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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-10-12 16:28:29 +0200 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-10-12 16:28:29 +0200 |
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[Gröbner] L'algèbre de décomposition universelle sépare les racines (d'un polynôme séparable).
-rw-r--r-- | chapitres/bases-groebner.tex | 52 |
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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index 62b2c8f..ad00814 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -1418,19 +1418,6 @@ relations, $q_d$, est donnée par $f(Z_1) = 0$.) \XXX \end{proof} -\begin{corollaire2}\label{algebre-de-decomposition-universelle-est-finie} -Soit $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire. Si -$k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ désigne son algèbre de décomposition universelle -définie en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle}, -alors celle-ci est de dimension finie comme $k$-espace vectoriel -(l'idéal $I$ est de dimension $0$). -\end{corollaire2} -\begin{proof} -Ceci découle immédiatement de -\ref{equivalences-ideaux-affines-dimension-zero} appliqué à la base de -Gröbner donnée par la proposition précédente. -\end{proof} - \begin{exemple2}\label{exemple-algebre-de-decomposition-universelle-non-connexe} Si $f = X^3 + X^2 -2 X -1$, la base de Gröbner donnée ci-dessus est formée des trois relations : $q_3 = Z_1^3 + Z_1^2 - 2 Z_1 - 1$ @@ -1447,6 +1434,45 @@ les relations $\sigma_i = (-1)^i a_i$, est appelée \emph{algèbre de décomposition universelle} de $f$. \end{definition2} +\begin{corollaire2}\label{algebre-de-decomposition-universelle-est-finie} +Soit $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire. Si +$k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ désigne son algèbre de décomposition universelle +définie en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle}, +alors celle-ci est de dimension finie comme $k$-espace vectoriel +(l'idéal $I$ est de dimension $0$). +\end{corollaire2} +\begin{proof} +Ceci découle immédiatement de +\ref{equivalences-ideaux-affines-dimension-zero} appliqué à la base de +Gröbner donnée par la proposition \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle}. +\end{proof} + +\begin{proposition2}\label{algebre-de-decomposition-universelle-separe-les-racines} +Soit $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire +\emph{séparable}. Si $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ désigne son algèbre de +décomposition universelle définie +en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle}, alors les +éléments $Z_i - Z_j$ (modulo $I$) y sont inversibles. +\end{proposition2} +\begin{proof} +Par symétrie, il suffit de le montrer pour $Z_1 - Z_2$. On a vu +en \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle} que $I$ +contient le polynôme $q_d = f(Z_1)$ (donc aussi $f(Z_2)$), et aussi $g +:= q_{d-1} = h_{d-1}(Z_1,Z_2) + a_1 h_{d-2}(Z_1,Z_2) + \cdots + +a_{d-1}$ (où comme d'habitude $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + +a_{d-1} X + a_d$). Comme $h_e(Z_1,Z_2) = Z_1^e + Z_1^{e-1}\,Z_2 + +\cdots + Z_2^e$ s'écrit aussi $(Z_1^{e+1}-Z_2^{e+1})/(Z_1-Z_2)$, on +peut écrire $g = \frac{f(Z_1) - f(Z_2)}{Z_1-Z_2}$. Autrement dit : +$(Z_1-Z_2) g = f(Z_1)-f(Z_2)$. En dérivant cette relation par rapport +à $Z_1$, on trouve : $(Z_1-Z_2) g'_1 = f'(Z_1)$ où $g'_1$ désigne la +dérivée $\frac{\partial g}{\partial Z_1}$ de $g$ par rapport à $Z_1$. +Pour montrer que $Z_1 - Z_2$ est inversible modulo $I$, il suffit de +montrer que $f'(Z_1)$ l'est. Or l'hypothèse que $f$ soit séparable +signifie qu'il existe une relation de Bézout $uf' + vf = 1$ avec $u,v +\in k[X]$, et notamment $u(Z_1)$ est l'inverse de $f'(Z_1)$ modulo $f$ +donc modulo $I$. +\end{proof} + \subsection{Idéaux radicaux de dimension $0$}\label{section-ideaux-radicaux-de-dimension-0} |