summaryrefslogtreecommitdiffstats
diff options
context:
space:
mode:
authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-05-12 16:15:04 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-05-12 16:15:04 +0200
commit8cbe9a83f2c807fa023f533390cec99162fa1d7d (patch)
treec02c8bf64b1c9cd6fa439d5e94b182892521706e
parent100f9dcca13f2350612ac809916e508a6a3efac7 (diff)
downloadgalois-8cbe9a83f2c807fa023f533390cec99162fa1d7d.zip
galois-8cbe9a83f2c807fa023f533390cec99162fa1d7d.tar.gz
galois-8cbe9a83f2c807fa023f533390cec99162fa1d7d.tar.bz2
[calculs] Calculs de résolvantes linéaires au moyen de résultants.
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex73
-rw-r--r--configuration/formules.tex1
2 files changed, 72 insertions, 2 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index e799998..d2bd6a7 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -1569,8 +1569,77 @@ qui doit donner un résultat dans $K$, i.e., indépendant
de $Z_1,\ldots,Z_d$.
\end{remarque2}
-\XXX TODO : Calcul des $R_P(f)$ avec des résultants, cf. p. 25--26 du
-lire \textit{Generic Polynomials} de Jensen, Ledet \& Yui.
+La proposition suivante permet de calculer les résolvantes linéaires
+pour une combinaison linéaire de deux variables :
+\begin{proposition2}
+Soit $f \in K[X]$ un polynôme unitaire, de degré $d$, à coefficients
+dans un corps $K$, et soit $P = c_1 Z_1 + c_2 Z_2 \in
+K[Z_1,\ldots,Z_d]$. Alors :
+\begin{itemize}
+\item Si $c_1,c_2$ sont non nuls et distincts (de sorte que
+ $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P)$ est le fixateur de $(1,2)$ dans
+ $\mathfrak{S}_d$) et que $c_1+c_2\neq 0$, alors la résolvante
+ $R_P(f)$ vaut
+\[
+(-1)^d\, \frac{c_1^d c_2^d}{(c_1+c_2)^d}\,
+\Big(f\big(\frac{X}{c_1+c_2}\big)\Big)^{-1}\,
+\Result_Y\Big(f\big(\frac{X-Y}{c_2}\big),\, f\big(\frac{Y}{c_1}\big)\Big)
+\]
+où $\Result_Y(A(Y),B(Y))$ désigne le résultant par rapport à la
+variable $Y$ des polynômes $A$ et $B$.
+\item Si $c_1=c$ est non nul et $c_2=-c$ et si $K$ n'est pas de
+ caractéristique $2$ (c'est-à-dire que $c_1,c_2$ sont distincts, de
+ sorte que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P)$ est de nouveau le fixateur
+ de $(1,2)$ dans $\mathfrak{S}_d$), alors la résolvante $R_P(f)$ vaut
+\[
+c^{2d}\, X^{-d}\,
+\Result_Y\Big(f\big(\frac{Y-X}{c}\big),\, f\big(\frac{Y}{c}\big)\Big)
+\]
+\item Si $c_1 = c_2 = c$ avec $c\neq 0$ (de sorte que
+ $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P)$ est le stabilisateur de $\{1,2\}$
+ dans $\mathfrak{S}_d$), et si $K$ n'est pas de caractéristique $2$,
+ alors le \emph{carré} $R_P(f)^2$ de la résolvante vaut
+\[
+(-1)^d\, c^d\, 2^{-d}\, \Big(f\big(\frac{X}{2c}\big)\Big)^{-1}\,
+\Result_Y\Big(f\big(\frac{X-Y}{c}\big),\, f\big(\frac{Y}{c}\big)\Big)
+\]
+\item Si $c_1 = c_2 = c$ avec $c\neq 0$ (de sorte que
+ $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P)$ est de nouveau le stabilisateur de
+ $\{1,2\}$ dans $\mathfrak{S}_d$), et si $K$ \emph{est} de
+ caractéristique $2$, alors le \emph{carré} $R_P(f)^2$ de la
+ résolvante vaut
+\[
+c^{2d}\, X^{-d}\,
+\Result_Y\Big(f\big(\frac{X-Y}{c}\big),\, f\big(\frac{Y}{c}\big)\Big)
+\]
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+On rappelle que le résultant de deux polynômes $A(Y)$ et $B(Y)$ vaut
+$a^e \prod_{i=1}^d B(\eta_i)$ où $A(Y) = a\prod_{i=1}^d(Y-\eta_i)$ est
+la factorisation de $A$ dans un corps dans lequel il est décomposé, le
+résultat n'en dépendant pas puisqu'on peut aussi l'écrire comme un
+déterminant de Sylvester, et où $e$ est le degré de $B$.
+
+D'après cette formule, dans le premier cas, on a
+\[
+\Result_Y\Big(f\big(\frac{X-Y}{c_2}\big),\, f\big(\frac{Y}{c_1}\big)\Big)
+= \big(\frac{-1}{c_2}\big)^d \prod_{j=1}^d f\big(\frac{X-c_2\xi_j}{c_1}\big)
+= \frac{(-1)^d}{c_1^d c_2^d} \prod_{j=1}^d \prod_{i=1}^d (X-c_1 \xi_i - c_2 \xi_j)
+\]
+or $\prod_{j=1}^d \prod_{i=1}^d (X-c_1 \xi_i - c_2 \xi_j)$ s'écrit, en
+distinguant selon que $j\neq i$ ou $j=i$, comme le produit de
+$\prod_{(i,j):j\neq i} (X-c_1 \xi_i - c_2 \xi_j)$ et de $\prod_{i=1}^d
+(X - (c_1+c_2)\xi_i)$ : le premier est justement $R_P(f)$, et le
+second vaut $(c_1+c_2)^d\, f\big(\frac{X}{c_1+c_2}\big)$.
+
+Le second cas est identique, à ceci près que cette fois $\prod_{i=1}^d
+(X - (c_1+c_2)\xi_i)$ vaut $X^d$.
+
+Dans le troisième cas, c'est $\prod_{(i,j):j\neq i} (X-c_1 \xi_i - c_2
+\xi_j)$ qui vaut $R_P(f)^2$. Enfin, dans le quatrième, on a ces deux
+modifications à la fois.
+\end{proof}
\XXX TODO : Résultats garantissant la séparabilité de $R_P(f)$,
notamment le lemme 1.2.2 p. 23 de ce livre, et un résultat à trouver
diff --git a/configuration/formules.tex b/configuration/formules.tex
index c0d74aa..fa9d86e 100644
--- a/configuration/formules.tex
+++ b/configuration/formules.tex
@@ -38,6 +38,7 @@
\newcommand{\Gal}{\mathrm{Gal}}
\newcommand{\red}{\mathrm{r\acute{e}d}}
\newcommand{\Res}{\mathrm{R\acute{e}s}}
+\newcommand{\Result}{\mathop{\mathrm{R\acute{e}sult}}\nolimits}
\newcommand{\Nilp}{\mathrm{Nilp}}
\newcommand{\Ann}{\mathrm{Ann}} % annulateur
\newcommand{\rad}{\mathrm{rad}} % radical d'un idéal