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authorDavid A. Madore <david@procyon>2012-03-01 14:51:09 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon>2012-03-01 14:51:09 +0100
commit9159a29dbed7da23732e86d93a45cdccea065b45 (patch)
tree0aa67f0442d163d8786555fc197169fd0c46c830
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[radicaux] Début de texte tout pourri sur le calcul des racines m-ièmes de l'unité.
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex32
1 files changed, 30 insertions, 2 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 1949940..c55f96d 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -393,9 +393,11 @@ pouvant se trouver selon qu'on admet ou non les racines $\wp$-ièmes,
ou parfois chez certains auteurs des racines $p$-ièmes inséparables).
\end{remarque2}
-\subsection{Expression explicite des racines de l'unité}
+\section{Expression explicite des racines de l'unité}
-\subsubsection{} Même si ce n'est pas immédiatement apparement, la
+\subsection{Généralités}
+
+Même si ce n'est pas immédiatement apparement, la
proposition \ref{extension-resoluble-egale-extension-par-radicaux} est
constructive, au sens où elle permet (en principe) de calculer une
expression par radicaux explicite pour un élément d'une extension de
@@ -433,6 +435,32 @@ caractéristique $0$ pour simplifier) :
premiers de $\varphi(m)$).
\end{itemize}
+\subsection{Expressions en radicaux de quelques $\cos\frac{2\pi}{m}$}
+
+\subsubsection{} Nous nous proposons dans cette section de calculer
+les expressions en radicaux de $\cos\frac{2\pi}{m}$ pour quelques
+valeurs de $m$. Pour rendre cette idée plus précise, on considère la
+clôture par radicaux $\QQ\resol$ de $\QQ$ dans $\CC$, en utilisant la
+notation $\root m \of x$ pour la « détermination principale » de la
+racine $m$-ième de $x$, c'est-à-dire celle dont la partie réelle est
+la plus grande et, en cas d'égalité (qui se produit uniquement si $m$
+est pair et $x$ réel négatif), celle qui a la partie imaginaire
+positive ; et on cherche à exprimer, avec cette notation, le nombre
+$\cos\frac{2\pi}{m}$ qui est défini comme $\frac{1}{2}(\zeta_m +
+\zeta_m^{-1})$ où $\zeta_m$ est la racine primitive $m$-ième de
+l'unité de partie réelle la plus grande et de partie imaginaire
+positive.
+
+\XXX --- Ce texte est tout pourri. Le réécrire.
+
+\subsubsection{$m=3$} Si $\omega$ désigne une racine cubique
+primitive de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_3 = X^2 + X +
+1$, alors on a $\omega^2 = -1-\omega = \omega^{-1}$, et la quantité
+$\alpha := (\omega - \omega^{-1})$ vérifie $\alpha^2 = \omega^2 - 2 +
+\omega^{-1} = -3$. Eu égard aux conventions que nous avons faites sur
+la détermination principale des racines, on peut écrire $\alpha =
+\sqrt{-3}$, de sorte que $\omega = \frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})$.
+
\ifx\danslelivre\undefined