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index c06bc9b..1949940 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -393,6 +393,46 @@ pouvant se trouver selon qu'on admet ou non les racines $\wp$-ièmes,
 ou parfois chez certains auteurs des racines $p$-ièmes inséparables).
 \end{remarque2}
 
+\subsection{Expression explicite des racines de l'unité}
+
+\subsubsection{} Même si ce n'est pas immédiatement apparement, la
+proposition \ref{extension-resoluble-egale-extension-par-radicaux} est
+constructive, au sens où elle permet (en principe) de calculer une
+expression par radicaux explicite pour un élément d'une extension de
+corps dont la clôture galoisienne a un groupe de Galois résoluble.  La
+clé provient du théorème \refext{KASW}{extension cyclique=Kummer}.  De
+façon sommaire, l'algorithme ressemble à ceci (en se plaçant en
+caractéristique $0$ pour simplifier) :
+\begin{itemize}
+\item Si $\gamma \in K$ avec $K \bo k$ galoisienne de groupe de Galois
+  cyclique d'ordre $m$ engendré par un élément $\sigma$ et que $k$
+  contient les racines $m$-ièmes de l'unité dont on note $\zeta$ une
+  racine primitive, alors $\alpha_j := \sum_{i=0}^{m-1} \zeta^{ij}
+  \sigma^i(\gamma)$ vérifie $\sigma(\alpha_j) = \zeta^j \alpha_j$ donc
+  $a_j := \alpha_j^m$ appartient à $k$.  On peut calculer $a_j$ (pour
+  $0\leq j \leq m-1$), puis exprimer $\alpha_j$ comme $\root m \of
+  a_j$ (ou peut-être comme $\zeta^{t_j} \root m\of a_j$ avec un $t_j$
+  à déterminer selon le choix de convention qui aurait été fait de la
+  détermination de $\root m\of a_j$), et enfin retrouver $\gamma$ en
+  inversant la matrice de Vandermonde $\zeta^{ij}$, c'est-à-dire
+  $\gamma = \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \zeta^{-j} \alpha_j$).  Les
+  calculs des $a_j$ (puis des $\alpha_j$) pour différents $j$ peuvent
+  souvent se mener de façon commune lorsque le groupe de Galois des
+  racines $m$-ièmes de l'unité opère de façon agréable sur la
+  situation.
+\item Si le groupe de Galois de $K \bo k$ est résoluble mais non
+  cyclique, on commence par en trouver une suite de chaîne $G = G_0
+  \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$, on appelle $k_i$ le corps
+  fixe de $G_i$ dans $K$, et on exprime un générateur de chaque
+  extension $k_{i+1}\bo k_i$ au moyen de la méthode précédente.
+\item Si toutes les racines de l'unité pertinentes ne sont pas
+  dans $k$, on commence par les y ajouter, c'est-à-dire par les
+  exprimer elles-mêmes avec des radicaux, en utilisant la même méthode
+  (sachant que pour exprimer les racines $m$-ièmes on n'aura besoin
+  que de racines $\ell$-ièmes avec $\ell$ parcourant les facteurs
+  premiers de $\varphi(m)$).
+\end{itemize}
+
 
 
 \ifx\danslelivre\undefined