[Gröbner] L'algèbre de décomposition universelle sépare les racines (d'un polynôme séparable).

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@@ -1418,19 +1418,6 @@ relations, $q_d$, est donnée par $f(Z_1) = 0$.)
 \XXX
 \end{proof}
 
-\begin{corollaire2}\label{algebre-de-decomposition-universelle-est-finie}
-Soit $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire.  Si
-$k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ désigne son algèbre de décomposition universelle
-définie en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle},
-alors celle-ci est de dimension finie comme $k$-espace vectoriel
-(l'idéal $I$ est de dimension $0$).
-\end{corollaire2}
-\begin{proof}
-Ceci découle immédiatement de
-\ref{equivalences-ideaux-affines-dimension-zero} appliqué à la base de
-Gröbner donnée par la proposition précédente.
-\end{proof}
-
 \begin{exemple2}\label{exemple-algebre-de-decomposition-universelle-non-connexe}
 Si $f = X^3 + X^2 -2 X -1$, la base de Gröbner donnée ci-dessus est
 formée des trois relations : $q_3 = Z_1^3 + Z_1^2 - 2 Z_1 - 1$
@@ -1447,6 +1434,45 @@ les relations $\sigma_i = (-1)^i a_i$, est appelée \emph{algèbre de
   décomposition universelle} de $f$.
 \end{definition2}
 
+\begin{corollaire2}\label{algebre-de-decomposition-universelle-est-finie}
+Soit $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire.  Si
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ désigne son algèbre de décomposition universelle
+définie en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle},
+alors celle-ci est de dimension finie comme $k$-espace vectoriel
+(l'idéal $I$ est de dimension $0$).
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+Ceci découle immédiatement de
+\ref{equivalences-ideaux-affines-dimension-zero} appliqué à la base de
+Gröbner donnée par la proposition \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle}.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{algebre-de-decomposition-universelle-separe-les-racines}
+Soit $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire
+\emph{séparable}.  Si $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ désigne son algèbre de
+décomposition universelle définie
+en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle}, alors les
+éléments $Z_i - Z_j$ (modulo $I$) y sont inversibles.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Par symétrie, il suffit de le montrer pour $Z_1 - Z_2$.  On a vu
+en \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle} que $I$
+contient le polynôme $q_d = f(Z_1)$ (donc aussi $f(Z_2)$), et aussi $g
+:= q_{d-1} = h_{d-1}(Z_1,Z_2) + a_1 h_{d-2}(Z_1,Z_2) + \cdots +
+a_{d-1}$ (où comme d'habitude $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots +
+a_{d-1} X + a_d$).  Comme $h_e(Z_1,Z_2) = Z_1^e + Z_1^{e-1}\,Z_2 +
+\cdots + Z_2^e$ s'écrit aussi $(Z_1^{e+1}-Z_2^{e+1})/(Z_1-Z_2)$, on
+peut écrire $g = \frac{f(Z_1) - f(Z_2)}{Z_1-Z_2}$.  Autrement dit :
+$(Z_1-Z_2) g = f(Z_1)-f(Z_2)$.  En dérivant cette relation par rapport
+à $Z_1$, on trouve : $(Z_1-Z_2) g'_1 = f'(Z_1)$ où $g'_1$ désigne la
+dérivée $\frac{\partial g}{\partial Z_1}$ de $g$ par rapport à $Z_1$.
+Pour montrer que $Z_1 - Z_2$ est inversible modulo $I$, il suffit de
+montrer que $f'(Z_1)$ l'est.  Or l'hypothèse que $f$ soit séparable
+signifie qu'il existe une relation de Bézout $uf' + vf = 1$ avec $u,v
+\in k[X]$, et notamment $u(Z_1)$ est l'inverse de $f'(Z_1)$ modulo $f$
+donc modulo $I$.
+\end{proof}
+
 
 \subsection{Idéaux radicaux de dimension $0$}\label{section-ideaux-radicaux-de-dimension-0}