diff options
author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2013-01-18 17:20:31 +0100 |
---|---|---|
committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2013-01-18 17:20:31 +0100 |
commit | 8898bdb2be8a230d1ac1b778f603d29841216707 (patch) | |
tree | efd3a2535f9e85dff16e07ff532b3f7e179663e5 | |
parent | d09a89de06f8d18a2dba9f580b553170e166cae0 (diff) | |
parent | 24cf006f080488fa6fb791410528dfc00cf15d00 (diff) | |
download | galois-8898bdb2be8a230d1ac1b778f603d29841216707.tar.gz galois-8898bdb2be8a230d1ac1b778f603d29841216707.tar.bz2 galois-8898bdb2be8a230d1ac1b778f603d29841216707.zip |
2013-1-18 (17h20)
Merge branch 'master' of git.madore.org:galois
-rw-r--r-- | chapitres/bases-groebner.tex | 61 |
1 files changed, 59 insertions, 2 deletions
diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index 38554a0..6b99a29 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -1567,14 +1567,71 @@ et on a \begin{align*} X^d + \sum_{i=1}^d (-1)^i E_i X^{d-i} &= \mathfrak{C}_1(\underline{E} | T_1) + (X-T_1)\, -\mathfrak{C}_2(\underline{E} | T_1,T_2) \\ +\mathfrak{C}_2(\underline{E} | T_1,T_2) \\[-1.5ex] & + \cdots + (X-T_1)\cdots(X-T_{d-1})\, \mathfrak{C}_d(\underline{E} | T_1,\ldots,T_{d-1})\\ &+ (X-T_1)\cdots(X-T_d) \end{align*} (où $\underline{E}$ est une abréviation pour $E_1,\ldots,E_d$). \end{lemme2} -\XXX +\begin{proof} +Commençons par montrer la relation +\[ +\mathfrak{F}_i(W_1,\ldots,W_d | T_1,\ldots,T_i) += \sum_{j=0}^{d-i+1} (-1)^j e_j(W_1,\ldots,W_d)\, h_{d-i+1-j}(T_1,\ldots,T_i) +\] +par récurrence sur $i$. Pour $i=1$, il s'agit simplement de la +relation $\prod_{i=1}^d(T-W_i) = \sum_{j=0}^d (-1)^j +e_j(W_1,\ldots,W_d)\, T^{d-j}$ entre coefficients d'un polynôme et +fonctions symétriques de ses racines. La relation de récurrence +découle de +\[ +(T_i - T_{i+1})\, h_n(T_1,\ldots,T_{i+1}) = h_{n+1}(T_1,\ldots,T_{i-1},T_i) +- h_{n+1}(T_1,\ldots,T_{i-1},T_{i+1}) +\] +(ce qui traduit pour le membre de droite de l'égalité ci-dessus la +même relation de récurrence que pour $\mathfrak{F}_i$). Pour montrer +cette relation, on écrit $h_{n+1}(T_1,\ldots,T_{i-1},T') = +\sum_{u=0}^{n+1} T^{\prime u} h_{n+1-u}(T_1,\ldots,T_{i-1})$, on +remplace $T'$ par $T_i$ et $T_{i+1}$ et on utilise $T_i^u - T_{i+1}^u += (T_i - T_{i+1}) h_{u-1} (T_i,T_{i+1})$ ; enfin, $\sum_{u=1}^{n+1} +h_{u-1} (T_i,T_{i+1}) h_{n+1-u}(T_1,\ldots,T_{i-1}) = +h_n(T_1,\ldots,T_{i+1})$. + +La relation en question montre bien que +$\mathfrak{F}_i(\underline{W}|\underline{T})$ est un polynôme à +coefficients entiers complètement symétrique en chaque jeu de +variables (\textit{a priori} il était défini comme fonction +rationnelle, à coefficients rationnels, de ces jeux de variables). + +Le fait que $\mathfrak{F}_i$ s'annule identiquement si on substitute +aux $T_j$ un sous-ensemble des $W_j$ vient de ce que $\mathfrak{F}_1$ +s'annule trivialement dans ce cas, et que la relation de récurrence +s'applique avec cette spécialisation (les dénominateurs $W_{u_i} - +W_{u_{i+1}}$ sont inversibles dans les fractions rationnelles sur +$W_1,\ldots,W_d$). + +L'existence et l'unicité du polynôme $\mathfrak{C}_i$ tel que +$\mathfrak{C}_i(e_1(\underline{W}),\ldots,e_d(\underline{W}) | +T_1,\ldots,T_i) = \mathfrak{F}_i(W_1,\ldots,W_d | T_1,\ldots,T_i)$ +découle du fait que $\mathfrak{F}_i$ est complètement symétrique dans +les variables $W_j$ et que les $e_j(\underline{W})$ egendrent +linéairement les polynômes en question. L'expression trouvée pour +$\mathfrak{F}_i$ donne alors immédiatement l'expression annoncée pour +$\mathfrak{C}_i$. + +Enfin, pour montrer la dernière expression annoncée, remarquons que +$X^d + \sum_{i=1}^d (-1)^i E_i X^{d-i} = +\mathfrak{C}_1(\underline{E}|X)$ (d'après l'expression qu'on vient de +montrer) et que pour chaque $i$ on a +$\mathfrak{C}_i(\underline{E}|T_1,\ldots,T_{i-1},X) = +\mathfrak{C}_i(\underline{E}|T_1,\ldots,T_i) + (X-T_i)\, +\mathfrak{C}_{i+1}(\underline{E}|T_1,\ldots,T_i,X)$ (d'après la +formule de récurrence des $\mathfrak{F}_i$), en convenant que +$\mathfrak{C}_{d+1}(E_1,\ldots,E_d|\ldots)$ vaut identiquement $0$ : +en appliquant successivement cette formule pour $i$ allant de $1$ à +$d$ on trouve ce qu'on voulait. +\end{proof} \begin{proposition2}\label{relations-algebre-de-decomposition-universelle} Soit $k$ un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire, disons $f = |