ(t)_F$-algèbres, $\QQ(t)_f\otimes_{\QQ(t)} \QQ(t)_F\isononcan \QQ(t)_F^d$.
-Heuristiquement, on veut «~étendre~» cet isomorphisme à un «~ouvert~» de
-$\QQ[t]$\footnote{Le langage des schémas permet de rendre formaliser cette heuristique
-en topologisant $\SP(\QQ[t])$, de telle sorte que l'ensemble à un élément
-$\SP(\QQ(t))\hra \SP(\QQ[t])$ soit un point \emph{générique}, \cad d'image dense (sic!).}.
-Plus précisément : $\QQ(t)_f=\big(\QQ[t,X]/f\big)\otimes_{\QQ[t]}\QQ(t)$,
-et de même pour $F$, si bien que l'isomorphisme précédent se réécrit
-$$
-\big((\QQ[t,X]/f)\otimes_{\QQ[t]} \QQ[t,X]/F\big)\otimes_{\QQ[t]} \QQ(t)
-\isononcan \big(\QQ[t,X]/F\big)^d \otimes_{\QQ[t]} \QQ(t).
-$$
-Considérons $A_1:=(\QQ[t,X]/f)\otimes_{\QQ[t]} (\QQ[t,X]/F)$ et $A_2:=\big(\QQ[t,X]/F\big)^d$. Ce
-sont des $(\QQ[t,X]/F)$-algèbres, finies et libres, qui sont « génériquement » isomorphes,
-\cad que $A_1\otimes_{\QQ[t]} \mathrm{Frac}(\QQ[t])\isononcan_{\QQ(t)_F}
-A_2\otimes_{\QQ[t]} \mathrm{Frac}(\QQ[t])$.
-Un tel isomorphisme n'est pas nécessairement défini sur $\QQ[t]$ mais c'est
-le cas presque partout : il suffit d'éviter les pôles, cf. \ref{isomorphisme-générique}.
-%[DÉTAILLER ! FAIRE ATTENTION QUE COMME MODULE C'EST TRIVIAL : ON VEUT
-%UN MORPHISME D'ALGÈBRES !]
-Pour chaque $a\in \QQ$, la $\QQ$-algèbre $\QQ_{f_a}:=\QQ[X]/f_a$ est la réduction
-modulo $(t-a)$ de $\QQ[t,X]/f$ : $$\QQ[X]/f_a\isononcan_{\QQ} (\QQ[t,X]/f)\otimes_{\QQ[t],a}
-\QQ,$$ où $\QQ[t]\ra \QQ$ est le morphisme d'évaluation en $t$, $t\mapsto a\in \QQ$.
-On vient de voir que, quitte à restreindre $A$, on peut donc supposer que
-pour $a\in A\subset \ZZ$, $\QQ_{f_a}$
-soit décomposée par l'extension $\QQ_{F_a}$ au sens où
-$$\QQ_{f_a}\otimes_{\QQ} \QQ_{F_a}\isononcan_{\QQ_{F_a}} \QQ_{F_a}^d.$$
-Comme $\QQ_{F_a}$ est un corps, cela signifie simplement que
-$\QQ_{F_a}$ est un corps de décomposition de $f_a$\footnote{Remarquez que
-l'on retrouve ainsi sans usage de discriminant le fait que $f_a$ est
-presque toujours séparable.}.
-On veut montrer qu'en fait $\QQ_{F_a}$ est une clôture normale de $\QQ_{f_a}$.
-Pour cela nous ferons usage du lemme suivant qui permet de passer
-simplement d'un énoncé générique à un énoncé spécialisé.
-
-\begin{sslmm2}\label{critère-linéaire-normal}
-Soient $L/K$ une extension finie séparable de degré $d$
-et $L'/L$ est une clôture galoisienne de $L/K$. Alors, il existe
-une $K$-surjection
-$$
-L\otimes_K \cdots \otimes_K L=:L^{\otimes_K d!}\surj L'.
-$$
-Réciproquement si $L'/K$ satisfait ce critère,
-elle est contenue dans une clôture galoisienne de $L/K$.
-\end{sslmm2}
-\begin{proof}
-Soit $L'/K$ une clôture galoisienne de $L/K$, de groupe de Galois
-$G=\ga(L'/K)$. Par hypothèse, $L'$ est engendré par les sous-corps $g(L)$
-conjugués de $L$. Il
-en résulte que le morphisme
-$$\begin{array}{l}
-\underbrace{L\otimes_K \cdots \otimes_K L}_{\# G\text{\ fois}}\ra L'\\
-\otimes_{g\in G} a_g \mapsto \prod_{g\in G} g(a_g)
-\end{array}
-$$
-est une surjection. Comme $\# G\leq d!$
-et que pour tout $r\geq 1$ il existe une surjection $L^{\otimes_K r}\surj L$,
-il existe au moins une surjection $L^{\otimes_K d!}\surj L^{\otimes_K \# G}$ qui
-permet, par composition, de répondre à la question.
-
-Réciproquement, soient $L'/K$ comme plus haut. Si $\widetilde{L}/K$ est
-une clôture galoisienne de $L/K$, on a une inclusion de $K$-algèbres :
-$$
-L^{\otimes_K d!}\hra \widetilde{L}^{\otimes_K d!}.
-$$
-Par hypothèse $L'$ est un corps résiduel de la $K$-algèbre étale de gauche.
-Une algèbre étale sur $K$ étant isomorphe au produit de ses corps résiduels,
-$L'$ est donc un sous-corps d'un corps résiduel de l'algèbre de droite.
-Or on sait (d'après \ref{auto décomposition} et une récurrence) que le terme
-de droite est une $K$-algèbre isomorphe à un produit de copies de $\widetilde{L}$.
-Finalement $L'$ est isomorphe à un sous-corps de $\widetilde{L}$.
-\end{proof}
-
-Par hypothèse $\QQ(t)_F/\QQ(t)$ est une clôture galoisienne de $\QQ(t)_f/\QQ(t)$ :
-il existe donc une surjection $\QQ(t)_f^{\otimes_{\QQ(t)} d!}\surj \QQ(t)_F$,
-où $d=\deg_X f$. Comme
-$$
-\QQ(t)_f^{\otimes_{\QQ(t)} d!}\isononcan_{\QQ(t)} \big((\QQ[t,X]/f)^{\otimes_{\QQ[t]} d!}\big)
-\otimes_{\QQ[t]} \QQ(t),
-$$
-la proposition \ref{isomorphisme-générique} montre comme plus haut
-que pour presque toute les valeurs de $a\in \QQ$,
-il existe une surjection de $\QQ$-algèbres $\QQ_{f_a}^{\otimes_{\QQ} d!}\surj \QQ_{F_a}$.
-D'après le lemme précédent, cela montre que $\QQ_{F_a}$ est contenue dans
-une clôture normale de $\QQ_{f_a}$ (pour $a\in A-\{\text{ens. fini}\}$).
-Comme on sait déjà que pour ces valeurs $\QQ_{F_a}/\QQ$ diagonalise $\QQ_{f_a}$,
-on a bien montré que c'est une clôture normale de $\QQ_{f_a}$.
-CQDF.
-\end{proof}
-
-Enfin, voici une application :
-
-\begin{thm}[$\got{S}_n$ par voie générique]\label{S_n-3}
-Pour tout $n\geq 1$, il existe une infinité
-d'entiers $a_0,\dots,a_{n-1}\in \ZZ$ tel que le polynôme
-$X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0$ soit irréductible sur $\QQ$
-de groupe de Galois $\got{S}_n$.
-\end{thm}
-
-\begin{proof}
-Cela résulte d'une part du fait que le groupe de Galois sur $\QQ(t_0,\dots,t_{n-1})$
-de $X^n-t_{n-1}X^{n-1}+\cdots+(-1)^n t_0$ est $\got{S}_n$ et d'autre part du
-théorème d'irréductibilité de Hilbert sous la forme
-\ref{Hilbet-n variables} [À rédiger : variantes à
-plusieurs variables].
-\end{proof}
-
diff --git a/6-chap-Galois.tex b/6-chap-Galois.tex
deleted file mode 100644
index ed919dd..0000000
--- a/6-chap-Galois.tex
+++ /dev/null
@@ -1,1382 +0,0 @@
-\chapter{Méthodes globales}
-
-\section{Fonction zêta de Dedekind}
-
-\begin{thm}\label{pôle en 1 de Dedekind}
-Soient $K/\QQ$ une extension finie galoisienne et $\mc{O}_K$ la normalisation
-de $\ZZ$ dans $K$. La fonction zêta de Dedekind,
-$$
-\zeta_K(s):=\prod_{\wp \in \SP\max(\mc{O}_K)} \frac{1}{1-\mathrm{N}\wp^{-s}}
-$$
-est absolument convergente pour $s$ réel $>1$ et il existe une constante $C_K>0$
-telle que
-$$
-\zeta_K(s)\sr{s\ra 1+}{\sim} \frac{C_K}{s-1}.
-$$
-\end{thm}
-
-En particulier, on a bien
-$$
-\log \zeta_K(s)\sr{s\ra 1+}{\sim} \log(\frac{1}{s-1})
-$$
-comme utilisé en \ref{point clé Frob}.
-
-\begin{rmr}
-On peut montrer plus précisément que $\zeta_K$ se prolonge en une fonction méromorphe
-sur $\CC$. La méthode que nous donnons ici, plus élémentaire, prouve
-en fait sans beaucoup plus de travail que $\zeta_K$ se prolonge à une fonction
-méromorphe sur $\mathrm{Re} s > 1-[K/\QQ]^{-1}$.
-\end{rmr}
-
-Dans la première section, nous allons démontrer quelques faits généraux sur
-l'anneau $\OO_K$.
-
-\section{Anneaux de Dedekind}
-
-\begin{dfn}
-Un anneau intègre $A$ est dit de \emph{Dedekind} s'il est normal, noethérien de dimension $1$.
-\end{dfn}
-
-Il en résulte que si $\wp\in \SP\max(A)$, le localisé $A_\wp$ est un anneau
-de valuation discrète (cf \ref{dimension localisé}). De plus, tout
-idéal premier non nul est maximal.
-
-\begin{prp}\label{décomposition idéaux}
-Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
-Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\SP\max(A)$
-et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_\wp(\got{a})$, $\wp\in S$,
-tels que $$\got{a}=\prod_{\wp\in S} \wp^{n_\wp(\got{a})}.$$
-De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si
-$n_{\wp}(\got{a})\leq n_{\wp}(\got{a}')$ pour tout $\wp\in \SP\max(A)$,
-où l'on pose $n_{\wp}(\got{a})=0$ (resp. $n_{\wp}(\got{a}')=0$)
-pour $\wp\notin S_{\got{a}}$ (resp. $\wp\notin S_{\got{a}'}$).
-\end{prp}
-
-\begin{proof}
-Pour chaque $\wp\in \SP\max(A)$, notons comme d'habitude $\got{a}A_{\wp}$
-l'idéal du localisé $A_\wp$ engendré par l'image de $\got{a}$ par $A\ra A_\wp$.
-Comme $A_\wp$ est un anneau de valuation discrète, il existe un unique
-entier $n_{\wp}\geq 0$ tel que $\got{a}A_{\wp}=\wp^{n_\wp}A_{\wp}$.
-
-
-Montrons que pour presque tout $\wp$, l'entier $n_\wp$ ainsi défini
-est nul. Remarquons que si $n_\wp>0$, $\wp$ contient $\got{a}$
-car si $a\notin \wp$, $(a)A_\wp=A_\wp$.
-L'anneau quotient $A/\got{a}$ est noethérien et comme $\got{a}\neq 0$,
-il est de dimension nulle. Son spectre est donc fini (\ref{anneau dimension nulle}) ;
-il n'existe donc qu'un nombre fini d'idéaux premier $\wp$ contenant $\got{a}$.
-Soit $X$ l'ensemble de $\wp$ tels que $n_{\wp}>0$\footnote{On peut
-vérifier que c'est l'ensemble des idéaux premiers associés au
-$A$-module $A/\got{a}$, cf \ref{idéaux premiers associés}.}.
-Considérons l'idéal $\got{a}':=\prod_{\wp\in X} \wp^{n_{\wp}}$.
-L'idéal $\got{a}$ et l'idéal $\got{a}'$ coïncident localement :
-pour tout $\wp\in \SP(A)$, $\got{a}A_{\wp}=\got{a}'A_{\wp}$. (Pour $\wp=(0)$
-cela résulte du fait qu'ils sont tous deux non nuls.)
-La conclusion résulte alors du lemme ci-dessous, appliqué aux inclusions
-$\got{a}\hra \got{a}+\got{a}'$ et $\got{a}'\hra \got{a}+\got{a'}$.
-L'unicité et le second énoncé découlent de la démonstration.
-%[À FAIRE ?]
-\end{proof}
-
-\begin{lmm}
-Soient $A$ un anneau et $i:M_1\hra M_2$ une injection entre deux $A$-modules.
-Supposons que pour tout $\wp\in\SP(A)$,
-$i_\wp:M_1\otimes_A A_\wp\ra M_2\otimes_A A_\wp$ soit un isomorphisme.
-Alors, $i$ est un isomorphisme.
-\end{lmm}
-
-\begin{proof}
-Soit $K$ le conoyau de $i$, \cad le quotient $M_2/M_1$ ; on veut montrer qu'il
-est nul.
-La suite exacte $$0\ra M_1\sr{i}{\ra} M_2 \ra K\ra 0$$
-induit pour chaque $\wp$, par platitude de la localisation (\ref{platitude localisation})
-une suite exacte :
-$$
-0\ra M_1\otimes_{A} A_\wp \sr{i}{\ra} M_2\otimes_A A_\wp \ra K\otimes_A A_\wp=:K_{\wp}\ra 0.
-$$
-Notre hypothèse indique que $K_\wp$ est nul pour tout $\wp\in \SP(A)$.
-Un tel $A$-module est nécessairement nul. Supposons en effet qu'il existe
-$k\in K$ non nul. On a donc une inclusion $A/\got{a}\iso Ak\hra K$, où l'annulateur
-$\got{a}$ de $k$ est différent de $A$. Soit $\wp$ un idéal premier de $A$ contenant
-$\got{a}$. Par hypothèse, $A/\got{a}\otimes_A A_\wp$ est nul. C'est absurde
-car $0\neq A_\wp/\wp A_\wp$ est un quotient de $A_\wp / \got{a}A_\wp$.
-\end{proof}
-
-
-
-\begin{prp}
-Soit $A$ un anneau de Dedekind. Tout idéal fractionnaire non nul
-est inversible.
-\end{prp}
-
-Cf. \ref{fractionnaire} et \ref{inversible} pour les définitions.
-
-\begin{proof}
-Si $A$ est un anneau de valuation discrète, cela résulte
-du fait qu'un tel idéal $I$ est isomorphe comme $A$-module à $A$.
-Dans le cas général, on remarque que l'évaluation
-$I\otimes_A I^{\vee}\ra A$ est un isomorphisme si et seulement si
-c'est vrai après localisation en tous les idéaux maximaux. Comme la
-formation du dual commute à la localisation, on se ramène donc au cas précédent.
-\end{proof}
-
-On vérifie immédiatement que si $I$ est un idéal fractionnaire non nul,
-$$
-\begin{array}{l}
-\{x\in K, xI\subset A\}\ra \Hom_A(I,A)=:I^{\vee}\\
-x \mapsto \big(i\mapsto xi\big)
-\end{array}
-$$
-est un isomorphisme.
-
-\begin{dfn}
-Un corps $K$, extension finie de $\QQ$, est appelé un \emph{corps de nombres}.
-La normalisation de $\ZZ$ dans ce corps est appelé l'\emph{anneau des entiers} de
-$K$.
-\end{dfn}
-
-
-\begin{thm}\label{Pic fini}
-Soit $K$ un corps de nombres. Le groupe de Picard de l'anneau
-des entiers $\mc{O}_K$ de $K$ est fini.
-\end{thm}
-
-Chaque classe $C\in \pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$.
-Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(\OO_K/\got{c})$.
-Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse
-supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$.
-Si $\got{c}=\prod \wp^{n_\wp}$, $N(\got{c})=\prod N(\wp)^{n_\wp}$ si bien qu'à la fois
-les $N(\wp)$ et les $n_\wp$ sont bornés. Comme $N(\wp)$ est une puissance du nombre premier
-$p=\wp\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$,
-il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod \wp^{n_\wp}$.
-
-Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte
-du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous.
-Admettons un instant le fait suivant :
-\begin{lmm}
-Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il
-existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$.
-\end{lmm}
-Soit $C\in \pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$.
-et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe
-un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$
-(cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors
-$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$.
-
-Démontrons le lemme. On a vu en \ref{normalisation finie} que $\OO_K$ est un
-$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$
-car $\OO_K\otimes_{\ZZ} \QQ \iso K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}).
-Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $\OO_K$ sur $\ZZ$ et notons
-$\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K\hra \CC$.
-Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$
-Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$
-tel que
-$$
-m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d.
-$$
-Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe
-deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence
-appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que
-$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.
-
-
-\begin{lmm}\label{déterminant-norme}
-Soit $u:\QQ^n\ra \QQ^n$ une application linéaire inversible qui stabilise $\ZZ^n$.
-Alors,
-$$
-|\mathrm{d\acute{e}t}(u)|=\#\ZZ^n/u(\ZZ^n).
-$$
-En particulier, le terme de droite est fini.
-\end{lmm}
-\begin{proof}
-En effet, il existe des bases $e_i,f_j$ de $\ZZ^n$ et des entiers non nuls $d_i$ tels que
-$u(e_i)=d_i f_i$ pour chaque $i\in [1,n]$.
-En particulier, $\mathrm{d\acute{e}t}(u)=\prod_i d_i=\# \bigoplus_i \ZZ f_i/d_i\ZZ f_i=\#\ZZ^n/u(\ZZ^n)$.
-\end{proof}
-
-%Normaliser notations Spec max (sans point cf. ci-dessous versus avec ci-dessus).
-
-
-\begin{thm}[Théorème des unités de Dirichlet]\label{Dirichlet-unités}
-Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que :
-$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR}\isononcan_{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$
-Alors, le groupe $\OO_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $\OO_K$
-est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
-\end{thm}
-
-Compte tenu de la définition, on a $r_\RR+2r_\CC=[K:\QQ]$ : la $\RR$-algèbre $K_\RR$
-est de dimension $[K:\QQ]$. On dit que $r_\RR$
-(resp. $r_\CC$) est le nombre de plongements réels (resp. complexes) de $K$.
-%Pour $\iota : K\hra \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ choisi, on notera
-%$\iota_\RR$ (resp. $\iota_\CC$) le morphisme $\KK\ra \RR^{r_\RR}$ (resp.
-%$K\ra \CC^{r_\CC}$) correspondant.
-
-\begin{proof}
-C'est sans surprise que nous allons considérer l'image de $\OO_K$ dans $K_\RR$ :
-
-\begin{lmm2}
-Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique
-$K\hra K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(\OO_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers
-est un \emph{réseau}, \cad un sous-groupe \emph{discret} de $\RR^n$ tel que
-le quotient soit \emph{compact}.
-\end{lmm2}
-De façon équivalente, son image est un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$
-engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants (\cite{Topologie@Bourbaki}, chap.~\textsc{vii}).
-
-\begin{proof}
-On sait déjà que $\OO_K$ est un $\ZZ$-module libre de rang $[K:\QQ]$ (l'extension
-$K/\QQ$ est séparable) ; il en est donc de même de son image par $\iota$.
-Comme $\OO_K\otimes_{\ZZ} \QQ\iso K$, il existe une base de $\OO_K$ sur $\ZZ$
-qui forme une base du $\QQ$-espace vectoriel $K$.
-L'image de cette base par $x\mapsto x\otimes_{\QQ} 1_\RR$, $K\ra K_\RR$, est une base
-du $\RR$-espace vectoriel $K_\RR$\footnote{Pour une interprétation
-à l'aide de discriminants, cf. \ref{covolume-discriminant} \emph{infra}.}.
-\end{proof}
-
-\emph{Fixons dorénavant un isomorphisme $K_\RR\isononcan \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}.
-Les morphismes $\log_{\RR}:\RR^{\times}\ra \RR$, $x\mapsto \log(|x|)$
-et $\log_{\CC}:\CC^{\times}\ra \RR$, $y\mapsto \log(|y|^2)$ définissent
-un morphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite)
-$$
-\log:\big(\RR^{r_{\RR}}\times \CC^{r_\CC}\big)^\times\ra \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}.
-$$
-Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}\ra
-\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}\iso \RR^{r_\RR+r_\CC}$.
-
-
-Soit $u\in \OO_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$,
-est un entier relatif ; comme il en est de même de $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u^{-1})
-= \mathrm{N}_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$.
-Ceci ce traduit, sur $\RR$, en l'appartenance
-$$
-\log \iota(u)\in H=\{(x_i)\in \RR^{r_\RR+r_\CC},\ \sum x_i=0\}.
-$$
-Cela résulte de l'égalité
-$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$,
-jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit
-des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$
-(de même avec un nombre arbitraire de facteurs) donc
-l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que
-le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme
-des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant.
-
-Enfin, l'image inverse par $\log: \OO_K^{\times} \ra \RR^{r_\RR+r_\CC}$
-de toute partie bornée est \emph{finie}.
-Soit en effet $E\subset \OO_K^{\times}$, ou plus généralement
-$E\subset \OO_K^{\times}$, telle que $\log(E)\subset \RR^{r_\RR+r_\CC}$ soit
-bornée. En particulier, l'image $\iota(E)$ de $E$ dans $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$
-est bornée.
-Or, si $e\in E$, les coordonnées de $\iota(e)$, ainsi que leurs conjugués complexes,
-sont exactement les racines conjuguées sur $\QQ$ de $e$ dans $\CC$.
-Si celles-ci sont bornées en valeur absolue, il en est de même des coefficients
-du polynôme minimal de $e$. Comme celui-ci est également à coefficients entiers,
-il n'y a qu'un nombre fini de possibilité pour un tel polynôme et finalement
-pour $e\in \OO_K$.
-
-Il en résulte que $\log(\OO_K^{\times})$ est un sous-groupe de $\RR^{r_\RR+r_\CC}$
-tel que toute partie bornée soit finie. C'est donc un réseau (\ref{réseau-R^n}),
-de rang inférieur à $r_\RR+r_\CC-1$ car il est contenu dans l'hyperplan $H$.
-
-Il en résulte également que le noyau de $\OO_K^{\times}\ra \RR^{r_\RR+r_\CC}$ est \emph{fini}.
-
-Les deux lemmes suivants montrent que ce rang est exactement $r_\RR+r_\CC-1$.
-
-\begin{lmm2}[Lemme chinois non archimédien]
-Pour tout $1\leq k \leq r_{\RR}+r_\CC$, il existe $u\in \OO_K^{\times}$
-tel que $\log_i (u)$, la $i$-ième composante de $\log(u)$, soit $<0$ pour tout $i\neq k$.
-\end{lmm2}
-
-\begin{proof}
-Commençons pas un résultat que nous allons itérer pour produire $u$ comme plus haut.
-
-\begin{sslmm2}
-Il existe une constante $\mu_K$
-telle que pour tout $0\neq \alpha\in \OO_K$, il existe $0\neq \beta\in \OO_K$ satisfaisant :
-$$\left\{ \begin{array}{l}
-\log_i(\alpha)>\log_i(\beta),\ i\neq k \\
-\mathrm{N}_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K
-\end{array}\right.$$
-\end{sslmm2}
-
-\begin{proof}[Démonstration du sous-lemme]
-Soit $\alpha$ comme ci-dessus. Supposons donnés des nombres réels positifs
-satisfaisant $c_{i,\alpha}< \exp(\log_i (\alpha))$ pour $i\neq k$.
-Pour chaque constante $C_{k,\alpha}>0$, considérons :
-$$
-E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha}):=\{(x_i)_{1\leq i \leq r_\RR+r_\CC}\in \RR^{r_\RR}\times
-\CC^{r_\CC},\
-\left\{ \begin{array}{l}
-|x_i|^{1\text{ou }2} \leq c_{i,\alpha}, \text{pour } i\neq k\\
-|x_k|^{1\text{ou }2} \leq C_{k,\alpha}
-\end{array}\right.\}
-$$
-(Ici «~$1\text{ou }2$» vaut $1$ si le facteur correspondant est $\RR$ et $2$ sinon.)
-
-On muni chaque facteur $\RR$ et $\CC$ de la mesure de Lebesgue usuelle et
-le produit est muni de la mesure produit.
-L'ensemble précédent est une partie de $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ qui est
-fermée (donc mesurable), symétrique par rapport
-à l'origine et convexe. Son volume est
-$$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$
-Soit $\mu_K>0$ une constante telle que
-$$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]}
-\mathrm{covol}(\iota(\OO_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
-À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que
-$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
-\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
-Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour
-ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap \OO_K$. Un tel $\beta$ satisfait les
-conditions du lemme.
-\end{proof}
-
-Démontrons le «~lemme chinois~».
-Choisissons $k$ et considérons un $\alpha\in \OO_K$ non nul quelconque. En vertu
-du résultat précédent, on peut construire une suite de $\beta_m$ dont les
-normes sont bornées tels que les $i\neq k$-composantes des logarithmes décroissent
-strictement. L'ensemble de idéaux $(\beta_m)$ étant fini (par finitude des normes), il existe
-$m'>m$ tel que $(\beta_m)=(\beta_{m'})$. On a alors $\beta_{m'}=\beta_{m} u$ pour
-une unité $u\in \OO_K^{\times}$. Elle satisfait les conclusions du lemme.
-\end{proof}
-
-\begin{lmm2}
-Soit $A$ une matrice telle que les éléments de la diagonale soit $>0$,
-ceux hors de la diagonale $<0$ et enfin que la somme des coefficients
-sur une ligne soit nulle.
-Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$.
-\end{lmm2}
-\begin{proof}
-Exercice.
-%À faire.
-\end{proof}
-\end{proof}
-
-Revenons à la démonstration du théorème \ref{pôle en 1 de Dedekind}.
-\begin{lmm}
-Soit $K$ un corps de nombres.
-On a
-$$
-\zeta_K(s):=\prod_{\wp\in \SP\max(\OO_K)} \frac{1}{1-\mathrm{N}\wp^{-s}}=
-\sum_{(0)\neq \got{a}\subset \OO_K} \frac{1}{\mathrm{N}(\got{a})^{s}}
-$$
-et la série de droite converge absolument pour $s>1$.
-\end{lmm}
-\begin{proof}
-L'égalité de droite résulte de ce que chaque idéal non nul
-se décompose en un produit de puissances d'idéaux premiers, comme
-dans le cas où $K=\QQ$.
-La convergence résulte de ce que pour chaque nombre premier $p$,
-et tout $s>0$,
-$$\prod_{p|\wp} (1-N\wp^{-s})^{-1}\leq \Big((1-p^{-s})^{-1}\Big)^{[K:\QQ]}.$$
-On a donc $\zeta_K(s)\leq \zeta_{\QQ}(s)^{[K:\QQ]}$.
-(Voir aussi \ref{point clé Frob}.)
-
-
-\end{proof}
-
-
-
-De façon générale, on appelle \emph{série de Dirichlet} toute
-série de la forme $\sum_n \lambda_n n^{-s}$. La fonction zêta
-de Dirichlet est donc une série de Dirichlet. Nous renvoyons le
-lecteur à \cite{Cours@Serre}, chapitre ?,
-pour une courte introduction et une démonstration du théorème de la progression
-arithmétique à l'aide de ces séries.
-
-Ainsi, $\zeta_K(s)=\sum_{n\geq 1} \frac{N_n}{n^s}$ où $N_n$ est le nombre d'idéaux
-de $\OO_K$ de norme $n$. Si l'on note, pour chaque classe $[C]\in \pic(\OO_K)$,
-$N_n([C])$ le nombre de tels idéaux dans $[C]$, on a alors tautologiquement :
-$$
-\zeta_K=\sum_{[C]\in \pic(\OO_K)} \zeta_{K,[C]},
-$$
-où la somme est \emph{finie} (\ref{Pic fini}) et
-$$
-\begin{array}{ll}
-\zeta_{K,C}(s)& :=\sum_{\got{a}\in [C]\subset \OO_K} \frac{1}{\mathrm{N}(\got{a})^{s}}\\
-& = \sum_{n\geq 1} \frac{N_n([C])}{n^s}
-\end{array}
-$$
-
-À défaut de pouvoir estimer $N_n([C])$ pour $n$ grand, nous allons estimer
-$\sum_{i=1}^n N_i([C])$. Que cela nous suffise est expliqué plus bas.
-
-\begin{thm}
-Soit $K$ un corps de nombres.
-Pour toute classe $\mathsf{C}\in \pic(\OO_K)$, il existe une
-constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
-$$
-\{\got{a}\subset \OO_K, \text{tel que } \got{a}\in
-\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\}
-$$
-soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t\ra +\infty$.
-\end{thm}
-
-\begin{proof}
-Soit $\mathsf{C}\in \pic(\OO_K)$. Choisissons un idéal $\got{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$.
-La correspondance
-$$
-\got{a} \mapsto (\alpha_{\got{a}}):=\got{a}\got{b}_{\mathsf{C}}\subset \OO_K
-$$
-établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et
-$$
-\{(\alpha)\subset \OO_K,\ \alpha\in \got{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\
-|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\got{b}_{\mathsf{C}})\}.
-$$
-Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo
-les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention.
-Négliger les unités revient à considérer l'ensemble
-quotient $P(\got{b}_\mathsf{C}):=\got{b}_\mathsf{C} / \OO_K^{\times}$,
-où $\OO_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie
-en effet les idéaux principaux contenus dans $\got{b}_\mathsf{C}$.
-C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel
-la norme $x\in \got{b}_\mathsf{C}\subset \OO_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$
-se factorise.
-Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter
-$$
-\{ x \in P(\got{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}.
-$$
-Soit $X_{\got{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \got{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur
-$P(\got{b}_\mathsf{C})$ :
-$$
-\xymatrix{
-\got{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] & P(\got{b}_\mathsf{C}) \\
-X_{\got{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] & K_{\RR}
-}
-$$
-Le sous-ensemble $X_{\got{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$,
-dont on veut estimer la taille, est compliqué pour un relèvement
-arbitraire.
-On va voir, à l'aide du logarithme, qu'il existe une partie
-$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\got{b}_{\mathsf{C}}$), sorte
-de domaine fondamental pour l'action de $\OO_K^{\times}$, telle
-que $X_{\got{b}_\mathsf{C}}=\got{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$
-soit égal à $t^{1/[k:\QQ]} X_{1}$.
-Le théorème résultera alors du lemme suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$.
-
-\begin{lmm2}
-Soient $Y$ une jolie partie, en particulier mesurable et bornée,
-de $\RR^{n}$ et $B$ un réseau de $\RR^{n}$.
-Alors, si $\vol(Y)>0$,
-$$
-\#(B\cap aY)\sr{a\ra +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}.
-$$
-\end{lmm2}
-\begin{proof}
-Cf. appendice \ref{calcul volume}, où l'on donne en particulier un sens précis
-à l'adjectif « joli ».
-\end{proof}
-
-Pour simplifier les notations, posons $\sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}:=\RR^{r_\RR+r_\CC}\coprod
-\{\infty\}$
-et posons $\log(x)=\infty$ pour tout $x\in K_{\RR}-K_{\RR}^{\times}$. C'est encore
-un morphisme de monoïdes, si l'on pose $v+\infty=\infty$ pour tout $v\in \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$.
-On a vu au cours de la démonstration de \ref{Dirichlet-unités}
-que $\log:\OO_K\ra \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini,
-nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que
-l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$.
-Ainsi, le logarithme induit une injection :
-$P(\got{b}_\mathsf{C})\hra \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
-
-Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire
-de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert
-de $\Lambda$ dans $H$, de sorte que l'on a une bijection
-$D\oplus P \iso \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$ induite par la projection
-canonique $D\oplus H=\RR^{r_\RR+r_\CC}\surj \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
-%[FIGURE]
-Soit $X\subset K_{\RR}$ la préimage de $D\oplus P\coprod \{\infty\}$ par le
-logarithme ; il répond à notre question. En effet, comme
-$N(ax)=a^{[K:\QQ]}N(x)$ pour tout $a\geq 0$ et $x\in K_{\RR}$,
-la propriété $X_{t}=t^{1/[K:\QQ]}X_1$ est équivalente au fait que pour
-tout $a\in \RR$, $aX\subset X$. Or, si $x\in X$, $\log(ax)=\log(x)+ \log(|a|)(1,\cdots,1,2,\cdots,2)$. (On pose $\log(0)v=\infty$.)
-Enfin, $X_1$ est mesurable, de volume non nul et même \emph{joli} (exercice).
-%DÉFINIR JOLI !!!!
-\end{proof}
-
-\begin{lmm}
-\begin{enumerate}
-\item Soit $\sum_n a_n n^{-s}$ une série de Dirichlet. Supposons que $a_n$ tende vers $0$.
-Alors, $\sum_n a_n n^{-s}$ converge pour $s>1$ et $(\sum_n a_n n^{-s})(s-1)$ tend
-vers $0$ quand $s$ tend vers $1+$.
-\item $\zeta_{\ZZ}(s)\sim \frac{1}{s-1}$.
-\end{enumerate}
-\end{lmm}
-
-\begin{proof}
-Le second point résulte immédiatement de la comparaison entre la série
-de Riemann et l'intégrale $\int_1^t \frac{dx}{x^s}$.
-Le premier point se démontre avec $2\varepsilon$ de façon parfaitement
-standard.
-\end{proof}
-
-\begin{crl}
-Soit $\sum_n a_n n^{-s}$ une série de Dirichlet telle que $\sum_{i=1}^n a_i:=A_n\sim C n$,
-$C\neq 0$.
-Alors, $\sum_n a_n n^{-s}$ est convergente pour $s>1$ et $(\sum_n a_n n^{-s})(s-1)$ tend
-vers $C$.
-\end{crl}
-
-\begin{proof}
-Laissée en exercice. Indication : utiliser la transformation d'Abel
-et remarquer que
-$$n^{-s}-(n-1)^{-s}=n^{-s}(1-(1-\frac{1}{n})^{-s})=n^{-s}\Big(\frac{-s}{n}+
-\mathsf{O}(n^{-2})\Big).$$
-\end{proof}
-
-\section{Simple connexité de $\ZZ$ et groupe de Galois de $X^n-X-1$ : énoncés}
-
-\subsection{}
-Bien que nous ne considérerons que des anneaux de Dedekind dans les applications,
-il est sans doute intéressant de commencer par une définition générale.
-Tout d'abord nous allons généraliser la notion d'algèbre étale au cas où
-la base n'est pas un corps. Nous verrons plus bas que ces deux notions
-coïncident bien.
-
-\begin{dfn}[Algèbre étale sur une autre]
-Soit $A$ un anneau.
-On dit qu'une $A$-algèbre $B$ est \emph{étale}
-si elle satisfait les conditions suivantes :
-\begin{enumerate}
-\item $B$ une $A$-algèbre de \emph{présentation finie},
-\cad que $B$ est isomorphe à un quotient $A[T_1,\dots,T_n]/\got{a}$, où
-$\got{a}$ est un idéal de type fini.
-Si $A$ est noethérien, cela revient à dire que $B$ une $A$-\emph{algèbre} de type fini.
-
-\item $B$ est \emph{formellement étale} sur $A$ : pour toute $A$-algèbre test $T$,
-et tout idéal $\got{t}\subset T$ de carré nul, l'application
-$$
-\Hom_A(B,T)\ra \Hom_A(B,T/\got{t})
-$$
-est une bijection.
-
-\item $B/A$ est \emph{plat}.
-\end{enumerate}
-\end{dfn}
-
-On peut montrer que la dernière condition est conséquence des deux premières.
-Une récurrence immédiate montre que la condition~2 est équivalente
-à la condition~2': pour toute $A$-algèbre test $T$,
-et tout idéal $\got{t}\subset T$ tel $\got{t}^N=0$ pour un $N\in \NN$, l'application
-$\Hom_A(B,T)\ra \Hom_A(B,T/\got{t})$ est une bijection.
-
-\begin{rmr}
-Si l'on remplace dans 2), bijection par injection (resp. surjection),
-on dit que $B/A$ est \emph{net} (ou non ramifié) (resp. \emph{lisse}). Nous n'utiliserons
-pas ces notions.
-\end{rmr}
-
-
-
-\begin{lmm}\label{cb-étale}
-Soient $B/A$ une algèbre étale et $A'/A$ quelconque.
-Alors, $B\otimes_A A'/A'$ est étale.
-\end{lmm}
-
-\begin{proof}
-Seule la seconde condition (formellement étale) est à vérifier (cf. \ref{cb-plat}
-pour la troisième).
-Considérons donc un diagramme commutatif en traits pleins :
-$$
-\xymatrix{
-B \ar[r] \ar@{.>}[rrd] & B' \ar@{.>}[rd]|-{\star} \ar[rrd] & & \\
-A \ar[u] \ar[r] & A' \ar[u] \ar[r] & T' \ar@{->>}[r] & T'/\got{t}'
-}
-$$
-où $B'=B\otimes_A A'$, $t'$ est un idéal de $T'$ de carré nul.
-On veut montrer l'existence d'une unique flèche $\star$ faisant commuter
-le diagramme.
-Comme $B/A$ est formellement étale, il existe une unique flèche ($A$-linéaire) $B\ra T'$
-faisant commuter le diagramme. Elle induit l'unique application $\star$ ($A'$-linéaire)
-relevant $B\ra T'/\got{t}'$.
-\end{proof}
-
-\begin{prp}\label{séparable-formellement étale}
-Soient $k$ un corps et $K/k$ une extension finie.
-Alors, $K/k$ est formellement étale si et seulement elle est séparable.
-\end{prp}
-\begin{proof}
-Montrons que séparable implique formellement étale.
-Par hypothèse, il existe $f\in k[X]$ \emph{séparable} tel que
-$K\isononcan k[X]/f$. Sous $A$ une $k$-algèbre et $\got{a}$ un idéal de carré nul.
-Il s'agit de montrer que l'application de réduction modulo $\got{a}$ induit
-une bijection :
-$$
-\{x\in A, f(x)=0\} \ra \{\sur{x}\in A/\got{a}, f(\sur{x})=0\}.
-$$
-Injectivité. Soient $x,y\in A$, tels que $f(x)=f(y)=0$ et $x=y+a$, $a\in \got{a}$.
-Comme $a^2=0$, la formule de Taylor nous donne $0=f(y+a)=f(y)+af'(y)=af'(y)$.
-D'autre part, nous savons que $(f,f')=k[X]$, donc $(f(y),f'(y))=A$. Comme $f(y)$
-est nul, $f'(y)$ est une unité et finalement $af'(y)=0$ entraîne $a=0$ \cad
-$x=y$.
-
-Surjectivité. Soit $x\in A$ tel que $f(x)=a\in \got{a}$. Il s'agit de montrer qu'il
-existe $x'$ congru à $x$ modulo $\got{a}$ tel que $f(x')=0$. L'élément
-$f(x)$ étant nilpotent, l'égalité $(f(x),f'(x))=1$ montre que $f'(x)$ est une unité
-de $A$. On remarque alors que $f\big(x-f'(x)^{-1}a\big)=a$.
-
-
-Réciproquement, supposons que $K/k$ est une extension finie de corps
-telle que $K/k$ soit formellement étale. Compte tenu de \ref{cb-étale}
-et \ref{corps étale}, il s'agit de montrer que si $k$ est un corps
-et $A$ une $k$-algèbre finie (locale si l'on veut), formellement étale, $A$ est réduit.
-C'est là un fait général, cf. ci-dessous, qui se ramène d'ailleurs à
-ce cas particulier.
-\end{proof}
-
-\begin{lmm}\label{étale-réduit}
-Soient $A$ un anneau local réduit et $B$ une $A$-algèbre finie étale locale telle
-que $A\ra B$ soit local. Alors $B$ est réduite.
-\end{lmm}
-
-Ce résultat est également valable sans supposer $B/A$ fini.
-
-\begin{proof}[Démonstration dans le cas $A$ noethérien](Nous
-renvoyons le lecteur courageux à ÉGA IV, chap 8 pour le cas général, que nous n'utiliserons
-pas.)
-Sous nos hypothèse, $B/A$ est \emph{fidèlement} plat, cf. \ref{plat-local}.
-Ainsi, si $A\hra A'$, $B\hra B_{A'}=B\otimes_A A'$.
-D'après \ref{idéaux premiers minimaux},
-$A$ n'a qu'un nombre fini d'idéaux premiers minimaux,
-$\wp_i$, $1\leq i \leq n$.
-Comme $A$ est \emph{réduit}, il s'injecte dans le produit $\prod A/\wp_i=:A'$.
-Comme $B/\wp_i$ est étale sur $A/\wp_i$,
-on se ramène au cas où $A$ est intègre.
-Dans ce cas,
-on peut considérer $A'=\mathrm{Frac}(A)$ et finalement supposer,
-pour la même raison, que $A$ est un corps.
-
-Soit donc $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre finie étale locale. Montrons que
-$A$ est réduite \cad est un corps. Comme constaté plus haut,
-on peut supposer $k$ algébriquement clos.
-Soit $\MM$ l'idéal maximal de $A$. Le corps résiduel $A/\MM$ est nécessairement
-isomorphe à $k$. De plus l'idéal $\MM$ est nilpotent dans $A$.
-Ainsi $\Hom_k(A,A)\ra \Hom_k(A,k)$ est une bijection.
-Les deux endomorphismes $A\surj k \hra A$ et $A\sr{\mathrm{Id}}{\ra} A$
-ayant même image dans $\Hom_k(A,k)$, ils doivent coïncider. On a alors $k\iso A$.
-\end{proof}
-
-\begin{dfn}
-Soit $A$ un anneau. On dit que $A$ (ou $\SP(A)$) est \emph{connexe}
-s'il ne possède pas d'idempotents non triviaux.
-\end{dfn}
-
-Tout anneau intègre est connexe, $\ZZ[X]/X^2$ est connexe
-mais $\RR\times \RR$ n'est pas connexe.
-
-\begin{dfn}
-Soit $A$ un anneau. Une $A$-algèbre $B$ est un \emph{revêtement étale} de $A$,
-si $A\ra B$ est un morphisme \emph{fini} étale.
-On dit que $A$ (ou $\SP(A)$) est \emph{simplement connexe}
-s'il est connexe et si pour tout revêtement étale $B/A$, avec
-avec $B$ connexe, alors $A\iso B$.
-\end{dfn}
-
-
-Un corps $k$ est donc simplement connexe si et seulement si il est
-séparablement clos.
-Nous démontrerons plus bas \ref{Spec(Z)} le célèbre théorème :
-
-\begin{thm}[Minkowski]\label{Spec(Z) simplement connexe}
-$\SP(\ZZ)$ est simplement connexe.
-\end{thm}
-
-\begin{rmr}
-En symboles, cela s'écrit :
-$$
-\gp^{\mathrm{\acute{e}t}}(\SP(\ZZ))=\{1\}.
-$$
-On renvoie le lecteur curieux à \cite{sga1} pour une définition,
-due à A.~Grothendieck, du groupe
-$\gp^{\mathrm{\acute{e}t}}(\SP(A))$ pour tout anneau noethérien connexe $A$.
-Cette dernière coïncide, pour $A$ un corps $k$, au groupe de Galois sur $k$
-d'une clôture séparable de $k$. Enfin si $A=\CC[X_1,\dots,X_n]/(f_1,\dots,f_r)$
-est une $\CC$-algèbre de type fini connexe, on sait montrer (\sga{1}{xii}{5.2}) que si
-l'espace topologique connexe (\emph{op. cit.} 2.6)
-$$X=\{\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)\in \CC^n, f_1(\mathbf{x})=\cdots=f_r(\mathbf{x})=0\}$$
-est simplement connexe au sens usuel, alors
-$$
-\gp^{\mathrm{\acute{e}t}}(\SP(A))=\{1\}.
-$$
-Par exemple, $\CC[t]$ ne possède pas de revêtement étale connexe non trivial\footnote{
-La situation est totalement différente en caractéristique positive :
-si $\FF$ est une clôture algébrique de $\FF_p$,
-on peut vérifier que le normalisé de $\FF[t]$ dans l'extension
-d'Artin-Schreier $\FF(t)[X]/(X^p-X-t^{-1})$ est (fini) étale
-sur $\FF[t]$, connexe !, et malgré tout de degré $p$ sur $\FF[t]$.}.
-Le lecteur pourra consulter par exemple \cite{Douady-Douady}
-pour une démonstration élémentaire
-dans le cas particulier où $A$ est régulier de dimension $1$, \cad $X$ une \emph{surface
-de Riemann}.
-\end{rmr}
-
-Nous en déduirons le théorème suivant :
-
-\begin{thm}[$\got{S}_n$ par simple connexité]\label{S_n-4}
-Pour tout $n\geq 1$, le polynôme $X^n-X-1$ est irréductible sur $\QQ$
-de groupe de Galois $\got{S}_n$.
-\end{thm}
-
-%\section{Critères numériques de non ramification}
-\section{Vers des critères numériques de non ramification}
-
-
-Commençons par un nouveau critère pour décider si une $k$-algèbre est étale.
-
-\begin{prp}\label{trace-étale}
-Soit $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre finie.
-Elle est étale sur $k$ si et seulement si la trace induit
-un isomorphisme
-$$
-A\ra A^{\vee}:=\Hom_k(A,k).
-$$
-\end{prp}
-
-\begin{proof}
-On a déjà vu que la condition est nécessaire (\ref{trace non dégénérée}).
-En procédant comme dans \emph{loc. cit.} (\cad en passant à la clôture
-algébrique) on voit qu'il suffit de démontrer
-que si la trace est non dégénérée alors $A$ est \emph{réduit}.
-Soit $a\in A$ un élément nilpotent. Pour tout $x\in A$,
-$ax$ est également nilpotent donc le morphisme de multiplication
-$m_{ax}:A\ra A$ est de trace nulle. Il en résulte que $a$ appartient
-au noyau de $A\ra A^{\vee}$ ; il est donc nul.
-\end{proof}
-
-
-\begin{thm}\label{caractérisation nr}
-Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions
-$K$. Soient $L/K$ une extension finie séparable et $B$ le normalisé de $A$ dans $L$.
-Le morphisme $B/A$ est étale si et seulement si l'extension résiduelle
-$k_L/k_K$ est séparable et l'indice de ramification égal à $1$.
-\end{thm}
-
-On dit classiquement dans ce cas que l'extension $L/K$ est \emph{non ramifiée}.
-
-\begin{proof}
-La condition est nécessaire : si $B/A$ est étale, $B\otimes_A k_K / k_K$ l'est également.
-Comme $B\otimes_A k_K=B/\MM_A=B/\pi_B^e$, et comme $B/\pi_B^e$ est réduit (cf.
-\ref{étale-réduit}), on a $e=1$ et $B/\pi_B=k_L$ séparable sur $k_K$.
-
-Réciproquement, supposons $(B/\MM_A)=:k'$ étale sur $(A/\MM_A):=k$ étale (on
-vient de voir que l'hypothèse se traduit sous cette forme) et montrons
-que $B/A$ est étale. Comme $k'/k$ est étale donc monogène,
-il existe $\sur{P}\in k[X]$ tel que $k'\isononcan k[X]/\sur{P}$. Soit
-$P\in A[X]$ un polynôme unitaire relevant $\sur{P}$ et considérons
-la $A$-algèbre finie, locale $B':=A[X]/P$. Comme $(P',P)=1$,
-on vérifie comme en \ref{séparable-formellement étale} que $B'$
-est étale sur $A$. Pour tout $n\in \NN$, considérons
-le diagramme obtenu par tensorisation avec $A_n:=A/\MM_A^{n+1}$ :
-$$
-\xymatrix{
-B'_n \ar@{.>}[rd] \ar[rrd]^{\mathrm{isom}.} & & \\
-A_n \ar[u] \ar[r] & B_n \ar[r] & k'=B_0\isononcan B'_0
-}
-$$
-Comme $B'_n/A_n$ est étale, il existe un \emph{unique} relèvement $B'_n\ra B_n$,
-$A_n$-linéaire, de l'isomorphisme résiduel.
-Comme $B'$ et $B$ sont finis sur $A$ donc complet pour la topologie $\MM_A$-adique,
-on en déduit un $A$-morphisme $B'\ra B$, qui induit un isomorphisme
-après tensorisation avec $k$. C'est donc une surjection en vertu
-du lemme de Nakayama. D'autre part, $B'$ est libre sur $A$ de rang $[k':k]$
-et $B$ est libre de rang $e[k':k]\geq [k':k]$, où $e$ est l'indice de ramification.
-La surjection $B'\ra B$ est donc nécessairement un isomorphisme (et $e=1$).
-Comme $B'$ est étale sur $A$, $B/A$ est bien étale.
-\end{proof}
-
-Isolons un résultat important de la démonstration :
-
-\begin{thm}
-Soit $A$ un anneau local complet\footnote{Ou plus généralement un anneau
-local hensélien mais la démonstration est légèrement plus compliquée ;
-cf. \cite{Anneaux@Raynaud}.} de corps résiduel $k$. Alors,
-le foncteur
-$$
-\begin{array}{l}
-\{A-\mathrm{Alg}. \text{ finies locales étales}\} \ra \{\text{extension finies séparables
-de } k\} \\
-B\mapsto B\otimes_A k=:\sur{B}
-\end{array}
-$$
-est une \emph{équivalence de catégories}.
-En d'autres termes, toute extension séparable de $k$ s'obtient par ce procédé
-et
-pour $B_1,B_2$ comme ci-dessus, on a :
-$$
-\Hom_{A-\mathrm{Alg}.}(B_1,B_2)\iso \Hom_k(\sur{B_1},\sur{B_2}).
-$$
-\end{thm}
-
-De même,
-$\{A-\mathrm{Alg}. \text{ finies étales}\} \ra \{k-\mathrm{Alg}. \text{ finies étales}\}$
-est une équivalence de catégories.
-
-\begin{proof}
-Il s'agit essentiellement d'une redite.
-Pour le second point, on relève un polynôme unitaire définissant
-définissant l'extension monogène.
-Vérifions maintenant que
-$\Hom_{A-\mathrm{Alg}.}(B_1,B_2)\iso \Hom_k(\sur{B_1},\sur{B_2})$ est un isomorphisme :
-si $\sur{B_1}\ra \sur{B_2}$ est donné, comme $B_1/A$ est étale,
-il existe pour chaque $n$ un \emph{unique} morphisme de $A$-algèbres
-$B_1\ra B_{2n}$ relevant le composé $B_1\ra \sur{B_1}=B_{10}\ra B_{20}$.
-Comme $B_2\iso\lim_n B_{2n}$ (car $B_2$ est complet, étant de type fini sur $A$),
-on a bien un unique morphisme $B_1\ra B_2$.
-\end{proof}
-
-\begin{crl}\label{composé non ramifiées}
-Soient $A$ et $K$ comme en \ref{caractérisation nr} et $K_1,K_2$ deux extensions
-non ramifiées de $K$. Alors, tout extension composée $L$ de $K_1$ et $K_2$ est
-non ramifiée.
-\end{crl}
-\begin{proof}
-Soient $A_1$ (resp. $A_2$) l'anneau des entiers de $K_1$ (resp. $K_2$)
-et $k_1$ (resp. $k_2$) son corps résiduel. Soit $l$ une extension composée
-de $k_1$ et $k_2$ sur $k$. D'après le théorème précédent, il existe
-une $A$-algèbre locale finie étale $B$ de corps résiduel $l$. De plus,
-$B$ est un anneau de valuation discrète (monogène sur $A$)
-et les inclusions $k_i\hra l$ se relèvent en des inclusions $A_i\hra B$.
-Le corps des fractions $L'$ de $B$ contient donc $K_1$ et $K_2$ et $L'/K$
-est non ramifiée sur $K$. Comme $L$ est $K$-isomorphe à un sous-corps
-de $L'$, et qu'une sous-extension d'une extension non ramifiée est
-non ramifiée, on a le résultat voulu.
-\end{proof}
-
-
-
-\subsection{Différente}\label{différente}
-Soient $A$ un anneau de Dedekind, $K$ son corps des fractions et $L/K$ un extension
-finie séparable. Soit $B$ la clôture intégrale de $A$ dans $L$ ; c'est un anneau
-de Dedekind (\ref{} [À rédiger]), \emph{localement} libre de type fini sur $A$, de rang $[L:K]$.
-Dans tout ce paragraphe, nous faisons l'hypothèse supplémentaire que
-$B/A$ \emph{libre}. C'est le cas pour $A$ local ou plus généralement principal
-(Par exemple $\ZZ$ ou $\FF_p[X]$).
-
-Dans ce cas, on dispose
-d'un morphisme $A$-linéaire trace $\TR_{B/A}:B\ra A$. On pose alors,
-comme en \ref{normalisation finie},
-$B^{\star}:=\{y\in L,\ \TR_{B/A}(yB)\subset A\}$ ; c'est un idéal fractionnaire non nul de $L$
-contenant $B$.
-Pour tout idéal fractionnaire non nul $I$ de $L$, notons
-$I^{\vee}:=\{x\in L,\ xI \subset B\}$ ; il est isomorphe au $B$-dual abstrait.
-
-
-\begin{dfn}
-On appelle \emph{différente} de $B/A$, l'idéal ${B^{\star}}^{\vee}$ de $B$.
-On note $\mc{D}_{L/K}$ cet idéal.
-\end{dfn}
-
-Mesurons l'obstruction à ce que $B\ra B^{\star}$ soit un isomorphisme.
-
-\begin{prp}\label{net-discriminant}
-Soient $\wp$ un idéal premier de $B$ et $p:=A\cap \wp$. Alors,
-$L/K$ est non ramifiée en $\wp$ (\cad $B_\wp/A_p$ est étale) si et seulement
-si $\wp$ ne divise pas $\mc{D}_{L/K}$.
-\end{prp}
-
-\begin{proof}
-La formation de $\mc{D}_{L/K}$ commute à la localisation et à la complétion.
-% Expliquer !
-On peut donc supposer $A$ et $B$ des anneaux de valuation complets.
-Le morphisme $B/A$ est non ramifié en $\wp$ si et seulement si
- $B/p$ est étale sur $k=A/p$. C'est équivalent à supposer la trace
-de la $k$-algèbre $B/p$ non dégénérée. Soit $(x_i)_{1\dots n}$ une base
-de $B$ sur $A$. Comme les $x_i$ modulo $p$ forment une base de $B/p$ sur $k$,
-on a finalement montré que $B/A$ est étale si et seulement si
-$\deter\big(\TR(x_i x_j)\big)$ est une unité de $A$ (rappelons que $A$ est local).
-Le $A$-module $B^\star$ est libre, et les $x_i^{\star}$ définis
-par $\TR_{B/A}(x_i x_j^{\star})=\delta_i^j$ en sont une base. L'inclusion
-$B\subset B^\star$ se traduit numériquement en les égalités :
-$$
-x_i = \sum_j \underbrace{\alpha_{i,j}}_{\TR(x_i x_j)} x_j^\star.
-$$
-Ainsi, $B=u(B^\star)$, pour $u:B^\star\ra B^\star$, dont le déterminant
-est précisément $\deter\big(\TR(x_i x_j)\big)$.
-Finalement $B=B^\star$ si et seulement si $B/A$ est étale. La première condition
-signifie que $\mc{D}_{L/K}=B$, \cad que l'idéal maximal de $B$ ne divise pas
-$\mc{D}_{L/K}$.
-\end{proof}
-
-\begin{crl}
-Presque tous les idéaux maximaux de $B$ sont non ramifiés.
-\end{crl}
-
-\subsection{Formes différentielles, suite (facultatif)}\label{dérivations-2}
-
-On continue la discussion commencée en \ref{dérivations-1}.
-
-\begin{prp2}\label{étale implique omega_1 nul}
-Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre formellement étale. Alors,
-pour tout $B$-module $M$, toute $A$-dérivation $B\ra M$ est nulle.
-\end{prp2}
-
-\begin{proof}
-Soit $M$ un $B$-module. Munissons $B\oplus M$ d'une structure de $A$-algèbre en posant,
-pour tout $b\in B$ et $m\in M$ :
-$$
-(b,m)\cdot (b',m')=(bb',bm'+b'm).
-$$
-On notera $M_{\varepsilon}$ cette algèbre ; $M$ en est naturellement
-un idéal, de carré nul. L'anneau quotient $M_{\varepsilon}/M$ est canoniquement isomorphe, par la
-première projection, à $B$.
-Tautologiquement, toute $A$-dérivation $d:B\ra M$ induit un morphisme
-de $A$-algèbres $f_d:B\ra M_{\varepsilon}$ en posant $f_d(b,m)=(b,d(m))$.
-Réciproquement, tout morphisme de $A$-algèbres $B\ra M_{\varepsilon}$ induisant
-l'identité $B\ra B=M_{\varepsilon}/M$ provient d'une unique $A$-dérivation $B\ra M$.
-Plus suggestivement, on a une bijection :
-$$
-\mathrm{D\acute{e}r}_A(B,M)\iso \Hom_{A-\mathrm{alg}.}(B,M_{\varepsilon})_{\mathrm{Id}}.
-$$
-On écrira aussi $\Hom_{A-\mathrm{alg}./B}(B,M_{\varepsilon})$ le terme de droite.
-Si $B/A$ est formellement étale, comme $M$ est de carré nul,
-il existe un \emph{unique} morphisme relevant l'identité $B\ra B$, nécessairement l'application
-$(\mathrm{Id},0):B\ra M_{\varepsilon}$. Finalement $\mathrm{D\acute{e}r}_A(B,M)=\{0\}$,
-CQFD.
-\end{proof}
-
-On appelle $M_{\varepsilon}$ la $B$-algèbre des nombres duaux sur $M$.
-
-
-
-
-Soit $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. Comme en \ref{graphe endomorphisme},
-considérons le noyau $I_{\Delta}$ du morphisme $B\otimes_A B\surj B$.
-Considérons le quotient $I_{\Delta}/I_{\Delta}^2=I\otimes_{B\otimes_A B}
-B$ ; c'est un $B$-module.
-\begin{dfn2}
-On note $\Omega^1_{B/A}$ le $B$-module $I/I^2$ ; c'est le module
-des différentielles de $B/A$.
-On note $d_{B/A}$ le morphisme $A$-linéaire :
-$$
-x\mapsto 1\otimes x - x\otimes 1\in \Omega^1_{B/A}.
-$$
-Il vérifie : $d_{B/A}(xy)=xd_{B/A}(y)+yd_{B/A}(x)$, pour tout $x,y\in B$.
-\end{dfn2}
-
-Comme annoncé en \ref{dérivations-1}, on a :
-
-\begin{prp2}
-Soit $d:B\ra M$ une $A$-dérivation. Il existe une unique application
-$B$-linéaire $f:\Omega^1_{B/A}\ra M$ telle que $d=f\circ d_{B/A}$.
-\end{prp2}
-
-\begin{proof}
-Vérifions l'existence. Soient $M$ un $B$-module et $d:B\ra M$ une $A$-dérivation.
-Considérons l'application
-$$
-\begin{array}{l}
-\pi:B\otimes_A B \ra M_{\varepsilon}\\
-\left\{\begin{array}{l}
-b\otimes 1 \mapsto b \\
-1\otimes b \mapsto f_d(b)
-\end{array}\right.\\
-\end{array}\
-$$
-Comme $\pi(1\otimes b - b\otimes 1)=f_d(b)-b\in M$, on voit que $\pi(I_{\Delta})\subset M$ :
-cela résulte du fait que $I_{\Delta}$ est engendré comme $B$-module (via $p_1$)
-par les éléments $1\otimes b - b\otimes 1$ (cf. par ex. \ref{points fixes 1}).
-Comme $M$ est de carré nul, $\pi$ se factorise en
-$$\widetilde{\pi}:B\otimes_A B / I_{\Delta}^2\ra M_{\varepsilon}.$$
-Le sous-$B$-module $\Omega^1_{B/A}=I_{\Delta}/ I_{\Delta}^2$ de $B\otimes_A B / I_{\Delta}^2$
-s'envoie donc par $\widetilde{pi}$ dans $M$ ; c'est la factorisation souhaitée
-$u:\Omega^1_{B/A}\ra M$.
-On vérifie sans difficulté que $u\circ d_{B/A}=d$. En effet,
-$u(1\otimes b - b \otimes 1 \mod I_{\Delta}^2)=f_d(b)-b=d(b)$.
-
-L'unicité résulte de ce que $\Omega^1_{B/A}$ est engendré comme $B$-module
-par les $d_{B/A}(b)$, $b\in B$.
-\end{proof}
-
-\begin{prp2}
-Soit $B/A$ comme en \ref{différente} et supposons
-$B=A[X]/f$ pour un polynôme unitaire $f$.
-Alors,
-$$\mathrm{Ann}_B(\Omega^1_{B/A})=\mc{D}_{B/A}.$$
-\end{prp2}
-
-\begin{rmr2}
-Il n'est pas difficile de vérifier que pour tout $A$-algèbre $A'$,
-si l'on pose $B':=B\otimes_A A'$, on a $\Omega^1_{B/A}\otimes_B B'\iso \Omega^1_{B'/A'}$.
-Comme d'autre part, si $A$ est un anneau de valuation discrète complet
-et $B/A$ telle que l'extension résiduelle soit \emph{séparable},
-on peut montrer (\cite{CL@Serre}, chap.~\textsc{iii}) que $B/A$ est bien monogène.
-Il en résulte que la conclusion de la proposition précédente est
-valable dès que les extensions résiduelles sont séparables.
-(On utilise implicitement le fait que la différente se comporte également bien
-par localisation et complétion.)
-\end{rmr2}
-
-\begin{proof}
-Il est immédiat que si $B=A[X]/f=A[x]$, $\Omega^1_{B/A}$ est engendré par $dx$,
-d'annulateur $f'(x)$. Or, on va voir ci-dessous %(\ref{calcul différente})
-que dans ce cas, $\mc{D}_{L/K}=(f'(x))$.
-\end{proof}
-
-\subsection{Calcul}
-
-\begin{prp2}\label{calcul différente}
-Soit $L/K$ comme en \ref{différente}. Soit $x\in B$ tel que $L=K(x)$
-et notons $f:=\mathrm{Irr}_K(x)\in A[X]$.
-Alors, $\mc{D}_{L/K}$ divise l'idéal $(f'(x))$ et il y a égalité
-si et seulement si $B=A[x]$.
-\end{prp2}
-
-Notons $n=[L:K]$.
-Soit $C:=A[x]\subset B$. Génériquement, $C\ra B$ est un isomorphisme.
-\begin{sslmm2}
-Le $A$-module $C^\star$ est libre de base les $\frac{x^i}{f'(x)}$ pour
-$0\leq i \leq n-1$.
-\end{sslmm2}
-\begin{proof}[Démonstration du sous-lemme]
-Soient $x_1,\dots,x_n$ les racines distinctes de $f$.
-L'égalité formelle
-$$
-\frac{1}{f(X)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{f'(x_k)(X-x_k)}
-$$
-montre que
-$$\TR\big(\frac{x^i}{f'(x)}\big)=0$$
-pour $0\leq i \leq n-2$ et $1$ sinon. La conclusion résulte
-alors de la définition de $C^\star$.
-Il résulte du sous-lemme que la matrice $\TR\big(x^i\cdot \frac{x^j}{f'(x)})$
-est inversible : elle est nulle au-dessus de l'anti-diagonale et les coefficients
-anti-diagonaux valent $1$.\end{proof}
-
-Démontrons la proposition.
-Notons $\got{r}:=\{t\in C,\ tB\subset C\}$ ; c'est un idéal de $B$
-que l'on appelle le \emph{conducteur} de $B$ dans $C$.
-Pour démontrer la proposition, il nous suffit de prouver
-que
-$$\got{r}=f'(x)\mc{D}_{B/A}.$$
-Cela résulte de la chaîne d'équivalence suivante :
-$$
-\begin{array}{ll}
-t\in \got{r} \leftrightarrow & tB\subset C \leftrightarrow f'(x)^{-1}tB\subset C^\star
-\leftrightarrow \TR(f'(x)^{-1}tB)\subset A \\
-& \leftrightarrow f'(x)^{-1}t \in \mc{D}_{B/A}^{-1} \leftrightarrow t\in f'(x) \mc{D}_{B/A}^{-1}
-\end{array}
-$$
-%\begin{crl2}
-%Soient $p$ un nombre premier, $f\in \ZZ_p[X]$ un polynôme unitaire irréductible
-%et $L$ un corps de décomposition de $f$ sur $\QQ_p$.
-%Alors, $p$ est ramifié dans $L$ si et seulement si
-%$f \mod p$ et $f' \mod p$ ont une racine commune modulo $p$.
-%\end{crl2}
-%\begin{proof}
-%Soit $K$ un corps de rupture de $f$ ; $L$ est un composé sur $\QQ_p$ de tels corps.
-%\end{proof}
-
-
-
-\subsection{Application}
-
-\begin{thm2}
-Soit $n\geq 1$. Le polynôme $f_n(X)=X^n-X-1$ est irréductible sur $\QQ$
-et de groupe de Galois isomorphe à $\got{S}_n$.
-\end{thm2}
-
-Nous allons démontrer ce théorème en admettant le théorème \ref{Spec(Z) simplement connexe}
-(démontré en \ref{Spec(Z)}) et l'irréductibilité
-de $f_n$ (démontrée en \ref{Selmer})
-
-Soient $K_n$ un corps de décomposition de $f_n$ et $A_n$ son anneau
-des entiers. Supposons que le nombre premier
-$p$ soit ramifié dans $K_n$ ; d'après \ref{composé non ramifiées} il est alors
-ramifié dans le corps de rupture $\QQ[X]/f_n$ de $f_n$ puisque $K_n$
-est le composé de tels corps.
-Compte tenu de \ref{calcul différente} (voir aussi
-\ref{étale implique omega_1 nul}), $f_n$ et $f_n'$ ont une racine commune
-modulo $p$ ; il en est de même de $nf_n=nX^n-nX-n$ et $Xf_n'=nX^n-X$.
-Il en résulte que $p$ est premier à $n(n-1)$,
-que la racine est congrue à $\frac{n}{n-1}$ modulo $p$
-et enfin qu'elle est au plus double : $f_n''(\frac{n}{n-1})\neq 0$.
-Nous allons traduire ce dernier point en un énoncé groupique.
-
-
-Commençons par fixer les notations. Soit $\wp$ un idéal premier de
-$A_n$ au-dessus d'un nombre premier quelconque $p$. Notons $D(\wp)$
-le sous-groupe de $G_n:=\ga(K_n/\QQ)$ laissant stable $\wp$.
-On a un morphisme canonique de $D(\wp)$ vers
-le groupe de Galois de l'extension résiduelle $\ga(\kappa(\wp)/\FF_p)$.
-On a vu en \ref{spécialisation} que c'est une surjection
-car $\FF_p$ est parfait.
-
-Voici un critère, groupique, de non ramification :
-
-\begin{prp2}\label{net-groupique}
-Soient $K/\QQ$ une extension finie galoisienne, $\OO_K$ l'anneau des entiers
-de $K$ et $\wp$ un idéal maximal de $\OO_K$.
-Alors, $I(\wp)$ est trivial si et seulement si $\wp$ est non ramifié
-dans $K$.
-\end{prp2}
-\begin{proof}
-Soit $K_{\wp}$ le corps des fractions du complété de $\OO_K$ en $\wp$.
-Comme ce complété est une composante de l'algèbre $\OO_K\otimes_{\ZZ} \ZZ_p$
-(cf. \ref{décomposition algèbre artinienne}),
-$K_{\wp}$ est un des corps résiduel de la $\QQ_p$-algèbre étale
-$K\otimes_{\QQ} \QQ_p$, donc un composé de $K$ et $\QQ_p$ sur $\QQ$.
-En particulier (cf. \ref{fonctorialité}) c'est une extension
-finie galoisienne de $\QQ_p$.
-Tout élément de $\sigma\in D(\wp)$ laisse stable $\wp$, donc
-induit une application continue pour la topologie $\wp$-adique $\OO_K\ra \OO_K$
-qui, par complétion et passage au corps des fractions,
-induit un élément $\widehat{\sigma}\in \ga(K_{\wp}/\QQ_p)$.
-L'application ainsi définie
-$$D(\wp)\ra \ga(K_{\wp}/\QQ_p)$$ est injective ;
-c'est en fait un isomorphisme car l'image de $\ga(K_{\wp}/\QQ_p)$
-dans $\ga(K/\QQ)$ par le morphisme de restriction
-se factorise nécessairement à travers $D(\wp)$ (et est un inverse de l'application
-précédente) :
-$\ga(K_{\wp}/\QQ_p)$ stabilise son anneau de valuation, qui contient $\wp$.
-On a vu en \ref{n=ef} que l'extension $K_{\wp}/\QQ_p$ est de degré $ef$ où
-$f=\#\ga(\kappa(\wp)/\FF_p)$ est le degré de l'extension résiduelle
-et $e$ l'indice de ramification.
-Ainsi, la surjection $D(\wp)\surj \ga(\kappa(\wp)/\FF_p)$ est un isomorphisme
-si et seulement si $e=1$, \cad si l'extension est non ramifiée en $\wp$.
-\end{proof}
-
-Appliquons cette proposition dans notre cas particulier
-et précisons ce qu'il arrive dans le cas ramifié.
-Notons $X_n$ l'ensemble des racines de $f_n$ dans $K_n$.
-\begin{lmm2}
-Soit $\wp$ un idéal maximal de $A_n$. Le sous-groupe $I(\wp)\subset \got{S}_{X_n}$ est
-ou bien engendré par une transposition ou bien trivial.
-\end{lmm2}
-\begin{proof}
-Supposons $p=\wp\cap \ZZ$ non ramifié dans $K_n$. Dans ce cas,
-et seulement dans ce cas, $I(\wp)$ est trivial.
-
-Considérons maintenant le cas où $p$ est ramifié.
-Soit $\sur{X_n}$ l'ensemble des racines de $f_n$ dans $\kappa(\wp)$.
-Le morphisme de réduction modulo $\wp$ : $A_n\ra \kappa(\wp)$, induit
-une surjection $X_n\surj \sur{X_n}$. Par hypothèse, $f_n$ a une racine double modulo $p$ ;
-on a vu qu'elle est d'ordre exactement deux et unique. En particulier $\sur{X_n}$
-est d'ordre $n-1$. Notons $x_1,x_2$ les deux seuls éléments de $X_n$ ayant même image
-dans $\sur{X}_n$. Soit $\sigma$ un élément du groupe de décomposition
-$D(\wp)$ ; comme $\sur{\sigma(x_1)}=\sur{\sigma}(\sur{x_1}=\sur{x_2})=\sur{\sigma(x_2)}$,
-on a l'inclusion
-$$D(\wp)\subset \{\sigma \in G_n,\ \sigma\{x_1,x_2\}=\{x_1,x_2\}\}.$$
-Il en résulte immédiatement que le groupe d'inertie satisfait :
-$$
-I(\wp)\subset \mathrm{Ker}\big(\got{S}_{X_n}\cap \mathrm{Stab}_{\{x_1,x_2\}}\ra
-\got{S}_{\sur{X_n}}\big)=\langle (x_1 x_2 ) \rangle.
-$$
-La conclusion en résulte.
-\end{proof}
-
-
-\begin{prp2}
-Soit $K/\QQ$ comme en \ref{net-groupique}. Si $I$ est le sous-groupe de $\ga(K/\QQ)$ engendré
-par les groupes d'inertie $I(\wp)$, $\wp\in \SP\mathrm{max}.(\OO_K)$,
-l'extension $K^{I}/\QQ$ est non ramifiée.
-\end{prp2}
-Il résulte alors du théorème \ref{Spec(Z) simplement connexe} que $K^I=\QQ$,
-\cad que $I=\ga(K/\QQ)$.
-\begin{proof}
-Soit $I_p$ le sous-groupe engendré par les $I(\wp)$ où $p|\wp$.
-C'est un sous-groupe distingué de $\ga(K/\QQ)$. En effet,
-si $\sigma\in \ga(K/\QQ)$, $\sigma(\wp)$ est un idéal
-maximal de $\OO_K$ au-dessus de $p$ et l'on a évidemment
-$\sigma D(\wp) \sigma^{-1}=D(\sigma{\wp})$. L'égalité analogue pour
-les groupes d'inertie montre que $I_p\triangleleft \ga(K/\QQ)$.
-
-Comme $\displaystyle K^I=\cap_p K^{I_p}$, il suffit de vérifier que $K':=K^{I_p}$ est non
-ramifiée en $p$. Soit
-$$\xymatrix{
-K & \wp\\
-K'\ar@{-}[u] & \wp'=\wp\cap \OO_{K'} \\
-\QQ \ar@{-}[u] & p=\wp\cap \ZZ
-}
-$$
-une tour d'extensions galoisiennes (sans hypothèse supplémentaire sur $K'$)
-et des idéaux maximaux correspondants.
-On a une surjection $\ga(K/\QQ)\surj \ga(K'/\QQ)$.
-Le lecteur vérifiera sans difficulté (exercice ou \cite{CL@Serre}, chap. \textsc{i}, prop.~22)
-% À FAIRE !!
-qu'elle induit des surjections naturelles
-$D(\wp)\surj D(\wp')$ et $I(\wp)\surj I(\wp')$.
-Dans notre cas, comme $\ga(K'/\QQ)=\ga(K/\QQ)/I_p$, $I(\wp')$ est nul dans ce quotient.
-Enfin, on a vu plus haut qu'une extension est non ramifiée dès que ses groupes
-d'inerties sont triviaux.
-\end{proof}
-
-% COMPLÈTEMENT N'IMPORTE QUOI
-%\begin{rmr2}
-%En passant à la limite sur les extensions finies de $\QQ_p$ une surjection
-%$$D_p:=\ga(\sur{\QQ}_p/\QQ_p)\surj \ga(\FF/\FF_p)\iso \lim_n \ZZ/n\ZZ=: \widehat{\ZZ}.$$
-%On peut montrer qu'il existe un générateur $\tau$ du noyau $I_p$
-%et un élément $\sigma$ de $\ga(\sur{\QQ}_p/\QQ)$ s'envoyant sur $1\in \widehat{\ZZ}$
-%tels que $\langle \tau,\sigma \rangle =\ga(\sur{\QQ}_p/\QQ_p)$ et
-% $$\sigma^{-1}\tau \sigma = \tau^p.$$
-%Le groupe de Galois de $\sur{\QQ}_p/\QQ$ a donc une structure relativement simple.
-%En particulier il est pro-résoluble, \cad limite projective de groupes
-%finis résolubles.
-%\end{rmr2}
-
-Il résulte de ces lemmes que le groupe de Galois de $K_n/\QQ$ est engendré
-par des transpositions. Comme c'est un sous-groupe \emph{transitif} de $\got{S}_{X_n}$,
-le graphe associé à ces transpositions\footnote{Les sommets
-sont les éléments de $X_n$ et $xy$ est une arête si et seulement si
-$(xy)$ est une de ces transpositions.} est \emph{connexe}. Il
-en résulte que c'est $\got{S}_{X_n}$ tout entier. Ceci achève
-la démonstration de \ref{S_n-4} modulo le résultat des deux sections suivantes.
-
-
-\subsection{Constante de Minkowski}\label{Spec(Z)}
-
-\begin{thm2}[Minkowski]
-Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $\QQ$ partout
-non ramifiée. De façon équivalente, si $A$ est une $\ZZ$-algèbre finie étale
-connexe alors $\ZZ\iso A$.
-\end{thm2}
-
-La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude du
-groupe de Picard.
-
-Quand le corps de base est $\QQ$, on préfère souvent mesurer la ramification
-à l'aide d'un entier. Si $K/\QQ$ est finie et $x_1,\dots,x_n$ est une base
-de l'anneau des entiers $\OO_K$ sur $\ZZ$, on pose :
-$$
-\got{d}_{K/\QQ}:=|\mathrm{d\acute{e}t}(\TR_{K/\QQ}(x_ix_j))|.
-$$
-Cette quantité est indépendante du choix de la base et est appelé
-le \emph{discriminant} de l'extension. On a vu
-en \ref{net-discriminant} (démonstration) que $K/\QQ$ est non ramifiée
-en $p$ si et seulement si $p$ ne divise pas $\got{d}_{K/\QQ}$.
-Bien que nous n'utiliserons pas ce fait, signalons que
- $\got{d}_{K/\QQ}=\mathrm{N}(\mc{D}_{K/\QQ})$.
-
-Soient $n=[K:\QQ]$ et $\sigma_i$, $1\leq i \leq n$ les différents plongements
-de $K$ dans $\CC$. On a
-$$
-\mathrm{d\acute{e}t}(\sigma_i(x_j))^2=\got{d}_{K/\QQ}
-$$
-car
-$\big(\TR_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\big)$.
-
-
-\begin{lmm2}\label{covolume-discriminant}
-Soient $K/\QQ$ une extension finie.
-Alors
-$$
-\mathrm{covol}(\OO_K\hra K_{\RR})=2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}.
-$$
-\end{lmm2}
-\begin{proof}
-Soient $\sigma^{\RR}_1,\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}$ les plongements
-$K\hra \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC},
-\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K\hra \CC$.
-Le morphisme
-$\OO_K\ra K_{\RR}\isononcan \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}\iso \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$
-est de la forme
-$$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x),
-\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots,
-\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$
-Passer de la matrice ayant ces colonnes à
-$\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisions par $2$.
-La formule en résulte.
-\end{proof}
-
-\begin{thm2}
-On a l'inégalité :
-$$
-\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}}\frac{n^n}{n!},
-$$
-où $n=[K:\QQ]$.
-\end{thm2}
-
-\begin{proof}
-Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$.
-Soit
-$$
-A:=\{x\in K_{\RR}, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+2\big(|y_1|+\cdots+|y_{r_\CC}|\big)\leq n\}
-$$
-le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_\RR$.
-L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point
-de $A$ a une norme inférieure à $1$.
-Admettons que
-$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
-Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
-$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
- \geq 2^n \mathrm{covol}(\OO_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$
-il existe un élément non nul de $tA\cap \OO_K$, nécessairement
-de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
-L'inégalité en résulte immédiatement.
-
-Effectuons le calcul volumique. Posons
-$$
-f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
-2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
-\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
-$$
-où $n=r_{\RR}+2r_\CC$.
-En utilisant de façon répétée, pour $r_{\RR}>0$, l'égalité
-$$
-f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=2\int_0^t f_{r_{\RR-1},r_\CC}(u)\mathrm{d} u= 2\int_0^t u^{n-1}
-f_{r_{\RR-1},r_\CC}(1)\mathrm{d} u,
-$$
-on trouve :
-$$
-f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1).
-$$
-Soit
-$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
-\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
-\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
-de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$.
-Calculons $g$ :
-$$\begin{array}{ll}
-g_{r}(1)& =\int_0^1 g_{r-1}(1-u)2\pi u \mathrm{d}u\\
-& = 2\pi g_{r-1}(1)
-\underbrace{\int_0^1 (1-u)^{2r-2}u \mathrm{d}u}_{\frac{1}{2r-1}-\frac{1}{2r}}\\
-& = ... \\
-& = \frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}.
-\end{array}
-$$
-Finalement,
-$$f_{r_{\RR},r_\CC}(n)=n^n\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}(\frac{1}{2})^{2r_\CC}
-\frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}},$$
-comme annoncé.
-
-\end{proof}
-
-
-\subsection{Irréductibilité de $X^n-X-1$ sur $\QQ$}\label{Selmer}
-
-Nous allons reproduire l'ingénieuse démonstration du mathématicien norvégien
-Ernst Selmer. parue en \osn{1956}.
-
-Soit $n\geq 2$ un entier et $f_n=X^n-X-1\in \ZZ[X]$. Soient $x_1,\dots,x_n$
-les racines, non nulles, de $f$. Considérons :
-$$
-S(f_n):=\sum_1^n(x_i-x_i^{-1}),
-$$
-et de même pour tout diviseur potentiel non trivial $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
-Il est immédiat que si $f_n=g_1 g_2$, on
-a $S(f_n)=S(g_1)+S(g_2)$. Comme $S(f_n)$ est symétrique en les
-racines, et que $f_n$ est unitaire, on a $(x_1\dots x_n)S(f_n)\in \ZZ$ ; comme le
-produit des racines est ici une unité, on a donc $S(f_n)\in \ZZ$ ;
-il en est ansi de tout diviseur $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
-En fait, $S(f_n)=1$ : pour $n\geq 3$, $\sum x_i=\sigma_1=0$ tandis
-que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$.
-
-Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$,
-si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$,
-on a
-$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
-Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$,
-en sommant le carré des deux égalités on trouve :
-$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$
-En particulier $r\neq 1$ car sinon $\cos(\varphi)=-\frac{1}{2}$ et
-les racines primitives cubiques de l'unité seraient des racines de $f_n$, ce
-qui n'est pas le cas.
-Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$,
-$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$,
-on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus,
-$$
-\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
-$$
-Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
-et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
-$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc,
-la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
-Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$,
-on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit
-l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$.
-CQFD.
diff --git a/correspondance_de_Galois.tex b/correspondance_de_Galois.tex
index bb05245..e186717 100644
--- a/correspondance_de_Galois.tex
+++ b/correspondance_de_Galois.tex
@@ -1569,7 +1569,6 @@ K' & K'\\};
\draw[->>] (diag-2-2) -- (diag-3-2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
-(flèche en pointillés \XXX)
Par hypothèse, l'isomorphisme $σ$ est $k'⋂K$-linéaire ;
il induit donc un isomorphisme $σ':K⊗_{k'⋂K} k'→K⊗_{k'⋂K} k'$.
D'après le lemme ci-dessous, l'application canonique
@@ -1578,20 +1577,19 @@ $K⊗_{k'⋂K} k'→ K'$ (donnée par $u$ et $v$) est un isomorphisme. CQFD.
\end{démo}
\begin{lemme2}
-Soient $Ω\bo k$ une extension et $K₁,K₂$ deux sous-$k$-extensions.
-On suppose $K₁\bo k$ galoisienne et $K₁⋂K₂=k$.
-Alors, le produit tensoriel $K₁⊗_k K₂$ est un corps.
+Soient $Ω\bo k$ une extension de corps et $K₁,K₂$ deux sous-$k$-extensions.
+Si $K₁\bo k$ et galoisienne et $K₁⋂K₂=k$,
+le produit tensoriel $K₁⊗_k K₂$ est un corps.
\end{lemme2}
\begin{démo}
-Réduction au cas où l'extension $K₁\bo k$ est finie. Cela résulte
-de l'égalité $K₁⊗_k K₂=⋃ K₁'⊗_k K₂$ où $K₁'$ parcourt les sous-$k$-extensions finies
+L'égalité $K₁⊗_k K₂=⋃ K₁'⊗_k K₂$, où $K₁'$ parcourt les sous-$k$-extensions finies
galoisiennes de $K₁$ et $K₁'⊗_k K₂$ est identifié à son image par le morphisme
-injectif $K₁'⊗_k K₂↪K₁⊗_k K₂$ déduit de $K₁'↪K₁$.
+injectif $K₁'⊗_k K₂↪K₁⊗_k K₂$ déduit de $K₁'↪K₁$, nous permet de supposer
+l'extension $K₁\bo k$ \emph{finie} galoisienne.
-L'extension $K₁\bo k$ étant maintenant supposée finie galoisienne,
-elle est monogène : $K₁≃k[X]/f$ où $f$ est unitaire, irréductible sur $k$.
-Le polynôme $f$ est scindé sur $K₁$ car $K₁\bo k$ est normale.
+Sous cette hypothèse, elle est monogène : $K₁≃k[X]/f$ où $f$ est unitaire,
+irréductible sur $k$, et scindé sur $K₁$ car $K₁\bo k$ est normale.
On souhaite montrer que sous l'hypothèse $K₁⋂K₂=k$,
le produit tensoriel $K₁⊗_k K₂≃K₂[X]/f$ est un corps.
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-4 0 0 50 -1 0 12 0.0000 6 165 315 5085 3780 $4$\001
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-4 0 0 50 -1 0 12 0.0000 6 180 855 4230 4190 $(13542)$\001
-4 0 0 50 -1 0 12 0.0000 6 180 855 3155 4185 $(12345)$\001
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-\documentclass[9pt]{smfart-moi}
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{color}
-\input{commun}
-\input{smf}
-\input{adresse}
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-\input{formules}
-\input{taille}
-
-\title{Résolubilité par radicaux, calculs explicites en petits degrés et cyclotomie}
-\setcounter{tocdepth}{3}
-%\setcounter{secnumdepth}{2}
-%\newtheorem*{propsansnum}{Proposition}
-
-\begin{document}
-\maketitle
-
-
-\section{Cyclotomie}
-
-\subsection{Nombre de solutions de l'équation $∑_i a_i X_i^{n_i}=0$ dans un
-corps fini et sommes de Gauß-Jacobi}
-
-\subsubsection{Brefs rappels sur la dualité dans les groupes abéliens finis}
-
-Soit $G$ un groupe. Un morphisme $χ∈\Hom(G,\mathbf{U})$,
-où $\mathbf{U}=\{z∈ℂ, |z|=1\}≅ℝ/ℤ$, est appelé un \emph{caractère} du groupe $G$ ;
-on note $\chap{G}$ leur ensemble, qui est naturellement un groupe \emph{abélien} : $(χχ')(g)=χ(g)χ'(g)$.
-C'est le \emph{dual} de $G$.
-
-\begin{remarque3}
-Le lecteur trouvera dans la littérature des variantes : on
-aurait pu considérer $\Hom(G,ℂ^×)$ (on parle alors parfois de
-\emph{quasi-caractères} ou caractères généralisés), $\Hom(G,E^×)$ (où $E$ est un corps contenant
-les racines $\# G$-ème de l'unité, ou bien encore l'ensemble $\Hom(G,ℚ/ℤ)$.
-Enfin, si $G$ est un groupe
-topologique localement compact, %donc séparé
-on pourrait considérer plutôt l'ensemble des caractères \emph{continus}. Muni de la topologie dite \emph{compacte ouverte}
-c'est à nouveau un groupe topologique localement compact (dualité
-de Pontryagin). Dans le cas des groupes finis, ces notions sont toutes équivalentes.
-Par commodité nous préférons voir nos caractères comme à valeurs dans le cercle
-unité complexe.
-\end{remarque3}
-
-Par composition des fonctions, tout morphisme $H→G$ de groupes
-induit un morphisme de groupes abéliens $\chap{G}→\chap{H}$.
-
-\begin{lemme3}\label{lemme:Q_sur_Z_est_injectif}
-Soit $K→G$ une \emph{injection} de groupes abéliens finis.
-Le morphisme dual $\chap{G}→\chap{K}$ est une \emph{surjection}.
-\end{lemme3}
-
-On note $K^{\perp}$ son noyau ; en symboles, $K^{\perp}=\{χ∈\chap{G}, χ(K)=\{1\}\}$.
-Le morphisme $K^\perp→\chap{G/K}$ est une bijection :
-tout caractère de $G$ trivial sur $K$ induit un caractère de $G/K$ et
-réciproquement.
-
-\begin{démo}[Démonstration du lemme]
-Soit $χ:K→\mathbf{U}$ un caractère de $K$ ; il faut montrer qu'il s'étend
-à $G$, \cad qu'il existe un caractère $χ':G→\mathbf{U}$ dont la restriction
-à $K$ soit $χ$. Supposons $K≠G$ sans quoi le résultat est trivial et
-considérons $x∈G-K$. Soient $r$ le plus petit entier non nul tel que
-$x^r∈K$ et $z$ une racine $r$-ème de $χ(x^r)$ dans $ℂ$. On
-a donc $χ(x^{rα})=z^{rα}$ pour tout $α∈ℕ$.
-Il en résulte immédiatement que l'application $χ':⟨K,x⟩→\mathbf{U}$, $kx^i\mapsto χ(k)z^i$
-est bien définie ; c'est un caractère du groupe $⟨K,x⟩$.
-De proche en proche, on peut donc étendre le caractère initial à $G$ tout entier.
-(De façon précise : procéder par récurrence sur l'indice $(G:K)$.)
-\end{démo}
-
-L'énoncé dual est trivial : si $G→H$ est une \emph{surjection},
-le morphisme induit $\chap{H}→\chap{G}$ est une injection. (Cet
-énoncé, de nature ensembliste, est vrai sans hypothèse sur $G$ ou $H$.)
-
-Il en résulte que pour toute suite \emph{exacte} de groupes abéliens finis $1→K→G→H→1$,
-la suite $1→\chap{H}→\chap{G}→\chap{K}→1$ est également exacte. En effet,
-$K^\perp:=\mathrm{Ker}(\chap{G}→\chap{K})$ est naturellement
-en bijection avec $\chap{G/K}$.
-
-\begin{lemme3}
-Soit $G$ un groupe fini abélien. Le morphisme d'évaluation
-$G→\chap{\chap{G}}$, $g\mapsto \big(\mathrm{\acute{e}v}_g:χ\mapsto χ(g)\big)$ est un isomorphisme.
-\end{lemme3}
-
-\begin{démo}
-On procède à nouveau par récurrence sur $\# G$, en remarquant
-que l'énoncé est trivial pour un groupe cyclique (exercice).
-Dans le cas général, on considère comme précédemment le diagramme
-de suites exactes :
-$$
-\xymatrix{
-1 \ar[d] \ar[r] & K \ar[d] \ar[r] & G \ar[d] \ar[r] & H \ar[d] \ar[r] & 1 \ar[d] \\
-1 \ar[r] & \chap{\chap{K}} \ar[r] & \chap{\chap{G}} \ar[r] & \chap{\chap{H}} \ar[r] & 1
-}
-$$
-Par hypothèse de récurrence, $K→\chap{\chap{K}}$ et $H→\chap{\chap{H}}$ sont
-des isomorphismes ; il en est donc de même de $G→\chap{\chap{G}}$
-(chasse au diagramme).
-\end{démo}
-
-\begin{proposition3}
-Tout groupe abélien fini est isomorphe à un produit
-de groupes cycliques.
-\end{proposition3}
-
-\begin{démo}
-Soit $ω=∏ p_i^{r_i}$ le p.g.c.d des ordres d'éléments de $G$.
-Pour tout $i$, il existe un élément $g_i$ d'ordre un multiple de $p_i^{r_i}$ ;
-quitte à l'élever à une puissance convenable, on peut le supposer d'ordre
-exactement $p_i^{r_i}$. Le produit $g=∏g_i$ est alors d'ordre exactement $ω$.
-Soient $ζ_ω$ une racine primitive $ω$-ème de l'unité dans $ℂ$ et $χ:⟨g⟩→\mathbf{U}$
-le caractère défini par $χ(g)=ζ_ω$. Il s'étend en un caractère $χ'$ de $G$.
-Son noyau $\Ker(χ')$ est d'indice $ω$ (le cardinal de son image) et $\Ker(χ')⋂⟨g⟩=\{e\}$
-de sorte que $G≅⟨g⟩×\Ker(χ')$. On peut donc démontrer la proposition par
-récurrence sur l'ordre du groupe.
-\end{démo}
-
-\begin{corollaire3}
-Si $G$ un groupe abélien fini il existe un isomorphisme
-entre $G$ et $\chap{G}$.
-\end{corollaire3}
-
-\begin{démo}
-Le résultat étant évident pour un groupe cyclique, il suffit de vérifier
-que le dual d'un produit $K×K'$ est isomorphe au produit $\chap{K}×\chap{K'}$
-des duaux. C'est immédiat. (Pour les groupes abéliens, le produit cartésien est
-la somme directe (comme $ℤ$-module).)
-\end{démo}
-
-\begin{lemme3}\label{lemme:orthogonalite_caracteres}
-Soient $G$ un groupe abélien fini et $g∈G$.
-Alors, $∑_{χ∈\chap{G}} χ(g)$ est égal à $0$ si $g≠e$ et $|G|$ sinon.
-\end{lemme3}
-
-\begin{démo}
-Le résultat est trivial si $g=e$. Supposons
-$g≠e$. Puisque le morphisme $G→\chap{\chap{G}}$ est un
-isomorphisme, il est donc injectif : $\mathrm{\acute{e}v}_g≠e$.
-En d'autres termes, il existe un caractère $χ'∈\chap{G}$
-tel que $χ'(g)≠1$. Soit $S=∑_χ χ(g)$. On a $χ'(g)S=∑_χ (χ'χ)(g)=S$.
-Puisque $χ'(g)≠1$, on a bien $S=0$.
-\end{démo}
-
-\begin{corollaire3}
-Soit $G$ un groupe abélien fini et $χ∈\chap{G}$.
-Alors, $∑_{g∈G} χ(g)$ est égal à $0$ si $χ=1$
-et $|G|$ sinon.
-\end{corollaire3}
-
-\begin{démo}
-Cela résulte de l'égalité $∑_g χ(g)=∑_g \mathrm{\acute{e}v}_g(χ)$,
-du lemme précédent, et du fait que tout caractère de $\chap{G}$ est
-de la forme $\mathrm{\acute{e}v}_g$ pour un unique $g∈G$.
-\end{démo}
-
-\subsubsection{Équation $X^n=g$ dans un groupe abélien fini}
-
-Pour tout groupe abélien $G$ (en notation multiplicative) et
-tout entier $n$, notons $G[n]:=\{g∈G, g^n=1\}$ et $nG=\{g^n, g∈G\}$.
-La surjection $G→G/nG$ induit une \emph{injection}
-$\chap{G/nG}↪\chap{G}[n]$ : un caractère composé $G→G/nG→\mathbf{U}$
-est tué par $n$. Le premier groupe a pour cardinal $(G:nG)$ ; celui de droite
-$(\chap{G}:n\chap{G})$. D'après la proposition ci-dessus, $G≅\chap{G}$,
-de sorte que $(\chap{G}:n\chap{G})=(G:nG)$ et, finalement,
-$$
-\chap{G/nG}\iso \chap{G}[n].
-$$
-
-Soit $g∈G$ et notons $\sur{g}$ son image dans $G/nG$.
-Cette image est nulle \ssi pour tout $\sur{χ}∈\chap{G/nG}$, $\sur{χ}(\sur{g})=1$.
-Soit $χ$ l'image de $\sur{χ}$ par l'isomorphisme précédent ; on
-a par définition $χ(g)=\sur{χ}(\sur{g})$.
-
-\begin{corollaire3}
-Soient $G$ un groupe abélien fini, $g∈G$ et $n$ un entier.
-Les conditions suivantes sont équivalentes.
-\begin{enumerate}
-\item $g∈nG$ ;
-\item $\chap{G}[n](g)=\{1\}$.
-\end{enumerate}
-\end{corollaire3}
-
-\begin{corollaire3}
-Soient $G$ un groupe abélien fini, $g∈G$ et $n$ un entier. Alors,
-$$
-N(X^n=g)=∑_{χ∈\chap{G}[n]} χ(g),
-$$
-où $N(X^n=g)$ désigne le nombre de solution de l'équation $X^n=g$ dans $G$.
-\end{corollaire3}
-
-\begin{démo}
-Le terme de gauche est égal à $0$ si $g∉nG$ ;
-il est égal à $\#G[n]$ dans le cas contraire car deux solutions
-diffèrent d'un élément de $G[n]$.
-Notons $\sur{g}$ l'image de $g$ dans $G/nG$.
-Le terme de droite se réécrit
-$$
-∑_{\sur{χ}∈\chap{G/nG}} \sur{χ}(\sur{g}).
-$$
-D'après \ref{lemme:orthogonalite_caracteres}, cette somme vaut $0$ si $\sur{g}≠e$
-(\cad $g∉nG$) et $\#\chap{G/nG}$ sinon. Puisque $\chap{G/nG}≅\chap{G}[n]≅G[n]$,
-l'égalité avec le terme de gauche en résulte.
-\end{démo}
-
-\subsubsection{Une expression du nombre de solutions d'une équation $∑_i a_i X_i^{n_i}=b$
-dans un corps fini}
-
-\paragraph{Notations}Dans tout ce paragraphe, $F$ désigne un corps \emph{fini}.
-Rappelons que le groupe multiplicatif $F^×$ est \emph{cyclique} (\ref{}).
-%Si $n$ est un entier, la condition $n|d$
-%du paragraphe précédent est équivalente à l'égalité $\#μ_n(F)=n$ ou encore à l'inclusion
-%$μ_n(\sur{F})⊂F$.
-Fixons un entier $d≥0$, des coefficients $c₀,\dots,c_d,b∈F^×$ et des exposants
-$n=(n₀,\dots,n_d)$ tous nons nuls. On s'intéresse au nombre $N=N(c₀X₀^{n₀}+\cdots+c_d X_d^{n_d}=b)$
-de solution de cette équation dans $F$. On note $A$ la $F$-algèbre $F^{d+1}$.
-Soit $L$ la forme linéaire sur $A$ définie par $L(a)=∑_i c_i a_i$, où
-$a=(a₀,\dots,a_d)∈F^{d+1}$.
-\paragraph{}L'égalité suivante est tautologique :
-$$N=∑_{a∈A\atop L(a)=b} N(X₀^{n₀}=a₀)\cdots N(X_d^{n_d}=a_d).$$
-D'après les résultats des paragraphes précédents, chaque
-entier $N(X_i^{n_i}=a_i)$ est égal à la somme
-$∑_{χ∈\chap{F^×}[n_i]} χ(a_i)$.
-
-\begin{quote}
-\emph{A priori}, cette formule n'a
-de sens que pour $a_i≠0$, elle reste pourtant vrai si l'on décrète que $χ(0)$
-est nul si $χ≠1$ et égal à un sinon.
-\end{quote}
-
-Ainsi, en développant l'expression $\big(∑_{χ₀^{n₀}=1} χ(a₀)\big)\cdots
-\big(∑_{χ_d^{n_d}=1} χ(a_d)\big)$ et en sommant sur les $a∈A$ tels que $L(a)=b$,
-on trouve :
-$$
-(\star)\ N=(\# F)^d+∑_{χ=(χ₀,\dots,χ_d)≠1} \big(∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)\big),
-$$
-où la première somme porte sur les caractères comme ci-dessus, supposés
-non tous triviaux. En effet, la contribution de $χ₀=\cdots=χ_d=1$
-est égale au cardinal de l'hyperplan affine $L^{-1}(b)$.
-
-Par commodité, on notera par la suite $χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)=:χ(a)$.
-
-\begin{lemme3}
-Si certains des $χ_i$ sont triviaux, mais pas tous, la somme
-$$∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)$$ est \emph{nulle}.
-\end{lemme3}
-
-\begin{démo}
-Soit $χ=(χ₀,\dots,χ_d)$ comme dans l'énoncé et considérons
-l'algèbre quotient $A↠A'$ de $A$ correspondant aux facteurs non triviaux.
-Tautologiquement, $χ(a)=χ'(a')$ où $a'$ est l'image de $a$ dans $A'$ et $χ'$
-est la famille de caractères (tous) non triviaux correspondante.
-La somme à évaluer est donc égale à $∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ'(a')$.
-Elle est égale à $∑_{a'∈A'} \big(χ'(a')\cdot \#\{a∈A,a\mapsto a', L(a)=b\}\big)$.
-Puisque pour tout $a'$, $\{a∈A,a\mapsto a', L(a)=b\}$ est un espace
-affine non vide (car $A'≠A$) de dimension donc de cardinal indépendants de $a'$,
-il suffit de montrer que $∑_{a'∈A'} χ'(a')=0$.
-Puisque les constituants de $χ'$ sont tous non triviaux, elle
-est égale à $∑_{a'∈{A'}^×} χ'(a')$. D'après le lemme \ref{},
-cette somme est nulle.
-\end{démo}
-
-\paragraph{Nouveaux caractères}Soit $A↠A'$ comme dans la démonstration. En passant aux unités,
-on obtient un morphisme induit $A^×↠{A'}^×$ d'où une injection
-$\chap{{A'}^×}↪\chap{A^×}$. La proposition précédente affirme
-que la contribution d'un caractère de l'image est nulle.
-En d'autres termes, seuls contribuent les caractères qui ne sont pas induits
-par une sous-algèbre quotient \emph{stricte}.
-(On a vu en \ref{algebre_diagonalisable} que tous ces quotients sont du type
-envisagé dans la démonstration.)
-
-On note $\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}$ l'\emph{ensemble} de ces caractères (par oppositions
-aux \emph{anciens}, provenant d'une plus petite algèbre).
-Généralisant quelque peu la notation habituelle,
-on pose $\chap{A^×}[n]:=\{χ=(χ₀,\dots,χ_d)∈\chap{A^×}, χ_i^{n_i}=1\}$.
-(Si $n₀=\dots=n_d$, on retombe sur la définition précédente.)
-Enfin, si $E⊂\chap{A^×}$, on note $E[n]$ (resp. $E^{\mathrm{nouv}}$ resp.
-$E^{\mathrm{nouv}}[n]$) son intersection avec le sous-ensemble correspondant
-de $\chap{A^×}$.
-Remarquons que si $d+1=\dim_F(A)>1$, tout nouveau caractère de $A^×$ est non
-trivial.
-
-\paragraph{Réécriture de l'égalité ($\star$)}
-Si l'on pose $a'=ca$ (\cad $a'_i=c_i a_i$ pour $0≤i≤d$), on a bien sûr
-$χ(a)=χ(c)^{-1}χ(a')$, ce qui complique un peu les choses,
-mais la condition $L(a)=b$ s'écrit $∑_i a'_i=b$, \cad $\Tr_{A/F}(a')=b$.
-
-Utilisant cette remarque et le lemme précédent, on peut donc
-écrire :
-
-$$
-N=(\# F)^d+∑_{χ∈\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}[n]\atop χ≠1} χ^{-1}(c)\big( ∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=b}
-χ(a)\big).
-$$
-
-Rappelons que le terme $(\# F)^d$ correspond au caractère $χ=1$.
-
-Notons $χ_{|F^×}$ la restriction d'un caractère $χ$ de $A^×$ au sous-groupe $F^×$
-plongé diagonalement, de sorte que $χ_{|F^×}(x)=∏_i χ_i(x)$.
-En écrivant $a_i=a₀a'_i$ ($0<i≤d$), on trouve immédiatement,
-pour tout caractère $χ$ de $A^×$ :
-$$
-∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=b} χ(a)=∑_{x∈F^×} \Big(χ_{|F^×}(x) \big(∑_{a'∈{A'}^×\atop
-\Tr(a')=\frac{b}{x}-1} χ'(a')\big)\Big),
-$$
-où $χ'=(χ₁,\dots,χ_d)$.
-
-Supposons $b=0$. La somme sur $a'$ ne dépend pas de $x$ et
-$∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=0} χ(a)$ est un multiple de $∑_{x∈F^×} χ_{|F^×}(x)$,
-nul si $χ_{|F^×}$ est non trivial. On peut donc se restreindre pour le calcul de $N$
-aux caractères de $A^×$ \emph{diagonalement triviaux}, \cad
-aux caractères de $A^×/F^×$.
-
-La condition $\Tr(a)=0$ ($a∈A^×$) étant invariante par multiplication
-par un scalaire $λ∈F^×$, il est licite de considérer la condition
-$\Tr(x)=0$ dans $A^×/F^×$.
-
-Nous avons établi la proposition suivante.
-
-\begin{proposition3}
-Soient $F$ un corps fini de cardinal $q$, $d≥0$ un entier, $c₀,\dots,c_d∈F^×$, et $n₀,\dots,n_d≥1$.
-Alors,
-$$
-N(∑_i c_i X_i^{n_i}=0)=q^d+(q-1)∑_{x∈A^×/F^×,\Tr(a)=0 \atop
-χ∈\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n], χ≠1} χ(c)χ^{-1}(x).
-$$
-\end{proposition3}
-
-Le facteur $(q-1)$ provient du fait que chaque $x∈A^×/F^×$,
-a exactement $(q-1)$ antécédents dans $A^×$.
-
-
-\subsubsection{Sommes de Jacobi, sommes de Gauß ; estimation du nombre de
-solutions}
-
-Dans tout ce paragraphe, $F$ désigne un corps fini, de cardinal $q$.
-
-\begin{définition3}\label{definition:somme_Jacobi}
-Soit $A$ une $F$-algèbre \emph{étale} de rang $d+1$.
-Pour tout caractère non trivial $χ∈\chap{A^×/F^×}$, on pose
-$$
-J(χ)=(-1)^{d-1}∑_{x∈A^×/F^×\atop \Tr(x)=0} χ^{-1}(x).
-$$
-\end{définition3}
-
-Une telle somme est appelée \emph{somme de Jacobi}.
-
-Le cas qui nous intéresse particulièrement ici est le cas où $A=F^{d+1}$.
-À $χ$ correspondent $d+1$ caractères $(χ₀,\dots,χ_d)$ de $F^×$, non tous triviaux,
-de produit trivial. Dans ce cas,
-$$
-J(χ)=(-1)^{d-1}∑_{x₁,\dots,x_d∈F^×\atop ∑_i x_i=-1} χ₁^{-1}(x₁)\cdots
-χ_d^{-1}(x_d).
-$$
-
-Dans ce language, la proposition précédente (où l'on suppose $b=0$) se
-reformule :
-$$
-N=q^d+(-1)^{d-1}(q-1)∑_χ χ(c)J(χ),
-$$
-où $χ$ parcourt le sous-ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n]$.
-
-\paragraph{Le cas $b$ quelconque}\label{formule_b_quelconque}
-Comme pour $x∈F^×$, on a $x^{q-1}=1$, il vient :
-$$
-N(c₀X₀^{n₀}+\cdots+c_{d}X_d^{n_d}-bX_{d+1}^{q-1}=0)=
-(q-1)N(c₀X₀^{n₀}+\cdots+c_{d}X_d^{n_d}=b)+N(c₀X₀^{n₀}+\cdots+c_{d}X_d^{n_d}=0).
-$$
-
-D'où (pour $b$ non nul)
-$$
-N=q^d+(-1)^d\big(∑_{χ'} χ'(c,-b)J(χ')-∑_χ χ(c)J(χ)\big),
-$$
-où la première somme se fait relativement à l'algèbre $A'=A×F$,
-$χ'$ parcourt l'ensemble $\chap{{A'}^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[(n,q-1)]$
-et $χ$ parcourt l'ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n]$.
-
-(Remarquer que $q^{d+1}-q^d=(q-1)q^d$.)
-
-\begin{lemme3}
-Soit $ζ_p$ une racine primitive $p$-ème de l'unité.
-Pour tout caractère \emph{additif} $ψ$ de $F$, il existe
-un unique $a∈F$ tel que $ψ(x)=ζ_p^{\Tr_{F/\FF_p}(ax)}$.
-\end{lemme3}
-
-\begin{démo}
-On se ramène immédiatement à montrer que toute forme linéaire $f:F→\FF_p$ est
-de la forme $x\mapsto \mathrm{Tr}_{F/\FF_p}(ax)$. Cela résulte du fait que
-la trace est non-dégénérée (l'extension $F/\FF_p$ est étale ; cf. \ref{}).
-% si $\mathrm{Tr}_{F/\FF_p}(ax)=0$ pour tout $x∈F$, alors, $a=0$.
-%Ce dernier point résulte à son tour du fait que la trace est surjective
-%et, de façon équivalente, non nulle : le polynôme $X+X^p+\cdots+X^{p^{r-1}}$,
-%qui a au plus $p^{r-1}$ racines dans $F$ (supposé de degré $r$ sur $\FF_p$),
-%ne peut donc s'annuler identiquement sur $F$. (C'est vrai plus généralement pour
-%toute extension finie séparable de corps.)
-\end{démo}
-
-
-\begin{définition3}\label{definition:somme_Gauss}
-Soit $A$ une $F$-algèbre étale de rang $d$, $ψ$ un caractère
-(\emph{additif}) non trivial de $F$ et $χ$ un caractère de $A^×$.
-On pose
-$$
-g(χ,ψ)=(-1)^{d}∑_{a∈A^×} ψ\big(\Tr_{A/F}(a)\big)χ^{-1}(a).
-$$
-\end{définition3}
-
-Une telle somme est appelée \emph{somme de Gauß}. Elles semblent
-avoir été introduites par Cauchy.
-Par la suite, nous noterons $ψ_A$ le caractère (additif) $ψ\circ \Tr_{A/F}$.
-
-Remarquons que $g(χ,ψ)∈ℚ(ζ_p,ζ_{q-1})$.
-
-\paragraph{}\label{factorisation_somme_Gauss}Si $A$ est un produit de corps $K_i$, de degré $d_i$ sur $F$, on montre immédiatement l'égalité
-$$
-g(χ,ψ)=ε(A)∏_i g(χ_i,ψ_{K_i}),
-$$
-où $ε(A)=(-1)^{∑_i (d_i+1)}$.
-
-Le lien entre sommes de Jacobi et sommes de Gauß est donné par la formule
-suivante, qui nous permettra bientôt de calculer le module
-des sommes de Jacobi. Rappelons que si $A$ est une $F$-algèbre, tout caractère
-de $A^×/F^×$ peut-être vu comme un caractère de $A^×$.
-
-\begin{proposition3}\label{proposition:Gauss-Jacobi}
-Soient $A$ une $F$-algèbre étale
-Pour tout un caractère non trivial $χ$ de $A^×/F^×$,
-et tout caractère (additif) non trivial $ψ$ de $F$,
-on a l'égalité suivante :
-$$
-qJ(χ)=g(χ,ψ).
-$$
-\end{proposition3}
-
-\begin{démo}
-On a :
-$$
-g(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}∑_{x∈A^×/F^×} \big(χ^{-1}(x)∑_{a\mapsto x} ψ_A(a)\big),
-$$
-où $a$ parcourt l'ensemble des relèvements de $x$ à $A^×$.
-Si $\Tr(x)=0$, $∑_{a\mapsto x} ψ_A(a)=(q-1)$ ; dans le
-cas contraire, elle vaut $∑_{t∈F^×} ψ(t)=-1$ (car $∑_{t∈F} ψ(t)=0$).
-Ainsi,
-$$
-g(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}\big(q ∑_{x∈A^×/F^×\atop \Tr(x)=0} χ^{-1}(x) -
-\underbrace{∑_{x∈A^×/F^×} χ^{-1}(x)}_{0}\big).
-$$
-\end{démo}
-
-\begin{proposition3}
-Soient $A$ une $F$-algèbre étale, $ψ$ un caractère (additif) non trivial
-de $F$ et $χ∈\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}$ non trivial.
-Alors,
-$$
-|g(χ,ψ)|=\sqrt{\# A}.
-$$
-\end{proposition3}
-
-\begin{démo}
-En faisant le changement de variable $y=xz$ dans la
-formule
-$$
-|g(χ,ψ)|²=g(χ,ψ)\sur{g(χ,ψ)}=∑_{x,y∈{A'}^×}χ(\frac{y}{x})ψ\big(\mathrm{Tr}_{A'/F}(x-y)\big),
-$$
-on trouve immédiatement
-$$
-|g(χ,ψ)|^2=∑_{x,z∈{A'}^×} χ(z)ψ(x(1-z))=∑_z χ(z)\Big(∑_x ψ\big(x(1-z)\big)\Big).
-$$
-Si $z=1$, la somme $∑_x ψ\big(x(1-z)\big)=∑_x 1$ vaut $\# {A'}^×$.
-Si $A'$ est un \emph{corps} et $z≠1$, elle vaut $∑_{y∈{A'}^×}
-ψ(y)=\big(∑_{y∈A'}ψ(y)\big)-1=-1$. Finalement, si $A'$ est un corps,
-$$
-|g|²=\# {A'}^× - ∑_{z≠1\atop z∈{A'}^×} χ(z)=\# {A'}^×+1=\# A'.
-$$
-Le cas général se ramène à ce cas particulier grâce à la formule
-\ref{factorisation_somme_Gauss}.
-\end{démo}
-
-\begin{corollaire3}
-$$
-|N(a₀X₀^{n₀}+\cdots+a_d X_d^{n_d}=0)-q^d|≤C_n q^{\frac{d+1}{2}},
-$$
-où $C_n$ est une constante explicite ne dépendant que de $n$.
-De plus, $C_n≤∏_i n_i$.
-\end{corollaire3}
-
-\begin{démo}
-Les deux propositions précédentes montrent que pour $A$ de dimension $d+1$ sur $F$,
-et tout nouveau caractère non trivial, $|qJ(χ)|=q^{\frac{d+1}{2}}$.
-La constante $C_n$ n'est autre que le cardinal des nouveaux
-caractères de ${F^{d+1}}^×/F^×$ tués par $n$ et non triviaux.
-C'est aussi le nombre de $(d+1)$-uplets de rationnels $0<α_i<1$
-tels que $n_i α_i∈ℤ$ et $∑_i α_i∈ℤ$.
-\end{démo}
-
-Le lecteur exhibera sans peine une majoration semblable dans
-le cas $b≠0$.
-
-\subsubsection{Exercices}
-
-\begin{exercice3}
-1) Lien Gauß ↔ transformée de Fourier discrète. Parseval.
-2) Montrer que transformé de Gauß puissance $n$ = somme de Kloosterman
-\end{exercice3}
-
-\begin{exercice3}
-Hasse-Davenport [...]
-\end{exercice3}
-
-\subsection{Applications : cardinal des sphères, polygones réguliers et
-réciprocité quadratique}
-
-\subsubsection{Notations}
-
-Soit $F$ un corps fini cardinal $q$ et de caractéristique $p≠2$. Le groupe $F^×$ a donc un unique
-sous-groupe d'indice deux ; on note $χ_{\mathrm{quad}}$ le caractère
-correspondant. On a donc $χ_{\mathrm{quad}}(x)=1$ si $x∈{F^×}²$ et $-1$ sinon.
-
-C'est le seul caractère non trivial de $2$-torsion, de sorte que l'ensemble
-des nouveaux caractères de $2$-torsion de $F^d$ est soit vide soit réduit à un seul
-élément, suivant la parité de $d$.
-
-Dans tout ce paragraphe, nous fixons une racine primitive $p$-ème
-de l'unité $ζ_p$ et considérons le caractère additif non trivial associé :
-$ψ(x)=ζ_p^{\Tr_{F/\FF_p}(x)}$. Nous notons $g_{\mathrm{quad}}$ la
-somme de Gauß associée à ce caractère additif et au caractère (multiplicatif) quadratique.
-
-\begin{proposition3}[Cardinal des sphères sur les corps
-finis]\label{proposition:cardinal_spheres}
-Soient $d≥0$ un entier et $N$ le nombre de solutions de l'équation
-$X₀²+\cdots+X_d²=1$.
-\begin{enumerate}
-\item $g_{\mathrm{quad}}²=qχ_{\mathrm{quad}}(-1)$ ;
-\item $χ_{\mathrm{quad}}(-1)=(-1)^{\frac{q-1}{2}}$ ;
-\item $N=q^d+χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}} q^{\frac{d}{2}}$ si $d$ est
-pair ;
-\item $N=q^d+χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d+1}{2}} q^{\frac{d-1}{2}}$ si $d$ est
-impair.
-\end{enumerate}
-\end{proposition3}
-
-Rappelons que $χ_{\mathrm{quad}}(-1)^n=χ_{\mathrm{quad}}\big((-1)^n\big)$ vaut
-$1$ si $(-1)^n$ est un carré dans $F$, $-1$ sinon.
-
-\begin{démo}
-(i) résulte de la formule générale :
-$$g(χ,ψ)g(\sur{χ},ψ)=χ(-1)^{-1}g(χ,ψ)\sur{g(χ,ψ)}=χ(-1)q.$$
-(ii) Si $x∈{F^×}²$, $x^{\frac{q-1}{2}}=1$ et vice-versa pour des raisons
-de cardinalité. Ainsi, $χ_{\mathrm{quad}}(x)=x^{\frac{q-1}{2}})$,
-égalité ayant lieu dans $\{±1\}$, plongé dans $\mathbf{U}$ (terme
-de gauche) et $F^×$ (terme de droite).
-(iii) et (iv) résultent de la formule générale exprimant $N$ comme
-une somme, de l'égalité $qJ=g$.
-Pour (iii), on utilise également l'égalité
-$χ_{\mathrm{quad}}(-1)\frac{g_{\mathrm{quad}}^{d+2}}{p}=χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}}q^{\frac{d}{2}}$,
-qui découle de (i). L'égalité (iv) est semblable et laissée au lecteur.
-\end{démo}
-
-\begin{remarque3}
-Insistons sur le caractère élémentaire de ces formules.
-Puisque $N(X²=a)=1+χ_{\mathrm{quad}}(a)$, en tire
-$N=q^d+∑_{a₀+\cdots+a_d=1} ∏_i χ_{\mathrm{quad}}(a_i)$. Le second
-terme est, au signe près, une somme de Jacobi.
-Ce calcul a été fait bien avant le cas d'une hypersurface diagonale
-générale, dû à Weil.
-\end{remarque3}
-
-\subsubsection{Constructiblités des polygones réguliers}
-
-Dans ce court paragraphe, on donne une démonstration élémentaire
-de la constructiblité à la règle et au compas des polygones réguliers
-à $p$ côtés si $p-1$ est une puissance de deux.
-
-Comme on l'a vu, cela revient à prouver l'existence d'une
-suite d'extensions $ℚ=K₀⊂\cdots ⊂K_i ⊂ K_{i+1} ⊂\cdots ⊂K_n=ℚ(ζ_p)$,
-avec $[K_{i+1}:K_i]=2$.
-
-Posons $S=∑_χ g(χ,ψ)$, où $χ$ parcourt $\chap{F^×}$.
-Par définition, $S=-∑_{x∈F^×} \big( ∑_χ χ(x)\big) ψ(x)$.
-Puisque $∑_χ χ(x)=0$ pour $x≠1$, $p-1$ sinon, et $ψ(1)=ζ_p$, on a donc
-l'égalité
-$$
-S=(1-p)ζ_p,
-$$
-de sorte que $ℚ(ζ_p)=ℚ(S)$.
-
-Une somme de nombres constructibles étant constructible, il suffit donc de démontrer
-que chaque $g(χ,ψ)$ est constructible, si $p-1$ est une puissance de deux, ce que nous supposerons dorénavant.
-
-Observons que pour tout entier $m≥1$, un nombre $g$ est constructible \ssi $g^{2^m}$ l'est.
-Or, tout caractère de $F^×$ est d'ordre divisant $p-1$ donc de la forme $2^m$,
-$m≥0$, si bien que l'égalité $g(χ,ψ)^{2^m}=pJ((χ,\dots,χ))$ (cf. \ref{proposition:Gauss-Jacobi})
-ramène le problème à la constructilibilité des sommes de Jacobi.
-Ces dernières appartiennent à $ℚ(μ_{p-1})$ ; elles sont donc constructibles.
-(Le cas $m=0$, \cad $χ=1$, est à traiter séparément. Il est trivial.)
-
-\begin{remarque3}[Remarque historique]
-Selon la légende, c'est cette découverte --- sentationnelle à l'époque ---
-qui aurait décidé Gauß (alors âgé d'un peu moins de 19 ans) à devenir mathématicien, et non linguiste.
-Sa démonstration est exposée en détail dans ses \emph{disquisitiones arithmeticæ} (recherches
-arithmétiques) \cite{Disquisitiones@Gauss}, §7. La découverte elle-même
-semble dater du 30 mars 1796. C'est la première entrée dans son
-fameux \emph{tagebuch} :
-\begin{quote}
-Principia quibus innititur sectio circuli, ac divisibilitas eiusdem
-geometrica in septemdecim partes etc.
-\end{quote}
-\end{remarque3}
-
-\paragraph{Calcul explicite}
-
-[$p=17$ ?]
-
-\subsubsection{Réciprocité quadratique}
-
-Soit $ℓ≠p$ un nombre premier impair.
-Notons $χ=(χ_{\mathrm{quad}},\dots,χ_{\mathrm{quad}})$
-le caractère de ${F^{ℓ+1}}^×$, où $F=\FF_p$. Il est nouveau, non trivial
-mais diagonalement trivial car $χ_{\mathrm{quad}}^{ℓ+1}=1$.
-
-Il résulte de la formule $pJ=g$ (\ref{proposition:Gauss-Jacobi}) et
-du calcul de $g²$ (\ref{proposition:cardinal_spheres}, (i-ii)) que l'on a
-l'égalité :
-
-$$p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ+1}{2})}=J(χ)=χ_{\mathrm{quad}}(-1)^ℓ∑_{∑x_i=1}χ_{\mathrm{quad}}(x₁)\cdots
-χ_{\mathrm{quad}}(x_ℓ).
-$$
-
-L'égalité de droite est une traduction immédiate de la définition
-des sommes de Jacobi. (On utilise le fait que
-$χ_{\mathrm{quad}}=χ_{\mathrm{quad}}^{-1}$.)
-En faisant passer le terme $χ_{\mathrm{quad}}(-1)^ℓ$ à gauche, on trouve :
-$$
-p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ-1}{2})}=∑_{∑x_i=1\atop x_i∈F^×}χ_{\mathrm{quad}}(x₁)\cdots
-χ_{\mathrm{quad}}(x_ℓ).
-$$
-
-La somme de droite est une somme d'entiers égaux à $±1$.
-
-\begin{lemme3}
-$$∑_{∑x_i=1\atop x_i∈\FF_p}χ_{\mathrm{quad}}(x₁)\cdots
-χ_{\mathrm{quad}}(x_ℓ)\equiv χ_{\mathrm{quad}}(ℓ) \ \mod ℓ.$$
-\end{lemme3}
-
-\begin{démo}
-L'ensemble de sommation est naturellement un $ℤ/ℓ$-ensemble (action
-par permutation cyclique des coordonnées) et la fonction
-sommée est invariante par cette action. Il en résulte que,
-modulo $ℓ$, seuls les points fixes contribuent. L'unique point
-fixe est donné par $x₁=\cdots=x_ℓ=\frac{1}{ℓ}∈F^×$. Sa
-contribution est $χ_{\mathrm{quad}}(ℓ)∈\{±1\}$.
-\end{démo}
-
-Puisque $χ_{\mathrm{quad}}(ℓ)=(\frac{ℓ}{p})$ et que d'autre part,
-modulo $ℓ$, $p^{\frac{ℓ-1}{2}}\equiv (\frac{p}{ℓ})$, on en tire :
-
-$$
-(\frac{ℓ}{p})(\frac{p}{ℓ})=(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ-1}{2})}.
-$$
-
-C'est la fameuse \emph{loi de réciprocité quadratique}.
-
-\section{(facultatif) fonction $ζ$ d'une hypersurface diagonale}
-
-[...]
-
-\end{document}
-
diff --git a/smf.tex b/smf.tex
deleted file mode 100644
index 3e45ad3..0000000
--- a/smf.tex
+++ /dev/null
@@ -1 +0,0 @@
-\usepackage{smfthm-moi}
diff --git a/smfalpha.bst b/smfalpha.bst
deleted file mode 100644
index 220c9b9..0000000
--- a/smfalpha.bst
+++ /dev/null
@@ -1,1255 +0,0 @@
-%%
-%% This is file `smfalpha.bst',
-%% generated with the docstrip utility.
-%%
-%% The original source files were:
-%%
-%% smfbib.dtx (with options: `alpha')
-%%
-%%% ==================================================================== %%%
-%%% FORMATS BibTeX SMF
-%%% Styles BibTeX pour la SMF
-%%% (c) A. Chambert-Loir et SMF, 1996-98
-%%% ==================================================================== %%%
-%% \CharacterTable
-%% {Upper-case \A\B\C\D\E\F\G\H\I\J\K\L\M\N\O\P\Q\R\S\T\U\V\W\X\Y\Z
-%% Lower-case \a\b\c\d\e\f\g\h\i\j\k\l\m\n\o\p\q\r\s\t\u\v\w\x\y\z
-%% Digits \0\1\2\3\4\5\6\7\8\9
-%% Exclamation \! Double quote \" Hash (number) \#
-%% Dollar \$ Percent \% Ampersand \&
-%% Acute accent \' Left paren \( Right paren \)
-%% Asterisk \* Plus \+ Comma \,
-%% Minus \- Point \. Solidus \/
-%% Colon \: Semicolon \; Less than \<
-%% Equals \= Greater than \> Question mark \?
-%% Commercial at \@ Left bracket \[ Backslash \\
-%% Right bracket \] Circumflex \^ Underscore \_
-%% Grave accent \` Left brace \{ Vertical bar \|
-%% Right brace \} Tilde \~}
-%%
-%% @BibTeX-style-file{"smfplain.bst"
-%% date="1998/06/15",
-%% version="v0.1"}
-%% Types of entries currently allowed in a BibTeX file:
-%% ARTICLE -- An article from a journal or magazine.
-%% BOOK -- A book with an explicit publisher.
-%% BOOKLET -- A work that is printed and bound,
-%% but without a named publisher or sponsoring institution.
-%% CONFERENCE -- The same as INPROCEEDINGS,
-%% included for Scribe compatibility.
-%% INBOOK -- A part of a book,
-%% which may be a chapter (or section or whatever) and/or a range of pages.
-%% INCOLLECTION -- A part of a book having its own title.
-%% INPROCEEDINGS -- An article in a conference proceedings.
-%% MANUAL -- Technical documentation.
-%% MASTERSTHESIS -- A Master's thesis.
-%% MISC -- Use this type when nothing else fits.
-%% PHDTHESIS -- A PhD thesis.
-%% PROCEEDINGS -- The proceedings of a conference.
-%% TECHREPORT -- A report published by a school or other institution,
-%% usually numbered within a series.
-%% UNPUBLISHED -- A document having an author and title, but not formally
-%% published.
-ENTRY
- { address
- author
- booktitle
- chapter
- edition
- editor
- howpublished
- institution
- journal
- key
- language
- month
- note
- number
- organization
- pages
- publisher
- school
- series
- title
- type
- volume
- year
- }
- {}
- { label extra.label sort.label }
-
-INTEGERS { output.state before.all mid.sentence after.name }
-
-FUNCTION {init.state.consts}
-{ #0 'before.all :=
- #1 'after.name :=
- #2 'mid.sentence :=
-}
-
-
-STRINGS { s t }
-FUNCTION {not}
-{ { #0 }
- { #1 }
- if$
-}
-
-FUNCTION {and}
-{ 'skip$
- { pop$ #0 }
- if$
-}
-
-FUNCTION {or}
-{ { pop$ #1 }
- 'skip$
- if$
-}
-
-FUNCTION {field.or.null}
-{ duplicate$ empty$
- { pop$ "" }
- 'skip$
- if$
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-
-FUNCTION {emphasize}
-{ duplicate$ empty$
- { pop$ "" }
- { "\emph{" swap$ * "}" * }
- if$
-}
-
-FUNCTION {guillemetize}
-{ duplicate$ empty$
- { pop$ "" }
- { "{\og " swap$ * "\fg}" * }
- if$
-}
-
-FUNCTION {scapify}
-{ duplicate$ empty$
- { pop$ "" }
- { "{\scshape " swap$ * "}" * }
- if$
-}
-
-
-FUNCTION {n.dashify}
-{ 't :=
- ""
- { t empty$ not }
- { t #1 #1 substring$ "-" =
-{ t #1 #2 substring$ "--" = not
- { "--" *
- t #2 global.max$ substring$ 't :=
- }
- { { t #1 #1 substring$ "-" = }
-{ "-" *
- t #2 global.max$ substring$ 't :=
-}
- while$
- }
- if$
-}
-{ t #1 #1 substring$ *
- t #2 global.max$ substring$ 't :=
-}
- if$
- }
- while$
-}
-
-
-FUNCTION {tie.or.space.connect}
-{ duplicate$ text.length$ #3 <
- { "~" }
- { " " }
- if$
- swap$ * *
-}
-
-FUNCTION {add.space.if.necessary}
-{ duplicate$ "" =
- 'skip$
- { " " * }
- if$
-}
-
-
-FUNCTION {either.or.check}
-{ empty$
- 'pop$
- { "can't use both " swap$ * " fields in " * cite$ * warning$ }
- if$
-}
-
-
-FUNCTION {output.nonnull}
-{ 's :=
- output.state after.name =
- { extra.label "\bysame" =
- { ", " * write$ }
- { " -- " * write$ }
- if$
- mid.sentence 'output.state := }
- { output.state mid.sentence =
- { ", " * write$ }
- { output.state before.all =
- 'write$
- { add.period$ " " * write$ }
- if$
- after.name 'output.state := }
- if$ }
- if$
- s
-}
-
-
-FUNCTION {output}
-{ duplicate$ empty$
- 'pop$
- 'output.nonnull
- if$
-}
-
-
-FUNCTION {missing.warning}
-{ "missing " swap$ * " in " * cite$ * warning$ }
-
-
-FUNCTION {output.check}
-{ 't :=
- duplicate$ empty$
- { pop$ t missing.warning }
- 'output.nonnull
- if$
-}
-
-FUNCTION {output.bibitem}
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- "\bibitem[" write$
- label write$
- "]{" write$
- cite$ write$
- "}" write$
- newline$
- ""
- before.all 'output.state :=
-}
-
-FUNCTION {fin.entry}
-{ add.period$
- write$
- newline$
-}
-
-
-FUNCTION {format.language}
-{ language empty$
- { "" }
- { " (" language * ")" * }
- if$
-}
-INTEGERS { nameptr namesleft numnames }
-
-
-FUNCTION {format.names}
-{ 's :=
- #1 'nameptr :=
- s num.names$ 'numnames :=
- numnames 'namesleft :=
- { namesleft #0 > }
- { s nameptr "{f.~}{vv~}{ll}{, jj}" format.name$ 't :=
- nameptr #1 >
-{ namesleft #1 >
- { ", " * t * }
- { numnames #2 >
-{ "" * }
-'skip$
- if$
- t "others" =
-{ " {\normalfont et~al.}" * }
-{ " {\normalfont \smfandname} " * t * }
- if$
- }
- if$
-}
-'t
- if$
- nameptr #1 + 'nameptr :=
- namesleft #1 - 'namesleft :=
- }
- while$
-}
-
-FUNCTION {format.authors}
-{ author empty$
- { "" }
- { extra.label "\bysame" =
- { "\bysame " }
- { author format.names scapify }
- if$
- }
- if$
-}
-
-FUNCTION {format.editors}
-{ editor empty$
- { "" }
- { extra.label "\bysame" =
- { "\bysame " }
- { editor format.names scapify }
- if$
- editor num.names$ #1 >
- { " (\smfedsname)" * }
- { " (\smfedname)" * }
- if$
- "\nomorebysame" 'extra.label :=
- }
- if$
-}
-
-FUNCTION {format.nonauthor.editors}
-{ editor empty$
- { "" }
- { editor format.names
- editor num.names$ #1 >
-{ ", \smfedsname" * }
-{ ", \smfedname" * }
- if$
- }
- if$
-}
-
-FUNCTION {format.booktitle}
-{ title empty$
- { "" }
- { title "t" change.case$ emphasize }
- if$
-}
-
-FUNCTION {format.title}
-{ title empty$
- { "" }
- { title "t" change.case$ guillemetize }
- if$
-}
-
-FUNCTION {format.journal.vol.year}
-{ journal empty$
- { "journal name" missing.warning ""}
- { journal emphasize }
- if$
- volume empty$
- 'skip$
- { " \textbf{" * volume * "}" * }
- if$
- year empty$
- { "year" missing.warning }
- { " (" * year * ")" * }
- if$
-}
-
-
-FUNCTION {format.number}
-{ number empty$
- { "" }
- { "no.~" number * }
- if$
-}
-
-
-FUNCTION {format.date}
-{ year empty$
- { month empty$
-{ "" }
-{ "there's a month but no year in " cite$ * warning$
- month
-}
- if$
- }
- { month empty$
-'year
-{ month " " * year * }
- if$
- }
- if$
-}
-
-
-FUNCTION {format.bookvolume.series.number}
-{ volume empty$
- { "" % Push the empty string as a placeholder in case everything else
- % is empty too.
- series empty$
- 'skip$
- { pop$ series } % if series is not empty put in stack
- if$
- number empty$
- 'skip$
- { duplicate$ empty$ % if no preceding material,
- 'skip$ % do nothing, otherwise
- { ", " * } % add a comma and space to separate.
- if$
- "no." number tie.or.space.connect * % add the number information
- }
- if$
- }
-%% If the volume is NOT EMPTY:
- { "vol." volume tie.or.space.connect % vol. XX
- number empty$
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- 'skip$
- { series ", " * swap$ *} % Series Name, vol. XX
- if$
- }
- { series empty$
- { "can't use both volume and number if series info is missing"
- warning$
- "in BibTeX entry type `" type$ * "'" * top$
- }
- { ", " * series * ", no." * number tie.or.space.connect }
- if$
- }
- if$
- }
- if$
-
-} % end of format.bookvolume.series.number
-
-%% format.inproc.title.where.editors is used by inproceedings entry types
-
-FUNCTION {format.inproc.title.address.editors}
-{ booktitle empty$
- { "" }
-%% Emphasizing the title. We want initial caps, roman.
- { booktitle emphasize }
- if$
-%% We add parentheses around the address (place where conference
-%% was held).
- address empty$
- 'skip$
- { add.space.if.necessary "(" * address * ")" * }
- if$
-%% Likewise we add parentheses around the editors' names.
- editor empty$
- 'skip$
- { add.space.if.necessary "(" * format.nonauthor.editors * ")" * }
- if$
-}
-
-%% format.incoll.title.editors is similar to format.inproc... but
-%% omits the address. For collections that are not proceedings volumes.
-
-FUNCTION {format.incoll.title.editors}
-{ booktitle empty$
- { "" }
-%% No case changing or emphasizing for the title. We want initial
-%% caps, roman.
- { booktitle }
- if$
-%% We add parentheses around the editors' names.
- editor empty$
- 'skip$
- { add.space.if.necessary "(" * format.nonauthor.editors * ")" * }
- if$
-}
-
-
-FUNCTION {format.number.series}
-{ series empty$
- { number empty$
- { "" }
- { "there's a number but no series in " cite$ * warning$ }
- if$
- }
- { series
- number empty$
- 'skip$
- { "\ \textbf{" * number * "}" * }
- if$
- }
- if$
-}
-
-FUNCTION {format.edition}
-{ edition empty$
- { "" }
- { output.state mid.sentence =
-{ edition "l" change.case$ " \smfedname" * }
-{ edition "t" change.case$ " \smfedname" * }
- if$
- }
- if$
-}
-
-INTEGERS { multiresult }
-
-FUNCTION {multi.page.check}
-{ 't :=
- #0 'multiresult :=
- { multiresult not
- t empty$ not
- and
- }
- { t #1 #1 substring$
- duplicate$ "-" =
- swap$ duplicate$ "," =
- swap$ "+" =
- or or
-{ #1 'multiresult := }
-{ t #2 global.max$ substring$ 't := }
- if$
- }
- while$
- multiresult
-}
-
-FUNCTION {format.pages}
-{ pages empty$
- { "" }
- { "p.~" pages n.dashify * }
- if$
-}
-
-FUNCTION {format.book.pages}
-{ pages empty$
- { "" }
- { pages multi.page.check
-{ "p.~" pages n.dashify * }
-{ "p.~" pages * }
- if$
- }
- if$
-}
-
-FUNCTION {format.chapter.pages}
-{ chapter empty$
- 'format.pages
- { type empty$
-{ "ch.~" }
-{ type "l" change.case$ " " * }
- if$
- chapter *
- pages empty$
-'skip$
-{ ", " * format.book.pages * }
- if$
- }
- if$
-}
-
-FUNCTION {empty.misc.check}
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- and and and and and
- key empty$ not and
- { "all relevant fields are empty in " cite$ * warning$ }
- 'skip$
- if$
-}
-
-FUNCTION {format.thesis.type}
-{ type empty$
- 'skip$
- { pop$
- type "t" change.case$
- }
- if$
-}
-
-FUNCTION {format.tr.number}
-{ type empty$
- { "Tech. Report" }
- 'type
- if$
- number empty$
- { "t" change.case$ }
- { number tie.or.space.connect }
- if$
-}
-
-FUNCTION {format.article.crossref}
-{ key empty$
- { journal empty$
-{ "need key or journal for " cite$ * " to crossref " * crossref *
- warning$
- ""
-}
-{ "in " journal * }
- if$
- }
- { "in " key * }
- if$
- " \cite{" * crossref * "}" *
-}
-
-FUNCTION {format.crossref.editor}
-{ editor #1 "{vv~}{ll}" format.name$
- editor num.names$ duplicate$
- #2 >
- { pop$ " et~al." * }
- { #2 <
-'skip$
-{ editor #2 "{ff }{vv }{ll}{ jj}" format.name$ "others" =
- { " et~al." * }
- { " \smfandname\ " * editor #2 "{vv~}{ll}" format.name$ * }
- if$
-}
- if$
- }
- if$
-}
-
-FUNCTION {format.book.crossref}
-{ volume empty$
- { "empty volume in " cite$ * "'s crossref of " * crossref * warning$
- "in "
- }
- { "vol." volume tie.or.space.connect
- " de " *
- }
- if$
- editor empty$
- editor field.or.null author field.or.null =
- or
- { key empty$
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- crossref * warning$
- "" *
- }
- { series * }
- if$
-}
-{ key * }
- if$
- }
- { format.crossref.editor * }
- if$
- " \cite{" * crossref * "}" *
-}
-
-FUNCTION {format.incoll.inproc.crossref}
-{ key empty$
- { booktitle empty$
- { editor empty$
- editor field.or.null author field.or.null =
- or
- { "need editor, key, or booktitle for " cite$ * "to crossref " *
- crossref * warning$ "" }
- { "in " format.crossref.editor * }
- if$ }
- { "in \emph{" booktitle * "}" * }
- if$ }
- { "in " key * }
- if$
- " \cite{" * crossref * "}" *
-}
-
-
-FUNCTION {article}
-{ output.bibitem
- format.authors "author" output.check
- format.title "title" output.check
- crossref missing$
- { format.journal.vol.year output
- format.number output
- format.pages "pages" output.check
- }
- { format.article.crossref output.nonnull
- format.pages output
- }
- if$
- format.language *
- note output
- fin.entry
-}
-
-FUNCTION {book}
-{ output.bibitem
- author empty$
- { format.editors "author and editor" output.check }
- { format.authors output.nonnull
- crossref missing$
-{ "author and editor" editor either.or.check }
-'skip$
- if$
- }
- if$
- format.booktitle "title" output.check
- format.edition output
- crossref missing$
- { format.bookvolume.series.number output
- publisher "publisher" output.check
- address output
- }
- { format.book.crossref output.nonnull
- }
- if$
- format.date "year" output.check
- format.language *
- note output
- fin.entry
-}
-FUNCTION {booklet}
-{ output.bibitem
- format.authors output
- format.booktitle "title" output.check
- howpublished output
- address output
- format.date output
- note output
- fin.entry
-}
-
-FUNCTION {inbook}
-{ output.bibitem
- author empty$
- { format.editors "author and editor" output.check }
- { format.authors output.nonnull
- crossref missing$
-{ "author and editor" editor either.or.check }
-'skip$
- if$
- }
- if$
- format.title "title" output.check
- crossref missing$
- { format.bookvolume.series.number output
- format.chapter.pages "chapter and pages" output.check
- format.number.series output
- publisher "publisher" output.check
- address output
- }
- { format.chapter.pages "chapter and pages" output.check
- format.book.crossref output.nonnull
- }
- if$
- format.edition output
- format.date "year" output.check
- format.language *
- note output
- fin.entry
-}
-
-FUNCTION {incollection}
-{ output.bibitem
- format.authors "author" output.check
- format.title "title" output.check
- crossref missing$
- { format.incoll.title.editors "booktitle" output.check
- format.bookvolume.series.number output
- publisher "publisher" output.check
- address output
- format.edition output
- format.date "year" output.check
- }
- { format.incoll.inproc.crossref output.nonnull
- }
- if$
- note output
- format.book.pages output
- format.language *
- fin.entry
-}
-
-FUNCTION {inproceedings}
-{ output.bibitem
- format.authors "author" output.check
- format.title "title" output.check
- crossref missing$
- { format.inproc.title.address.editors "booktitle" output.check
- format.bookvolume.series.number output
- organization output
- publisher output
- format.date "year" output.check
- }
- { format.incoll.inproc.crossref output.nonnull
- }
- if$
- note output
- format.book.pages output
- format.language *
- fin.entry
-}
-
-FUNCTION {conference} { inproceedings }
-
-FUNCTION {manual}
-{ output.bibitem
- author empty$
- { organization empty$
-'skip$
-{ organization output.nonnull
- address output
-}
- if$
- }
- { format.authors output.nonnull }
- if$
- format.booktitle "title" output.check
- author empty$
- { organization empty$
-{ address output }
-'skip$
- if$
- }
- { organization output
- address output
- }
- if$
- format.edition output
- format.date output
- note output
- fin.entry
-}
-
-FUNCTION {mastersthesis}
-{ output.bibitem
- format.authors "author" output.check
- format.booktitle "title" output.check
- "\smfmastersthesisname" format.thesis.type output.nonnull
- school "school" output.check
- address output
- format.date "year" output.check
- note output
- fin.entry
-}
-
-FUNCTION {phdthesis}
-{ output.bibitem
- format.authors "author" output.check
- format.title "title" output.check
- "\smfphdthesisname" format.thesis.type output.nonnull
- school "school" output.check
- address output
- format.date "year" output.check
- note output
- format.book.pages output
- fin.entry
-}
-
-FUNCTION {proceedings}
-{ output.bibitem
- editor empty$
- { organization output }
- { format.editors output.nonnull }
- if$
- format.booktitle "title" output.check
- format.bookvolume.series.number output
- address empty$
- { editor empty$
- 'skip$
-{ organization output }
- if$
- publisher output
- format.date "year" output.check
- }
- { address output.nonnull
- editor empty$
-'skip$
-{ organization output }
- if$
- publisher output
- format.date "year" output.check
- }
- if$
- note output
- fin.entry
-}
-
-FUNCTION {techreport}
-{ output.bibitem
- format.authors "author" output.check
- format.title "title" output.check
- format.tr.number output.nonnull
- institution "institution" output.check
- address output
- format.date "year" output.check
- note output
- fin.entry
-}
-
-
-FUNCTION {misc}
-{ output.bibitem
- format.authors output
- format.title output
- howpublished output
- format.date output
- note output
- format.book.pages output
- fin.entry
- empty.misc.check
-}
-
-FUNCTION {unpublished}
-{ output.bibitem
- format.authors "author" output.check
- format.title "title" output.check
- note "note" output.check
- format.date output
- fin.entry
-}
-FUNCTION {default.type} { misc }
-READ
-
-FUNCTION {sortify}
-{ purify$
- "l" change.case$
-}
-
-INTEGERS { len }
-
-FUNCTION {chop.word}
-{ 's :=
- 'len :=
- s #1 len substring$ =
- { s len #1 + global.max$ substring$ }
- 's
- if$
-}
-
-INTEGERS { et.al.char.used }
-
-FUNCTION {initialize.et.al.char.used}
-{ #0 'et.al.char.used :=
-}
-
-EXECUTE {initialize.et.al.char.used}
-
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-{ 's :=
- s num.names$ 'numnames :=
- numnames #1 >
- { numnames #4 >
- { #3 'namesleft := }
- { numnames 'namesleft := }
- if$
- #1 'nameptr :=
- ""
- { namesleft #0 > }
- { nameptr numnames =
- { s nameptr "{ff }{vv }{ll}{ jj}" format.name$ "others" =
- { "{\etalchar{+}}" *
- #1 'et.al.char.used :=
- }
- { s nameptr "{v{}}{l{}}" format.name$ * }
- if$
- }
- { s nameptr "{v{}}{l{}}" format.name$ * }
- if$
- nameptr #1 + 'nameptr :=
- namesleft #1 - 'namesleft :=
- }
- while$
- numnames #4 >
- { "{\etalchar{+}}" *
- #1 'et.al.char.used :=
- }
- 'skip$
- if$
- }
- { s #1 "{v{}}{l{}}" format.name$
- duplicate$ text.length$ #2 <
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- 'skip$
- if$
- }
- if$
-}
-
-FUNCTION {author.key.label}
-{ author empty$
- { key empty$
- { cite$ #1 #3 substring$ }
- { key #3 text.prefix$ }
- if$
- }
- { author format.lab.names }
- if$
-}
-
-FUNCTION {author.editor.key.label}
-{ author empty$
- { editor empty$
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- { key #3 text.prefix$ }
- if$
- }
- { editor format.lab.names }
- if$
- }
- { author format.lab.names }
- if$
-}
-
-FUNCTION {author.key.organization.label}
-{ author empty$
- { key empty$
- { organization empty$
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- { "The " #4 organization chop.word #3 text.prefix$ }
- if$
- }
- { key #3 text.prefix$ }
- if$
- }
- { author format.lab.names }
- if$
-}
-
-FUNCTION {editor.key.organization.label}
-{ editor empty$
- { key empty$
- { organization empty$
- { cite$ #1 #3 substring$ }
- { "The " #4 organization chop.word #3 text.prefix$ }
- if$
- }
- { key #3 text.prefix$ }
- if$
- }
- { editor format.lab.names }
- if$
-}
-
-FUNCTION {calc.label}
-{ type$ "book" =
- type$ "inbook" =
- or
- 'author.editor.key.label
- { type$ "proceedings" =
- 'editor.key.organization.label
- { type$ "manual" =
- 'author.key.organization.label
- 'author.key.label
- if$
- }
- if$
- }
- if$
- duplicate$
- year field.or.null purify$ #-1 #2 substring$
- *
- 'label :=
- year field.or.null purify$ #-1 #4 substring$
- *
- sortify 'sort.label :=
-}
-FUNCTION {sort.format.names}
-{ 's :=
- #1 'nameptr :=
- ""
- s num.names$ 'numnames :=
- numnames 'namesleft :=
- { namesleft #0 > }
- { nameptr #1 >
-{ " " * }
-'skip$
- if$
-%% s nameptr "{vv{ } }{ll{ }}{ ff{ }}{ jj{ }}" format.name$ 't :=
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-{ "et~al" * }
-{ t sortify * }
- if$
- nameptr #1 + 'nameptr :=
- namesleft #1 - 'namesleft :=
- }
- while$
-}
-
-FUNCTION {sort.format.title}
-{ 't :=
- "A " #2
- "An " #3
- "The " #4 t chop.word
- chop.word
- chop.word
- sortify
- #1 global.max$ substring$
-}
-
-FUNCTION {author.sort}
-{ author empty$
- { key empty$
-{ "to sort, need author or key in " cite$ * warning$
- ""
-}
-{ key sortify }
- if$
- }
- { author sort.format.names }
- if$
-}
-
-FUNCTION {author.editor.sort}
-{ author empty$
- { editor empty$
-{ key empty$
- { "to sort, need author, editor, or key in " cite$ * warning$
- ""
- }
- { key sortify }
- if$
-}
-{ editor sort.format.names }
- if$
- }
- { author sort.format.names }
- if$
-}
-
-FUNCTION {author.organization.sort}
-{ author empty$
- { organization empty$
-{ key empty$
- { "to sort, need author, organization, or key in " cite$ * warning$
- ""
- }
- { key sortify }
- if$
-}
-{ "The " #4 organization chop.word sortify }
- if$
- }
- { author sort.format.names }
- if$
-}
-
-FUNCTION {editor.organization.sort}
-{ editor empty$
- { organization empty$
-{ key empty$
- { "to sort, need editor, organization, or key in " cite$ * warning$
- ""
- }
- { key sortify }
- if$
-}
-{ "The " #4 organization chop.word sortify }
- if$
- }
- { editor sort.format.names }
- if$
-}
-
-FUNCTION {presort}
-{
- calc.label
- sort.label
- " "
- *
- type$ "book" =
- type$ "inbook" =
- or
- 'author.editor.sort
- { type$ "proceedings" =
-'editor.organization.sort
-{ type$ "manual" =
- 'author.organization.sort
- 'author.sort
- if$
-}
- if$
- }
- if$
- *
- " "
- *
- year field.or.null sortify
- *
- " "
- *
- title field.or.null
- sort.format.title
- *
- #1 entry.max$ substring$
- 'sort.key$ :=
-}
-
-ITERATE {presort}
-
-SORT
-STRINGS { longest.label last.sort.label next.extra }
-
-INTEGERS { longest.label.width last.extra.num }
-
-FUNCTION {initialize.longest.label}
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-}
-FUNCTION {forward.pass}
-{ last.sort.label sort.label =
- { last.extra.num #1 + 'last.extra.num :=
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- }
- if$
-}
-
-FUNCTION {reverse.pass}
-{ next.extra "b" =
- { "a" 'extra.label := }
- 'skip$
- if$
- label extra.label * 'label :=
- label width$ longest.label.width >
- { label 'longest.label :=
- label width$ 'longest.label.width :=
- }
- 'skip$
- if$
- extra.label 'next.extra :=
-}
-
-EXECUTE {initialize.longest.label}
-
-ITERATE {forward.pass}
-
-REVERSE {reverse.pass}
-FUNCTION {begin.bib}
-{
- et.al.char.used
- { "\newcommand{\etalchar}[1]{$^{#1}$}" write$ newline$ }
- 'skip$
- if$
- preamble$ empty$
- 'skip$
- { preamble$ write$ newline$ }
- if$
- "\providecommand{\bysame}{\leavevmode ---\ }" write$ newline$
- "\providecommand{\og}{}" write$ newline$
- "\providecommand{\fg}{}" write$ newline$
- "\providecommand{\smfandname}{et}" write$ newline$
- "\providecommand{\smfedsname}{\'eds.}" write$ newline$
- "\providecommand{\smfedname}{\'ed.}" write$ newline$
- "\providecommand{\smfmastersthesisname}{M\'emoire}" write$ newline$
- "\providecommand{\smfphdthesisname}{Th\`ese}" write$ newline$
- "\begin{thebibliography}{" longest.label * "}" * write$ newline$
-}
-
-EXECUTE {begin.bib}
-
-EXECUTE {init.state.consts}
-
-ITERATE {call.type$}
-
-FUNCTION {end.bib}
-{ newline$
- "\end{thebibliography}" write$ newline$
-}
-
-EXECUTE {end.bib}
-%%
-%% End of file `smfalpha.bst'.
diff --git a/smfart-moi.cls b/smfart-moi.cls
deleted file mode 100644
index 8e5ed6f..0000000
--- a/smfart-moi.cls
+++ /dev/null
@@ -1,1345 +0,0 @@
-%%
-%% This is file `smfart.cls',
-%% generated with the docstrip utility.
-%%
-%% The original source files were:
-%%
-%% smfclass.dtx (with options: `article')
-%%
-%%
-%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-%% %% Classes, paquetages pour les publications de la SMF %%
-%% %% (c) 1999-2001 Societe mathematique de France %%
-%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-%%
-%% \CharacterTable
-%% {Upper-case \A\B\C\D\E\F\G\H\I\J\K\L\M\N\O\P\Q\R\S\T\U\V\W\X\Y\Z
-%% Lower-case \a\b\c\d\e\f\g\h\i\j\k\l\m\n\o\p\q\r\s\t\u\v\w\x\y\z
-%% Digits \0\1\2\3\4\5\6\7\8\9
-%% Exclamation \! Double quote \" Hash (number) \#
-%% Dollar \$ Percent \% Ampersand \&
-%% Acute accent \' Left paren \( Right paren \)
-%% Asterisk \* Plus \+ Comma \,
-%% Minus \- Point \. Solidus \/
-%% Colon \: Semicolon \; Less than \<
-%% Equals \= Greater than \> Question mark \?
-%% Commercial at \@ Left bracket \[ Backslash \\
-%% Right bracket \] Circumflex \^ Underscore \_
-%% Grave accent \` Left brace \{ Vertical bar \|
-%% Right brace \} Tilde \~}
-%%
-\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
-\ProvidesClass{smfart-moi}[2005/03/10 v1.3g
- Classe LaTeX pour les articles publies par la SMF]
-\def\@classname{smfart}
-\RequirePackage{amsgen}
-\newcommand{\uppercasenonmath}[1]{\toks@\@emptytoks
- \@xp\@skipmath\@xp\@empty#1$$%
- \edef#1{\@nx\@upprep\the\toks@}%
-}
-\newcommand{\@upprep}{%
- \spaceskip1.3\fontdimen2\font plus1.3\fontdimen3\font
- \upchars@}
-\newcommand{\upchars@}{%
- \def\ss{SS}\def\i{I}\def\j{J}\def\ae{\AE}\def\oe{\OE}%
- \def\o{\O}\def\aa{\AA}\def\l{\L}\def\Mc{M{\scshape c}}}
-\newcommand{\@skipmath}{}
-\long\def\@skipmath#1$#2${%
- \@xskipmath#1\(\)%
- \@ifnotempty{#2}{\toks@\@xp{\the\toks@$#2$}\@skipmath\@empty}}%
-\newcommand{\@xskipmath}{}
-\long\def\@xskipmath#1\(#2\){%
- \uppercase{\toks@\@xp\@xp\@xp{\@xp\the\@xp\toks@#1}}%
- \@ifnotempty{#2}{\toks@\@xp{\the\toks@\(#2\)}\@xskipmath\@empty}}%
-\def\@smfprotect{\let\smfcr\\\def\\{\protect\smfcr}}
-\DeclareRobustCommand{\MakeUppercase}[1]{{%
- \@smfprotect\upchars@
- \protected@edef\reserved@a{#1}\uppercasenonmath\reserved@a\reserved@a}}
-\protected@edef\MakeUppercase#1{\MakeUppercase{#1}}
-\newcommand{\today}{%
- \relax\ifcase\month\or
- January\or February\or March\or April\or May\or June\or
- July\or August\or September\or October\or November\or December\fi
- \space\number\day, \number\year}
-\DeclareOldFontCommand{\rm}{\normalfont\rmfamily}{\mathrm}
-\DeclareOldFontCommand{\sf}{\normalfont\sffamily}{\mathsf}
-\DeclareOldFontCommand{\tt}{\normalfont\ttfamily}{\mathtt}
-\DeclareOldFontCommand{\bf}{\normalfont\bfseries}{\mathbf}
-\DeclareOldFontCommand{\it}{\normalfont\itshape}{\mathit}
-\DeclareOldFontCommand{\sl}{\normalfont\slshape}{\@nomath\sl}
-\DeclareOldFontCommand{\sc}{\normalfont\scshape}{\@nomath\sc}
-\newcommand{\larger}[1][1]{%
- \count@\@currsizeindex \advance\count@#1\relax
- \ifnum\count@<\z@ \count@\z@
- \else\ifnum\count@>12 \count@12 \fi\fi
- \ifcase\count@
- \Tiny\or\Tiny\or\tiny\or\SMALL\or\Small\or\small
- \or\normalsize
- \or\large\or\Large\or\LARGE\or\huge\or\Huge\else\Huge
- \fi
-}
-\newcommand{\smaller}[1][1]{\larger[-#1]}
-\def\@adjustvertspacing{%
- \bigskipamount.7\baselineskip plus.7\baselineskip
- \medskipamount\bigskipamount \divide\medskipamount\tw@
- \smallskipamount\medskipamount \divide\smallskipamount\tw@
- \abovedisplayskip\medskipamount
- \belowdisplayskip \abovedisplayskip
- \abovedisplayshortskip\abovedisplayskip
- \advance\abovedisplayshortskip-1\abovedisplayskip
- \belowdisplayshortskip\abovedisplayshortskip
- \advance\belowdisplayshortskip 1\smallskipamount
- \jot\baselineskip \divide\jot 4 \relax
-}
-\renewcommand\normalsize{\@xsetfontsize\normalsize 6%
- \@adjustvertspacing \let\@listi\@listI}
-\newcommand\Tiny{\@xsetfontsize\Tiny 1}
-\newcommand\tiny{\@xsetfontsize\tiny 2}
-\newcommand\SMALL{\@xsetfontsize\SMALL 3}
-\newcommand\Small{\@xsetfontsize\Small 4%
- \@adjustvertspacing
- \def\@listi{\topsep\smallskipamount \parsep\z@skip
- \itemsep\z@skip}}
-\newcommand\small{\@xsetfontsize\small 5\@adjustvertspacing}
-\def\footnotesize{\Small}
-\def\scriptsize{\SMALL}
-\newcommand\large{\@xsetfontsize\large 7\@adjustvertspacing}
-\newcommand\Large{\@xsetfontsize\Large 8\@adjustvertspacing}
-\newcommand\LARGE{\@xsetfontsize\LARGE 9}
-\newcommand\huge{\@xsetfontsize\huge{10}}
-\newcommand\Huge{\@xsetfontsize\Huge{11}}
-\def\@xsetfontsize#1#2{%
- \chardef\@currsizeindex#2\relax
- \edef\@tempa{\@nx\@setfontsize\@nx#1%
- \@xp\ifcase\@xp\@currsizeindex\@typesizes
- \else{99}{99}\fi}%
- \@tempa
-}
-\chardef\@currsizeindex=6
-\widowpenalty=10000
-\clubpenalty=10000
-\brokenpenalty=10000
-\newdimen\linespacing
-\lineskip=1pt \normallineskip=1pt
-\lineskiplimit=1pt \normallineskiplimit=1pt
-\def\baselinestretch{1} %% 1.1 is better
-\textheight 21.5cm
-\textwidth 13cm
-\headheight=10pt
-\headsep 10mm
-\footskip 10mm % was .7
-\columnsep=10pt \columnseprule=0pt
-\marginparsep=10pt
-\marginparpush=5pt
-\marginparwidth=90pt
-\newskip\normaltopskip
-\skip\footins=12pt plus12pt
-\skip\@mpfootins=\skip\footins
-
-\fboxsep=3pt \fboxrule=.4pt
-
-\arrayrulewidth=.4pt \doublerulesep=2pt
-\labelsep=5pt \arraycolsep=\labelsep
-\tabcolsep=\labelsep \tabbingsep=\labelsep
-
-\floatsep=15pt plus 12pt \dblfloatsep=15pt plus 12pt
-\textfloatsep=\floatsep \dbltextfloatsep=15pt plus 12pt
-\intextsep=\floatsep
-
-\@fptop=0pt plus1fil \@dblfptop=0pt plus1fil
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-
-\newdimen\normalparindent
-\normalparindent=12pt
-\parindent=\normalparindent
-
-\parsep 0pt
-\partopsep=0pt \relax \parsep=0pt \relax \itemsep=0pt \relax
-
-\@lowpenalty=51 \@medpenalty=151 \@highpenalty=301
-\@beginparpenalty=-\@lowpenalty
-\@endparpenalty=-\@lowpenalty
-\@itempenalty=-\@lowpenalty
-\def\calclayout{\normalsize
- \topskip\normaltopskip
- \settoheight{\footnotesep}{\normalfont\footnotesize M$^1$}%
- \@tempdima=\textheight
- \advance\textheight -\headheight
- \advance\textheight -\headsep
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- \advance\textheight -\topskip
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- \footskip=.5\headsep\advance\footskip .5\baselineskip
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-
- \oddsidemargin\paperwidth
- \advance\oddsidemargin -\textwidth
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- \ifdim\oddsidemargin<.5truein \oddsidemargin.5truein \fi
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-
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-
- \topmargin\paperheight \advance\topmargin -\textheight
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- \ifdim\topmargin<.5truein \topmargin.5truein \fi
- \advance\topmargin -1truein\relax
-}
-\def\ps@empty{\let\@mkboth\@gobbletwo
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-\let\ps@copyright\ps@empty
-\def\ps@myheadings{\ps@headings \let\@mkboth\@gobbletwo}
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-\def\rightmark{\expandafter\@secondoftwo\botmark{}{}}
-\long\def\@nilgobble#1\@nil{}
-\def\@secmark#1#2#3#4{%
- \begingroup \let\protect\@unexpandable@protect
- \edef\@tempa{\endgroup \toks@{\protect#2{#3}{\@secnumber}}}%
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- \toks@\@xp{\the\toks@{#4}}%
- \afterassignment\@nilgobble\@temptokena\@themark{}\@nil
- \edef\@tempa{\@nx\@mkboth{%
- \ifx\markright#1\the\@temptokena\else\the\toks@\fi}{\the\toks@}}%
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-\let\@secnumber\@empty
-\def\markboth#1#2{%
- \begingroup
- \@temptokena{{#1}{#2}}\xdef\@themark{\the\@temptokena}%
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- \endgroup
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-\let\org@markboth\markboth
-\let\partmark\@gobble
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-\let\paragraphmark\@gobble
-\def\cleardoublepage{\clearpage\if@twoside \ifodd\c@page\else
- \thispagestyle{empty}\hbox{}\newpage
- \if@twocolumn\hbox{}\newpage\fi\fi\fi}
-\DeclareOption{a4paper}{\paperheight 297mm\paperwidth 210mm}
-\DeclareOption{letterpaper}{\paperheight 11in\paperwidth 8.5in }
-\DeclareOption{oneside}{\@twosidefalse \@mparswitchfalse}
-\DeclareOption{twoside}{\@twosidetrue \@mparswitchtrue}
-\newif\if@draft
-\DeclareOption{draft}{\@drafttrue\overfullrule5\p@ }
-\DeclareOption{final}{\@draftfalse\overfullrule\z@ }
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-\DeclareOption{twocolumn}{\@twocolumntrue}
-\newif\iftagsleft@
-\DeclareOption{leqno}{%
- \tagsleft@true \PassOptionsToPackage{leqno}{amsmath}}
-\DeclareOption{reqno}{%
- \tagsleft@false \PassOptionsToPackage{reqno}{amsmath}}
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- \hskip\mathindent\bgroup
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- \endtrivlist
- }%
- \renewenvironment{eqnarray}{%
- \stepcounter{equation}\let\@currentlabel\theequation
- \global\@eqnswtrue \global\@eqcnt\z@ \tabskip\mathindent
- \let\\=\@eqncr \abovedisplayskip\topsep
- \ifvmode \advance\abovedisplayskip\partopsep \fi
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- $$\everycr{}\halign to\linewidth\bgroup
- \hskip\@centering
- $\displaystyle\tabskip\z@skip####\m@th$&%
- \@eqnsel \global\@eqcnt\@ne
- \hfil${}####{}\m@th$\hfil&%
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- \global\@eqcnt\thr@@
- \hbox to \z@\bgroup\hss####\egroup\tabskip\z@skip\cr
- }{%
- \@@eqncr \egroup \global\advance\c@equation\m@ne$$%
- \global\@ignoretrue
- }%
- \newdimen\mathindent \mathindent\leftmargini
-}
-\let\smf@boldmath\relax
-\DeclareOption{boldmath}{%
- \def\smf@boldmath{\mathversion{bold}}}
-\DeclareOption{french}{%
- \global\def\smf@language{french}}
-\DeclareOption{francais}{%
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-\DeclareOption{english}{%
- \global\def\smf@language{english}}
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- \normalsize \linespacing=\baselineskip }
-
-\DeclareOption{11pt}{\def\@mainsize{11}\def\@ptsize{1}%
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- \def\@typesizes{%
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-
-\DeclareOption{12pt}{\def\@mainsize{12}\def\@ptsize{2}%
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-
-\DeclareOption{8pt}{\def\@mainsize{8}\def\@ptsize{8}%
- \normaltopskip=8pt \relax
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-
-\DeclareOption{9pt}{\def\@mainsize{9}\def\@ptsize{9}%
- \normaltopskip=9pt \relax
- \def\@typesizes{%
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-\ExecuteOptions{leqno,centertags,%
- a4paper,portrait,%
- 10pt,twoside,onecolumn,%
- final,francais}
-\ProcessOptions\relax
-\@ifundefined{numberwithin}%
- {\let\@tempa\relax}%
- {\let\@tempa\@gobbletwo}
-\@tempa
-\ifx\relax\mathfrak \@xp\@gobbletwo
- \else \let\mathfrak\relax \fi
-\RequirePackage{amsfonts}\relax
-\RequirePackage{amsmath}\relax
-\def\tdots@{$\m@th\ldots$}
-\renewcommand{\title}[2][]{\gdef\shorttitle{#1}\gdef\@title{#2}}
-\edef\title{\@nx\@dblarg
- \@xp\@nx\csname\string\title\endcsname}
-\let\@title\@empty \let\shorttitle\@empty
-\def\alttitle#1{\gdef\@alttitle{#1}}
-\let\@alttitle\@empty
-\renewcommand{\author}[2][]{%
- \ifx\@empty\authors
- \gdef\shortauthors{#1}\gdef\authors{#2}%
- \else
- \g@addto@macro\shortauthors{\and#1}%
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- \fi
- \g@addto@macro\addresses{\author{#1}}%
-}
-\edef\author{\@nx\@dblarg
- \@xp\@nx\csname\string\author\endcsname}
-\let\shortauthors\@empty \let\authors\@empty
-\newcommand{\xandlist}[4]{\@andlista{{#1}{#2}{#3}}#4\and\and}
-\def\@andlista#1#2\and#3\and{\@andlistc{#2}\@ifnotempty{#3}{%
- \@andlistb#1{#3}}}
-\def\@andlistb#1#2#3#4#5\and{%
- \@ifempty{#5}{%
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- }}
-\let\@andlistc\@iden
-\newcommand{\nxandlist}[4]{%
- \def\@andlistc##1{\toks@\@xp{\the\toks@##1}}%
- \toks@{\toks@\@emptytoks \@andlista{{#1}{#2}{#3}}}%
- \the\@xp\toks@#4\and\and
- \edef#4{\the\toks@}%
- \let\@andlistc\@iden}
-\newcommand{\andify}{%
- \nxandlist{\unskip, }{\unskip{} \smfandname~}{\unskip{} \smfandname~}}
-\def\and{\unskip{} \smfandname\ \ignorespaces}
-\let\addresses\@empty \let\thankses\@empty
-\newcommand{\address}[2][]{\g@addto@macro\addresses{\address{#1}{#2}}}
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- \protect\maketitle\space in SMF documentclasses; reported}%
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-\newcommand{\descriptionlabel}[1]{\hspace\labelsep
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- \labelwidth\z@ \let\makelabel\descriptionlabel}}
-\let\enddescription=\endlist
-\AtBeginDocument{%
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- \advance\leftmargini by \normalparindent
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- {\def\@svsechd{#6{\hskip #3\relax\@svsec\@svspace
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- \makeatletter
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- \if@filesw
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- \endlist
- \global\@nobreakfalse \endgroup
- \addvspace{32\p@\@plus14\p@}%
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-\def\listoftables{\@starttoc{lot}\listtablename}
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- \string\newlabel{tocindent\@tempa}{%
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- \if@filesw
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-\def\@tochangmeasure#1{\sbox\z@{#1}%
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-\newcommand{\tocpart}[3]{%
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-
-\def\l@part{\@tocline{-1}{12pt plus2pt}{0pt}{}{\bfseries\smf@boldmath}}
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-\let\l@table\l@figure
-\newcount\smf@nthebib
-\newdimen\smf@tempwidtha
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-\let\bibliosection\section
-\def\bibliofont{\def\baselinestretch{1}\small}
-\newenvironment{thebibliography}[1]{%
- \global\advance\smf@nthebib1
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- \sloppy \clubpenalty\@M \widowpenalty\clubpenalty
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-}
-\def\bysame{\leavevmode\hbox to3em{\hrulefill}\thinspace}
-\def\newblock{}
-\def\@biblabel#1{\@ifnotempty{#1}{[#1]}}
-\def\@cite#1#2{{%
- \m@th\upshape\mdseries[{\bfseries #1}{\if@tempswa, #2\fi}]}}
-\@ifundefined{cite }{%
- \expandafter\let\csname cite \endcsname\cite
- \edef\cite{\@nx\protect\@xp\@nx\csname cite \endcsname}%
-}{}
-\def\bibitem{\@ifnextchar[\@lbibitem\@bibitem}
-\def\@lbibitem[#1]#2{\item[\@biblabel{#1}\hfill]%
- \settowidth\smf@tempwidthb{\@biblabel{#1}}%
- \ifdim\smf@tempwidthb>\smf@tempwidtha
- \global\smf@tempwidtha=\smf@tempwidthb
- \fi
- \if@filesw
- {\let\protect\noexpand
- \immediate
- \write\@auxout{\string\bibcite{#2}{#1}}}\fi\ignorespaces}
-\def\@bibitem#1{\item\if@filesw \immediate\write\@auxout
- {\string\bibcite{#1}{\the\value{\@listctr}}}\fi
- \settowidth\smf@tempwidthb{\@biblabel{\theenumiv}}%
- \ifdim\smf@tempwidthb>\smf@tempwidtha
- \global\smf@tempwidtha=\smf@tempwidthb
- \fi\ignorespaces}
-\newif\ifhave@multicol
-\IfFileExists{multicol.sty}%
- {\ClassInfo{\@classname}{Loading multicol.sty}%
- \RequirePackage{multicol}\have@multicoltrue}%
- {\ClassInfo{\@classname}%
- {multicol.sty is unavailable, using LaTeX's twocolumn}}
-\newcommand\printindex{\@input{\jobname.ind}}%
-\newif\if@restonecol
-\def\theindex{\@restonecoltrue\if@twocolumn\@restonecolfalse\fi
- \columnseprule0pt \columnsep 35\p@
- \ifhave@multicol
- \begin{multicols}{2}[\section*{\indexname}]%
- \else
- \twocolumn[\section*{\indexname}]%
- \fi
- \let\item\@idxitem
- \parindent\z@ \parskip\z@\@plus.3\p@\relax
- \footnotesize}
-\def\@idxitem{\par\hangindent 2em}
-\def\subitem{\par\hangindent 2em\hspace*{1em}}
-\def\subsubitem{\par\hangindent 3em\hspace*{2em}}
-\def\endtheindex{\ifhave@multicol
- \end{multicols}%
- \else
- \if@restonecol\onecolumn\fi
- \fi}
-\def\indexspace{\par}
-\def\footnoterule{\kern-.4\p@
- \hrule\@width 5pc\kern10\p@\kern-\footnotesep}
-\def\@makefnmark{\hbox{$\m@th^{(\@thefnmark)}$}}
-\def\@makefntext{\parindent0pt\sloppy\indent\@makefnmark}
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-\setlength{\@fptop}{0pt}% removed ``plus 1fil''
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-\setlength{\@dblfpbot}{0pt plus 1fil}
-\newcommand{\fps@figure}{tbp}
-\newcommand{\fps@table}{tbp}
-\newcounter{figure}
-\newcounter{table}
-\def\ftype@figure{1}
-\def\ext@figure{lof}
-\def\fnum@figure{\figurename\ \thefigure}
-\newenvironment{figure}{\@float{figure}}{\end@float}
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-\def\fnum@table{\tablename\ \thetable}
-\newenvironment{table}{\@float{table}}{\end@float}
-\newenvironment{table*}{\@dblfloat{table}}{\end@dblfloat}
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-\newdimen\captionindent \captionindent=3pc
-%% \def\captionheadfont@{\scshape}
-%% \def\captionfont@{\normalfont}
-\def\@captionheadfont{\normalfont\scshape\small}
-\def\@captionfont{\normalfont\small}
-\long\def\smf@makecaption#1#2{%
- \ifdim\captionindent>.1\hsize \captionindent.1\hsize \fi
- \setbox\@tempboxa\vbox{\color@setgroup
- \advance\hsize-2\captionindent\noindent
- \@captionfont\@captionheadfont#1\@xp\@ifnotempty\@xp
- {\@cdr#2\@nil}{\@addpunct{.}\@captionfont\rmfamily\upshape\enspace#2}%
- \unskip\kern-2\captionindent\par
- \global\setbox\@ne\lastbox\color@endgroup}%
- \ifhbox\@ne % the normal case
- \setbox\@ne\hbox{\unhbox\@ne\unskip\unskip\unpenalty\unkern}%
- \fi
- \ifdim\wd\@tempboxa=\z@ % this means caption will fit on one line
- \setbox\@ne\hbox to\columnwidth{\hss\kern-2\captionindent\box\@ne\hss}%
- \@tempdima\wd\@ne\advance\@tempdima-\captionindent
- \wd\@ne\@tempdima
- \else % tempboxa contained more than one line
- \setbox\@ne\vbox{\rightskip=0pt plus\captionindent\relax
- \unvbox\@tempboxa\parskip\z@skip
- \noindent\unhbox\@ne\advance\hsize-2\captionindent\par}%
- \fi
- \ifnum\@tempcnta<64 % if the float IS a figure...
- \addvspace\abovecaptionskip
- \noindent\kern\captionindent\box\@ne
- \else % if the float IS NOT a figure...
- \noindent\kern\captionindent\box\@ne
- \nobreak
- \vskip\belowcaptionskip
- \fi
-\relax
-}
-\let\@makecaption\smf@makecaption
-\def\@upn{}
-\RequirePackage{amsthm}
-\@ifundefined{@restorelabelsep}{\let\@restorelabelsep\relax}{}
-\@ifundefined{thm@headfont}{%
- \let\thm@indent\theoremindent
- \let\thm@headfont\theoremheadfont
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- \let\thm@preskip\theorempreskipamount
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-\def\@swapped#1#2{#2\@ifnotempty{#1}{\@addpunct{{\upshape.}}\quad#1\unskip}}
-\def\swappedhead#1#2#3{%
- \thmnumber{#2.}%
- \thmname{\@ifnotempty{#2}{~}#1}%
- \thmnote{ {\the\thm@notefont(#3)}}}
-\def\@thmheadnl{%
- \@noskipsectrue
- \everypar{\global\@minipagefalse \global\@newlistfalse
- \global\@inlabelfalse \global\@nobreakfalse
- {\setbox\z@\lastbox}\box\@labels
- {\parskip0pt\par}\global\@nobreaktrue
- \everypar{}\indent}}%
-\def\@begintheorem#1#2[#3]{%
- \def\@theoremhead{\normalfont\the\thm@headfont
- \@ifempty{#1}{\let\thmname\@gobble}{\let\thmname\@iden}%
- \@ifempty{#2}{\let\thmnumber\@gobble}{\let\thmnumber\@iden}%
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- \ifdim\wd\@tempboxa>0.7\linewidth \smf@skippttrue\fi
- \ifsmf@skippt
- \global\smf@skipptfalse
- \item [\thm@indent]%
- {\sloppy\@theoremhead\parskip\z@\@@par}%
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- \item[\hskip\labelsep\thm@indent\unhbox\@tempboxa\the\thm@headpunct]%
-%% \hskip\z@\ignorespaces
- \fi
- \@restorelabelsep
- \thmheadnl % possibly a newline.
- \ignorespaces}
-\newif\ifx@pushQED
-\@ifundefined{pushQED}{\x@pushQEDfalse}{\x@pushQEDtrue}
-\newenvironment{dmo}[1][\proofname]{\par
- \ifx@pushQED \pushQED{\qed}\fi
- \normalfont
- \topsep6\p@\@plus6\p@ \trivlist \itemindent\z@ %% \normalparindent
- \def\@proofhead{\normalfont\itshape #1}%
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- \nobreak
- \else
- \item[\hskip\labelsep
- \unhbox\@tempboxa\pointrait]%
- \fi
- \ignorespaces
-}{%
- \MakeQed
- \endtrivlist
- \@endpefalse
-}
-\def\MakeQed{\ifsmf@qed
- \ifx@pushQED\popQED\else\qed\fi
- \fi\global\smf@qedtrue}
-\newif\ifsmf@qed\smf@qedtrue
-\def\skipqed{\global\smf@qedfalse}
-\def\th@plain{%
- \let\thm@indent\noindent
- \thm@headfont{\bfseries\smf@boldmath\itshape}%
- \thm@notefont{\bfseries\smf@boldmath\upshape}%
- \thm@preskip.5\linespacing \@plus .5\linespacing
- \thm@postskip\thm@preskip
- \thm@headpunct{\pointrait}
- \itshape }
-\def\th@definition{\th@plain \upshape }
-\def\th@remark{\th@definition }
-\def\smf@captionsenglish{%
- \def\abstractname{Abstract}%
- \def\contentsname{Contents}%
- \def\partname{Part}%
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- \def\subjclassname
- {\textup{2000} Mathematics Subject Classification}%
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- \let\@makecaption\smf@makecaption
-}
-\def\smf@captionsfrench{%
- \def\abstractname{R\'esum\'e}%
- \def\contentsname{Table des mati\`eres}%
- \def\partname{Partie}%
- \def\chaptername{Chapitre}%
- \def\bibname{Bibliographie}%
- \def\indexname{Index}%
- \def\refname{R\'ef\'erences}%
- \def\altabstractname{Abstract}%
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- \def\figurename{Figure}%
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- \def\tablename{Table}%
- \def\listtablename{Liste des tables}%
- \def\seename{voir}%
- \def\keywordsname{Mots clefs}%
- \def\altkeywordsname{Key words and phrases}%
- \def\subjclassname
- {Classification math\'ematique par sujets \textup{(2000)}}%
- \def\translatedby {Traduit par}%
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- \def\definame{D\'efinition}%
- \def\propname{Proposition}%
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- \def\smfedbyname{\'edit\'e par}%
- \def\smfedname{\'ed.}\def\smfedsname{\'eds.}%
- \def\smfphdthesisname{Th\`ese}%
- \def\smfmastersthesisname{M\'emoire}%
- \csname bbl@nonfrenchlistspacing\endcsname
- \let\@makecaption\smf@makecaption
-}
-\AtBeginDocument{%
- \expandafter\csname smf@captions\smf@language\endcsname
- \ifx\ldf@quit\@undefined % babel n'est pas charge
- \let\@smflanguage\relax
- \let\@smfaltlanguage\relax
- \else
- \expandafter\main@language\expandafter{\smf@language}
- \ifx\captionsfrenchb\@undefined\else
- \addto\captionsfrenchb{\smf@captionsfrench}\fi
- \ifx\captionsfrench\@undefined\else
- \addto\captionsfrench{\smf@captionsfrench}\fi
- \ifx\captionsfrancais\@undefined\else
- \addto\captionsfrancais{\smf@captionsfrench}\fi
- \ifx\captionsenglish\@undefined\else
- \addto\captionsenglish{\smf@captionsenglish}%
- \fi
- \def\@temp{french}%
- \ifx\smf@language\@temp
- \def\@smflanguage{\smf@silentselectlanguage{french}}%
- \def\@smfaltlanguage{\smf@silentselectlanguage{english}}%
- \else
- \def\@smflanguage{\smf@silentselectlanguage{english}}%
- \def\@smfaltlanguage{\smf@silentselectlanguage{french}}%
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- \fi }
-\def\smf@silentselectlanguage#1{%
- \def\smf@tmp{}%
- \expandafter\ifx\csname date#1\endcsname\relax\else
- \def\smf@tmp{\selectlanguage{#1}}\fi\smf@tmp}
-\ProvideTextCommandDefault{\guillemotleft}%
- {\leavevmode\hbox{\fontencoding{U}\fontfamily{lasy}%
- \fontseries{m}\fontshape{n}\selectfont
- (\kern-0.20em(\kern+0.20em}\nobreak}
-\ProvideTextCommandDefault{\guillemotright}%
- {\nobreak\leavevmode
- \hbox{\fontencoding{U}\fontfamily{lasy}%
- \fontseries{m}\fontshape{n}\selectfont
- \kern+0.20em)\kern-0.20em)}}
-\def\nonbreakingspace{\unskip\nobreak\ \ignorespaces}
-\def~{\protect\nonbreakingspace}
-\newif\ifsmf@skippt \smf@skipptfalse
-\def\skippointrait{\global\smf@skippttrue}
-\DeclareRobustCommand{\pointrait}{%
- \unskip
- \ifnum\spacefactor>\@m \hbox{---}\else{\upshape.\hskip 1ex\hbox{---}}\fi}
-\DeclareRobustCommand{\MakePointrait}{%
- \ifsmf@skippt\global\smf@skipptfalse \else\nobreak\pointrait\fi}
-\def\fullwidthdisplay{\displayindent\z@ \displaywidth\columnwidth}
-\edef\@tempa{\noexpand\fullwidthdisplay\the\everydisplay}
-\everydisplay\expandafter{\@tempa}
-\newcommand\see[2]{{\em \seename\/} #1}%
-\calclayout % initialize
-\pagenumbering{arabic}
-\pagestyle{headings}
-\thispagestyle{plain}
-\emergencystretch 2em
-\endinput
-%%
-%% End of file `smfart.cls'.
diff --git a/smfbook-moi.cls b/smfbook-moi.cls
deleted file mode 100644
index c3020e4..0000000
--- a/smfbook-moi.cls
+++ /dev/null
@@ -1,1431 +0,0 @@
-%%
-%% This is file `smfbook.cls',
-%% generated with the docstrip utility.
-%%
-%% The original source files were:
-%%
-%% smfclass.dtx (with options: `book')
-%%
-%%
-%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-%% %% Classes, paquetages pour les publications de la SMF %%
-%% %% (c) 1999-2001 Societe mathematique de France %%
-%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-%%
-%% \CharacterTable
-%% {Upper-case \A\B\C\D\E\F\G\H\I\J\K\L\M\N\O\P\Q\R\S\T\U\V\W\X\Y\Z
-%% Lower-case \a\b\c\d\e\f\g\h\i\j\k\l\m\n\o\p\q\r\s\t\u\v\w\x\y\z
-%% Digits \0\1\2\3\4\5\6\7\8\9
-%% Exclamation \! Double quote \" Hash (number) \#
-%% Dollar \$ Percent \% Ampersand \&
-%% Acute accent \' Left paren \( Right paren \)
-%% Asterisk \* Plus \+ Comma \,
-%% Minus \- Point \. Solidus \/
-%% Colon \: Semicolon \; Less than \<
-%% Equals \= Greater than \> Question mark \?
-%% Commercial at \@ Left bracket \[ Backslash \\
-%% Right bracket \] Circumflex \^ Underscore \_
-%% Grave accent \` Left brace \{ Vertical bar \|
-%% Right brace \} Tilde \~}
-%%
-\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
-\ProvidesClass{smfbook}[2005/03/10 v1.3h
- Classe LaTeX pour les monographies editees par la SMF]
-\def\@classname{smfbook}
-\RequirePackage{amsgen}
-\newcommand{\uppercasenonmath}[1]{\toks@\@emptytoks
- \@xp\@skipmath\@xp\@empty#1$$%
- \edef#1{\@nx\@upprep\the\toks@}%
-}
-\newcommand{\@upprep}{%
- \spaceskip1.3\fontdimen2\font plus1.3\fontdimen3\font
- \upchars@}
-\newcommand{\upchars@}{%
- \def\ss{SS}\def\i{I}\def\j{J}\def\ae{\AE}\def\oe{\OE}%
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-\newcommand{\@skipmath}{}
-\long\def\@skipmath#1$#2${%
- \@xskipmath#1\(\)%
- \@ifnotempty{#2}{\toks@\@xp{\the\toks@$#2$}\@skipmath\@empty}}%
-\newcommand{\@xskipmath}{}
-\long\def\@xskipmath#1\(#2\){%
- \uppercase{\toks@\@xp\@xp\@xp{\@xp\the\@xp\toks@#1}}%
- \@ifnotempty{#2}{\toks@\@xp{\the\toks@\(#2\)}\@xskipmath\@empty}}%
-\def\@smfprotect{\let\smfcr\\\def\\{\protect\smfcr}}
-\DeclareRobustCommand{\MakeUppercase}[1]{{%
- \@smfprotect\upchars@
- \protected@edef\reserved@a{#1}\uppercasenonmath\reserved@a\reserved@a}}
-\protected@edef\MakeUppercase#1{\MakeUppercase{#1}}
-\newcommand{\today}{%
- \relax\ifcase\month\or
- January\or February\or March\or April\or May\or June\or
- July\or August\or September\or October\or November\or December\fi
- \space\number\day, \number\year}
-\DeclareOldFontCommand{\rm}{\normalfont\rmfamily}{\mathrm}
-\DeclareOldFontCommand{\sf}{\normalfont\sffamily}{\mathsf}
-\DeclareOldFontCommand{\tt}{\normalfont\ttfamily}{\mathtt}
-\DeclareOldFontCommand{\bf}{\normalfont\bfseries}{\mathbf}
-\DeclareOldFontCommand{\it}{\normalfont\itshape}{\mathit}
-\DeclareOldFontCommand{\sl}{\normalfont\slshape}{\@nomath\sl}
-\DeclareOldFontCommand{\sc}{\normalfont\scshape}{\@nomath\sc}
-\newcommand{\larger}[1][1]{%
- \count@\@currsizeindex \advance\count@#1\relax
- \ifnum\count@<\z@ \count@\z@
- \else\ifnum\count@>12 \count@12 \fi\fi
- \ifcase\count@
- \Tiny\or\Tiny\or\tiny\or\SMALL\or\Small\or\small
- \or\normalsize
- \or\large\or\Large\or\LARGE\or\huge\or\Huge\else\Huge
- \fi
-}
-\newcommand{\smaller}[1][1]{\larger[-#1]}
-\def\@adjustvertspacing{%
- \bigskipamount.7\baselineskip plus.7\baselineskip
- \medskipamount\bigskipamount \divide\medskipamount\tw@
- \smallskipamount\medskipamount \divide\smallskipamount\tw@
- \abovedisplayskip\medskipamount
- \belowdisplayskip \abovedisplayskip
- \abovedisplayshortskip\abovedisplayskip
- \advance\abovedisplayshortskip-1\abovedisplayskip
- \belowdisplayshortskip\abovedisplayshortskip
- \advance\belowdisplayshortskip 1\smallskipamount
- \jot\baselineskip \divide\jot 4 \relax
-}
-\renewcommand\normalsize{\@xsetfontsize\normalsize 6%
- \@adjustvertspacing \let\@listi\@listI}
-\newcommand\Tiny{\@xsetfontsize\Tiny 1}
-\newcommand\tiny{\@xsetfontsize\tiny 2}
-\newcommand\SMALL{\@xsetfontsize\SMALL 3}
-\newcommand\Small{\@xsetfontsize\Small 4%
- \@adjustvertspacing
- \def\@listi{\topsep\smallskipamount \parsep\z@skip
- \itemsep\z@skip}}
-\newcommand\small{\@xsetfontsize\small 5\@adjustvertspacing}
-\def\footnotesize{\Small}
-\def\scriptsize{\SMALL}
-\newcommand\large{\@xsetfontsize\large 7\@adjustvertspacing}
-\newcommand\Large{\@xsetfontsize\Large 8\@adjustvertspacing}
-\newcommand\LARGE{\@xsetfontsize\LARGE 9}
-\newcommand\huge{\@xsetfontsize\huge{10}}
-\newcommand\Huge{\@xsetfontsize\Huge{11}}
-\def\@xsetfontsize#1#2{%
- \chardef\@currsizeindex#2\relax
- \edef\@tempa{\@nx\@setfontsize\@nx#1%
- \@xp\ifcase\@xp\@currsizeindex\@typesizes
- \else{99}{99}\fi}%
- \@tempa
-}
-\chardef\@currsizeindex=6
-\widowpenalty=10000
-\clubpenalty=10000
-\brokenpenalty=10000
-\newdimen\linespacing
-\lineskip=1pt \normallineskip=1pt
-\lineskiplimit=1pt \normallineskiplimit=1pt
-\def\baselinestretch{1} %% 1.1 is better
-\textheight 21.5cm
-\textwidth 13cm
-\headheight=10pt
-\headsep 10mm
-\footskip 10mm % was .7
-\columnsep=10pt \columnseprule=0pt
-\marginparsep=10pt
-\marginparpush=5pt
-\marginparwidth=90pt
-\newskip\normaltopskip
-\skip\footins=12pt plus12pt
-\skip\@mpfootins=\skip\footins
-
-\fboxsep=3pt \fboxrule=.4pt
-
-\arrayrulewidth=.4pt \doublerulesep=2pt
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-\tabcolsep=\labelsep \tabbingsep=\labelsep
-
-\floatsep=15pt plus 12pt \dblfloatsep=15pt plus 12pt
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-
-\@fptop=0pt plus1fil \@dblfptop=0pt plus1fil
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-
-\newdimen\normalparindent
-\normalparindent=12pt
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-
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-\def\calclayout{\normalsize
- \topskip\normaltopskip
- \settoheight{\footnotesep}{\normalfont\footnotesize M$^1$}%
- \@tempdima=\textheight
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-
- \topmargin\paperheight \advance\topmargin -\textheight
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- \ifdim\topmargin<.5truein \topmargin.5truein \fi
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-\def\ps@empty{\let\@mkboth\@gobbletwo
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- \protect\maketitle\space in SMF documentclasses; reported}%
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- \protect\maketitle\space in SMF documentclasses; reported}%
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- \let\maketitle\relax \let\@maketitle\relax }
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- \def\and{\par\medskip}\authors\par
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- \hrule height 1pt
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- \clearpage\thispagestyle{copyright}
- \markboth{\@nx\shortauthors}{\@nx\shorttitle}
- %% INSERER UNE IMAGE
- \null
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- \begin{center}\Large\bfseries\smf@boldmath
- {\MakeUppercase\@title\par}
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-\def\labelitemi{\bfseries --}% \upshape already done by \itemize
-\def\labelitemii{$\m@th\bullet$}
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-\def\verse{\let\\\@centercr
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-\def\quotation{\list{}{%
- \leftmargin3pc \listparindent\normalparindent
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-\let\endquotation=\endlist
-\def\quote{\list{}{\rightmargin\leftmargin}\item[]}
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-\newcommand{\descriptionlabel}[1]{\hspace\labelsep
- \upshape\bfseries\smf@boldmath #1\unskip\ :}
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- \advance\leftmargini6\p@ \itemindent-12\p@
- \labelwidth\z@ \let\makelabel\descriptionlabel}}
-\let\enddescription=\endlist
-\AtBeginDocument{%
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- \centering
- \ifnum \c@secnumdepth >-2\relax
- {\huge\bfseries\smf@boldmath
- \MakeUppercase{\partname\ \thepart}}
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- \huge\bfseries\smf@boldmath
- \MakeUppercase{#1}\par
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- \endgroup
- \newpage\thispagestyle{empty}}
-
-\def\@spart#1{\addcontentsline{toc}{part}{\protect\noindent#1}%
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- \centering
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- \endgroup
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- \csname r@maxlabelwd\the\smf@nthebib\endcsname
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- \usecounter{enumiv}%
- \itemindent 0pt
- \itemsep .7\baselineskip plus0.1\baselineskip
- minus0.2\baselineskip
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- \sloppy \clubpenalty\@M \widowpenalty\clubpenalty
- \sfcode`\.=\@m
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- \@latex@warning{Empty `thebibliography' environment}}% ' (hack)
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- \expandafter\let\csname cite \endcsname\cite
- \edef\cite{\@nx\protect\@xp\@nx\csname cite \endcsname}%
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- \parindent\z@ \parskip\z@\@plus.3\p@\relax
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-%% \def\captionfont@{\normalfont}
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- {\@cdr#2\@nil}{\@addpunct{.}\@captionfont\rmfamily\upshape\enspace#2}%
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- \global\setbox\@ne\lastbox\color@endgroup}%
- \ifhbox\@ne % the normal case
- \setbox\@ne\hbox{\unhbox\@ne\unskip\unskip\unpenalty\unkern}%
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- \ifdim\wd\@tempboxa=\z@ % this means caption will fit on one line
- \setbox\@ne\hbox to\columnwidth{\hss\kern-2\captionindent\box\@ne\hss}%
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- \wd\@ne\@tempdima
- \else % tempboxa contained more than one line
- \setbox\@ne\vbox{\rightskip=0pt plus\captionindent\relax
- \unvbox\@tempboxa\parskip\z@skip
- \noindent\unhbox\@ne\advance\hsize-2\captionindent\par}%
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- \ifnum\@tempcnta<64 % if the float IS a figure...
- \addvspace\abovecaptionskip
- \noindent\kern\captionindent\box\@ne
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- \nobreak
- \vskip\belowcaptionskip
- \fi
-\relax
-}
-\let\@makecaption\smf@makecaption
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-\RequirePackage{amsthm}
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- {Classification math\'ematique par sujets \textup{(2000)}}%
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-\AtBeginDocument{%
- \expandafter\csname smf@captions\smf@language\endcsname
- \ifx\ldf@quit\@undefined % babel n'est pas charge
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- \ifx\captionsfrench\@undefined\else
- \addto\captionsfrench{\smf@captionsfrench}\fi
- \ifx\captionsfrancais\@undefined\else
- \addto\captionsfrancais{\smf@captionsfrench}\fi
- \ifx\captionsenglish\@undefined\else
- \addto\captionsenglish{\smf@captionsenglish}%
- \fi
- \def\@temp{french}%
- \ifx\smf@language\@temp
- \def\@smflanguage{\smf@silentselectlanguage{french}}%
- \def\@smfaltlanguage{\smf@silentselectlanguage{english}}%
- \else
- \def\@smflanguage{\smf@silentselectlanguage{english}}%
- \def\@smfaltlanguage{\smf@silentselectlanguage{french}}%
- \fi
- \fi }
-\def\smf@silentselectlanguage#1{%
- \def\smf@tmp{}%
- \expandafter\ifx\csname date#1\endcsname\relax\else
- \def\smf@tmp{\selectlanguage{#1}}\fi\smf@tmp}
-\ProvideTextCommandDefault{\guillemotleft}%
- {\leavevmode\hbox{\fontencoding{U}\fontfamily{lasy}%
- \fontseries{m}\fontshape{n}\selectfont
- (\kern-0.20em(\kern+0.20em}\nobreak}
-\ProvideTextCommandDefault{\guillemotright}%
- {\nobreak\leavevmode
- \hbox{\fontencoding{U}\fontfamily{lasy}%
- \fontseries{m}\fontshape{n}\selectfont
- \kern+0.20em)\kern-0.20em)}}
-\def\nonbreakingspace{\unskip\nobreak\ \ignorespaces}
-\def~{\protect\nonbreakingspace}
-\newif\ifsmf@skippt \smf@skipptfalse
-\def\skippointrait{\global\smf@skippttrue}
-\DeclareRobustCommand{\pointrait}{%
- \unskip
- \ifnum\spacefactor>\@m \hbox{---}\else{\upshape.\hskip 1ex\hbox{---}}\fi}
-\DeclareRobustCommand{\MakePointrait}{%
- \ifsmf@skippt\global\smf@skipptfalse \else\nobreak\pointrait\fi}
-\def\fullwidthdisplay{\displayindent\z@ \displaywidth\columnwidth}
-\edef\@tempa{\noexpand\fullwidthdisplay\the\everydisplay}
-\everydisplay\expandafter{\@tempa}
-\newcommand\see[2]{{\em \seename\/} #1}%
-\calclayout % initialize
-\pagenumbering{arabic}
-\pagestyle{headings}
-\thispagestyle{plain}
-\emergencystretch 2em
-\endinput
-%%
-%% End of file `smfbook.cls'.
diff --git a/smfthm-moi.sty b/smfthm-moi.sty
deleted file mode 100644
index 02b254a..0000000
--- a/smfthm-moi.sty
+++ /dev/null
@@ -1,85 +0,0 @@
-%%
-%% This is file `smfthm.sty',
-%% generated with the docstrip utility.
-%%
-%% The original source files were:
-%%
-%% smfclass.dtx (with options: `smfthm')
-%%
-%%
-%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-%% %% Classes, paquetages pour les publications de la SMF %%
-%% %% (c) 1999-2001 Societe mathematique de France %%
-%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-%%
-%% \CharacterTable
-%% {Upper-case \A\B\C\D\E\F\G\H\I\J\K\L\M\N\O\P\Q\R\S\T\U\V\W\X\Y\Z
-%% Lower-case \a\b\c\d\e\f\g\h\i\j\k\l\m\n\o\p\q\r\s\t\u\v\w\x\y\z
-%% Digits \0\1\2\3\4\5\6\7\8\9
-%% Exclamation \! Double quote \" Hash (number) \#
-%% Dollar \$ Percent \% Ampersand \&
-%% Acute accent \' Left paren \( Right paren \)
-%% Asterisk \* Plus \+ Comma \,
-%% Minus \- Point \. Solidus \/
-%% Colon \: Semicolon \; Less than \<
-%% Equals \= Greater than \> Question mark \?
-%% Commercial at \@ Left bracket \[ Backslash \\
-%% Right bracket \] Circumflex \^ Underscore \_
-%% Grave accent \` Left brace \{ Vertical bar \|
-%% Right brace \} Tilde \~}
-%%
-\ProvidesPackage{smfthm-moi}[1999/03/05 v1.0.h
- Environnements predefinis de theoremes]
-\newif\ifsmf@thmsin\smf@thmsintrue
-\def\NumberTheoremsIn#1{\@ifempty{#1}%
- {\smf@thmsinfalse}%
- {\@ifundefined{c@#1}{\@nocounterr{#1}}%
- {\smf@thmsintrue\def\@NumberTheorems{#1}}}}
- \NumberTheoremsIn{section}
-\def\NumberTheoremsAs#1{\@ifempty{#1}%
- {\smf@thmsintrue}%
- {\@ifundefined{c@#1}{\@nocounterr{#1}}%
- {\smf@thmsinfalse\def\@NumberTheorems{#1}}}}
- \NumberTheoremsAs{}
-\def\SwapTheoremNumbers{\def\thm@swap{S}}
-\def\NoSwapTheoremNumbers{\def\thm@swap{N}}
- \NoSwapTheoremNumbers
-\def\smf@thmdefs{%
- \theoremstyle{plain}
- \ifsmf@thmsin
- \newcounter{smfthm}[\@NumberTheorems]
- \xdef\thesmfthm
- {\expandafter\noexpand\csname the\@NumberTheorems\endcsname
- .\noexpand\arabic{smfthm}}%
- \gdef\smf@thm{smfthm}
- \else
- \xdef\smf@thm{\@NumberTheorems}
- \fi
- \newtheorem{theo}[\smf@thm]{\theoname}%
- \newtheorem{prop}[\smf@thm]{\propname}%
- \newtheorem{conj}[\smf@thm]{\conjname}%
- \newtheorem{coro}[\smf@thm]{\coroname}%
- \newtheorem{lemm}[\smf@thm]{\lemmname}%
- \theoremstyle{definition}%
- \newtheorem{defi}[\smf@thm]{\definame}%
- \theoremstyle{remark}%
- \newtheorem{rema}[\smf@thm]{\remaname}%
- \newtheorem{exem}[\smf@thm]{\exemname}%
- \theoremstyle{plain}}
-\def\smf@enoncedef{%
- \newenvironment{enonce}[2][plain]%
- {\let\smfenonce\relax \theoremstyle{##1}%
- \newtheorem{smfenonce}[\smf@thm]{##2}%
- \begin{smfenonce}}%
- {\end{smfenonce}}%
- \newenvironment{enonce*}[2][plain]%
- {\let\smfenonce\relax \theoremstyle{##1}%
- \newtheorem*{smfenonce}{##2}%
- \begin{smfenonce}}%
- {\end{smfenonce}}%
-}
-\AtBeginDocument{%
- \smf@thmdefs\smf@enoncedef}
-\endinput
-%%
-%% End of file `smfthm.sty'.
diff --git a/test/foo b/test/foo
deleted file mode 100644
index a2ee799..0000000
--- a/test/foo
+++ /dev/null
@@ -1,3 +0,0 @@
-Répertoire pour faire des tests.
-Machintruc.
-Ça marche.
diff --git a/uni-3.def b/uni-3.def
deleted file mode 100644
index b16b726..0000000
--- a/uni-3.def
+++ /dev/null
@@ -1,262 +0,0 @@
-%%% Unicode to TeX mapping, file uni-3.def, U+0300..U+03FF, autogenerated by makeunidef.pl
-\ifx\ProvidesFile\undefined\else
-\ProvidesFile{uni-3.def}[2004/10/17 UCS: Unicode data U+0300..U+03FF]%
-\fi
-\uc@dclc{768}{default}{\uc@cmb\@tabacckludge`{#1}}%
-\uc@dclc{769}{default}{\uc@cmb\@tabacckludge'{#1}}%
-\uc@dclc{770}{default}{\uc@cmb\^{#1}}%
-\uc@dclc{771}{default}{\uc@cmb\~{#1}}%
-\uc@dclc{772}{default}{\uc@cmb\@tabacckludge={#1}}%
-\uc@dclc{774}{default}{\uc@cmb\u{#1}}%
-\uc@dclc{775}{default}{\uc@cmb\.{#1}}%
-\uc@dclc{776}{default}{\uc@cmb\"{#1}}%
-\uc@dclc{777}{default}{\uc@cmb\h{#1}}%
-\uc@dclc{778}{default}{\uc@cmb\r{#1}}%
-\uc@dclc{779}{default}{\uc@cmb\H{#1}}%
-\uc@dclc{780}{default}{\uc@cmb\v{#1}}%
-\uc@dclc{781}{tipa}{\uc@cmb\textvbaraccent{#1}}%
-\uc@dclc{782}{tipa}{\uc@cmb\textdoublevbaraccent{#1}}%
-\uc@dclc{783}{default}{\uc@cmb\textdblgravecmb{#1}}%
-\uc@dclc{783}{tipa}{\uc@cmb\textdoublegrave{#1}}%
-\uc@dclc{784}{tipa}{\uc@cmb\textdotbreve{#1}}%
-\uc@dclc{785}{tipa}{\uc@cmb\textroundcap{#1}}%
-\uc@dclc{790}{tipa}{\uc@cmb\textsubgrave{#1}}%
-\uc@dclc{791}{tipa}{\uc@cmb\textsubacute{#1}}%
-\uc@dclc{792}{tipa}{\uc@cmb\textadvancing{#1}}%
-\uc@dclc{793}{tipa}{\uc@cmb\textretracting{#1}}%
-\uc@dclc{796}{tipa}{\uc@cmb\textsublhalfring{#1}}%
-\uc@dclc{797}{tipa}{\uc@cmb\textraising{#1}}%
-\uc@dclc{798}{tipa}{\uc@cmb\textlowering{#1}}%
-\uc@dclc{799}{tipa}{\uc@cmb\textsubplus{#1}}%
-\uc@dclc{800}{tipa}{\uc@cmb\textsubbar{#1}}%
-\uc@dclc{803}{default}{\uc@cmb\d{#1}}%
-\uc@dclc{803}{tipa}{\uc@cmb\textsubdot{#1}}%
-\uc@dclc{804}{tipa}{\uc@cmb\textsubumlaut{#1}}%
-\uc@dclc{805}{tipa}{\uc@cmb\textsubring{#1}}%
-\uc@dclc{807}{default}{\uc@cmb\c{#1}}%
-\uc@dclc{808}{default}{\uc@cmb\k{#1}}%
-\uc@dclc{808}{tipa}{\uc@cmb\textpolhook{#1}}%
-\uc@dclc{809}{tipa}{\uc@cmb\textsyllabic{#1}}%
-\uc@dclc{810}{tipa}{\uc@cmb\textsubbridge{#1}}%
-\uc@dclc{811}{tipa}{\uc@cmb\textsubw{#1}}%
-\uc@dclc{812}{tipa}{\uc@cmb\textsubwedge{#1}}%
-\gdef \charettesubbreve#1{\oalign{#1\crcr\hidewidth% BREVE BELOW U+032E
- \vbox to.2ex{\hbox{\ifnum\fontdimen1\font=0%
- \kern-0.0em\else\kern-0.40em\fi\u{}}\vss}\hidewidth}}%
-\uc@dclc{814}{default}{\uc@cmb\charettesubbreve{#1}}%
-\uc@dclc{815}{tipa}{\uc@cmb\textsubarch{#1}}%
-\uc@dclc{816}{tipa}{\uc@cmb\textsubtilde{#1}}%
-\uc@dclc{817}{default}{\uc@cmb\b{#1}}%
-\uc@dclc{820}{tipa}{\uc@cmb\textsuperimposetilde{#1}}%
-\uc@dclc{825}{tipa}{\uc@cmb\textsubrhalfring{#1}}%
-\uc@dclc{826}{tipa}{\uc@cmb\textinvsubbridge{#1}}%
-\uc@dclc{827}{tipa}{\uc@cmb\textsubsquare{#1}}%
-\uc@dclc{828}{tipa}{\uc@cmb\textseagull{#1}}%
-\uc@dclc{829}{tipa}{\uc@cmb\textovercross{#1}}%
-\uc@dclc{832}{default}{\uc@cmb\PackageWarning{ucs}{U+0340 (COMBINING GRAVE TONE MARK) is deprecated}\`{#1}}%
-\uc@dclc{833}{default}{\uc@cmb\PackageWarning{ucs}{U+0341 (COMBINING ACUTE TONE MARK) is deprecated}\'{#1}}%
-\uc@dclc{836}{autogenerated}{\unichar{776}\unichar{769}}%
-\uc@dclc{838}{tipa}{\uc@cmb\overbridge{#1}}%
-\uc@dclc{839}{tipa}{\uc@cmb\subdoublebar{#1}}%
-\uc@dclc{840}{tipa}{\uc@cmb\subdoublevert{#1}}%
-\uc@dclc{841}{tipa}{\uc@cmb\subcorner{#1}}%
-\uc@dclc{842}{tipa}{\uc@cmb\crtilde{#1}}%
-\uc@dclc{843}{tipa}{\uc@cmb\dottedtilde{#1}}%
-\uc@dclc{844}{tipa}{\uc@cmb\doubletilde{#1}}%
-\uc@dclc{845}{tipa}{\uc@cmb\spreadlips{#1}}%
-\uc@dclc{846}{tipa}{\uc@cmb\whistle{#1}}%
-\uc@dclc{884}{default}{\textdexiakeraia}%
-\uc@dclc{885}{default}{\textaristerikeraia}%
-\uc@dclc{890}{default}{\textsubiota{\empty}}%
-\uc@dclc{894}{default}{\textquestion}%
-\uc@dclc{900}{default}{\@tabacckludge'{\empty}}%
-\uc@dclc{901}{default}{\textdialytikatonos{\empty}}%
-\uc@dclc{902}{default}{\@tabacckludge'\textAlpha}%
-\uc@dclc{903}{default}{\textanoteleia}%
-\uc@dclc{904}{default}{\@tabacckludge'\textEpsilon}%
-\uc@dclc{905}{default}{\@tabacckludge'\textEta}%
-\uc@dclc{906}{default}{\@tabacckludge'\textIota}%
-\uc@dclc{908}{default}{\@tabacckludge'\textOmicron}%
-\uc@dclc{910}{default}{\@tabacckludge'\textUpsilon}%
-\uc@dclc{911}{default}{\@tabacckludge'\textOmega}%
-\uc@dclc{912}{default}{\textdialytikatonos\textiota}%
-\uc@dclc{913}{default}{\textAlpha}%
-\uc@dclc{913}{mathletters}{\ensuremath{\mathrm A}}%
-\uc@dclc{913}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"41}}%
-\uc@dclc{914}{default}{\textBeta}%
-\uc@dclc{914}{mathletters}{\ensuremath{\mathrm B}}%
-\uc@dclc{914}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"42}}%
-\uc@dclc{915}{default}{\textGamma}%
-\uc@dclc{915}{mathletters}{\ensuremath{\Gamma}}%
-\uc@dclc{915}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"47}}%
-\uc@dclc{916}{default}{\textDelta}%
-\uc@dclc{916}{mathletters}{\ensuremath{\Delta}}%
-\uc@dclc{917}{default}{\textEpsilon}%
-\uc@dclc{917}{mathletters}{\ensuremath{\mathrm E}}%
-\uc@dclc{917}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"45}}%
-\uc@dclc{918}{default}{\textZeta}%
-\uc@dclc{918}{mathletters}{\ensuremath{\mathrm Z}}%
-\uc@dclc{918}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"5A}}%
-\uc@dclc{919}{default}{\textEta}%
-\uc@dclc{919}{mathletters}{\ensuremath{\mathrm H}}%
-\uc@dclc{919}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"48}}%
-\uc@dclc{920}{default}{\textTheta}%
-\uc@dclc{920}{mathletters}{\ensuremath{\Theta}}%
-\uc@dclc{920}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"51}}%
-\uc@dclc{921}{default}{\textIota}%
-\uc@dclc{921}{mathletters}{\ensuremath{\mathrm I}}%
-\uc@dclc{921}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"49}}%
-\uc@dclc{922}{default}{\textKappa}%
-\uc@dclc{922}{mathletters}{\ensuremath{\mathrm K}}%
-\uc@dclc{922}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"4B}}%
-\uc@dclc{923}{default}{\textLambda}%
-\uc@dclc{923}{mathletters}{\ensuremath{\Lambda}}%
-\uc@dclc{923}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"4C}}%
-\uc@dclc{924}{default}{\textMu}%
-\uc@dclc{924}{mathletters}{\ensuremath{\mathrm M}}%
-\uc@dclc{924}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"4D}}%
-\uc@dclc{925}{default}{\textNu}%
-\uc@dclc{925}{mathletters}{\ensuremath{\mathrm N}}%
-\uc@dclc{925}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"4E}}%
-\uc@dclc{926}{default}{\textXi}%
-\uc@dclc{926}{mathletters}{\ensuremath{\Xi}}%
-\uc@dclc{926}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"58}}%
-\uc@dclc{927}{default}{\textOmicron}%
-\uc@dclc{927}{mathletters}{\ensuremath{\mathrm O}}%
-\uc@dclc{927}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"4F}}%
-\uc@dclc{928}{default}{\textPi}%
-\uc@dclc{928}{mathletters}{\ensuremath{\Pi}}%
-\uc@dclc{928}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"50}}%
-\uc@dclc{929}{default}{\textRho}%
-\uc@dclc{929}{mathletters}{\ensuremath{\mathrm P}}%
-\uc@dclc{929}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"52}}%
-\uc@dclc{931}{default}{\textSigma}%
-\uc@dclc{931}{mathletters}{\ensuremath{\Sigma}}%
-\uc@dclc{931}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"53}}%
-\uc@dclc{932}{default}{\textTau}%
-\uc@dclc{932}{mathletters}{\ensuremath{\mathrm T}}%
-\uc@dclc{932}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"54}}%
-\uc@dclc{933}{default}{\textUpsilon}%
-\uc@dclc{933}{mathletters}{\ensuremath{\Upsilon}}%
-\uc@dclc{933}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"55}}%
-\uc@dclc{934}{default}{\textPhi}%
-\uc@dclc{934}{mathletters}{\ensuremath{\Phi}}%
-\uc@dclc{934}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"46}}%
-\uc@dclc{935}{default}{\textChi}%
-\uc@dclc{935}{mathletters}{\ensuremath{\mathrm X}}%
-\uc@dclc{935}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"43}}%
-\uc@dclc{936}{default}{\textPsi}%
-\uc@dclc{936}{mathletters}{\ensuremath{\Psi}}%
-\uc@dclc{936}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"59}}%
-\uc@dclc{937}{default}{\textOmega}%
-\uc@dclc{937}{mathletters}{\ensuremath{\Omega}}%
-\uc@dclc{937}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"57}}%
-\uc@dclc{938}{default}{\"\textIota}%
-\uc@dclc{939}{default}{\"\textUpsilon}%
-\uc@dclc{940}{default}{\@tabacckludge'\textalpha}%
-\uc@dclc{941}{default}{\@tabacckludge'\textepsilon}%
-\uc@dclc{942}{default}{\@tabacckludge'\texteta}%
-\uc@dclc{943}{default}{\@tabacckludge'\textiota}%
-\uc@dclc{944}{default}{\textdialytikatonos\textupsilon}%
-\uc@dclc{945}{default}{\textalpha}%
-\uc@dclc{945}{mathletters}{\ensuremath{\alpha}}%
-\uc@dclc{945}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"61}}%
-\uc@dclc{946}{default}{\textbeta}%
-\uc@dclc{946}{mathletters}{\ensuremath{\beta}}%
-\uc@dclc{946}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"62}}%
-\uc@dclc{947}{default}{\textgamma}%
-\uc@dclc{947}{mathletters}{\ensuremath{\gamma}}%
-\uc@dclc{947}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"67}}%
-\uc@dclc{948}{default}{\textdelta}%
-\uc@dclc{948}{mathletters}{\ensuremath{\delta}}%
-\uc@dclc{948}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"64}}%
-\uc@dclc{949}{default}{\textepsilon}%
-\uc@dclc{949}{mathletters}{\ensuremath{\varepsilon}}%
-\uc@dclc{949}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"65}}%
-\uc@dclc{950}{default}{\textzeta}%
-\uc@dclc{950}{mathletters}{\ensuremath{\zeta}}%
-\uc@dclc{950}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"7A}}%
-\uc@dclc{951}{default}{\texteta}%
-\uc@dclc{951}{mathletters}{\ensuremath{\eta}}%
-\uc@dclc{951}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"68}}%
-\uc@dclc{952}{default}{\texttheta}%
-\uc@dclc{952}{mathletters}{\ensuremath{\vartheta}}%
-\uc@dclc{952}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"71}}%
-\uc@dclc{953}{default}{\textiota}%
-\uc@dclc{953}{mathletters}{\ensuremath{\iota}}%
-\uc@dclc{953}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"69}}%
-\uc@dclc{954}{default}{\textkappa}%
-\uc@dclc{954}{mathletters}{\ensuremath{\kappa}}%
-\uc@dclc{954}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"6B}}%
-\uc@dclc{955}{default}{\textlambda}%
-\uc@dclc{955}{mathletters}{\ensuremath{\lambda}}%
-\uc@dclc{955}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"6C}}%
-\uc@dclc{956}{default}{\textmu}%
-\uc@dclc{956}{mathletters}{\ensuremath{\mu}}%
-\uc@dclc{956}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"6D}}%
-\uc@dclc{957}{default}{\textnu}%
-\uc@dclc{957}{mathletters}{\ensuremath{\nu}}%
-\uc@dclc{957}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"6E}}%
-\uc@dclc{958}{default}{\textxi}%
-\uc@dclc{958}{mathletters}{\ensuremath{\xi}}%
-\uc@dclc{958}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"78}}%
-\uc@dclc{959}{default}{\textomicron}%
-\uc@dclc{959}{mathletters}{\ensuremath{o}}%
-\uc@dclc{959}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"6F}}%
-\uc@dclc{960}{default}{\textpi}%
-\uc@dclc{960}{mathletters}{\ensuremath{\pi}}%
-\uc@dclc{960}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"70}}%
-\uc@dclc{961}{default}{\textrho}%
-\uc@dclc{961}{mathletters}{\ensuremath{\varrho}}%
-\uc@dclc{961}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"72}}%
-\uc@dclc{962}{default}{\textvarsigma}%
-\uc@dclc{962}{mathletters}{\ensuremath{\varsigma}}%
-\uc@dclc{962}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"56}}%
-\uc@dclc{963}{default}{\textsigma}%
-\uc@dclc{963}{mathletters}{\ensuremath{\sigma}}%
-\uc@dclc{963}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"73}}%
-\uc@dclc{964}{default}{\texttau}%
-\uc@dclc{964}{mathletters}{\ensuremath{\tau}}%
-\uc@dclc{964}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"74}}%
-\uc@dclc{965}{default}{\textupsilon}%
-\uc@dclc{965}{mathletters}{\ensuremath{\upsilon}}%
-\uc@dclc{965}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"75}}%
-\uc@dclc{966}{default}{\textphi}%
-\uc@dclc{966}{mathletters}{\ensuremath{\varphi}}%
-\uc@dclc{966}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"66}}%
-\uc@dclc{967}{default}{\textchi}%
-\uc@dclc{967}{mathletters}{\ensuremath{\chi}}%
-\uc@dclc{967}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"63}}%
-\uc@dclc{968}{default}{\textpsi}%
-\uc@dclc{968}{mathletters}{\ensuremath{\psi}}%
-\uc@dclc{968}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"79}}%
-\uc@dclc{969}{default}{\textomega}%
-\uc@dclc{969}{mathletters}{\ensuremath{\omega}}%
-\uc@dclc{969}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"77}}%
-\uc@dclc{970}{default}{\"\textiota}%
-\uc@dclc{971}{default}{\"\textupsilon}%
-\uc@dclc{972}{default}{\@tabacckludge'\textomicron}%
-\uc@dclc{973}{default}{\@tabacckludge'\textupsilon}%
-\uc@dclc{974}{default}{\@tabacckludge'\textomega}%
-\uc@dclc{976}{autogenerated}{\unichar{946}}%
-\uc@dclc{977}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"4A}}%
-\uc@dclc{978}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"A1}}%
-\uc@dclc{979}{autogenerated}{\unichar{978}\unichar{769}}%
-\uc@dclc{980}{autogenerated}{\unichar{978}\unichar{776}}%
-\uc@dclc{981}{postscript}{\Pisymbol{psy}{"6A}}%
-\uc@dclc{982}{mathletters}{\ensuremath{\varpi}}%
-\uc@dclc{987}{default}{\textstigma}%
-\uc@dclc{988}{default}{\textDigamma}%
-\uc@dclc{989}{default}{\textdigamma}%
-\uc@dclc{991}{default}{\textqoppa}%
-\uc@dclc{993}{default}{\textsanpi}%
-\uc@dclc{1008}{autogenerated}{\unichar{954}}%
-\uc@dclc{1009}{autogenerated}{\unichar{961}}%
-\uc@dclc{1010}{autogenerated}{\unichar{962}}%
-\uc@dclc{1012}{autogenerated}{\unichar{920}}%
-\uc@dclc{1013}{autogenerated}{\unichar{949}}%
-\uc@dclc{1017}{autogenerated}{\unichar{931}}%
-%%% Local Variables:
-%%% mode: latex
-%%% coding: utf-8
-%%% End:
diff --git a/uni-33.def b/uni-33.def
deleted file mode 100644
index 92a85fe..0000000
--- a/uni-33.def
+++ /dev/null
@@ -1,145 +0,0 @@
-%%% Unicode to TeX mapping, file uni-33.def, U+2100..U+21FF, autogenerated by makeunidef.pl
-\ifx\ProvidesFile\undefined\else
-\ProvidesFile{uni-33.def}[2004/10/17 UCS: Unicode data U+2100..U+21FF]%
-\fi
-\uc@dclc{8448}{autogenerated}{\unichar{97}\unichar{47}\unichar{99}}%
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-\uc@dclc{8450}{default}{\ensuremath{\mathbf C}}%
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deleted file mode 100644
index e5992e9..0000000
--- a/uni-global.def
+++ /dev/null
@@ -1,32 +0,0 @@
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-\ProvidesFile{uni-global.def}[2005/04/14 UCS: Unicode global data]%
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-\ifx\newenvironment\undefined\else\newenvironment{ucjk}{\ifx\toplevel@ucjk\undefined\begin{CJK}{JIS}{}\restore@utf@viii@actives\fi\bgroup\let\toplevel@ucjk1}{\egroup\ifx\toplevel@ucjk\undefined\end{CJK}\fi}\fi
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- \math@fontsfalse\selectfont,}\hidewidth}\egroup}
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-\ProvideTextCommandDefault{\textonehalf}{\ensuremath{\frac{1}{2}}}
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