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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2013-02-28 20:31:17 +0100 |
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diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex index 9dc47cc..693586b 100644 --- a/chapitres/correspondance-galois.tex +++ b/chapitres/correspondance-galois.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -%%% vim: textwidth=150: %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- +%%% vim: set textwidth=150: %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined \documentclass[9pt]{../configuration/smfart} \input{../configuration/commun} diff --git a/chapitres/formes-tordues.tex b/chapitres/formes-tordues.tex index 113afd0..25f1398 100644 --- a/chapitres/formes-tordues.tex +++ b/chapitres/formes-tordues.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -%%% vim: textwidth=150: %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- +%%% vim: set textwidth=150: %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined \documentclass[9pt]{../configuration/smfart} \input{../configuration/commun} diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index ca6842a..13fd723 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -%%% vim: textwidth=80: %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- +%%% vim: set textwidth=80: %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined \documentclass[9pt]{../configuration/amsart} \usepackage{palatino,euler} @@ -2138,6 +2138,14 @@ en égale caractéristique, comme par exemple la classe de la valuation $P↦ p^{-\deg(P)}$ dans $𝐅_p(t)$. Nous noterons d'ailleurs souvent $∞$ cette place (ultramétrique). +\begin{remarque2} +Le choix du mot « point » est justifié par le fait suivant : +un corps global $K$ de caractéristique $p>0$ de corps des constantes $k$ +est le « corps des fonctions » d'une courbe projective lisse sur $k$ +dont l'ensemble des points fermés est naturellement en +bijection avec $Σ(K)$. +\end{remarque2} + \subsubsection{}Si $x ∈ Σ(K)$, on note $K_x$ le complété de $K$ pour la \commentaire{Noter $K_{\chap{x}}$ ? et réserver $K_x$ pour le corps valué $(K,||_x)$ ?} @@ -4664,7 +4672,7 @@ Z_K(T)= ∑_{n ≥ 0} E_K(n) T^n, où $E_K(n)$ est le nombre de \emph{diviseur effectifs} (\ref{définition diviseur effectif}) de $K$ de degré $n$\footnote{En termes plus expressifs, $N_K(n)$ est le \emph{nombre de $𝐅_{q^n}$-points de la courbe projective -lisse sur $𝐅_q$ associée à $K$}.} +lisse sur $𝐅_q$ associée à $K$}.}. Notons que l'expression de la dérivée logarithmique est équivalente à la formule : \[ @@ -4678,17 +4686,40 @@ notons $X(k′)$ l'ensemble des $k$-places de $K$ à valeurs dans $k′$ (\refext{AVD-D}{définition-place}). Comme expliqué dans \emph{loc. cit.}, on a une application naturelle $X(k′) → X$, envoyant une place $φ:K → k′ ∪ \{∞\}$ sur l'anneau de valuation $φ^{-1}(k′)$, -correspondant à son tour à une classe de valuations sur $K$. +correspondant à son tour à une classe de valuations $|⋅|_φ$ sur $K$ ; +on a \mbox{$\{f ∈ K: |f|_φ<1\}=φ^{-1}(0)$}. Si l'extension $k′ \bo k$ est finie de degré $n$, -l'image cette application est l'ensemble $\{x ∈ X: \deg(x)|n\}$ ; la fibre +l'image cette application est l'ensemble $\{x ∈ X: \deg(x)|n\}$ et la fibre au-dessus de $x$ est exactement de cardinal $\deg(x)$. Il en résulte que l'entier $N_K(n)$ ci-dessus n'est autre que le cardinal de $X(k_n)$, où $k_n$ désigne une extension de $k$ de degré $n$ (unique à isomorphisme près) et que pour toute fonction $f ∈ K^×$, l'ensemble des places $φ ∈ X(\sur{k})$ -telles que $φ(f)=0$ est de cardinal au plus $\deg \div₀(f)$. -Observons pour référence ultérieure que les $k$-automorphismes $σ$ de $K$ -agissent sur $X(k′)$ : $σ ⋅ φ = φ ∘ σ^{-1}$. +telles que $φ(f)=0$ est de cardinal $\deg \div₀(f)=\displaystyle ∑_{x:|f|_x<1} \deg(x)$. + +\subsubsection{} +\label{action-sur-Xk} +On conserve les notations précédentes. +Si $σ$ est un $k$-automorphisme de $K$, il agit (à gauche) sur $X$ +en envoyant (la classe d')une valeur absolue $|⋅|$ sur (la classe de) la +valeur absolue $f↦ |σ^{-1}(f)|$. De même, pour toute extension $k′\bo k$, +$σ$ agit sur $X(k′)$ via $σ ⋅ φ = φ ∘ σ^{-1}$. Ces actions +sont compatibles : le morphisme $X( k′) → X$ est $\Aut_k(K)$-équivariant. + +Dualement, le groupe de Galois $G_k=\Gal(\sur{k}/k)$ agit sur $X(\sur{k})$ : +un élément $σ ∈ G_k$ agit sur $φ : K → \sur{k} ∪ \{∞\}$ par la formule +$σ ⋅ φ = σ ∘ φ$. (On décide que $σ(∞)=∞$.) L'application naturelle +$X(\sur{k}) → X$ induit une bijection +\[ +{}_{G_k ∖}X(\sur{k}) ⥲ X. +\] + +\begin{remarque2} +Dans le langage de la géométrie algébrique, l'ensemble +$X(\sur{k})$ peut s'interpréter de la façon suivante : +c'est l'ensemble des points fermés de la courbe algébrique projective +lisse sur $\sur{k}$ de corps des fonctions $K ⊗_k \sur{k}$. +\end{remarque2} \subsubsection{Extension du corps des constantes} \label{extension des scalaires pour Zêta} @@ -5483,47 +5514,36 @@ de degré $n$. On veut estimer la taille — notée $N(n)$ ci-dessus — des définis en \ref{notation-Xk}. Il est tautologique que $X(k_n)$ s'identifie à l'ensemble $\Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)$ des points -fixes de l'automorphisme de Frobenius $\Frob_k$ agissant sur -$X(\sur{k})$ via son action sur $\sur{k}$. (Explicitement : -par composition d'une place $φ : K → \sur{k} ∪ \{∞\}$ avec l'élévation -avec la puissance $q$ de $\sur{k} ∪ \{∞\}$ dans lui-même.) +fixes de l'automorphisme de Frobenius $\Frob_k ∈ \Gal(\sur{k}\bo k)$ agissant sur +$X(\sur{k})$ comme expliqué en \ref{action-sur-Xk}. \subsubsection{}Supposons que le corps $K$ soit une extension galoisienne de groupe $G$ du corps $k(t)$, corps dont on note $𝐏¹_k$ le foncteur des $k$-places ultramétriques (\ref{notation-Xk}). -Si $x ∈ X(\sur{k})$ s'envoie sur $y ∈ 𝐏¹_k(\sur{k})$ et si le morphisme +Si $\sur{x} ∈ X(\sur{k})$ s'envoie sur un point $k$-rationnel $y ∈ 𝐏¹_k(k)$ et si le morphisme correspondant est net, il existe un unique $σ ∈ G$ tel -que $\Frob_k(x)=σ(x)$. Il en résulte +que $\Frob_k(\sur{x})=σ(\sur{x})$. Il en résulte que \[ -1+q=\# 𝐏¹_k(k)=\frac{1}{\# G} ∑_{σ ∈ G} \#\Fix\big(σ^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)+ 𝖮(1). +1+q=\# 𝐏¹_k(k)=\frac{1}{\# G} ∑_{σ ∈ G} \#\Fix\big(σ^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)+ 𝖮(1), \] -Le terme supplémentaire est la contribution des points de ramification, -en nombre fini. -Il en résulte que si l'on sait \emph{majorer} le cardinal des -ensembles $ \Fix\big(σ^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)$, on sait également +où le terme supplémentaire est la contribution des points de ramification, en nombre fini. +En conséquence, si l'on sait \emph{majorer} le cardinal des +ensembles $ \Fix\big(σ^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)$ pour $σ ≠ \Id$, on sait également minorer celui de $\Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)=X(k)$. - -\subsubsection{} -Pour contourner le problème de ramification auquel il a été -fait allusion ci-dessus, il est utile d'introduire — suivant -\cite[chap. 4]{Fried-Jarden} — le nombre de points fixes pondérés par -le degré : -\[ -\# \gtilde{\Fix}\big(\Frob_k^σ|X(\sur{k})\big)= ∑_{x ∈ X \atop σ(x)=\Frob_k(x)} \deg(x). -\] -(Voir \ref{formule de la moyenne}, \emph{infra}.) -Notons le cas particulier important suivant (cas où $σ=\Id$) : -\[ -\# \gtilde{\Fix}\big(\Frob_k^\Id|X(\sur{k})\big)=\# \Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)=\# X(k). -\] +Notons également qu'une $k$-place $φ:K → \sur{k} ∪ \{∞\}$ est fixe +par $σ^{-1}\Frob_k$ si et seulement si $\Frob_k ∘ φ = φ ∘ σ$. +Il en résulte que si $φ,φ′$ ont même image dans $X$, +$φ$ est fixe si et seulement si $φ′$ l'est. (En effet, +$φ$ et $φ′$ diffèrent par l'action du Frobenius $\Frob_k$.) \begin{théorème2}[Bombieri] Supposons que $q$ est un carré ${q′}²$, satisfait l'inégalité $q′>(g+1)²$, et qu'il existe un \emph{point rationnel} $x ∈ X(k)$. Alors pour tout $σ ∈ \Aut(K\bo k)$, on a la majoration \[ -\# \gtilde{\Fix}\big(\Frob^σ_k|X(\sur{k})\big) -(1+q) < (2g+1) √{q}. +\# \Fix \big(\Frob^σ_k|X(\sur{k})\big) -(1+q) < (2g+1) √{q}, \] +où l'on note $\Frob^σ_k=σ^{-1}\Frob_k$. En particulier, $\# X(k) ≤ 1+q+(2g+1)√{q}$. \end{théorème2} @@ -5582,11 +5602,11 @@ mais \[ F ≔ ∑_{s ∈ S_{≤ N}} h_s (σf_s)^{q′}=0. \] -Soit $φ$ une $k$-place dans $\Fix \big(σ^{-1}\Frob_k | X(\sur{k})\big)$ +Soit $φ$ une $k$-place dans $\Fix \big(\Frob^σ_k | X(\sur{k})\big)$ non localisée en $x$ de sorte que $φ$ est défini sur les espaces $ℒ_n$. Comme $φ(f_s)=φ(σf_s)^{q}$, on a $φ(f)=∑_s φ(h_s)^{q′} φ(σf_s)^q=φ(F)^{q′} =0$. -D'après \ref{notation-Xk}, le cardinal de $\Fix \big(σ^{-1}\Frob_k | X(\sur{k})\big)$ +D'après \ref{notation-Xk}, le cardinal de $\Fix \big(\Frob^σ _k | X(\sur{k})\big)$ est donc majoré par $\deg(\div₀(f))$. Comme $\deg(\div₀(f))=\deg(\div_∞(f))$ et $f ∈ ℒ_{N+q′ M}$, le cardinal recherché est donc inférieur ou égal @@ -5598,27 +5618,26 @@ le cardinal recherché est donc inférieur ou égal \begin{proposition2} \label{formule de la moyenne} Soit $L\bo K$ une extension finie galoisienne de groupe $G$ -et soit $Y$ l'ensemble des points du corps global $L$. +et utilisons la lettre $Y$ pour désigner les points du corps global $L$ et +le foncteur des $k$-places. Si le corps des constantes de $L$ égal à $k$ alors, pour tout -$σ ∈ \Aut(K \bo k)$, on a la formule de la moyenne : +$σ ∈ \Aut(L \bo k)$ stabilisant $K$, on a la formule de la moyenne : \[ -\# \gtilde{\Fix}\big(\Frob_k^σ|X(\sur{k})\big) -=\frac{1}{\# G} ∑_{γ ∈ G} \# \gtilde{\Fix}\big(\Frob_k^{γ σ}|Y(\sur{k})\big). +\# \\Fix\big(\Frob_k^σ|X(\sur{k})\big) +=\frac{1}{\# G} ∑_{γ ∈ G} \# \Fix\big(\Frob_k^{γ σ}|Y(\sur{k})\big). \] \end{proposition2} +L'énoncé de [Fried-Jarden] n'a pas de sens. +L'énoncé ci-dessus est peut-être bon... ? :( \XXX + \begin{démo} -Fixons un $x ∈ X$ tel que $σ(x)=\Frob_k(x)$. -Soit $r$ le cardinal de la fibre $Y_x$, $e$ l'indice de ramification -des $y$ dans cette fibre et $f$ le degré de l'extension résiduelle. -On a $\# G = efr$. Pour chaque $y$ dans la fibre, il existe exactement -$e$ éléments $γ ∈ G$ tels que $γ σ(y)=\Frob_k(y)$ et chaque $y$ -est de degré $f$ sur le corps résiduel de $x$. La formule -à démontrer est donc conséquence de l'égalité « ponctuelle » -\[ -1 = \frac{1}{\#G} (r × e × f). -\] -[On doit pouvoir dire ça mieux] \XXX +Soit $\sur{x} ∈ X(\sur{k})$, d'image $x$ dans $X$, et considérons la fibre du morphisme +$Y(\sur{k}) → X(\sur{k})$ au-dessus de $\sur{x}$, +dont on note $r_x$ le cardinal. Il existe un entier $f_x$ tel que +chaque $y ∈ Y$ au-dessus de $x$ induise une extension résiduelle +de degré $f_x$. Enfin, notons $e_x$ l'indice de ramification de $x$ +dans $L$. On a $\#G=e_x f_x r_x$. \end{démo} \subsubsection{} |