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[LG] tout début démonstration théorème principal sur ζ (je me suis embrouillé dans les mesures...)
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Cela résulte de l'unicité de $μ_{U}$ et du fait -que ${j^{U U′}}_{\! !} (⊠_s f_s) =⊠_s ({j^{U U′}_s}_!f_s)$, avec des notations +que ${j^{U U′}}_{\! !} (\mathop{\bigboxtimes\nolimits_s} f_s) =\mathop{\bigboxtimes\nolimits_s} ({j^{U U′}_s}_!f_s)$, avec des notations évidentes. Soit maintenant $f ∈ 𝒞_c((𝒳;\!𝒱)_𝐀,𝐂)$. D'après l'observation du paragraphe précédent, il existe un ensemble cofini $U ⊆ Σ$ tel que $f$ @@ -3377,13 +3374,13 @@ envoyant un réel $t$ strictement positif sur la classe de l'idèle $(f_x)$, où $f_x=t^{1/[K:𝐐]}$ si $x$ est archimédien et $f_x=1$ sinon. Si $K$ est un corps de fonctions, l'image de la norme est trivialement un sous-groupe de la forme -$q^{n 𝐙}$, où $q$ est le cardinal du corps des constantes de $K$ -et $n$ est un entier strictement positif. (En fait, on peut montrer, -cf. \ref{} \emph{infra}, que l'on a $n=1$.) Dans ce cas, il n'y a en général pas +$q^{d 𝐙}$, où $q$ est le cardinal du corps des constantes de $K$ +et $d$ est un entier strictement positif. (En fait, on peut montrer, +cf. \ref{} \emph{infra}, que l'on a $d=1$.) Dans ce cas, il n'y a en général pas de section canonique. \begin{remarque2} -Le fait que l'entier $n$ ci-dessus soit égal à $1$ +Le fait que l'entier $d$ ci-dessus soit égal à $1$ revient à dire, dans le langage qui sera introduit ci-dessous, qu'il existe sur $K$ un « diviseur de degré $1$ ». %Cf. cours Katz, p. 13, via fonction zêta.) @@ -4195,17 +4192,17 @@ notera $𝔠$. \label{Poisson implique RR} Appliquons la formule de Poisson-Riemann-Roch (\ref{Fourier adélique}, \ref{Poisson-Riemann-Roch}) à la fonction -caractéristique, notée ici $𝟭$, du sous-anneau compact maximal $𝒪_{K_𝐀}$. +caractéristique, notée ici $𝟭_𝒪$, du sous-anneau compact maximal $𝒪_{K_𝐀}$. Fixons un caractère additif non trivial $ψ$ de $K_𝐀 ∕ K$. Il résulte des formules locales \ref{Fourier et mesure locaux} que l'on a l'égalité : \[ -ℱ_ψ(𝟭) +ℱ_ψ(𝟭_𝒪) = \mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x q_x^{-½n(ψ_x)} 𝟭_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}} = q^{-½\deg(𝔠)} \mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x 𝟭_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}. \] Fixons un idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, dont on note $𝔞$ le diviseur $\div(ι)$. -Le terme de droite de l'égalité tautologique $∑_{f ∈ K} 𝟭(f ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}\big)$ +Le terme de droite de l'égalité tautologique $∑_{f ∈ K} 𝟭_𝒪(f ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}\big)$ (dont la finitude, qui résulte de \ref{lemme de convergence normale sur compacts}, a été observée en \ref{finitude K inter O sur a}), n'est autre que l'ensemble @@ -4222,7 +4219,7 @@ la dimension (finie) sur $k$ de $L(𝔞)$, de sorte que $\# L(𝔞) = q^{l( Pour chaque $f ∈ K$, on a $\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x 𝟭_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}(f/ι)=1$ si et seulement si $f ∈ L(𝔠-𝔞)$. Compte tenu de l'égalité $|ι|=q^{-\deg(ι)}=q^{-\deg(𝔞)}$, la formule de Poisson-Riemann-Roch appliquée -à $𝟭$ et $ι$ se réécrit +à $𝟭_𝒪$ et $ι$ se réécrit \[ q^{l(𝔞)}=q^{\deg(𝔞)}q^{-½\deg(𝔠)}q^{l(𝔠-𝔞)}. \] @@ -4422,14 +4419,14 @@ fonctions $K$, de corps des constantes de cardinal $q$. \label{Fourier de 1} Soit $K$ un corps global et posons \[ -𝟭= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠ +𝟭_𝒪= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠ \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big). \] Il résulte de ces formules locales précédentes que l'on a la formule (globale) \[ -ℱ_ψ(𝟭)=|d_K|^{½} [×d_K]^*𝟭. +ℱ_ψ(𝟭_𝒪)=|d_K|^{½} [×d_K]^*𝟭_𝒪. \] Cette égalité est le pendant adélique de l'équation fonctionnelle $θ(t)=\frac{1}{√{t}} θ(\frac{1}{t})$ considérée en \ref{équation-fonctionnelle-thêta}. @@ -4444,7 +4441,7 @@ telle que $μ$ soit le produit (au sens de \ref{module et mesure quotients}) de $\sur{μ}$ par la mesure de comptage sur le sous-groupe discret $K$. Compte tenu des égalités $\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(K_𝐀 ∕ K)=1$ (\ref{Fourier adélique}, (i)), et $μ^{\mbox{\minus -$+$}}_{\japmath{玉}}=|d_ψ|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$ +$+$}}_{\japmath{玉}}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$ (\ref{Tamagawa et idèle différentiel}), on a : \[ \sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K) @@ -4462,6 +4459,12 @@ le compact $∏_x 𝒪_{K,x}$ est de mesure $1$.) Pour une démonstration directe de cette seconde formule à partir du théorème de Riemann-Roch, cf. \cite[2.1.3.b)]{Adeles@Weil}. +\subsubsection{}Définissons de même la mesure $\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$ +sur les classes d'idèles $C_K=K_𝐀^×/K^×$ comme étant l'unique mesure +dont $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$ est le produit par +la mesure de comptage sur le sous-groupe discret +(non cocompact) $K^×$. + \begin{théorème2} \label{calcul volume idélique} Soit $K$ un corps global. Notons $w$ le nombre de racines @@ -4722,7 +4725,7 @@ le degré (en $t$) des fractions rationnelles.) Ce facteur se réécrit \[ ∑_{f ∈ 𝐅_p[t] \atop \text{unitaire}} \frac{1}{|f|^s}= -∑_{d ≥ 0} \frac{p^d}{p^{ds}}=(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}$ +∑_{d ≥ 0} \frac{p^d}{p^{ds}}=(1-p ⋅ p^{-s})^{-1} \] car il y a exactement $p^{d}$ polynômes unitaires de degré $d$ dans $𝐅_p$. Ainsi, @@ -4765,13 +4768,13 @@ converge absolument pour pour $\Re(s)>1$ et se prolonge en une fonction méromor simples uniquement en les complexes congrus à $0$ ou $1$, \emph{modulo $2iπ/\!\log(q)$}, en faisant la convention que $2iπ/\!\log(1)=0$. \item Soit $|d_K|$ la norme d'un idèle différentiel de $K$, -égale à $|𝒟_K|^{-1}$ ou $q^{2-2g}$ suivant que $K$ est un corps de nombres -de discriminant $𝒟_K$ ou un corps de fonctions de genre $g$. +égale à $|𝔡_K|^{-1}$ ou $q^{2-2g}$ suivant que $K$ est un corps de nombres +de discriminant $𝔡_K$ ou un corps de fonctions de genre $g$. Alors, la fonction zêta complétée $\sur{ζ}_K$ (\ref{fonction zêta complétée}) satisfait l'équation fonctionnelle \[ -\sur{ζ}(s)=|d_K|^{s-½}\sur{ζ}(1-s)$ +\sur{ζ}(s)=|d_K|^{s-½}\sur{ζ}(1-s) \] et a pour résidu $-μ π^{-r_𝐂}$ en $s=0$, où $μ$ est la constante calculée en \ref{calcul volume idélique} et @@ -4785,46 +4788,54 @@ La fonction Zêta $Z_X$ satisfait les propriétés suivantes : \begin{enumerate} \item $Z_K$ a pour uniques pôles des pôles simples en $1$ et $q^{-1}$ ; \item $Z_K(T)=q^{g_K}T^{2g_K}Z_K(1/qT)$, où $g_K$ est le \emph{genre} de $K$. -\item $Z_K(0)=1$. +\item $P(0)=h$, où $h$ est le cardinal du groupe de Picard. +\commentaire{terminologie discutable : c'est le sous-groupe de torsion de Pic} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{théorème2} +\begin{remarque2} +Les énoncés (a)—(c) sur la fonction Zêta $Z_X$ sont conséquence immédiate +des énoncés (i)—(ii) sur la fonction zêta $ζ_K$. +\end{remarque2} + \subsubsection{}La démonstration de ce théorème occupe la suite de cette -section, où nous établirons un énoncé de nature plus générale -(\ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}), -suivant la méthode (adélique) de \textsc{Iwasawa-Tate} -(\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate}). -%[BNT], pp. 120--130, Swinnerton-Dyer : « A brief guide to -%algebraic number theory », Colmez (F.2.15), -%et peut-être Zagier, « Eisenstein series … II », Katô-Saïtô §7.5. +section. Suivant une méthode globale (adélique) due indépendamment à +\textsc{Iwasawa} K. et J. \textsc{Tate}\footnote{Voir \cite{note@Iwasawa}, \cite{Lettre@Iwasawa}, \cite{Collected@Iwasawa}, +\cite{Fourier@Tate}.}, on interprète le produit eulérien (qui est aussi +\emph{grosso modo} une somme sur les idéaux) comme une intégrale sur les idèles, plus précisément comme une +transformée de Mellin adélique, puis on utilise le lien +avec la transformation de Fourier pour établir l'équation fonctionnelle. +Procédant ainsi, il est plus naturel d'établir +d'abord l'énoncé général \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate} +puis de vérifier que le théorème \ref{équation fonctionnelle zêta} en est +conséquence. -\subsubsection{Mesures} -Soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère additif non trivial de $K_𝐀/K$. -Rappelons que l'on note $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ les mesures de Haar additives locales -(auto-duales) et $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ_x}$ les mesures de Haar multiplicatives locales -associées comme en \ref{sorites mesures multiplicatives locales}. -La mesure de Haar additive globale $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ}=⊠_x μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ -est indépendante de $ψ$ et est notée $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ -(cf. \ref{Fourier adélique}). De même, la mesure de Haar multiplicative globale -$μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}=⊠_x μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ_x}$ -est indépendante de $ψ$. On la note naturellement $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$. -Notons que la décomposition en produit d'une mesure de Haar globale -n'est pas canonique, contrairement à la décomposition -de $ψ$ en $⊠_x ψ_x$, qui est unique. - -\subsubsection{Esquisse} -Pour chaque signe de comparaison $?$, notons $K^{×,? 1}_𝐀$ l'ensemble des idèles $ι$ -tels que $|ι| ? 1$. Soient $χ$ un quasi-caractère de $K^×_𝐀/K^×$, -$ψ$ un caractère de $K_𝐀/K$ et $c : K^×_𝐀 → 𝐑$ -la fonction valant $1$ sur $K^{×, >1}_𝐀$, $0$ sur $K^{×, <1}_𝐀$ -et $½$ sur $K^{×, =1}_𝐀=K^{×, ≤1}_𝐀 ∩ K^{×, ≥1}_𝐀$. -Considérons les fonctions zêta suivantes, obtenues par +\subsubsection{} +On fixe dorénavant un caractère additif non trivial $ψ=(ψ_x)$ de $K_𝐀/K$, +auquel est associée la transformation de Fourier (autoduale) +$ℱ_ψ$ (\ref{définition Fourier adélique}, \ref{Fourier adélique}). +Comme dans le cas additif, il résulte de la formule du produit +que la mesure de Haar multiplicative globale +produit restreint des mesures $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ_x}$ +est indépendante de $ψ$ ; on la note $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$. +%Notons que la décomposition en produit d'une mesure de Haar globale +%n'est pas canonique, contrairement à la décomposition +%de $ψ$ en $⊠_x ψ_x$, qui est unique. +On a $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$ + +\subsubsection{Transformation de Mellin adéliques}Soient $f$ une +fonction sur $K_𝐀$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×_𝐀/K^×$. Pour chaque signe de +comparaison $?$, notons $K^{×,? 1}_𝐀$ l'ensemble des idèles $ι$ tels que +$|ι| ? 1$ et $c$ la fonction continue $K^×_𝐀 → 𝐑$ valant $1$ sur $K^{×, >1}_𝐀$, +$0$ sur $K^{×, <1}_𝐀$ et $½$ sur $K^{×, =1}_𝐀=K^{×, ≤1}_𝐀 ∩ K^{×, ≥1}_𝐀$. +Sous réserve de convergence ou d'existence d'un prolongement méromorphe +(cf. \emph{infra}), définissons les fonctions zêta suivantes, obtenues par transformation de Mellin : \[ \begin{array}{rcl} -ζ_{≥ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} c ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}, \\ -ζ_{≤ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} (1-c) ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}, \text{ et enfin} \\ +ζ_{≤ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} (1-c) ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}} ; \\ +ζ_{≥ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} c ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}} ; \\ ζ(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}} = ζ_{≥ 1}(f,χ,s)+ζ_{≤ 1}(f,χ,s). \end{array} \] @@ -4832,48 +4843,59 @@ transformation de Mellin : %supposer que $\Re(χ)=0$, c'est-à-dire que $χ$ est un \emph{caractère}. Dans les deux premiers cas, on peut restreindre le domaine d'intégration à $K^{×, ≥1}_𝐀$ et $K^{×, ≤1}_𝐀$ respectivement. - -Lorsque $K$ est un \emph{corps de nombres}, -l'introduction des facteurs correctifs $c$ et $1-c$ est inutile car +Notons également que lorsque $K$ est un \emph{corps de nombres}, +l'introduction des facteurs correctifs $c$ et $1-c$ est inutile : la mesure de $K^{×, =1}_𝐀$ est nulle. \emph{A contrario}, si $K$ est un corps de fonctions, le groupe des idèles $K^×_𝐀$ est une union \emph{dénombrable} de translatés de $K^{×, =1}_𝐀$. -\subsubsection{}Ces intégrales définissent des fonctions holomorphe -sur $\Re(s)>1-\Re(χ)$ dès lors que $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$. Il suffit de considérer la transformée -de Mellin $ζ(f,χ,s)$ et de la comparer avec la fonction zêta en utilisant une décomposition en produit via +\subsubsection{Convergence} +Fixons $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ et vérifions +la convergence absolue de l'intégrale $∫_{K^×_𝐀} f ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ +pour $\Re(s)>1$. Par définition, la transformée de Mellin est, +sous réserve de convergence, le produit $∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s)$ +des transformées de Mellin locales définies en \ref{fonction zêta locale}. +[...] + +comparer avec la fonction zêta en utilisant une décomposition en produit via Fubini [...] \XXX % p. ex., BNT, p. 119, prop. 10. La transformée de Mellin tronquée $ζ_{≥ 1}(f,χ,s)$ est donc convergente et holomorphe sur $𝐂$ entier car plus $\Re(s)$ est petit, plus la fonction intégrée l'est. \subsubsection{Exemple: la fonction constante $𝟭$} \label{calcul zeta1khis} -Si le quasi-caractère $χ$ est non trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, on a $ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s)=0$ -comme il résulte d'un changement de variable $ι↔xι′$ où -$χ(x) ≠ 1$ et $x ∈ K^{×,=1}_𝐀$ (orthogonalité des -caractères). Si par contre $χ$ est trivial -sur $K^{×,=1}_𝐀$, il provient d'un caractère de -$K^×_𝐀/K^{×,=1}_𝐀$ et est donc (\ref{quasi-caractères globaux}) de la forme -$ι↦ |ι|^σ$ ($σ ∈ i 𝐑$). Dans ce cas, posant $κ=μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}(K^{×,=1}_𝐀/K^×)$ -on a : +[JE ME SUIS EMBROUILLÉ : c'est pas $ζ$ mais une intégrale sur un quotient +que l'on calcul ici] \XXX + +Lorsque $f$ est la fonction constante de valeur $1$ +et $χ$ est le quasi-caractère trivial, l'intégrale +définissant la transformée de Mellin « inférieure » +converge pour $\Re(s)>0$ et on a l'égalité : \[ \begin{array}{rcll} -ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s) & = & \frac{κ}{s+σ} & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\ -& = & \frac{κ}{2} \frac{1+q^{-(s+σ)}}{1-q^{-(s+σ)}} & \text{si $K$ est un corps de fonctions.} +ζ_{≤ 1}(1,1,s) & = & \frac{μ}{s} & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\ +& = & \frac{μ}{2} \frac{1+q^{-ds}}{1-q^{-ds}} & \text{si $K$ est un corps de fonctions,} \end{array} \] -En effet, on trouve respectivement l'intégrale +où $μ=\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(C^{=1}_K)$ est la constante calculée en \ref{calcul volume idélique}, +et, dans le second cas, $d$ est l'unique entier naturel tel que $|K^×_𝐀|=q^{d 𝐙}$ +c'est-à-dire le plus petit degré $>0$ d'un diviseur de $K$ (cf. \ref{quasi-caractères globaux}). +En effet, par définition de la transformation de Mellin et des mesures, il résulte du +théorème de Fubini que le terme de gauche +est égal à l'intégrale \[ -κ ∫_{𝐑>0} t^{s+σ} \frac{dt}{t} +μ ∫₀¹ t^s \frac{dt}{t} \] -et la somme +ou la somme \[ -κ \big( ½ + ∫_{𝐙_{>0}} q^{-n(s+σ)} dμ(n)\big). +μ \big( ½ + ∑_{n ∈ 𝐙_{>0}} q^{-nds} \big). \] -(On utilise ici la surjectivité de $||: K^×_𝐀 → q^{𝐙}$.) -Notons que dans le second cas, il y a une ambiguïté dans le -choix de $σ$ ; elle disparaît en évaluant $q^{-σ}$. -Le même calcul s'applique à $ζ_{ ≥1}(𝟭,χ,s)$. +%% cf. mesure de comptage sur le quotient. + +(Si le quasi-caractère $χ$ est non trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, on a $ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s)=0$ +comme il résulte d'un changement de variable $ι↔xι′$ où +$χ(x) ≠ 1$ et $x ∈ K^{×,=1}_𝐀$ (orthogonalité des +caractères).) \subsubsection{}La substitution $ι↦ ι^{-1}$ transforme $K^{×, ≤1}_𝐀$. D'autre part, on a $c(ι^{-1})=1-c(ι)$ pour chaque idèle $ι$. @@ -4981,8 +5003,8 @@ Cela nous permettrait d'éviter la redondance $χ,s$. Appliquons le théorème \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate} à la fonction \[ -𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠ -\big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big) +𝟭= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits'}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠ +\big(\mathop{\bigboxtimes}_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big) \] considérée en \ref{Fourier de 1} et au caractère multiplicatif $χ$ \emph{trivial}, que nous omettons des notations lorsque cela ne prête pas à confusion. |