2013-2-21 (16h58)

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@@ -1560,6 +1560,31 @@ condition de \ref{equivalences-ideaux-affines-dimension-zero} est
 alors manifestement satisfaite de $J$ si elle l'est de $I$.
 \end{proof}
 
+L'énoncé suivant, passablement évident, permet de généraliser certains
+faits énoncés ci-dessus à un anneau quelconque en se passant de la
+notion de base de Gröbner :
+\begin{proposition2}\label{trivialite-algebres-finies-libres}
+Soit $k$ un anneau et $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendrée
+par des polynômes $f_1,\ldots,f_d$ où $f_i$ est un polynôme ne faisant
+intervenir que $Z_1,\ldots,Z_i$ et qui, vu comme polynôme en $Z_i$,
+est unitaire de degré $\delta_i$.  Alors $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est
+libre en tant que $k$-module et de dimension finie $\prod_{i=1}^d
+\delta_i$, avec pour base l'ensemble des (classes modulo $I$ des)
+monômes $Z_1^{j_1} \cdots Z_d^{j_d}$ où $j_i < \delta_i$ pour
+chaque $i$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+On procède par récurrence sur $d$ : si $I'$ est l'idéal engendré par
+$f_1,\ldots,f_{d-1}$ alors $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I = K[Z_d]/(f_d)$ où $K$
+est l'anneau $k[Z_1,\ldots,Z_{d-1}]/I'$.  L'hypothèse de récurrence
+montre que $K$ est un $k$-module libre de base l'ensemble des
+$Z_1^{j_1} \cdots Z_{d-1}^{j_{d-1}}$ (où $j_i < \delta_i$ pour $1\leq
+i \leq d-1$), et l'hypothèse faite sur $f_d$ rend clair le fait que
+$K[Z_d]/(f_d)$ est un $K$-module libre de base formée des $Z_d^j$ avec
+$j<\delta$ : ceci montre bien que $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est un
+$k$-module libre de base l'ensemble des $Z_1^{j_1} \cdots Z_d^{j_d}$.
+\end{proof}
+
 
 \subsection{Algèbre de décomposition universelle d'un polynôme}\label{section-algebre-de-decomposition-universelle}
 
@@ -1692,8 +1717,16 @@ $i$ en ces variables (on pose notamment $h_0=1$), et
 $h_n(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1})$ signifie qu'il est évalué en remplaçant
 les $i-1$ dernières variables par $0$.  (Notamment, une de ces
 relations, $q_d$, est donnée par $f(Z_1) = 0$.)
+
+Si $k$ est simplement un anneau et qu'on définit l'idéal $I$ de
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par les $e_i = (-1)^i a_i$, alors il est
+encore engendré par les $q_i$ définis ci-dessus\footnote{Selon toute
+définition raisonnable, les $q_i$ seraient une base de Gröbner
+de $I$, mais nous avons préféré ne pas définir cette notion.}.
 \end{proposition2}
 \begin{proof}
+Dans un premier temps, supposons simplement que $k$ est un anneau.
+
 Avec les notations du lemme précédent, remarquons que $q_i =
 \mathfrak{C}_{d-i+1}(-a_1,\ldots,(-a)^d\,a_d | Z_1,\ldots,Z_{d-i+1})$.
 
@@ -1725,9 +1758,10 @@ ou encore que cette relation est dans $J$.  On vient donc de montrer
 $I \subseteq J$.
 
 À ce stade, nous savons que $I$ coïncide avec l'idéal $J$ engendré par
-$q_1,\ldots,q_d$.  Il reste encore à montrer que ceux-ci en sont une
-base de Gröbner.  Mais le terme initial de $q_i$ vaut $Z_{d-i+1}^i$,
-ces monômes sont deux à deux premiers entre eux, et
+$q_1,\ldots,q_d$.  Il reste encore à montrer que, lorsque $k$ est un
+corps, les $q_i$ sont une base de Gröbner de $I=J$.  Mais le terme
+initial de $q_i$ vaut $Z_{d-i+1}^i$, ces monômes sont deux à deux
+premiers entre eux, et
 \ref{division-avec-termes-de-tete-premiers-entre-eux} permet de
 conclure qu'ils forment une base de Gröbner.
 \end{proof}
@@ -1740,41 +1774,32 @@ formée des trois relations : $q_3 = Z_1^3 + Z_1^2 - 2 Z_1 - 1$
 \end{exemple2}
 
 \begin{definition2}\label{definition-algebre-de-decomposition-universelle}
-Si $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire de degré $d$
+Si $k$ est un anneau et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire de degré $d$
 dont on note $a_i$ le coefficient de degré $d-i$, l'algèbre
 $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$, où $I$ est l'idéal (décrit
 en \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle}) engendré par
-les relations $e_i = (-1)^i a_i$, est appelée \emph{algèbre de
-  décomposition universelle} de $f$.
+les relations $e_i = (-1)^i a_i$, ou bien par les $q_i$ définis
+ci-dessus, est appelée \emph{algèbre de décomposition universelle}
+de $f$.
 \end{definition2}
 
 \begin{corollaire2}\label{algebre-de-decomposition-universelle-est-finie}
-Soit $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire de
+Soit $k$ est un anneau et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire de
 degré $d$.  Si $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ désigne son algèbre de
 décomposition universelle définie
 en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle}, alors
-celle-ci est de dimension finie comme $k$-espace vectoriel (l'idéal
-$I$ est de dimension $0$).
-
-Plus précisément, la dimension de $k$ comme $k$-espace vectoriel
-(c'est-à-dire, le degré de $I$) vaut $d!$, et une base comme
-$k$-espace vectoriel en est donnée par les (classes modulo $I$ des)
-monômes $Z_1^{j_1} Z_2^{j_2} \cdots Z_{d-1}^{j_{d-1}}$ avec $j_i \leq
-d-i$.
+celle-ci est libre de dimension $d!$ comme $k$-module.  Plus
+précisément, une base comme $k$-module en est donnée par les (classes
+modulo $I$ des) monômes $Z_1^{j_1} Z_2^{j_2} \cdots Z_{d-1}^{j_{d-1}}$
+avec $j_i \leq d-i$.
 \end{corollaire2}
 \begin{proof}
-L'affirmation du premier paragraphe découle immédiatement de
-\ref{equivalences-ideaux-affines-dimension-zero} appliqué à la base de
-Gröbner donnée par la proposition \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle}.
-
-Pour ce qui est du second paragraphe, il suffit
-(cf. \ref{algorithmes-fondamentaux-anneau-quotient}) de se rappeler
-que la base de Gröbner trouvée est formée de polynômes
-$q_1,\ldots,q_d$ où le terme initial de $q_i$ est $Z_{d-i+1}^i$ : les
-monômes qui ne sont divisibles par aucun $Z_{d-i+1}^i$ (c'est-à-dire
-par aucun $Z_i^{d-i+1}$) sont précisément les $Z_1^{j_1}
-Z_2^{j_2} \cdots Z_{d-1}^{j_{d-1}}$ avec $j_i < d-i+1$ pour
-chaque $i$.
+Ceci découle immédiatement de la
+proposition \ref{trivialite-algebres-finies-libres} appliquée aux
+générateurs $q_1,\ldots,q_d$ trouvés
+en \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle} puisque chaque
+$q_{d-i+1}$ ne fait intervenir que $Z_1,\ldots,Z_i$ et est unitaire de
+degré $d-i+1$ en $Z_i$.
 \end{proof}
 
 \subsubsection{} Probablement, on peut vérifier que