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authorDavid A. Madore <david@procyon>2012-03-01 18:21:25 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon>2012-03-01 18:21:25 +0100
commit889cdaf7a08982fe2654d60c73a86f934082d2a1 (patch)
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[radicaux] cos(2·π/7)
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex30
1 files changed, 30 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index bc211c5..2bb4aa4 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -568,6 +568,36 @@ calculer $(\alpha_1)^4 = -15 + 20\sqrt{-1}$, d'où on déduit $\alpha_1
20\sqrt{-1}} + \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} = \sqrt{10 +
2\sqrt{5}}$.
+\subsubsection{$n=6$} Si $1,\zeta,\zeta^2$ désignent les racines
+cubiques de l'unité, alors les racines sixièmes de l'unité sont
+$1,-\zeta^2, \zeta,-1, -\zeta,\zeta^2$. (Citées dans cet ordre car
+avec nos conventions sur le fait que la racine principale est celle
+qui a la partie réelle la plus grande et la partie imaginaire
+positive, si $\zeta$ est la racine cubique principale, la racine
+sixième principale est $-zeta^2$.)
+
+\subsubsection{$n=7$} Si $\omega$ désigne une racine
+primitive $7$-ième de l'unité, alors on considère les quantités
+$\alpha_j := \sum_{i=0}^6 (-\zeta^2)^{ij} \omega^{3^i}$ où $\zeta$ est
+une racine cubique primitive de l'unité. On a bien sûr $\alpha_0 =
+-1$.
+
+Commençons par nous intéresser à $\gamma := \frac{1}{2}(\omega +
+\omega^{-1})$. Comme on l'a expliqué, pour ce faire, on va calculer
+$\alpha_2$ et $\alpha_4$. On a $(\alpha_2)^3 = -7 - 21\zeta$, et
+d'après l'expression $\zeta = \frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})$ calculée plus
+haut avec nos conventions sur les déterminations principales, on peut
+écrire $\alpha_2 = \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}}$.
+De même (ou en appliquant la conjugaison complexe), on a $\alpha_4 =
+\root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}$. Ceci conduit déjà à
+l'expression suivante pour $\gamma$ :
+\[
+\cos\frac{2\pi}{7} = \frac{1}{6}\Big(
+-1 + \root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}
++ \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}}
+\Big)
+\]
+
\ifx\danslelivre\undefined