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authorFabrice (Phare) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-02-08 10:25:00 (GMT)
committerFabrice (Phare) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-02-08 10:25:00 (GMT)
commit8bffe7be7511918adbaf72dcfc6340c854dbe8db (patch)
treead5ed160bb4c0d5ae6a49afd0e5be24a6e5f2f69
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CG: Lemme de McCoy-永田 et application au lemme de Gauß
-rw-r--r--chapitres/correspondance-galois.tex43
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index b07cd5b..002acf3 100644
--- a/chapitres/correspondance-galois.tex
+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -1173,6 +1173,49 @@ Enfin, c'est un fait général que si groupe fini $G$ agit transitivement
sur un ensemble fini $X$, on a $\#X | \# G$.
\end{démo}
+\subsection{Contenu}
+
+[À déplacer/modifier : simple copier-coller d'exos à l'X] \XXX
+
+\begin{lemme2}(Lemme de McCoy-\jap{永田})
+Soit $A$ un anneau commutatif.
+Un polynôme $P ∈ A[X]$ non nul est diviseur de
+zéro si et seulement si il existe $a ≠ 0$ dans $A$ tel que
+$aP=0$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Écrivons $P=a₀+a₁X + \cdots + a_n X^n$ et considérons
+$Q=b₀+b₁X+\cdots+b_mX^m ≠ 0$ tel que $PQ=0$. Montrer que si
+$P b_m≠ 0$, il existe un plus grand indice $d ≤ n$ tel que
+$a_d Q ≠ 0$.
+Le degré de $a_d Q$ est strictement inférieur à $m$.
+Conclure par récurrence sur le degré de $Q$. \XXX
+\end{démo}
+
+\subsubsection{Lemme de Gauß universel}
+Soient $n$ et $m $ des entiers
+et $R$ l'anneau quotient de $𝐙[a₀,…,a_n,b₀,…,b_m,A₀,…,A_n,B₀,…,B_m]$
+par l'idéal engendré par les éléments $1-∑_0^n a_i A_i$,
+$1-∑_0^m b_m B_m$ et les $∑_{i+j=k} A_i B_j$ pour $0 ≤ k ≤ n+m$.
+Enfin, soient $A=∑_0^n \overline{A_i} X^i$ et $B=∑_0^m
+\overline{B_j} X^j$ les polynômes dans $R[X]$.
+Par construction, $AB=0$. D'autre part,
+les coefficients de $A$ (resp. $B$) engendrent l'idéal unité de $R$.
+Il résulte du lemme de McCoy-\jap{永田}, que l'anneau $R$ est nul.
+
+\begin{définition2}
+On dit un polynôme à coefficients dans un anneau $A$ est
+\emph{primitif} si l'idéal engendré par ses coefficients est $A$
+tout entier.
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+Le produit de deux polynômes \emph{primitifs} est primitif.
+\end{proposition2}
+
+
+
\subsection{Réduction modulo $p$}\label{réduction mod p}
\subsubsection{}Soient $f=X^d+a₁X^{d-1}+\cdots+a_d∈𝐙[X]$ un polynôme