[calculs] Transformations de Tschirnhaus et corps de décomposition (éclaircissements + 1 exemple important).

1 files changed, 29 insertions, 6 deletions

diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index be71bc8..647921a 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -635,12 +635,15 @@ Tschirnhaus \emph{réciproque} de $U$.
 Soit $Q$ un polynôme obtenu à partir d'un polynôme $P \in k[X]$
 unitaire irréductible et séparable par une transformation de
 Tschirnhaus définie par un polynôme $U$.  Alors le corps de
-décomposition de $Q$ sur $k$ est isomorphe à celui de $P$, et le
-groupe de Galois de $Q$ sur $k$ est isomorphe à celui de $P$.
+décomposition de $Q$ sur $k$ est isomorphe à celui de $P$, les racines
+de $Q$ dans ce corps sont les $U(\xi_1),\ldots,U(\xi_d)$ où
+$\xi_1,\ldots,\xi_d$ sont les racines (deux à deux distinctes)
+de $P$ ; et le groupe de Galois de $Q$ sur $k$ est isomorphe à celui
+de $P$.
 \end{proposition2}
 \begin{proof}
 Soit $E$ un corps de décomposition de $P$, et soient
-$\xi_1,\ldots,\xi_d$ les racines (deux à deux distinctes) de ce
+$\xi_1,\ldots,\xi_d$ les racines de ce
 dernier dans $E$ (qui l'engendrent).  Alors chacun des éléments
 $U(\xi_i)$ est racine de $Q$ (car $k(\xi_i)$ est un corps de rupture
 de $P$, donc isomorphe à $k[X]/(P)$, ce qui permet d'affirmer que $Q$
@@ -716,16 +719,36 @@ groupe de Galois de $P$ est $\ZZ/2\ZZ$, ce qu'on savait bien sûr déjà.
 \end{exemple2}
 
 \begin{definition2}\label{definition-polynomes-tschirnhaus-equivalents}
-Si $P,Q$ sont deux polynômes unitaires irréductibles de même degrés à
-coefficients dans un corps $k$, on dit qu'ils sont
+Si $P,Q$ sont deux polynômes unitaires irréductibles séparables de
+même degrés à coefficients dans un corps $k$, on dit qu'ils sont
 Tschirnhaus-équivalents lorsqu'il existe une transformation de
-Tschirhnaus sur $P$ le transformant en $Q$
+Tschirnhaus sur $P$ le transformant en $Q$
 (cf. \ref{definition-transformation-de-tschirnhaus}), ou, de façon
 équivalente
 (cf. \ref{transformation-de-tschirnhaus-et-isomorphisme-de-rupture})
 de $Q$ le transformant en $P$.
 \end{definition2}
 
+\begin{remarque2}
+On a vu en \ref{transformation-de-tschirnhaus-preserve-galois} que si
+$P$ et $Q$ sont Tschirnhaus-équivalents, alors ils ont même corps de
+décomposition (et même groupe de Galois).  Il peut cependant se
+produire que deux polynômes (unitaires, irréductibles et séparables,
+de même degré) $P$ et $Q$ aient même corps de décomposition (et même
+groupe de Galois) sans pour autant qu'ils soient
+Tschirnhaus-équivalents.  À titre d'exemple, les polynômes $X^4 - 2$
+et $X^4 + 2$ sur $\QQ$ ont même corps de décomposition
+$\QQ(\sqrt{-1},\root4\of2)$, pourtant ils ne sont pas
+Tschirnhaus-équivalents puisque $\QQ[X]/(X^4-2)$ ne contient pas de
+racine de $X^4 + 2$ (en effet, on peut l'inclure dans $\RR$ en
+identifiant la classe de $X$ à $\root4\of2 \approx 1.189 \in \RR$, or
+le polynôme $X^4 + 2$ se décompose dans $\RR$ comme $(X^2 + \root4\of8
+X + \sqrt{2}) \, (X^2 - \root4\of8 X + \sqrt{2})$, et n'a pas de
+racine).
+
+\XXX --- Expliquer cet exemple en termes de théorie de Galois.
+\end{remarque2}
+
 \subsection{Utilisation de la notion de résolvante}
 
 La stratégie générale pour le calcul algorithmique en pratique du