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authorFabrice (IHÉS) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2014-02-10 16:36:20 (GMT)
committerFabrice (IHÉS) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2014-02-10 16:36:20 (GMT)
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[CG] clarification sur McCoy-永田 et italique ⤳ gras dans définitions
(Il faudrait uniformiser ce dernier point ; c'est aussi pour tester l'apparence.)
-rw-r--r--chapitres/correspondance-galois.tex103
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index 87761d3..c6aaca3 100644
--- a/chapitres/correspondance-galois.tex
+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -41,7 +41,7 @@ homomorphismes de $K$-algèbres.
\subsection{Conjugués d'un élément}
\begin{définition2}
-Deux éléments $x$ et $y$ de $Ω$ sont dits \emph{conjugués sur $k$}
+Deux éléments $x$ et $y$ de $Ω$ sont dits \textbf{conjugués sur $k$}
s'il existe un $k$-automorphisme $σ$ de $Ω$ tel que
$σ(x)=y$.
\end{définition2}
@@ -255,8 +255,8 @@ l'élément $λ⊗1-1⊗g(λ)$ appartient à $𝔭_g$ mais pas à $𝔭_{g'}$.
\end{démo}
\begin{définition2}\label{extension-normale}
-On dit qu'une extension algébrique $K\bo k$ est \emph{normale} ou
-\emph{quasi-galoisienne} si les conditions de la proposition
+On dit qu'une extension algébrique $K\bo k$ est \textbf{normale} ou
+\textbf{quasi-galoisienne} si les conditions de la proposition
précédentes sont satisfaites.
\end{définition2}
@@ -353,9 +353,9 @@ des éléments de $X$ ou bien encore avec le corps
de décomposition sur $k$ contenu dans $Ω$ des polynômes minimaux
des éléments de $X$.
-On l'appelle \emph{extension normale engendrée
+On l'appelle \textbf{extension normale engendrée
par $X$} ou bien, si $X$ est un corps $k'$ contenant $k$,
-\emph{clôture normale de l'extension $k'\bo k$ dans $Ω$}.
+\textbf{clôture normale de l'extension $k'\bo k$ dans $Ω$}.
Plus généralement, on appelle clôture normale d'une extension
algébrique $k'\bo k$ toute extension $K/k'$ qui soit
normale sur $k$ et minimale pour cette propriété. Puisque
@@ -366,7 +366,7 @@ sont $k'$-isomorphes.
\subsection{Extensions galoisiennes et groupe de Galois}
\begin{définition2}\label{extension-galoisienne}
-Une extension algébrique $K\bo k$ est dite \emph{galoisienne}
+Une extension algébrique $K\bo k$ est dite \textbf{galoisienne}
si elle est normale et séparable. \end{définition2}
\begin{lemme2}\label{gal=corps-dec-sep}
@@ -478,10 +478,10 @@ $e₁∈\Hom_\Ens(G,K)$ est l'idempotent correspondant à l'identité de $G$.
\begin{définition2}\label{définition groupe Galois}
Soit $K\bo k$ une extension galoisienne. On appelle
-\emph{groupe de Galois} \index{groupe de Galois} de l'extension $K\bo k$
+\textbf{groupe de Galois} \index{groupe de Galois} de l'extension $K\bo k$
le groupe $\Aut_k(K)$. On le note indifféremment $\Gal(K\bo k)$
ou $G_{K\bo k}$. Une extension $K\bo k$
-est dite \emph{galoisienne de groupe $G$} si
+est dite \textbf{galoisienne de groupe $G$} si
elle est galoisienne et si le groupe $\Gal(K\bo k)$
est isomorphe à $G$.
\end{définition2}
@@ -665,8 +665,8 @@ galoisiennes verselles}.
\begin{définition2}\label{pseudo-torseur}
Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre
et $G$ un groupe fini de $A$-automorphismes de $B$.
-On dit que $B$ est un \emph{pseudo-torseur} \index{pseudo-torseur}
-sous $G$, ou encore un \emph{pseudo-$G$-torseur}
+On dit que $B$ est un \textbf{pseudo-torseur} \index{pseudo-torseur}
+sous $G$, ou encore un \textbf{pseudo-$G$-torseur}
si le morphisme
\[m:B ⊗_A B → ∏_{g ∈ G} B=\Hom_{\Ens}(G,B)\]
\[λ ⊗ μ ↦ \big(g(λ)μ\big)_g\]
@@ -712,8 +712,8 @@ est également un isomorphisme.
\begin{définition2}\label{décomposition-inertie}
Soient $B$ un anneau et $G$ un groupe fini agissant par
automorphismes. Pour tout idéal premier $𝔮∈\Spec(B)$, on
-appelle \emph{groupe de décomposition}\index{groupe de décomposition}
-(resp. \emph{groupe d'inertie}\index{groupe d'inertie}) de $𝔮$ le
+appelle \textbf{groupe de décomposition}\index{groupe de décomposition}
+(resp. \textbf{groupe d'inertie}\index{groupe d'inertie}) de $𝔮$ le
stabilisateur $G_D(𝔮)=\{g∈G:g(𝔮)=𝔮\}$ (resp.
son sous-groupe $G_I(𝔮)=\Ker\big(G_D(𝔮) → \Aut(B/𝔮)\big)$,
où $g ∈ G_D(𝔮)$ agit sur le quotient $B/ 𝔮$ par $x \mod 𝔮 ↦ g(x) \mod
@@ -735,7 +735,7 @@ des résultats de \ref{réduction mod p} ci-après).
\begin{définition2}\label{action sans inertie}
Soit $B$ un anneau. On dit qu'une action d'un groupe
-$G$ sur $B$ par automorphismes est \emph{sans inertie}
+$G$ sur $B$ par automorphismes est \textbf{sans inertie}
si pour tout $𝔮 ∈ \Spec(B)$ le groupe $G_I(𝔮)$ est trivial.
\end{définition2}
@@ -766,7 +766,7 @@ bilinéaire euclidienne usuelle et $g(y)=(g(y₁), …,g(y_n))$.
\item Le $A$-module $B$ est projectif de type fini et
le morphisme $ι:B\{G\} → \End_{A\traitdunion\categmot{Mod}}(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$
-est un isomorphisme, où $B\{G\}$ est l'\emph{algèbre de groupe tordue}, dont le $B$ module sous-jacent
+est un isomorphisme, où $B\{G\}$ est l'\textbf{algèbre de groupe tordue}, dont le $B$ module sous-jacent
est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit
étant défini par la condition $h ⋅ (bg)=h(b)(hg)$.
@@ -775,7 +775,7 @@ est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit
\begin{définition2}\label{algèbre G-galoisienne}\index{algèbre galoisienne}
Soient $A → B$ un morphisme d'anneaux et $G$ un groupe fini
-de $A$-automorphismes de $B$. On dit que $B$ est une \emph{$A$-algèbre
+de $A$-automorphismes de $B$. On dit que $B$ est une \textbf{$A$-algèbre
galoisienne de groupe $G$} lorsque les conditions
équivalentes du théorème précédent sont satisfaites.
\end{définition2}
@@ -786,7 +786,7 @@ et de l'égalité $\Fix_{\Aut_K(L)}(L)=K$ (\ref{KsurG=k}) ou bien
du critère (i) et du théorème \ref{galois=autodiag}.
Nous commettrons parfois l'abus de langage suivant : une $A$-algèbre $B$
-sera dite \emph{galoisienne sur $A$} s'il existe un sous-groupe $G$
+sera dite \textbf{galoisienne sur $A$} s'il existe un sous-groupe $G$
non spécifié de $\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$ tel que
$B$ soit galoisienne de groupe $G$ sur $A$.
@@ -860,7 +860,7 @@ est un isomorphisme.
\end{proposition2}
On dit que la catégorie des $G$-algèbres galoisiennes
-est un \emph{groupoïde}.
+est un \textbf{groupoïde}.
\begin{démo}
Soient $B₁$ et $B₂$ deux $A$-algèbres comme dans l'énoncé
@@ -1069,7 +1069,7 @@ $r_i$ égale à un (c'est-à-dire $f=f_{\red}$).
\end{lemme2}
\begin{définition2}
-Si $f_{\red}$ est séparable, on appelle \emph{groupe de Galois du polynôme $f$} le groupe de Galois de
+Si $f_{\red}$ est séparable, on appelle \textbf{groupe de Galois du polynôme $f$} le groupe de Galois de
l'extension $\dec(f)\bo K$, noté $G_f$ ou $\Gal(f)$.
\end{définition2}
@@ -1151,38 +1151,41 @@ sur un ensemble fini $X$, on a $\#X | \# G$.
\subsection{Contenu}
-[À déplacer/modifier : simple copier-coller d'exos à l'X] \XXX
+[À déplacer/modifier]
\begin{lemme2}(Lemme de McCoy-{\IPAMincho 永田})
Soit $A$ un anneau commutatif.
-Un polynôme $P ∈ A[X]$ non nul est diviseur de
+Un polynôme $P ∈ A[T]$ non nul est diviseur de
zéro si et seulement si il existe $a ≠ 0$ dans $A$ tel que
$aP=0$.
\end{lemme2}
\begin{démo}
-Écrivons $P=a₀+a₁X + \cdots + a_n X^n$ et considérons
-$Q=b₀+b₁X+\cdots+b_mX^m ≠ 0$ tel que $PQ=0$. Montrer que si
-$P b_m≠ 0$, il existe un plus grand indice $d ≤ n$ tel que
-$a_d Q ≠ 0$.
-Le degré de $a_d Q$ est strictement inférieur à $m$.
-Conclure par récurrence sur le degré de $Q$. \XXX
+Écrivons $P=p₀+p₁T + \cdots + p_n T^n$ et considérons
+$Q=q₀+q₁T+\cdots+q_mT^m ≠ 0$ tel que $PQ=0$.
+Supposons que $P q_m≠ 0$ sans quoi le résultat est acquis.
+Il existe donc un entier $d ≤ n$ tel que $p_d Q ≠ 0$ ; considérons le plus grand.
+Il résulte de l'égalité $PQ=(p₀+ ⋯ + p_d T^d)Q=0$
+que $p_d q_m=0$ c'est-à-dire que le degré du polynôme $p_d Q$ est
+strictement inférieur au degré $m$ de $Q$.
+Comme $P(p_d Q)=0$, on peut conclure par récurrence sur le degré
+de $Q$.
\end{démo}
\subsubsection{Lemme de Gauß universel}
Soient $n$ et $m $ des entiers
-et $R$ l'anneau quotient de $𝐙[a₀,…,a_n,b₀,…,b_m,A₀,…,A_n,B₀,…,B_m]$
-par l'idéal engendré par les éléments $1-∑_0^n a_i A_i$,
-$1-∑_0^m b_m B_m$ et les $∑_{i+j=k} A_i B_j$ pour $0 ≤ k ≤ n+m$.
-Enfin, soient $A=∑_0^n \overline{A_i} X^i$ et $B=∑_0^m
-\overline{B_j} X^j$ les polynômes dans $R[X]$.
-Par construction, $AB=0$. D'autre part,
-les coefficients de $A$ (resp. $B$) engendrent l'idéal unité de $R$.
-Il résulte du lemme de McCoy-{\IPAMincho 永田}, que l'anneau $R$ est nul.
+et $A$ l'anneau quotient de $𝐙[a₀,…,a_n,b₀,…,b_m,P₀,…,P_n,Q₀,…,Q_m]$
+par l'idéal engendré par les éléments $1-∑_0^n a_i P_i$,
+$1-∑_0^m b_j Q_j$ et les $R_k ≔ ∑_{i+j=k} P_i Q_j$ pour $0 ≤ k ≤ n+m$.
+Enfin, soient $P=∑_0^n p_i T^i$ et $Q=∑_0^m q_j T^j$ les polynômes
+dans $A[T]$, où les $p_i$ et $q_j$ sont respectivement les classes
+de $P_i$ et $Q_j$ dans $A$. Par construction, $PQ=0$ et les
+coefficients de $P$ (resp. $Q$) engendrent $A$.
+Il résulte du lemme de McCoy-{\IPAMincho 永田} que l'anneau $A$ est nul.
\begin{définition2}
On dit un polynôme à coefficients dans un anneau $A$ est
-\emph{primitif} si l'idéal engendré par ses coefficients est $A$
+\textbf{primitif} si l'idéal engendré par ses coefficients est $A$
tout entier.
\end{définition2}
@@ -1190,6 +1193,24 @@ tout entier.
Le produit de deux polynômes \emph{primitifs} est primitif.
\end{proposition2}
+\begin{démo}
+Fixons des degrés $n$ et $m$. D'après l'observation précédente,
+il existe des polynômes
+\[
+α,β,γ_k ∈ 𝐙[a₀,…,a_n,b₀,…,b_m,P₀,…,P_n,Q₀,…,Q_m]
+\]
+tels que
+\[
+α ⋅ \big(1-∑_{i=0}^n a_i P_i\big) + β ⋅ \big(1-∑_{j=0}^m b_j Q_j\big) + ∑_{k=0}^{n+m} γ_k R_k=1,
+\]
+où $R_k=∑_{i+j=k} P_i Q_j$.
+Si $P=∑_i p_i T^i ∈ A[T]$ et $Q= ∑_j q_j T^j ∈ A[T]$ sont des
+polynômes primitifs, il existe par définition des $a_i,b_j$ dans $A$
+tels que les deux premiers termes soient nuls. Il en résulte
+que les $R_k$ engendrent l'idéal unité de $A$,
+avec des coefficients explicites : les $γ_k(a₀,…,a_n,b₀,…,b_m,P₀,…,P_n,Q₀,…,Q_m)$.
+
+\end{démo}
\subsection{Réduction modulo $p$}\label{réduction mod p}
@@ -1258,7 +1279,7 @@ libre.\end{démo}
\subsubsection{}Soient $p$ un nombre premier et $𝔪$ un idéal maximal
de $A$ le contenant. Considérons les ensembles $D_𝔪=\{g∈G_f:g(𝔪)⊆𝔪\}$ et $κ(𝔪)=A/𝔪$.
-Le premier est un sous-groupe de $G_f$, appelé \emph{groupe de décomposition} ;
+Le premier est un sous-groupe de $G_f$, appelé \textbf{groupe de décomposition} ;
le second est une extension, finie d'après le lemme \ref{finitude Z[racines]}, du corps $𝐅_p$.
En fait, $κ(𝔪)=𝐙[R_f]/𝔪$ est un corps de décomposition
du polynôme $f_p∈𝐅_p[X]$ obtenu par réduction modulo $p$ de $f$. En effet,
@@ -1488,13 +1509,13 @@ que $(αβ)S=S+2(j-i)+1=S+1$. CQFD.
\end{démo}
\begin{définition2}\label{definition discriminant et 2-distinguant}
-On appelle \emph{discriminant}\index{discriminant} du polynôme général de degré $d$
+On appelle \textbf{discriminant}\index{discriminant} du polynôme général de degré $d$
le polynôme $Δ_{2'}∈𝐙[σ₁,\dots,σ_d]$.
Si $f=X^d+∑_{i=1}^{d}a_i X^{d-i}$ est un polynôme unitaire à coefficients
dans un corps $k$ de caractéristique différente de deux,
-on appelle \emph{discriminant de $f$} l'élément
+on appelle \textbf{discriminant de $f$} l'élément
$Δ(f):=Δ_{2'}(a₁,\dots,a_d)∈k$. En caractéristique deux, on appellera
-\emph{$2$-distinguant}\index{2-distinguant} de $f$,
+\textbf{$2$-distinguant}\index{2-distinguant} de $f$,
l'élément $別_2(f):=Δ_{2}(a₁,\dots,a_d)∈k$.
\end{définition2}
@@ -1685,7 +1706,7 @@ $C→C[∏_{i<j}(X_i+X_j)^{-1}]$.)
\begin{exercice2}
Soient $A$ un anneau et $P=∑ (-1)^i a_{n-i} X^i ∈A[X]$ un polynôme unitaire de
-degré $n$. On appelle \emph{algèbre de décomposition} de $P$
+degré $n$. On appelle \textbf{algèbre de décomposition} de $P$
la $A$-algèbre $A(P)=A[X₁,\dots,X_n]/(∑_i X_i=a₁,\dots,∏_i X_i=a_n)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $A(P)$ est libre de rang $n!$ sur $A$.
@@ -1840,7 +1861,7 @@ le sous-groupe \emph{ouvert} $\Gal(K'\bo k'K₀)$.
Soient $f₁:G₁→H$ et $f₂:G₂→H$ deux morphismes de groupes. On note
$G₁×_{f₁,H,f₂} G₂$ (ou simplement $G₁×_H G₂$) le sous-groupe
de $G₁×G₂$ constitué des paires $(g₁,g₂)$ telles que $f₁(g₁)=f₂(g₂)$.
-On l'appelle \emph{produit fibré de $G₁$ et $G₂$ au-dessus de $H$} (cf.
+On l'appelle \textbr{produit fibré de $G₁$ et $G₂$ au-dessus de $H$} (cf.
\refext{Cat}{limite-produit-fibre}). Si les groupes sont des groupes topologiques, les
applications continues et $H$ \emph{séparé}, le produit fibré est \emph{fermé}
dans le produit cartésien.