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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-24 18:48:24 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-24 18:48:24 +0100
commita1dc06e2fab7b9591f799a545cff1021f2421a38 (patch)
treea45d6800ed9833983fab02256e9cac7eb8eaa574
parent1d209685744aa58644ae843dd49c85f5752f273b (diff)
parent5911b7900fc7574a0981b2ca0b828e2de686fa21 (diff)
downloadgalois-a1dc06e2fab7b9591f799a545cff1021f2421a38.tar.gz
galois-a1dc06e2fab7b9591f799a545cff1021f2421a38.tar.bz2
galois-a1dc06e2fab7b9591f799a545cff1021f2421a38.zip
Merge git.madore.org:galois
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex40
1 files changed, 40 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index c06bc9b..1949940 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -393,6 +393,46 @@ pouvant se trouver selon qu'on admet ou non les racines $\wp$-ièmes,
ou parfois chez certains auteurs des racines $p$-ièmes inséparables).
\end{remarque2}
+\subsection{Expression explicite des racines de l'unité}
+
+\subsubsection{} Même si ce n'est pas immédiatement apparement, la
+proposition \ref{extension-resoluble-egale-extension-par-radicaux} est
+constructive, au sens où elle permet (en principe) de calculer une
+expression par radicaux explicite pour un élément d'une extension de
+corps dont la clôture galoisienne a un groupe de Galois résoluble. La
+clé provient du théorème \refext{KASW}{extension cyclique=Kummer}. De
+façon sommaire, l'algorithme ressemble à ceci (en se plaçant en
+caractéristique $0$ pour simplifier) :
+\begin{itemize}
+\item Si $\gamma \in K$ avec $K \bo k$ galoisienne de groupe de Galois
+ cyclique d'ordre $m$ engendré par un élément $\sigma$ et que $k$
+ contient les racines $m$-ièmes de l'unité dont on note $\zeta$ une
+ racine primitive, alors $\alpha_j := \sum_{i=0}^{m-1} \zeta^{ij}
+ \sigma^i(\gamma)$ vérifie $\sigma(\alpha_j) = \zeta^j \alpha_j$ donc
+ $a_j := \alpha_j^m$ appartient à $k$. On peut calculer $a_j$ (pour
+ $0\leq j \leq m-1$), puis exprimer $\alpha_j$ comme $\root m \of
+ a_j$ (ou peut-être comme $\zeta^{t_j} \root m\of a_j$ avec un $t_j$
+ à déterminer selon le choix de convention qui aurait été fait de la
+ détermination de $\root m\of a_j$), et enfin retrouver $\gamma$ en
+ inversant la matrice de Vandermonde $\zeta^{ij}$, c'est-à-dire
+ $\gamma = \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \zeta^{-j} \alpha_j$). Les
+ calculs des $a_j$ (puis des $\alpha_j$) pour différents $j$ peuvent
+ souvent se mener de façon commune lorsque le groupe de Galois des
+ racines $m$-ièmes de l'unité opère de façon agréable sur la
+ situation.
+\item Si le groupe de Galois de $K \bo k$ est résoluble mais non
+ cyclique, on commence par en trouver une suite de chaîne $G = G_0
+ \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$, on appelle $k_i$ le corps
+ fixe de $G_i$ dans $K$, et on exprime un générateur de chaque
+ extension $k_{i+1}\bo k_i$ au moyen de la méthode précédente.
+\item Si toutes les racines de l'unité pertinentes ne sont pas
+ dans $k$, on commence par les y ajouter, c'est-à-dire par les
+ exprimer elles-mêmes avec des radicaux, en utilisant la même méthode
+ (sachant que pour exprimer les racines $m$-ièmes on n'aura besoin
+ que de racines $\ell$-ièmes avec $\ell$ parcourant les facteurs
+ premiers de $\varphi(m)$).
+\end{itemize}
+
\ifx\danslelivre\undefined