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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2013-04-07 20:12:08 +0200 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2013-04-07 20:12:08 +0200 |
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[radicaux] petits commentaires très mineurs suite à relecture rapide
-rw-r--r-- | chapitres/radicaux.tex | 16 |
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diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex index de9fdfa..1249899 100644 --- a/chapitres/radicaux.tex +++ b/chapitres/radicaux.tex @@ -24,8 +24,8 @@ \subsection{Clôture par radicaux} \begin{convention2} -Si $k$ est un corps et $m$ un entier non multiple de la -caractéristique de $k$, on dit que $k$ \emph{contient les racines +Si $k$ est un corps et $m$ un entier \commentaire{$>0$ ?} +non multiple de la caractéristique de $k$, on dit que $k$ \emph{contient les racines $m$-ièmes de l'unité} lorsque le polynôme $X^m-1$, ou, de façon équivalente, le polynôme cyclotomique $\Phi_m$, est scindé sur $k$. Lorsque c'est le cas, on notera $\bimu_m(k)$, ou simplement $\bimu_m$, @@ -65,7 +65,7 @@ Sinon, il faut peut-être la déplacer ailleurs. \begin{definition2}\label{definition-corps-clos-par-radicaux} Soit $k$ un corps. On dit que $k$ est \emph{clos par radicaux}, -resp. \emph{clos par radicaux $\leq N$-ièmes}, lorsque les deux +resp. \commentaire{problème espacement} \emph{clos par radicaux $\leq N$-ièmes}, lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées : \begin{itemize} \item si $m$ (resp. $m \leq N$) est un entier non multiple de la @@ -89,12 +89,18 @@ expressions en radicaux $\leq N$-ièmes) sur $k$, et notée $k\resol$ (resp. $k\resol[\leq N]$). \end{definition2} +\commentaire{« la » ⤳ « une » clôture par radicaux ? Parler +d'unicité à isom. près ?} + Autrement dit, on dit qu'un corps est clos par radicaux lorsqu'il contient les racines $m$-ièmes de tous ses éléments, pour les $m$ pour lesquels il contient les racines $m$-ièmes de l'unité, ainsi que les « racines $\wp$-ièmes » en caractéristique $p>0$, en notant comme d'habitude $\wp(x) = x^p - x$. +\commentaire{Si $N=2$, c'est la « clôture quadratique ». Cf. +exo sur $𝐅₂$ et chapitre \XXX.} + Il existe différentes variations sur cette définition : la plupart des auteurs demandent plutôt \emph{a priori} que $k$ contienne toutes les racines de l'unité, ou au moins qu'on puisse extraire une racine @@ -119,7 +125,7 @@ Soit $k$ un corps. On appelle \emph{tour d'extensions par radicaux} (resp. tour d'extensions par radicaux $\leq N$-ièmes) sur $k$ une suite $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \cdots \subseteq k_r$ de corps tels que, pour chaque $i$, le corps $k_{i+1}$ soit engendré sur $k_i$ -par un unique élément $\alpha_i$ vérifiant l'une des propriétés +par un unique \commentaire{sens unicité ?} élément $\alpha_i$ vérifiant l'une des propriétés suivantes : \begin{itemize} \item il existe $m_i \geq 1$ entier (resp. avec $m_i \leq N$), non @@ -745,7 +751,7 @@ $\alpha_1 = -\root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$ ; et de même, ou en faisant agir la conjugaison complexe, $(\alpha_5)^6 = -112 - 273\zeta = -\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3} = \frac{7}{2}(-71 + 39\sqrt{-3})$ d'où $\alpha_6 = -\root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$. Au final, on +\root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$. Au final \commentaire{ → finalement ?}, on obtient l'expression de $\omega = \frac{1}{6}(\alpha_0 + \cdots + \alpha_5)$ sous la forme $\cos\frac{2\pi}{7} + \sqrt{-1} \, \sin\frac{2\pi}{7}$ où : |