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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-01-25 17:33:09 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-01-25 17:33:09 (GMT)
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[Radicaux] Un théorème de Galois sur les équations résolubles de degré p.
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex59
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index cdc07a0..f1216f7 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -1733,7 +1733,7 @@ $\FF_p^\times$ donc $a=1$, et l'élément en question est bien
dans $C_p$.
\end{proof}
-\begin{proposition2}
+\begin{proposition2}\label{sous-groupes-resolubles-transitifs-de-s-p}
Soit $G \leq \mathfrak{S}_p$ un sous-groupe transitif (c'est-à-dire
que son action sur $\FF_p$ est transitive). Alors il existe $\sigma
\in \mathfrak{S}_p$ tel que $C_p \leq \sigma G \sigma^{-1}$. Si de
@@ -1788,6 +1788,63 @@ $\gamma\tau\gamma^{-1} \in \AGL_1(\FF_p)$, donc $\gamma\tau\gamma^{-1}
la récurrence.
\end{proof}
+\subsection{Un théorème de Galois}
+
+\XXX Référencer : \textit{Mémoire sur les conditions de résolubilité
+ des équations par radicaux}, propositions VII et VIII.
+
+\begin{theoreme2}
+Soit $f \in k[X]$ un polynôme irréductible de degré $p$ premier.
+Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
+\begin{itemize}
+\item Les racines de $f$ sont exprimables par radicaux.
+\item Le groupe de Galois de $f$ est résoluble.
+\item Le groupe de Galois de $f$ est, à conjugaison près, un
+ sous-groupe de $\AGL_1(\FF_p)$.
+\item Le corps de décomposition de $f$ est engendré par n'importe
+ quelle paire de racines distinctes $\xi \neq \xi'$ de $f$.
+\item Le corps de décomposition de $f$ est engendré par une paire de
+ racines distinctes $\xi \neq \xi'$ de $f$.
+\end{itemize}
+\end{theoreme2}
+\begin{proof}
+L'équivalence entre les deux premières conditions a déjà été prouvée
+en \ref{extension-resoluble-egale-extension-par-radicaux} et est citée
+ici pour mémoire.
+
+Si le groupe de Galois de $f$ est résoluble, la
+proposition \ref{sous-groupes-resolubles-transitifs-de-s-p} montre
+qu'il est un sous-groupe de $\AGL_1(\FF_p)$ ; réciproquement, comme
+$\AGL_1(\FF_p)$ est résoluble, ses sous-groupes le sont
+(cf. \ref{enonces-standards-groupes-resolubles}). Les trois premières
+conditions sont donc bien équivalentes.
+
+Si le groupe de Galois de $f$ est un sous-groupe de $\AGL_1(\FF_p)$
+(ou, quitte à renuméroter, s'il en est un à conjugaison près), comme
+aucun élément de $\AGL_1(\FF_p)$ autre que l'identité ne fixe deux
+points, le groupe des automorphismes du corps de décomposition de $f$
+fixant $\xi$ et $\xi'$ (deux racines quelconques de $f$) est trivial,
+donc ces racines engendrent tout le corps de décomposition.
+
+Enfin, si $\xi\neq\xi'$ sont deux racines distinctes de $f$ qui
+engendrent le corps de décomposition de $f$, alors comme $[k(\xi):k] =
+p$, on a $[k(\xi,\xi'):k] = pr$ pour un certain $r =
+[k(\xi,\xi'):k(\xi)]$, compris entre $1$ et $p-1$. D'après la
+première partie de \ref{sous-groupes-resolubles-transitifs-de-s-p} (et
+quitte à renuméroter les racines) on a $C_p \leq G$ où $G$ désigne le
+groupe de Galois de $f$. Les $p$-sous-groupes de Sylow de $G$ sont
+d'ordre $p$ et leur nombre doit diviser $r$ et être congru à $1$
+modulo $p$, ce qui n'est possible que pour $r=1$, de sorte que $C_p$
+est le seul, et il est donc distingué dans $G$. Mais alors $G$
+normalise $C_p$ dans $\mathfrak{S}_p$ et, comme on l'a fait remarquer,
+ceci implique $G \leq \AGL_1(\FF_p)$.
+\end{proof}
+
+\XXX Regarder s'il n'y a pas quelque chose d'intéressant à extraire
+autour de la page 110 (théorème 5.29) du Rotman de théorie des
+groupes. Galois prétend avoir une généralisation aux puissances des
+nombres premiers ?
+
\ifx\danslelivre\undefined