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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-07 22:48:37 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-07 22:48:37 (GMT)
commit8d4b5eca37a6356c6b527df4d8c30fa5e41fffe9 (patch)
treeff070d20d283188113842e966e115bb53fa9b4a5
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[ExG] Problème d'espacement.
-rw-r--r--chapitres/exemples-galois.tex20
1 files changed, 10 insertions, 10 deletions
diff --git a/chapitres/exemples-galois.tex b/chapitres/exemples-galois.tex
index 5ccb600..30c0531 100644
--- a/chapitres/exemples-galois.tex
+++ b/chapitres/exemples-galois.tex
@@ -1590,19 +1590,19 @@ c(\sigma')\,(\sigma'*c(\sigma))$ (on dit que $c$ est un $1$-cocycle de
$D_4$ à valeurs dans $\{\pm 1\}^4/H$ sur lequel il agit).
Pour fixer les notations, on désignera un élément de $\{\pm 1\}^4$ par
-une notation du type $(++-+)$, étant entendu que les quatre signes
+une notation du type $({+}{+}{-}{+})$, étant entendu que les quatre signes
sont lus dans l'ordre cyclique sur les quatre sommets du carré (un tel
ordre cyclique ayant été choisi une fois pour toutes) ; et appellera
$(++), (+-), (-+), (--)$ les quatre éléments de $\{\pm 1\}^4/H$
-représentés par $(++++), (+++-), (++-+), (++--)$ respectivement dans
+représentés par $({+}{+}{+}{+}), ({+}{+}{+}{-}), ({+}{+}{-}{+}), ({+}{+}{-}{-})$ respectivement dans
$\{\pm 1\}^4$. (Il peut d'ailleurs être utile de remarquer que $\{\pm
1\}^4/H$ est, en fait, isomorphe à $H$ en tant que groupe muni d'une
action de $D_4$.)
Soit $\tau \in D_4$ la réflexion par rapport à la diagonale identifiée
-par $\tau*(++-+)=(++-+)$ et $\tau*(+++-)=(+-++)$, et soit $\varrho \in
+par $\tau*({+}{+}{-}{+})=({+}{+}{-}{+})$ et $\tau*({+}{+}{+}{-})=({+}{-}{+}{+})$, et soit $\varrho \in
D_4$ la réflexion par rapport à un axe identifié par
-$\varrho*(++-+)=(+-++)$ et $\varrho*(+++-)=(-+++)$. On a $\tau^2
+$\varrho*({+}{+}{-}{+})=({+}{-}{+}{+})$ et $\varrho*({+}{+}{+}{-})=({-}{+}{+}{+})$. On a $\tau^2
= \varrho^2 = (\tau\varrho)^4 = 1$, et ces générateurs et relations
constituent une présentation de $D_4$. La fonction $c$ est donc
déterminée de façon unique par sa valeur sur $\tau$ et sur $\varrho$.
@@ -1618,7 +1618,7 @@ huit possibilités pour la fonction $c$ (et on peut facilement calculer
les valeurs de chacune sur les huit éléments de $D_4$) : ceci prouve
qu'il existe huit groupes $G$ comme annoncés.
-Si $\mu$ désigne l'élément $(+++-)$ de $H$, la fonction $c$
+Si $\mu$ désigne l'élément $({+}{+}{+}{-})$ de $H$, la fonction $c$
définissant le groupe conjugué $G^\mu = \mu G \mu$ de $G$ est
$c^\mu(\sigma) = \sigma(\mu)\,\mu\,c(\sigma)$. En particulier,
$c^\mu(\tau) = c(\tau)$ (puisque $\tau$ opère trivialement sur $\{\pm
@@ -1640,7 +1640,7 @@ pour $c(\tau\varrho) = (+-)$ ou $c(\tau\varrho) = (-+)$, c'est-à-dire
$c(\tau) = (+-)$ ou $c(\tau) = (-+)$.
Pour obtenir un autre critère, considérons le centre de $G$ :
-l'élément $(-1) = (----) \in H$ est toujours central dans $G$, et
+l'élément $(-1) = ({-}{-}{-}{-}) \in H$ est toujours central dans $G$, et
aucun élément de $H$ autre que $1$ et $(-1)$ ne peut être central
puisque $D_4$ opère non trivialement dessus ; un autre élément central
de $G$ doit donc nécessairement être de la forme $(\varepsilon
@@ -1659,13 +1659,13 @@ et $C_\tau (\tau*\varepsilon) = \varepsilon (\varsigma*C_\tau)$, ou
encore $\varepsilon (\varrho*\varepsilon) =
C_\varrho(\varsigma*C_\varrho)$ et $\varepsilon (\tau*\varepsilon) =
C_\tau(\varsigma*C_\tau)$. On a vu qu'on pouvait prendre $C_\varrho =
-(++++)$, auquel cas la première condition devient $\varrho*\varepsilon
+({+}{+}{+}{+})$, auquel cas la première condition devient $\varrho*\varepsilon
= \varepsilon$, ce qui laisse quatre possibilités pour $\varepsilon$
-(ou deux modulo $\{(++++),(----)\}$), et en examinant les valeurs de
+(ou deux modulo $\{({+}{+}{+}{+}),({-}{-}{-}{-})\}$), et en examinant les valeurs de
$\varepsilon(\tau*\varepsilon)$ pour chacune d'elles, et les valeurs
de $C_\tau(\varsigma*C_\tau)$ pour chacun de
-$C_\tau \in \{(++++),(+++-),(++-+),(++--)\}$, on voit que les valeurs
-communes ($(++++)$ et $(+-+-)$) sont obtenues pour $c(\tau) = (++)$ et
+$C_\tau \in \{({+}{+}{+}{+}),({+}{+}{+}{-}),({+}{+}{-}{+}),({+}{+}{-}{-})\}$, on voit que les valeurs
+communes ($({+}{+}{+}{+})$ et $({+}{-}{+}{-})$) sont obtenues pour $c(\tau) = (++)$ et
$c(\tau) = (+-)$. Ceci démontre que dans ces deux cas le centre de
$G$ est d'ordre plus grand que $2$ (et donc, $4$) tandis que dans les
cas $c(\tau) = (-+)$ et $c(\tau) = (--)$ il est d'ordre $2$.