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@@ -53,6 +53,28 @@ de caractéristique $p>0$, le polynôme $X^p - X - a$ admet une racine
 $\alpha$ dans $k$ si et seulement si il est scindé (il s'écrit
 $\prod_{i=0}^{p-1} (X - \alpha - i)$).
 
+\begin{proposition2}\label{groupe-de-galois-cyclotomique}
+Soit $k$ un corps et $m$ un entier non multiplie de la caractéristique
+de $k$.  Soit $F = k(\zeta)$ le corps extension de $k$ par l'ajout
+d'une racine primitive $m$-ième de l'unité $\zeta$ (c'est-à-dire le
+corps de décomposition de $\Phi_m$ sur $k$) : alors $F$ est
+galoisienne sur $k$ et son groupe de Galois est un sous-groupe du
+groupe $(\ZZ/m\ZZ)^\times$ des éléments inversibles de $\ZZ/m\ZZ$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Le fait que $F$ soit galoisienne sur $k$ est clair puisque c'est le
+corps de décomposition du polynôme séparable $\Phi_m$.  Si $\sigma \in
+\Gal(F\bo k)$, alors $\sigma(\zeta)$ est une racine $m$-ième de
+l'unité, donc s'écrit $\zeta^i$ pour un certain $i \in \ZZ/m\ZZ$,
+lequel est inversible puisque $\zeta^i$ est aussi racine de $\Phi_m$.
+Ceci définit un morphisme $\Gal(F\bo k) \to (\ZZ/m\ZZ)^\times$, qui
+est injectif puisque $F = k(\zeta)$ (ce qui assure qu'un élément
+$\sigma \in \Gal(F\bo k)$ est déterminé par son image sur $\zeta$).
+\end{proof}
+
+\XXX --- Elle n'était pas déjà quelque part, cette proposition ?
+Sinon, il faut peut-être la déplacer ailleurs.
+
 \begin{definition2}\label{definition-corps-clos-par-radicaux}
 Soit $k$ un corps.  On dit que $k$ est \emph{clos par radicaux},
 resp. \emph{clos par radicaux $\leq N$-ièmes}, lorsque les deux
@@ -92,9 +114,9 @@ $m$-ième de tout élément sans demander spécialement que les racines
 $m$-ièmes de l'unité soient déjà dans $k$ ; on verra que cela ne
 change rien car, avec la définition ci-dessus, $k\resol$ contiendra
 forcément toutes les racines de l'unité.  La définition ci-dessus nous
-a paru meilleure car elle permet d'affirmer de façon non-triviale que
-les racines $m$-ièmes de l'unité s'expriment elles-mêmes par
-radicaux !
+a paru meilleure car elle permet d'affirmer de façon non-triviale
+(en \ref{racines-de-l-unite-sont-exprimables-par-radicaux}) que les
+racines $m$-ièmes de l'unité s'expriment elles-mêmes par radicaux !
 
 \begin{remarque2}\label{remarque-cloture-par-radicaux-est-galoisienne}
 Soit $k$ un corps et $\sigma$ un automorphisme d'une clôture séparable
@@ -106,7 +128,7 @@ pour $k\resol[\leq N]$.
 
 \begin{definition2}
 Soit $k$ un corps.  On appelle \emph{tour d'extensions par radicaux}
-(resp.  tour d'extensions par radicaux $\leq N$-ièmes) sur $k$ une
+(resp. tour d'extensions par radicaux $\leq N$-ièmes) sur $k$ une
 suite $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \cdots \subseteq k_r$ de corps
 tels que, pour chaque $i$, le corps $k_{i+1}$ soit engendré sur $k_i$
 par un unique élément $\alpha_i$ vérifiant l'une des propriétés
@@ -216,18 +238,54 @@ résoluble est lui-même résoluble.
 \end{proposition2}
 
 On renvoie par exemple à \cite[théorèmes 5.15 à 5.23]{Rotman} pour une
-démonstration ces différentes affirmations.
+démonstration ces différentes affirmations (y compris de l'équivalence
+entre les différents énoncés de la définition).
+
+On aura également besoin, pour traiter les extensions par
+racines $\leq N$-ièmes, de la proposition suivante :
+
+\begin{proposition2}\label{trivialite-groupes-resolubles-facteurs-bornes}
+Si $N$ est un entier naturel, les conditions suivantes sur un groupe
+fini $G$ sont équivalentes :
+\begin{itemize}
+\item $G$ est résoluble et tous les facteurs premiers de son
+  ordre $\#G$ sont $\leq N$,
+\item il existe une chaîne $G = G_0 \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r =
+  \{1\}$ de sous-groupes de $G$ telle que pour chaque $i$ le
+  sous-groupe $G_{i+1}$ soit distingué dans $G_i$ et que le quotient
+  $G_i / G_{i+1}$ soit cyclique d'ordre premier $\leq N$.
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+On a expliqué que $G$ est résoluble si et seulement si il existe une
+chaîne $G = G_0 \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$ telle que pour
+chaque $i$ le sous-groupe $G_{i+1}$ soit distingué dans $G_i$ et que
+le quotient $G_i / G_{i+1}$ soit cyclique d'ordre premier.  Or $\#G$
+est alors le produit des $\#(G_i/G_{i+1})$, de sorte que ceux-ci sont
+précisément les facteurs premiers de $\#G$, ce qui prouve
+l'équivalence annoncée.
+\end{proof}
 
 \subsection{Extensions par radicaux et groupes de Galois résolubles}
 
-\begin{proposition2}
-Soit $K\bo k$ une extension de corps finie séparable.  Il y a
-équivalence entre :
+\begin{proposition2}\label{extension-resoluble-egale-extension-par-radicaux}
+Soit $K\bo k$ une extension de corps finie séparable, et $N$ un entier
+naturel.  Il y a équivalence entre :
+\begin{itemize}
+\item il existe une tour d'extensions par radicaux $\leq N$-ièmes $k
+  \subseteq \cdots \subseteq k'$ telle que $K \subseteq k'$,
+\item le corps $K$ est inclus dans $k\resol[\leq N]$ (à l'intérieur
+  d'une clôture séparable $k\sep$ de $K$),
+\item le groupe de Galois de la clôture galoisienne de $K$ sur $k$ est
+  résoluble et tous les facteurs premiers de son ordre sont $\leq N$.
+\end{itemize}
+
+En particulier, il y a équivalence entre :
 \begin{itemize}
 \item il existe une tour d'extensions par radicaux $k \subseteq \cdots
   \subseteq k'$ telle que $K \subseteq k'$,
-\item le corps $K$ est inclus dans $k\resol$ (pour une clôture
-  séparable $k\sep$ de $K$),
+\item le corps $K$ est inclus dans $k\resol$ (à l'intérieur d'une
+  clôture séparable $k\sep$ de $K$),
 \item le groupe de Galois de la clôture galoisienne de $K$ sur $k$ est
   résoluble.
 \end{itemize}
@@ -237,28 +295,104 @@ L'équivalence entre les deux premières affirmations a déjà été prouvée
 en \ref{trivialite-cloture-par-radicaux}.
 
 Supposons maintenant la première propriété vérifiée, et on veut
-montrer que le groupe de Galois de la clôture galoisienne de $K$
-sur $k$ est résoluble.  On peut agrandir $K$ (sachant que si on prouve
-que le groupe de Galois de la clôture galoisienne est résoluble après
-cet agrandissement, d'après \ref{enonces-standards-groupes-resolubles}
-et spécifiquement la stabilité de « résoluble » par quotient, il
-l'était à plus forte raison avant l'agrandissement) : on peut donc
-supposer qu'on a une tour $k \subseteq \cdots \subseteq K$
-d'extensions par radicaux.  Quitte à remplacer $K$ par sa clôture
-galoisienne, c'est-à-dire la composée de ses conjuguées par les
-différents automorphismes de $k\sep$ sur $k$,
-d'après \ref{composition-tours-extensions-par-radicaux}, on peut
-supposer que $K \bo k$ est galoisienne et toujours qu'on a une tour $k
-= k_0 \subseteq \cdots \subseteq k_r = K$ d'extensions par radicaux.
-En appelant $G = \Gal(K/k)$ et $G_i = \Gal(K\bo k_i)$, on a $G = G_0
-\geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$ et les suppositions faites sur
-l'extension $k_{i+1}\bo k_i$ garantissent que $G_i/G_{i+1}$ est
-cyclique d'après \refext{KASW}{extension Kummerienne est de groupe
-  cyclique} et \refext{KASW}{extension AS est de groupe Z sur p}.
-
-\XXX
+montrer la troisième.  L'hypothèse garantit qu'il existe une tour $k
+\subseteq \cdots \subseteq k'$ d'extensions par radicaux $\leq
+N$-ièmes telle que $K \subseteq k'$.  Pour chacun des conjugués
+$\sigma(k')$ de $k'$, avec $\sigma$ parcourant les différents
+automorphismes de $k\sep$ sur $k$, on a une tour $k \subseteq \cdots
+\subseteq \sigma(k')$ d'extensions par radicaux $\leq N$-ièmes, et en
+composant ces différentes tours
+d'après \ref{composition-tours-extensions-par-radicaux} (notons que
+les $\sigma(k')$ sont en nombre fini), on peut supposer qu'on a une
+unique tour $k = k_0 \subseteq \cdots \subseteq k_r = k'$ d'extensions
+par radicaux $\leq N$-ièmes, avec $k'$ galoisien sur $k$ et
+contenant $K$, donc contenant aussi la clôture galoisienne de $K$.  Il
+nous suffira de montrer que le groupe de Galois de $k'\bo k$ est
+résoluble et que tous les facteurs premiers de son ordre sont $\leq N$
+(puisque le groupe de Galois de la clôture galoisienne de $K$ en est
+un quotient, cf. \ref{enonces-standards-groupes-resolubles}).
+
+Appelons maintenant $G = \Gal(k'\bo k)$ et $G_i = \Gal(k'\bo k_i)$.
+On a ainsi $G = G_0 \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$ et les
+suppositions faites sur l'extension $k_{i+1}\bo k_i$ garantissent que
+$G_i/G_{i+1}$ est cyclique d'après \refext{KASW}{extension Kummerienne
+  est de groupe cyclique} et \refext{KASW}{extension AS est de groupe
+  Z sur p}.  Ceci montre que $G$ est résoluble.  Par ailleurs, chacun
+des $\#(G_i/G_{i+1})$ est $\leq N$, donc en particulier tous ses
+facteurs premiers le sont, donc tous les facteurs premiers de $\#G$ le
+sont.
+
+On va maintenant montrer que la troisième propriété implique la
+première, et pour cela, on va procéder par récurrence sur $N$.  Le cas
+$N=1$ est trivial.  Supposons par récurrence l'énoncé connu pour $N-1$
+(pour toute extension $K\bo k$) afin de le démontrer pour $N$.  On
+peut évidemment supposer que $K$ est galoisienne sur $k$.
+
+Soit $M$ le produit de tous les nombres premiers $\leq N$ et distincts
+de la caractéristique $p$ de $k$ si celle-ci est non nulle, et soit
+$F$ le corps obtenu en ajoutant une racine primitive $M$-ième de
+l'unité à $k$ si elle n'y est pas déjà.
+D'après \ref{groupe-de-galois-cyclotomique}, $\Gal(F\bo k)$ est inclus
+dans $(\ZZ/M\ZZ)^\times$.  Ce groupe $(\ZZ/M\ZZ)^\times$ est abélien,
+donc résoluble, et il est d'ordre $\varphi(M)$ avec $\varphi$ la
+fonction indicatrice d'Euler, c'est-à-dire $\prod_{\ell \leq N}
+(\ell-1)$ où $\ell$ parcourt les nombres premiers $\leq N$, et tous
+les facteurs premiers de chaque $\ell-1$, donc de $\varphi(M)$,
+sont $\leq N-1$.  L'hypothèse de récurrence garantit donc qu'il existe
+une tour d'extensions par radicaux $\leq (N-1)$-ièmes $k \subseteq
+\cdots \subseteq k^\sharp$ telle que $F \subseteq k^\sharp$.
+L'extension $K^\sharp = k^\sharp K$ de $k^\sharp$ est galoisienne sur
+$k^\sharp$ et son groupe de Galois $G^\sharp = \Gal(K^\sharp\bo
+k^\sharp)$ est un sous-groupe de celui $\Gal(K\bo k)$ de $K$ sur $k$,
+donc il est lui aussi résoluble et tous les facteurs premiers de son
+ordre sont $\leq N$.  Bref, on est ramené au cas où le corps de base
+(qui s'appelle maintenant $k^\sharp$) contient les racines
+$\ell$-ièmes de l'unité pour tout nombre premier $\leq N$.
+
+Soit $G^\sharp = G_0 \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$ une chaîne
+de sous-groupes de $G^\sharp$ telle que pour chaque $i$ le sous-groupe
+$G_{i+1}$ soit distingué dans $G_i$ et que le quotient $G_i / G_{i+1}$
+soit cyclique d'ordre premier $\leq N$.  Appelons $k^\sharp_i$ le
+corps fixe de $G_i$ dans $K^\sharp$.  L'extension $k^\sharp_{i+1} \bo
+k^\sharp_i$ est ainsi galoisienne de groupe de Galois cyclique d'ordre
+premier $\ell \leq N$ où $k^\sharp_i$ contient les racines
+$\ell$-ièmes de l'unité : d'après \refext{KASW}{extension
+  cyclique=Kummer} et \refext{KASW}{extension Z sur p-AS}, on a bien
+affaire à l'adjonction d'une racine $\ell$-ième ou d'une « racine
+  $\wp$-ième », c'est-à-dire que $k^\sharp = k^\sharp_0 \subseteq
+\cdots \subseteq k_r^\sharp = K^\sharp$ est une tour d'extensions par
+radicaux $\leq N$-ièmes.  En mettant cette tour bout à bout avec la
+tour $k \subseteq \cdots \subseteq k^\sharp$, on obtient bien la
+conclusion souhaitée.
 \end{proof}
 
+\begin{corollaire2}\label{racines-de-l-unite-sont-exprimables-par-radicaux}
+Pour tout $m$ non multiple de la caractéristique de $k$, les racines
+$m$-ièmes de l'unité sont dans $k\resol$.  Plus précisément, elles
+sont dans $k\resol[\leq \ell]$ où $\ell$ est le plus grand facteur
+premier de $\varphi(m)$.
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+Ceci découle immédiatement de
+\ref{extension-resoluble-egale-extension-par-radicaux}
+et \ref{groupe-de-galois-cyclotomique} (mais en fait, on a déjà dû
+démontrer ce résultat dans le cours de la démonstration précédente).
+\end{proof}
+
+\begin{remarque2}
+Comme on l'a déjà signalé, la définition que nous avons prise
+en \ref{definition-corps-clos-par-radicaux} fait que cet énoncé
+n'était pas trivial : on n'autorise pas une « expression par
+  radicaux » telle que $\root m\of 1$ puisqu'on ne peut, avec nos
+règles, prendre les racines $n$-ièmes qu'à condition d'avoir déjà les
+racines $n$-ièmes de l'unité.  Mais une fois cette observation faite,
+la définition d'expression par radicaux que nous avons donnée est
+heureusement la même que toutes les autres trouvées dans la
+littérature (au moins en caractéristique $0$, des petites variantes
+pouvant se trouver selon qu'on admet ou non les racines $\wp$-ièmes,
+ou parfois chez certains auteurs des racines $p$-ièmes inséparables).
+\end{remarque2}
+
 
 
 \ifx\danslelivre\undefined