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authorDavid A. Madore <david@procyon>2012-03-01 18:50:06 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon>2012-03-01 18:50:06 +0100
commit96e020b7842b2b7830ecc9ce48b79400c0ab0600 (patch)
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[radicaux] Racine 7-ième de l'unité.
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex34
1 files changed, 29 insertions, 5 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 2bb4aa4..224fe2d 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -456,16 +456,19 @@ générateur du groupe cyclique $(\ZZ/n\ZZ)^\times$. Pour calculer
l'expression en radicaux d'une racine $n$-ième de l'unité $\omega$, on
peut décrire l'algorithme précédent de la manière suivante, en
supposant déjà connue une racine $(n-1)$-ième de l'unité $\zeta$ :
-poser $\alpha_j := \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{g^i}$ et
-calculer $a_j := \alpha_j^{n-1}$, qui s'exprime en fonction de $\zeta$
-uniquement. Pour justifier ce fait, on peut invoquer le fait que
+poser $\alpha_j := \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{g^i}$ (on a
+alors $\omega = \sum_{j=0}^{n-2} \alpha_j$) et calculer $a_j :=
+(\alpha_j)^{n-1}$, qui s'exprime en fonction de $\zeta$ uniquement.
+Pour justifier ce fait, on peut invoquer le fait que
$\QQ(\zeta,\omega)$ est galoisienne sur $\QQ(\zeta)$ de groupe de
Galois $(\ZZ/n\ZZ)^\times = \ZZ/(n-1)\ZZ$ (\XXX --- référence ?), mais
en fait on peut aussi simplement affirmer qu'on fait les calculs dans
$\QQ(\zeta)[X]/(\Phi_n)$ (pour lequel il est évident que $\omega
\mapsto \omega^g$ constitue un automorphisme en notant $\omega$ la
-classe de $X$), ce qui est le cas en pratique. On a alors $\omega =
-\sum_{j=0}^{n-2} \alpha_j$.
+classe de $X$), ce qui est le cas en pratique. En fait, on n'est pas
+obligé de monter jusqu'à $(\alpha_j)^{n-1}$ pour chaque $j$ : si $d$
+désigne le pgcd de $n-1$ et $j$, alors déjà $(\alpha_j)^{(n-1)/d}$
+s'exprime en fonction de $\zeta$, et même de $\zeta^d$, uniquement.
Dans le cadre qu'on vient de décrire, on s'intéresse souvent à
l'expression $\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$
@@ -598,6 +601,27 @@ l'expression suivante pour $\gamma$ :
\Big)
\]
+On a par ailleurs $(\alpha_3)^2 = -7$, et avec nos déterminations, on
+a $\alpha_3 = \sqrt{-7}$. Restent à déterminer $\alpha_1$ et
+$\alpha_5$. On peut calculer $(\alpha_1)^6 = -385 - 273\zeta =
+-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}$ d'où $\alpha_1 =
+-\root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$ ; et de même,
+$\alpha_5 = \root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$. Au
+final, on obtient l'expression suivante de $\omega$ :
+\[
+\begin{array}{rl}
+\displaystyle e^{2i\pi/7} &\displaystyle = \frac{1}{6}\Big(
+-1 + \sqrt{-7} + \root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}
++ \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}}\\\noalign{\vskip.5ex}
+&\displaystyle\hphantom{= \frac{1}{6}\Big(}
++ \root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}
+- \root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}}
+\Big)\\
+\end{array}
+\]
+
+\XXX --- On doit pouvoir écrire ça un peu autrement (comme pour $n=5$).
+
\ifx\danslelivre\undefined