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author | David A. Madore <david@procyon.(none)> | 2011-01-26 18:31:23 +0100 |
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committer | David A. Madore <david@procyon.(none)> | 2011-01-26 18:31:23 +0100 |
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[calculs] Calculs en petits degrés (début).
-rw-r--r-- | chapitres/calculs-galois.tex | 39 |
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex index 3264c3b..5b9c444 100644 --- a/chapitres/calculs-galois.tex +++ b/chapitres/calculs-galois.tex @@ -266,7 +266,7 @@ La proposition suivante assure que pour chaque sous-groupe $H$ de $\mathfrak{S}_d$ on peut trouver un polynôme $P$ en $d$ variables $Z_1,\ldots,Z_d$ tel que les permutations des variables $Z_i$ laissant $P$ invariant soient exactement celles appartenant à $P$ : -\begin{proposition2} +\begin{proposition2}\label{polynomes-invariants-de-sous-groupes} Soit $H$ un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ et soit $K$ un corps : si on fait opérer $\mathfrak{S}_d$ sur $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ ou $K(Z_1,\ldots,Z_d)$ par $\sigma(P(Z_1,\ldots,Z_d)) = @@ -509,11 +509,11 @@ grand sous-groupe distingué de $\mathfrak{G}$ contenu dans $H$). \subsection{Utilisation de la notion de résolvante} La stratégie générale pour le calcul algorithmique en pratique du -groupe de Galois d'un polynôme $f$ irréductible de degré $d$ est la -suivante : dans un premier temps classifier, à conjugaison près, tous -les sous-groupes transitifs de $\mathfrak{S}_d$ et les inclusions -entre eux (certaines techniques permettant d'y arriver seront -esquissées au chapitre suivant) ; puis, pour chacun de ces +groupe de Galois d'un polynôme $f$ séparable irréductible de degré $d$ +est la suivante : dans un premier temps classifier, à conjugaison +près, tous les sous-groupes transitifs de $\mathfrak{S}_d$ et les +inclusions entre eux (certaines techniques permettant d'y arriver +seront esquissées au chapitre suivant) ; puis, pour chacun de ces sous-groupes, déterminer une résolvante dont la réductibilité ou non assure (en utilisant la proposition \ref{utilisation-des-resolvantes}) que le groupe de Galois appartient au sous-groupe en question @@ -533,7 +533,32 @@ preuve de celle-ci). \XXX --- À expliquer : pourquoi on risque d'avoir besoin de transformations de Tschirnhausen et pourquoi elles conviennent ; et ce qui va se passer pour évaluer des résolvantes dans $\mathfrak{G}$ (pas -très clair dans ma tête, ça0). +très clair dans ma tête, ça). + + +\section{Calculs en petits degrés} + +\subsection{Degrés $2$ et $3$} + +En degré $2$, il n'y a aucun calcul à faire : le groupe de Galois d'un +polynôme séparable irréductible quadratique est +nécessairement $\ZZ/2\ZZ$. + +En degré $3$, le seul sous-groupe transitif non-trivial de +$\mathfrak{S}_3$ est $H = \mathfrak{A}_3 = \ZZ/3\ZZ$ opérant comme +groupe des permutations cycliques sur les $3$ éléments. Un exemple de +polynôme $P$ en trois variables $Z_1,Z_2,Z_3$ dont le stabilisateur +dans $\mathfrak{S}_3$ soit $H$ (au sens +de \ref{polynomes-invariants-de-sous-groupes}, et essentiellement +celui donné par la proposition en question) est le polynôme $P = Z_1 +Z_2^2 + Z_2 Z_3^2 + Z_3 Z_1^2$ (sur n'importe quel corps) : si $f = +X^3 + a_1 X^2 + a_2 X + a_3$, alors la résolvante de $f$ relativement +à $P$ vaut $R_P(f) = X^2 + (a_1 a_2 - 3 a_3)\,X + (a_1^3 a_3 + a_2^3 - +6 a_1 a_2 a_3 + 9 a_3^2)$. Un autre exemple, sur un corps de +caractéristique $\neq 2$, est le polynôme $Q = (Z_1-Z_2) (Z_2-Z_3) +(Z_3-Z_1)$ : la résolvante de $f$ relativement à $Q$ vaut $R_Q(f) = +X^2 + (-a_1^2 a_2^2 + 4 a_1^3 a_3 + 4 a_2^3 - 18 a_1 a_2 a_3 + 27 +a_3^2)$. |