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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-09 15:46:58 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-09 15:46:58 +0100
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Merge git.madore.org:galois
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex197
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index b5b2693..4d37258 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -2251,11 +2251,16 @@ conjugaison près), on a déjà suggéré en \ref{exemples-resolvantes}
d'utiliser la résolvante relativement à $P = Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4$, à
savoir $R_P(f) = X^3 - a_2 X^2 + (a_1 a_3 - 4 a_4) X + (- a_1 ^2 a_4 -
a_3^2 + 4 a_2 a_4)$ : lorsque $R_P(f)$ est séparable, elle admet une
-racine dans $k$ si et seulement si le groupe de Galois $G$ de $f$ est
-inclus dans un des conjugués de $D_4$ dans $\mathfrak{S}_4$.
-Remarquons que, dans ce cas, $R_P(f)$ est scindé si et seulement si
-$G$ est inclus dans l'intersection des conjugués de $D_4$
-dans $\mathfrak{S}_4$, qui est $C_2 \times C_2$.
+racine $\pi$ dans $k$ si et seulement si le groupe de Galois $G$
+de $f$ est inclus dans un des conjugués de $D_4$
+dans $\mathfrak{S}_4$. Quitte à renuméroter les racines de façon que
+la racine $\pi$ choisie vaille $\xi_1 \xi_3 + \xi_2 \xi_4$, on peut
+alors supposer que le groupe de Galois est bien inclus dans $D_4$
+(plutôt que simplement dans un de ses conjugués). À ce sujet,
+remarquons que, (toujours en supposant ce polynôme séparable),
+$R_P(f)$ est scindé si et seulement si $G$ est inclus dans
+l'intersection des conjugués de $D_4$ dans $\mathfrak{S}_4$, qui vaut
+$C_2 \times C_2$.
Il reste à trouver un moyen de distinguer les situations où le groupe
de Galois de $f$ est inclus dans $C_4$. Il est facile de trouver un
@@ -2265,7 +2270,7 @@ précisément $C_4$ : le polynôme $F = Z_1^2 Z_2 + Z_2^2 Z_3 + Z_3^2 Z_4
$R_F(f)$ : en supposant que celle-ci est séparable, elle admet une
racine dans $k$ si et seulement si $f$ a un groupe de Galois inclus.
L'expression générale de $R_F(f)$ dans les coefficients de $f$ est
-malheureusement fort compliquée : $R_F(f) = X^6 + 2 (a_1 a_2 - 3 a_3)
+cependant fort compliquée : $R_F(f) = X^6 + 2 (a_1 a_2 - 3 a_3)
X^5 + (a_1^2 a_2^2 + 2 a_1^3 a_3 + 2 a_2^3 - 17 a_1 a_2 a_3 + a_1^2
a_4 + 24 a_3^2 - 8 a_2 a_4) X^4 + 2 (a_1^4 a_2 a_3 + a_1^5 a_4 + a_1
a_2^4 - 5 a_1^2 a_2^2 a_3 - 4 a_1^3 a_3^2 - 5 a_1^3 a_2 a_4 - 4 a_2^3
@@ -2303,35 +2308,39 @@ a_2^2 a_3^2 a_4^2 + 416 a_1 a_3^3 a_4^2 + 256 a_1 a_2 a_3 a_4^3 - 320
a_3^2 a_4^3)$. Même s'il n'est pas nécessaire d'utiliser cette
expression pour calculer $R_F(f)$ (on a déjà souligné que le plus
simple est de calculer $R_F(f)$ directement à partir d'une
-approximation numérique des racines de $f$), il est intéressant de
+approximation numérique des racines de $f$ ou au moyen de bases de
+Gröbner, cf. \ref{calcul-resolvantes-par-calcul-approche} et
+\ref{calcul-resolvantes-par-bases-groebner}), il est intéressant de
chercher à considérer plutôt une résolvante relative en se plaçant
dans le cas où on sait déjà que $f$ a un groupe de Galois contenu
dans $D_4$ (ce qu'on voudra de toute façon tester au préalable).
Si on suppose d'avance que $f$ a un groupe de Galois contenu
-dans $D_4$, on peut considérer la résolvante relative $R_{D_4,F}(f)$ :
-lorsqu'elle est séparable, elle admet une racine dans $k$ si et
-seulement si $f$ a un groupe de Galois inclus dans $C_4$ (donc en fait
-égal à $C_4$ si $f$ est irréductible). Une différence par rapport aux
-situations précédentes est qu'il n'est pas évident de donner une
-expression « générale » de $R_{D_4,F}$, faute de choix évident de
-notations pour $\Fix_{D_4} k[Z_1,Z_2,Z_3,Z_4]$ comme le sont les
-fonctions symétriques élémentaires (ou les coefficients de $f$) pour
-$\Fix_{\mathfrak{S}_4} k[Z_1,Z_2,Z_3,Z_4]$. On peut cependant faire
-le choix suivant : le corps $\Fix_{D_4} k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ est une
-extension de degré $(\mathfrak{S}_4 : D_4) = 3$ de
-$\Fix_{\mathfrak{S}_4} k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ et peut être engendrée par
-l'élément $P = Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4$ dont le polynôme minimal est donné
-précisément par la résolvante générale $R_P$ explicitée plus haut.
-Les éléments de $\Fix_{D_4} k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ et, en particulier,
-les coefficients de la résolvante relative $R_{D_4,F}$ peuvent donc
-s'exprimer au moyen des fonctions symétriques élémentaires et de $P$,
-et même comme combinaisons de $1,P,P^2$ avec des coefficients
-totalement symétriques. Si on note $\pi$ l'expression $\xi_1 \xi_3
-+ \xi_2 \xi_4$ en les racines de $f$ (c'est-à-dire, la valeur de $P$
-sur celles-ci), on va donc pouvoir exprimer les coefficients de
-$R_{D_4,F}(f)$ comme des combinaisons de $1,\pi,\pi^2$ avec des
-coefficients fonctions rationnelles de $a_1,a_2,a_3,a_4$.
+dans $D_4$, donc que $R_P(f)$ a une racine $\pi = \xi_1 \xi_3 + \xi_2
+\xi_4$ dans $k$, on peut considérer la résolvante relative
+$R_{D_4,F}(f)$ : lorsque celle-ci est séparable, elle admet une racine
+dans $k$ si et seulement si $f$ a un groupe de Galois inclus
+dans $C_4$ (donc en fait égal à $C_4$ si $f$ est irréductible). Une
+différence par rapport aux situations précédentes est qu'il n'est pas
+évident de donner une expression « générale » de $R_{D_4,F}$, faute de
+choix évident de notations pour $\Fix_{D_4} k[Z_1,Z_2,Z_3,Z_4]$ comme
+le sont les fonctions symétriques élémentaires (ou les coefficients
+de $f$) pour $\Fix_{\mathfrak{S}_4} k[Z_1,Z_2,Z_3,Z_4]$. On peut
+cependant faire le choix suivant : le corps $\Fix_{D_4}
+k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ est une extension de degré $(\mathfrak{S}_4 : D_4)
+= 3$ de $\Fix_{\mathfrak{S}_4} k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ et peut être
+engendrée par l'élément $P = Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4$ dont le polynôme
+minimal est donné précisément par la résolvante générale $R_P$
+explicitée plus haut. Les éléments de $\Fix_{D_4} k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$
+et, en particulier, les coefficients de la résolvante relative
+$R_{D_4,F}$ peuvent donc s'exprimer au moyen des fonctions symétriques
+élémentaires et de $P$, et même comme combinaisons de $1,P,P^2$ avec
+des coefficients totalement symétriques. Si on note $\pi$
+l'expression $\xi_1 \xi_3 + \xi_2 \xi_4$ en les racines de $f$
+(c'est-à-dire, la valeur de $P$ sur celles-ci), dont l'appartenance à
+$k$ témoigne du fait que $G \leq D_4$, on va donc pouvoir exprimer les
+coefficients de $R_{D_4,F}(f)$ comme des combinaisons de $1,\pi,\pi^2$
+avec des coefficients fonctions rationnelles de $a_1,a_2,a_3,a_4$.
De fait, l'expression de $R_{D_4,F}(f)$ est la suivante :
$R_{D_4,F}(f) = X^2 + (a_1 a_2 - 2 a_3 - a_1 \pi) X + (a_1^3 a_3 -
@@ -2365,11 +2374,13 @@ est séparable et tester si elle a une racine dans $k$ : si ce n'est
pas le cas, le groupe de Galois de $f$ n'est pas inclus dans $D_4$ (et
\textit{a fortiori} pas dans $C_4$) ; si c'est le cas, on sait au
moins que le groupe de Galois de $f$ est inclus dans $D_4$ : appeler
-$\pi$ la racine trouvée ; (ii) calculer $R_{D_4,F}(f)$ en utilisant
-l'expression ci-dessus en fonction des coefficients $a_1,\ldots,a_4$
-de $f$ et de la racine $\pi$ qu'on vient de calculer (ou, de nouveau,
-par l'une des méthodes de \ref{calcul-resolvantes-par-calcul-approche}
-ou \ref{calcul-resolvantes-par-bases-groebner}), vérifier que
+$\pi$ la racine trouvée (et, si on compte s'en servir dans l'étape
+suivante, renuméroter les racines de façon que $\pi = \xi_1 \xi_3 +
+\xi_2 \xi_4$) ; (ii) calculer $R_{D_4,F}(f)$ en utilisant l'expression
+ci-dessus en fonction des coefficients $a_1,\ldots,a_4$ de $f$ et de
+la racine $\pi$ qu'on vient de calculer (ou, de nouveau, par l'une des
+méthodes de \ref{calcul-resolvantes-par-calcul-approche} ou
+\ref{calcul-resolvantes-par-bases-groebner}), vérifier que
$R_{D_4,F}(f)$ est séparable et tester si elle a une racine dans $k$ :
si ce n'est pas le cas, le groupe de Galois de $f$ n'est pas inclus
dans $C_4$, tandis que si c'est le cas, il l'est. Si l'une des deux
@@ -2409,14 +2420,14 @@ $F(\xi_1,\ldots,\xi_4) = 4$, un ordre sur ce carré.)
Le groupe symétrique $\mathfrak{S}_5$ possède cinq sous-groupes
transitifs : le groupe symétrique $\mathfrak{S}_5$ tout entier
(d'ordre $120$), le groupe alterné $\mathfrak{A}_5$ (d'ordre $60$), un
-groupe $M_{20}$ d'ordre $20$ qu'on va décrire dans un instant, le
+groupe $\AGL(\FF_5)$ d'ordre $20$ qu'on va décrire dans un instant, le
groupe diédral $D_5$ du pentagone (d'ordre $10$), et le groupe
-cyclique $C_5 = \ZZ/5\ZZ$ d'ordre $5$. Le groupe $M_{20}$ peut être
+cyclique $C_5 = \ZZ/5\ZZ$ d'ordre $5$. Le groupe $\AGL(\FF_5)$ peut être
défini comme le groupe des fonctions affines sur $\FF_5$ (vues comme
des permutations de cinq objets), ou encore comme engendré par deux
éléments $t$ (qu'on peut voir comme la fonction affine $x \mapsto x+1$
sur $\FF_5$) et $s$ (qu'on peut voir comme $x \mapsto 2x$) sujets aux
-relations $t^5=1$, $s^4=1$ et $ts = st^3$. On a $D_5 = M_{20} \cap
+relations $t^5=1$, $s^4=1$ et $ts = st^3$. On a $D_5 = \AGL(\FF_5) \cap
\mathfrak{A}_5$ (au moins à conjugaison près, mais si on identifie les
sommets du pentagone aux éléments $0,1,2,3,4$ de $\FF_5$ dans cet
ordre, avec les définitions qu'on a donées c'est exactement le cas).
@@ -2424,7 +2435,7 @@ ordre, avec les définitions qu'on a donées c'est exactement le cas).
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=1.25em,row sep=2.5ex]{
-&\mathfrak{S}_5&\\M_{20}&&\mathfrak{A}_5\\&D_5&\\&C_5&\\};
+&\mathfrak{S}_5&\\\AGL(\FF_5)&&\mathfrak{A}_5\\&D_5&\\&C_5&\\};
\draw (diag-1-2) -- (diag-2-1);
\draw (diag-1-2) -- (diag-2-3);
\draw (diag-2-1) -- (diag-3-2);
@@ -2433,18 +2444,17 @@ ordre, avec les définitions qu'on a donées c'est exactement le cas).
\end{tikzpicture}
\end{center}
-(La notation $M_{20}$ évoque le fait que ce groupe est un groupe
-« métacyclique », en l'occurrence extension de $C_4$ par $C_5$. Il
-existe cependant deux extensions non-isomorphes de $C_4$ par $C_5$ :
-celle dont nous parlons est la seule qui soit incluse
-dans $\mathfrak{S}_5$.)
+(Le groupe $\AGL(\FF_5)$ est « métacyclique », en l'occurrence
+extension de $C_4$ par $C_5$. Il existe cependant deux extensions
+non-isomorphes de $C_4$ par $C_5$ : celle dont nous parlons est la
+seule qui soit incluse dans $\mathfrak{S}_5$.)
On trouve facilement des polynômes dont le stabilisateur dans
-$\mathfrak{S}_5$ est respectivement $M_{20}$, $D_5$ et $C_5$ : pour la
-suite, on posera $P = Z_1^2(Z_2 Z_5 + Z_3 Z_4) + Z_2^2(Z_1 Z_3 + Z_4
-Z_5) + Z_3^2(Z_1 Z_5 + Z_2 Z_4) + Z_4^2(Z_1 Z_2 + Z_3 Z_5) + Z_5^2(Z_1
-Z_4 + Z_2 Z_3)$ (qui a $M_{20}$ pour stabilisateur), $Q = Z_1 Z_2 +
-Z_2 Z_3 + Z_3 Z_4 + Z_4 Z_5 + Z_1 Z_5$ (qui a $D_5$ pour
+$\mathfrak{S}_5$ est respectivement $\AGL(\FF_5)$, $D_5$ et $C_5$ :
+pour la suite, on posera $P = Z_1^2(Z_2 Z_5 + Z_3 Z_4) + Z_2^2(Z_1 Z_3
++ Z_4 Z_5) + Z_3^2(Z_1 Z_5 + Z_2 Z_4) + Z_4^2(Z_1 Z_2 + Z_3 Z_5) +
+Z_5^2(Z_1 Z_4 + Z_2 Z_3)$ (qui a $\AGL(\FF_5)$ pour stabilisateur), $Q
+= Z_1 Z_2 + Z_2 Z_3 + Z_3 Z_4 + Z_4 Z_5 + Z_1 Z_5$ (qui a $D_5$ pour
stabilisateur) et $F = Z_1^2 Z_2 + Z_2^2 Z_3 + Z_3^2 Z_4 + Z_4^2 Z_5 +
Z_5^2 Z_1$ (qui a $C_5$ pour stabilisateur).
@@ -2553,42 +2563,77 @@ a_2^2 a_3^2 a_4 a_5^2 - 160 a_2^2 a_3 a_4^3 a_5 - 192 a_2^2 a_4^5 -
a_4^2 a_5^3 + 3125 a_2^2 a_5^4 - 1250 a_2 a_3 a_4 a_5^3 - 2000 a_2
a_4^3 a_5^2 + 3250 a_3^2 a_4^2 a_5^2 - 1600 a_3 a_4^4 a_5 + 256 a_4^6
- 9375 a_4 a_5^4$. Cette résolvante sextique admet donc une racine
-si, et lorsqu'elle est séparable seulement si, le polynôme $f = X^5 +
-a_1 X^4 + a_2 X^3 + a_3 X^2 + a_4 X + a_5$ (supposé irréductible et
-séparable) a un groupe de Galois inclus dans $M_{20}$. Comme on l'a
-déjà plusieurs fois souligné
-(comparer \ref{calcul-resolvantes-par-calcul-approche}
-et \ref{calcul-resolvantes-par-bases-groebner}), on n'utilise
-normalement pas en pratique une telle expression générale, dont la
-seule fonction est d'impressionner par sa complexité.
-
-L'action de $\mathfrak{S}_5$ sur les six classes à gauche de $M_{20}$,
-donc sur les six racines de la résolvante générale $R_P$, correspond
-aux six façons de mettre une structure de $\FF_5$-espace affine (de
-dimension $1$) sur cinq objets ou, si l'on préfère, de partitionner le
-graphe complet sur cinq objets en deux $5$-cycles. Il peut être utile
-de remarquer que $\mathfrak{A}_5$ opère transitivement sur ces six
-objets (en effet, $\mathfrak{S}_5$ opère certainement transitivement,
-et quitte à multiplier par un élément dans le bon conjugué de $M_{20}$
-qui ne soit pas dans $\mathfrak{A}_5$, on fixe l'objet désiré tout en
-se ramenant dans $\mathfrak{A}_5$ si on n'y était pas) : ceci implique
+$\pi$ dans $k$ si, et lorsqu'elle est séparable seulement si, le
+polynôme $f = X^5 + a_1 X^4 + a_2 X^3 + a_3 X^2 + a_4 X + a_5$
+(supposé irréductible et séparable) a un groupe de Galois inclus
+dans un conjugué de $\AGL(\FF_5)$, conjugué qu'on peut supposer être
+exactement $\AGL(\FF_5)$ si on numérote les racines de $f$ de sorte
+que $\pi = P(\xi_1,\ldots,\xi_5)$. Comme on l'a déjà plusieurs fois
+souligné (comparer \ref{calcul-resolvantes-par-calcul-approche} et
+\ref{calcul-resolvantes-par-bases-groebner}), on n'utilise normalement
+pas en pratique une telle expression générale, dont la seule fonction
+est d'impressionner par sa complexité.
+
+L'action de $\mathfrak{S}_5$ sur les six classes à gauche
+de $\AGL(\FF_5)$, donc sur les six racines de la résolvante générale
+$R_P$, correspond aux six façons de mettre une structure de
+$\FF_5$-espace affine (de dimension $1$) sur cinq objets ou, si l'on
+préfère, de partitionner le graphe complet sur cinq objets en deux
+$5$-cycles. Il peut être intéressant de remarquer que
+$\mathfrak{A}_5$ opère transitivement sur ces six objets (en effet,
+$\mathfrak{S}_5$ opère certainement transitivement, et quitte à
+multiplier par un élément dans le bon conjugué de $\AGL(\FF_5)$ qui ne
+soit pas dans $\mathfrak{A}_5$, on fixe l'objet désiré tout en se
+ramenant dans $\mathfrak{A}_5$ si on n'y était pas) : ceci implique
que si $f$ a pour groupe de Galois $\mathfrak{A}_5$ (ou évidemment
$\mathfrak{S}_5$), la résolvante sextique $R_P(f)$ sera irréductible
(toujours en supposant qu'elle est séparable). Autrement dit, la
seule façon dont cette résolvante puisse être réductible (si elle est
séparable), c'est d'avoir une racine.
-Il est facile de relier $P$ à $Q$ : on a $P = Q^2 - \sigma_2 Q +
+Il est facile de relier $Q$ à $P$ : on a $P = Q^2 - \sigma_2 Q +
\sigma_1 \sigma_3 - 3 \sigma_4$ (avec $\sigma_i$ les fonctions
symétriques élémentaires de $Z_1,\ldots,Z_5$), c'est-à-dire que la
résolvante dans $D_5$ relativement à $Q$ vaut $R_{D_5,Q}(f) = X^2 -
-a_2 X + a_1 a_3 - 3 a_4 - \pi$ où $\pi$ est une racine de $R_P(f)$.
-En supposant $R_P(f)$ séparable et réductible, ce polynôme
-$R_{D_5,Q}(f)$ est donc réductible si, et lorsqu'il est séparable
-seulement si, le groupe de Galois de $f$ est inclus dans $D_5$. Ceci
-ne présente qu'un intérêt limité, puisqu'on aura de toute façon
-probablement déjà testé au préalable si le groupe de Galois de $f$ est
-inclus dans $\mathfrak{A}_5$, or $D_5 = M_{20} \cap \mathfrak{A}_5$.
+a_2 X + a_1 a_3 - 3 a_4 - \pi$ où $\pi$ est la racine dans $k$
+de $R_P(f)$ qui témoigne du fait que $G \leq \AGL(\FF_5)$. En
+supposant $R_P(f)$ séparable et réductible, ce polynôme $R_{D_5,Q}(f)$
+est donc réductible si, et lorsqu'il est séparable seulement si, le
+groupe de Galois de $f$ est inclus dans $D_5$. Ceci ne présente qu'un
+intérêt limité, puisqu'on aura de toute façon probablement déjà testé
+au préalable si le groupe de Galois de $f$ est inclus dans
+$\mathfrak{A}_5$, or $D_5 = \AGL(\FF_5) \cap \mathfrak{A}_5$.
+
+En caractéristique différente de $2$, on peut également relier $Q$ au
+discriminant $\delta = \prod_{i<j}(Z_i-Z_j)$ : on a $Q^6 - 3 \sigma_2
+Q^5 + (3 \sigma_2^{2} + 2 \sigma_1 \sigma_3 - 5 \sigma_4) Q^4 + (-
+\sigma_2^{3} - 4 \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 + 10 \sigma_2 \sigma_4)
+Q^3 + (2 \sigma_1 \sigma_2^{2} \sigma_3 + \sigma_1^{2} \sigma_3^{2} +
+\sigma_1^{2} \sigma_2 \sigma_4 - 4 \sigma_1^{3} \sigma_5 + \sigma_2
+\sigma_3^{2} - 8 \sigma_2^{2} \sigma_4 - 7 \sigma_1 \sigma_3 \sigma_4
++ 15 \sigma_1 \sigma_2 \sigma_5 + 15 \sigma_4^{2} - 25 \sigma_3
+\sigma_5) Q^2 + (- \sigma_1^{2} \sigma_2 \sigma_3^{2} - \sigma_1^{2}
+\sigma_2^{2} \sigma_4 + 4 \sigma_1^{3} \sigma_2 \sigma_5 -
+\sigma_2^{2} \sigma_3^{2} + 3 \sigma_2^{3} \sigma_4 + 7 \sigma_1
+\sigma_2 \sigma_3 \sigma_4 - 15 \sigma_1 \sigma_2^{2} \sigma_5 - 15
+\sigma_2 \sigma_4^{2} + 25 \sigma_2 \sigma_3 \sigma_5 - \delta) Q +
+\sigma_1^{3} \sigma_2 \sigma_3 \sigma_4 - \sigma_1^{4} \sigma_4^{2} -
+\sigma_1^{3} \sigma_2^{2} \sigma_5 + \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3^{3} -
+\frac{7}{2} \sigma_1 \sigma_2^{2} \sigma_3 \sigma_4 - 2 \sigma_1^{2}
+\sigma_3^{2} \sigma_4 + \frac{7}{2} \sigma_1^{2} \sigma_2 \sigma_4^{2}
++ \frac{9}{2} \sigma_1 \sigma_2^{3} \sigma_5 - 3 \sigma_1^{2} \sigma_2
+\sigma_3 \sigma_5 + 6 \sigma_1^{3} \sigma_4 \sigma_5 - \sigma_3^{4} +
+\frac{7}{2} \sigma_2 \sigma_3^{2} \sigma_4 + \sigma_2^{2} \sigma_4^{2}
+- \sigma_1 \sigma_3 \sigma_4^{2} - \frac{15}{2} \sigma_2^{2} \sigma_3
+\sigma_5 + 10 \sigma_1 \sigma_3^{2} \sigma_5 - 10 \sigma_1 \sigma_2
+\sigma_4 \sigma_5 - 25 \sigma_1^{2} \sigma_5^{2} + 5 \sigma_4^{3} - 25
+\sigma_3 \sigma_4 \sigma_5 + \frac{125}{2} \sigma_2 \sigma_5^{2} +
+\frac{1}{2} \sigma_2 \delta = 0$. Cette expression définit donc, pour
+$f$ un polynôme de degré $5$ irréductible et dont le discriminant
+$\prod_{i<j} (\xi_i - \xi_j)$ soit un carré non nul, un polynôme
+$R_{\mathfrak{A}_5,Q}(f)$ de degré $6$ qui admet une racine si, et
+lorsqu'il est séparable seulement si, le groupe de Galois $G$ de $f$
+est inclus dans $D_5$.