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author | Fabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2013-02-21 16:58:11 +0100 |
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2013-2-21 (16h58)
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-rw-r--r-- | chapitres/bases-groebner.tex | 79 |
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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index dc2c72c..436fac5 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -1560,6 +1560,31 @@ condition de \ref{equivalences-ideaux-affines-dimension-zero} est alors manifestement satisfaite de $J$ si elle l'est de $I$. \end{proof} +L'énoncé suivant, passablement évident, permet de généraliser certains +faits énoncés ci-dessus à un anneau quelconque en se passant de la +notion de base de Gröbner : +\begin{proposition2}\label{trivialite-algebres-finies-libres} +Soit $k$ un anneau et $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendrée +par des polynômes $f_1,\ldots,f_d$ où $f_i$ est un polynôme ne faisant +intervenir que $Z_1,\ldots,Z_i$ et qui, vu comme polynôme en $Z_i$, +est unitaire de degré $\delta_i$. Alors $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est +libre en tant que $k$-module et de dimension finie $\prod_{i=1}^d +\delta_i$, avec pour base l'ensemble des (classes modulo $I$ des) +monômes $Z_1^{j_1} \cdots Z_d^{j_d}$ où $j_i < \delta_i$ pour +chaque $i$. +\end{proposition2} +\begin{proof} +On procède par récurrence sur $d$ : si $I'$ est l'idéal engendré par +$f_1,\ldots,f_{d-1}$ alors $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I = K[Z_d]/(f_d)$ où $K$ +est l'anneau $k[Z_1,\ldots,Z_{d-1}]/I'$. L'hypothèse de récurrence +montre que $K$ est un $k$-module libre de base l'ensemble des +$Z_1^{j_1} \cdots Z_{d-1}^{j_{d-1}}$ (où $j_i < \delta_i$ pour $1\leq +i \leq d-1$), et l'hypothèse faite sur $f_d$ rend clair le fait que +$K[Z_d]/(f_d)$ est un $K$-module libre de base formée des $Z_d^j$ avec +$j<\delta$ : ceci montre bien que $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est un +$k$-module libre de base l'ensemble des $Z_1^{j_1} \cdots Z_d^{j_d}$. +\end{proof} + \subsection{Algèbre de décomposition universelle d'un polynôme}\label{section-algebre-de-decomposition-universelle} @@ -1692,8 +1717,16 @@ $i$ en ces variables (on pose notamment $h_0=1$), et $h_n(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1})$ signifie qu'il est évalué en remplaçant les $i-1$ dernières variables par $0$. (Notamment, une de ces relations, $q_d$, est donnée par $f(Z_1) = 0$.) + +Si $k$ est simplement un anneau et qu'on définit l'idéal $I$ de +$k[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par les $e_i = (-1)^i a_i$, alors il est +encore engendré par les $q_i$ définis ci-dessus\footnote{Selon toute +définition raisonnable, les $q_i$ seraient une base de Gröbner +de $I$, mais nous avons préféré ne pas définir cette notion.}. \end{proposition2} \begin{proof} +Dans un premier temps, supposons simplement que $k$ est un anneau. + Avec les notations du lemme précédent, remarquons que $q_i = \mathfrak{C}_{d-i+1}(-a_1,\ldots,(-a)^d\,a_d | Z_1,\ldots,Z_{d-i+1})$. @@ -1725,9 +1758,10 @@ ou encore que cette relation est dans $J$. On vient donc de montrer $I \subseteq J$. À ce stade, nous savons que $I$ coïncide avec l'idéal $J$ engendré par -$q_1,\ldots,q_d$. Il reste encore à montrer que ceux-ci en sont une -base de Gröbner. Mais le terme initial de $q_i$ vaut $Z_{d-i+1}^i$, -ces monômes sont deux à deux premiers entre eux, et +$q_1,\ldots,q_d$. Il reste encore à montrer que, lorsque $k$ est un +corps, les $q_i$ sont une base de Gröbner de $I=J$. Mais le terme +initial de $q_i$ vaut $Z_{d-i+1}^i$, ces monômes sont deux à deux +premiers entre eux, et \ref{division-avec-termes-de-tete-premiers-entre-eux} permet de conclure qu'ils forment une base de Gröbner. \end{proof} @@ -1740,41 +1774,32 @@ formée des trois relations : $q_3 = Z_1^3 + Z_1^2 - 2 Z_1 - 1$ \end{exemple2} \begin{definition2}\label{definition-algebre-de-decomposition-universelle} -Si $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire de degré $d$ +Si $k$ est un anneau et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire de degré $d$ dont on note $a_i$ le coefficient de degré $d-i$, l'algèbre $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$, où $I$ est l'idéal (décrit en \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle}) engendré par -les relations $e_i = (-1)^i a_i$, est appelée \emph{algèbre de - décomposition universelle} de $f$. +les relations $e_i = (-1)^i a_i$, ou bien par les $q_i$ définis +ci-dessus, est appelée \emph{algèbre de décomposition universelle} +de $f$. \end{definition2} \begin{corollaire2}\label{algebre-de-decomposition-universelle-est-finie} -Soit $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire de +Soit $k$ est un anneau et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire de degré $d$. Si $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ désigne son algèbre de décomposition universelle définie en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle}, alors -celle-ci est de dimension finie comme $k$-espace vectoriel (l'idéal -$I$ est de dimension $0$). - -Plus précisément, la dimension de $k$ comme $k$-espace vectoriel -(c'est-à-dire, le degré de $I$) vaut $d!$, et une base comme -$k$-espace vectoriel en est donnée par les (classes modulo $I$ des) -monômes $Z_1^{j_1} Z_2^{j_2} \cdots Z_{d-1}^{j_{d-1}}$ avec $j_i \leq -d-i$. +celle-ci est libre de dimension $d!$ comme $k$-module. Plus +précisément, une base comme $k$-module en est donnée par les (classes +modulo $I$ des) monômes $Z_1^{j_1} Z_2^{j_2} \cdots Z_{d-1}^{j_{d-1}}$ +avec $j_i \leq d-i$. \end{corollaire2} \begin{proof} -L'affirmation du premier paragraphe découle immédiatement de -\ref{equivalences-ideaux-affines-dimension-zero} appliqué à la base de -Gröbner donnée par la proposition \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle}. - -Pour ce qui est du second paragraphe, il suffit -(cf. \ref{algorithmes-fondamentaux-anneau-quotient}) de se rappeler -que la base de Gröbner trouvée est formée de polynômes -$q_1,\ldots,q_d$ où le terme initial de $q_i$ est $Z_{d-i+1}^i$ : les -monômes qui ne sont divisibles par aucun $Z_{d-i+1}^i$ (c'est-à-dire -par aucun $Z_i^{d-i+1}$) sont précisément les $Z_1^{j_1} -Z_2^{j_2} \cdots Z_{d-1}^{j_{d-1}}$ avec $j_i < d-i+1$ pour -chaque $i$. +Ceci découle immédiatement de la +proposition \ref{trivialite-algebres-finies-libres} appliquée aux +générateurs $q_1,\ldots,q_d$ trouvés +en \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle} puisque chaque +$q_{d-i+1}$ ne fait intervenir que $Z_1,\ldots,Z_i$ et est unitaire de +degré $d-i+1$ en $Z_i$. \end{proof} \subsubsection{} Probablement, on peut vérifier que |