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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-05-18 19:12:12 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-05-18 19:12:12 +0200
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-rw-r--r--chapitres/AVD-Dedekind.tex53
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex170
2 files changed, 164 insertions, 59 deletions
diff --git a/chapitres/AVD-Dedekind.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
index fbe2cf4..086a951 100644
--- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex
+++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
@@ -118,7 +118,8 @@ $\gtilde{k}=k ∪ \{∞\}$ et [...]
\begin{définition2}
\XXX
-Place : $K → \gtilde{k}$.
+Place : $K → \gtilde{k}$. Place sur $K₀$ : isomorphisme
+sur $K₀$.
\end{définition2}
En conflit avec Weil [BNT].
@@ -129,6 +130,7 @@ critère d'intégralité en terme de places.
\XXX
Groupe abélien totalement ordonné $Γ$.
Valuation\index{valuation} : $v:A → Γ ∪\{∞\}$.
+(On dit parfois « valuation additive ».)
\begin{proposition2}
\XXX
@@ -197,16 +199,19 @@ Utiliser si possible les constructions du chapitre sur KASW.
\end{démo}
\subsection{Valeurs absolues}\XXX
-Valeurs absolues\index{valeur absolue}. Corps valué\index{corps valué}.
-Corps topologique. Cas ultramétrique.
+Valeurs absolues\index{valeur absolue} : $|x+y| ≤ |x|+|y|$ (On dit parfois
+« valuation multiplicative ».) Impropre : $|x|=1$ si $x ≠
+0$, $0$ sinon. Corps valué\index{corps valué}. Corps topologique. Cas ultramétrique.
+
+La définition n'est pas parfaitement standardisée : on
+autorise parfois variante : $|1+x|$ bornée sur $|x| ≤ 1$. % ☡
+Cf. Bourbaki, AC, tome 2, p. 118-.
\begin{proposition2}
-Toute valeur absolue est équivalente à un valeur absolue
-satisfaisant l'inégalité triangulaire.
+Toute (pseudo-)valeur absolue est équivalente à un valeur absolue
+(satisfaisant donc l'inégalité triangulaire).
\end{proposition2}
-La définition n'est pas parfaitement standardisée. % ☡
-
Lien avec valuation de rang $1$ (cas ultramétrique).
\begin{théorème2}
@@ -228,15 +233,27 @@ sous-anneau compact maximal (si corps résiduel fini) etc.
Exemple : valuation de Gauß sur $k(X)$ (\cite[VI]{Local@Cassels}).
\begin{proposition2}
+\label{Ostrowski}
\XXX
Ostrowski.
\end{proposition2}
+% peut-être que ce n'est pas un théorème dû à Ostrowski.
+
\begin{proposition2}
-\XXX
-$k(X)$.
+\label{k-valuations de k(X)}
+Soit $k$ un corps et soit $A$ un anneau de valuation
+de $k(X)$ contenant $k$ et différent de $k(X)$. Si
+l'indéterminée $X$ appartient à $A$, il existe $P
+∈ k[X]$ \emph{irréductible} tel que $A=k[X]_{(P)}$ ;
+dans le cas contraire, $A=k[1/X]_{(1/X)}$.
\end{proposition2}
+\begin{démo}
+Cf. par exemple Bourbaki, AC, tome 2, p. 91. C'est un cas
+particulier d'un résultat général (anneau principal etc.).
+\end{démo}
+
\begin{proposition2}
\XXX
Formule du produit [cas particulier ?]
@@ -730,23 +747,25 @@ local).
\subsection{}
\begin{proposition2}
-Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$.
+Soit $A$ un anneau nœthérien intègre de corps des fractions $K$.
Les conditions suivante sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $A$ est nœthérien, normal, de dimension un ;
-\item tout idéal fractionnaire de $A$ est inversible ;
+\item tout idéal fractionnaire non nul de $A$ est inversible ;
\item $A$ est nœthérien et pour tout idéal maximal $𝔪$ de $A$,
le localisé $A_𝔪$ est un corps ou bien un anneau de valuation
discrète.
+\item tout idéal non nul $I$ s'écrit
+de manière unique $I=∏_𝔭 𝔭^{n_𝔭}$… [cf. infra]
\end{enumerate}
\end{proposition2}
\begin{démo}
-AC, diviseurs p. 217.
+AC, diviseurs p. 217 ou Serre, Corps locaux.
\end{démo}
\begin{definition2}
-Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekin}.
+Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekind}.
\end{definition2}
\begin{proposition2}
@@ -768,8 +787,12 @@ $L\bo K$, le normalisé $B$ de $A$ dans $L$ est un anneau
de Dedekind.
\end{théorème2}
-\begin{démo}
-p. ex. Bourbaki, [Neukirch], chap.I., §12, p. 77, ou [Zariski-Samuel, Ⅴ].
+\begin{démo}[première démonstration]
+p. ex. Bourbaki ou [Neukirch], chap.I., §12, p. 77.
+\end{démo}
+
+\begin{démo}[seconde démonstration]
+[Zariski-Samuel, Ⅴ] (cas séparable puis radiciel).
\end{démo}
Corollaire : fermeture intégrale d'un Dedekind est de Dedekind.
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 0b7a145..9ff0ed3 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -67,7 +67,8 @@ précédents.
\subsubsection{}Il résulte de
\refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet parfait égale caractéristique}
et \refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet fini inégale caractéristique}
-qu'un corps local ultramétrique de caractéristique résiduel $p>0$ est fini sur un sous-corps
+qu'un corps local ultramétrique de caractéristique
+résiduel \mbox{$p>0$} est fini sur un sous-corps
fermé $K₀$ isomorphe au corps des nombres $p$-adiques $𝐐_p$
ou bien au corps des séries de Laurent formelles $𝐅_p((t))$.
Un tel sous-corps $K₀$ est unique lorsque $K$ est de
@@ -158,7 +159,7 @@ de $μ$ revient à supposer l'existence, pour chaque
compact $C$ de $X$ d'une constante $M_C$ telle que pour
chaque $f ∈𝒞_c(X;𝐂)$ à support dans $C$ on ait : $|μ(f)| ≤ M_C ‖f ‖_C$.
Le nombre $μ(f)$ est appelé « intégrale de $f$ par rapport à $μ$ »
-et est également noté $∫ f d μ$, $∫_X f(x) d μ(x)$, etc.
+et est également noté $∫f   dμ$, $∫_X f(x)  dμ(x)$, etc.
Une telle mesure est dite \textbf{positive}, si $μ(f)$ est réel dès lors que $f$ est à valeurs
réelles et si ce nombre est positif ou nul lorsqu'il en est de même
des valeurs de $f$ ; cette dernière condition étant notée : $f ∈ 𝒞_c(X)_+$.
@@ -295,7 +296,7 @@ Le niveau induit une filtration naturelle sur le groupe $\chap{K}$.
sur $𝐂$, c'est-à-dire un choix fait de $i=√{-1}$ dans $𝐂$. On note
alors, pour chaque $x ∈ 𝐑$, $𝐞(x)=\exp(2 i π x)=e^{2 i π x}$.
% cf Weil I, §2.1 pour discussion orientation.
-De même, $p>0$ étant implicitement fixé, on note $ψ₀$
+De même, \mbox{$p>0$} étant implicitement fixé, on note $ψ₀$
le caractère additif du corps fini $𝐅_p$ défini par $x ↦
𝐞(\frac{\tilde{x}}{p})$, où $\tilde{x}$ est un
relèvement quelconque de $x$ dans $𝐙$.
@@ -730,8 +731,8 @@ $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ auto-duale relativement à $ψ$
La dépendance en $ψ$ est triviale : si $ψ ′$ est un autre
caractère additif non trivial, il existe une constante non
-nulle $c∈ 𝐑^×_{>0}$ telle que $ζ_{ψ ′}= c ζ_ψ$ (cf.
-\emph{loc. cit.}). Pour étudier la dépendance en $χ$ de ces
+nulle $c∈ 𝐑^×_{>0}$ telle que $ζ_{ψ ′}= c ζ_ψ$ ; si les
+niveaux $n(ψ)$ et $n(ψ ′)$ sont égaux, $c=1$ (cf. \emph{loc. cit.}). Pour étudier la dépendance en $χ$ de ces
transformées de Mellin, appelées fonctions zêta, on introduit la notation :
\[
ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(f,χ ω_s).
@@ -773,6 +774,7 @@ Observons que si $f ∈ 𝒮(K)$ est telle que $f(0)=0$, la série $Z(f,χ,X)
appartient à $𝐂[X^{±1}]$. \XXX
\begin{théorème2}
+\label{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}
Soient $K$ un corps local, $ψ$ un caractère additif non
trivial et $χ$ un quasi-caractère multiplicatif.
\begin{enumerate}
@@ -900,33 +902,61 @@ donc $γ(χ,s)$ admettent un prolongement méromorphe à $𝐂$. CQFD.
\subsubsection{}Esquissons une seconde démonstration
-du théorème précédent et notamment de l'équation
-fonctionnelle. Pour les détails, nous renvoyons le lecteur
-à \cite{Fonction@Weil}, \cite{Bernstein-Zelevinski} ou \cite{Bushnell-Henniart}.
-Commençons par traiter le cas ultramétrique. Montrons que
+de l'équation fonctionnelle du théorème précédent dans le cas ultramétrique.
+(Comme nous l'avons vu, l'existence d'un prolongement
+méromorphe en résulte immédiatement.) Montrons que
pour tout quasi-caractère multiplicatif $χ$, il existe une fraction
rationnelle $c_ψ(χ,X) ∈ 𝐂(X)$ telle que
\[
-c_ψ(χ,X)Z_ψ(f,χ,X)=Z_ψ(ℱ(f),\check{χ},1/X)
+c_ψ(χ,X)Z_ψ(f,χ,X)=Z_ψ(ℱ_ψ(f),\check{χ},1/X)
\]
-pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$.
-Considérons l'ensemble $𝒟_χ$ des formes $𝐂$-linéaires $Δ: 𝒮(K)
-→ 𝐂(X)$ telles que $Δ([×a]^* f)=χ(a)X^{v(a)} Δ(f)$
+pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$. L'équation fonctionnelle
+\ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}.(iii)
+en résulte en posant $γ_ψ(χ,s)=c_ψ(χ,q^{-s})$.
+Considérons à cette fin l'ensemble $𝒟_χ$ des formes
+$𝐂$-linéaires $Δ: 𝒮(K) → 𝐂(X)$ telles que \[Δ([×a]^* f)=χ^{-1}(a)X^{-v(a)} Δ(f)\]
pour chaque fonction $f$ et chaque $a ∈ K^×$.
-Il est formel que $f ↦ Z(f,χ,X)$ appartient à $𝒟_χ$.
-
-[...]
-
-
- \[⁂\]
+Il est formel que $f ↦ Z(f,χ,X)$ appartient à $𝒟_χ$ : en
+effet, $z_n([×a]^*f)=χ^{-1}(a)z_{n-v(a)}$ pour tout $n$,
+comme il résulte immédiatement des égalités $[×a]^*
+μ_ψ^{\mbox{\minus $×$}}=μ_ψ^{\mbox{\minus $×$}}$ et
+$a 𝒰_n=𝒰_{n-v(a)}$. De même, il résulte
+de l'égalité \ref{Fourier et mesure locaux}.(iii).(a)
+et du calcul précédent que la forme linéaire $f ↦ Z_ψ(ℱ_ψ(f),\check{χ},1/X)$
+appartient également à $𝒟_χ$. Or, et c'est là le point clef,
+l'espace $𝒟_χ$ est de dimension un sur $𝐂(X)$. Il suffit
+pour cela de montrer que l'évaluation
+$𝒟_χ → 𝐂(X)$, $Δ ↦ Δ(𝟭_{1+𝔪^{a(χ)}})$ est \emph{injective},
+où $a(χ)$ est le conducteur du caractère multiplicatif $χ$.
+Posons $n=a(χ)$ et supposons $Δ(𝟭_{1+𝔪^n})=0$. Pour tout $r ≥ n$, considérons des représentants $(a_i)$
+dans $1 + 𝔪^n$ du groupe quotient $1+𝔪^n ∕ 1+𝔪^r$, fini (de cardinal $q^{r-n}$). On a d'une part
+$𝟭_{1+𝔪^n}=∑_i [×a_i]^* 𝟭_{1+𝔪^r}$ par hypothèse sur
+les $a_i$ et d'autre part $Δ([×a_i]^*
+𝟭_{1+𝔪^r})=Δ(𝟭_{1+𝔪^r})$ par hypothèse sur $φ$ et $n$ :
+$χ(a_i)=1$ et $v(a_i)=0$.
+En conséquence, $Δ(𝟭_{1+𝔪^r})=0$. Toute fonction $f
+∈ 𝒮(K)$ à support dans $K^×$ étant combinaison linéaire
+de translatés (multiplicatifs) de fonctions caractéristiques
+$𝟭_{1+𝔪^r}$ pour $r ≥ n$, on a $Δ(f)=0$ pour de telles
+fonctions. Il en résulte que $Δ(f)$ ne dépend que de
+la valeur de $f$ en $0$, si bien que $Δ([×a]f)=Δ(f)$ pour
+tout $a ∈ K^×$ et tout $f ∈ 𝒮(K)$. Compte tenu
+de l'égalité $Δ([×a]^*f)=χ^{-1}(a)X^{-v(a)} Δ(f)$, on
+a $Δ(f)=0$. CQFD.
+Pour une discussion du cas archimédien, voir \cite[§1]{Fonction@Weil}.
\subsection{Calculs explicites}
\label{calculs explicites zêta}
+Nous regroupons ici quelques calculs, ultramétriques puis
+archimédiens. Nous conseillons au lecteur de ne s'y reporter
+qu'en cas de nécessité.
+
\subsubsection{}\label{calcul explicite intégrale quasi-caractère I}
-Toute fonction $𝒮(K)$ étant combinaison linéaire de
+Toute fonction $𝒮(K)$, où $K$ est local ultramétrique, étant combinaison linéaire de
fonctions caractéristiques $f=𝟭_{x+𝔪^e}$ ($x ∈ K, e ∈ 𝐙$),
le calcul de fonctions zêta locales ultramétriques se ramène
-au calcul des séries $Z(𝟭_{x+𝔪^e},χ,X)$. Nous allons
+au calcul des séries $Z(𝟭_{x+𝔪^e},χ,X)$, relativement
+à un caractère additif que l'on peut supposer de niveau nul. Nous allons
distinguer les cas $x ∈ 𝔪^e$ (c'est-à-dire $x+𝔪^e=𝔪^e$) et $x ∉ 𝔪^e$ (c'est-à-dire $f(0)=0$).
Il est immédiat que
\[
@@ -992,7 +1022,7 @@ Z(𝟭_{x+𝔪^e},χ,X)=
\]
\subsubsection{}
-
+\XXX
\[
γ(χ,s)=?
\]
@@ -1017,7 +1047,7 @@ $x=√r$ dans le cas réel ou $x=√r e^{i θ}$ dans
le cas complexe.
% plus généralement… Bump, 271.
-
+\XXX
\[
γ(χ,s)=?
\]
@@ -1025,32 +1055,83 @@ le cas complexe.
\subsection{Fonctorialité}
$N_{L\bo K}$ et lien avec la valeur absolue normalisée par exemple.
+[À déplacer ? \XXX]
\section{Corps globaux}
-\subsection{Définitions}
+\subsection{Premières définitions, notations}
-\begin{définition2}
-Corps global premier : $𝐅_q(t)$, $𝐐$, $𝐑$.
-\end{définition2}
+\subsubsection{}
+Un corps $k$ est un \textbf{corps global} s'il est de
+caractéristique nulle, fini sur $𝐐$ ou bien
+s'il est de caractéristique \mbox{$p>0$}, de type fini
+sur le corps fini $𝐅_p$ et de degré de transcendance $1$ sur
+ce corps. Dans le premier cas, on dit que $K$ est un
+\textbf{corps de nombres} ; dans le second, on dit que $K$
+est un \textbf{corps de fonctions algébriques} sur le corps
+fini $𝐅_p$.
-\begin{définition2}
-\XXX
-Corps global : extension finie d'un corps global premier.
-\end{définition2}
+\subsubsection{}
+On appelle \textbf{point} de $K$ une classe d'équivalence de
+valeurs absolues non impropres sur $K$ ; on note $Σ(K)$ leur ensemble.
+Un point est dit \textbf{ultramétrique} (resp.
+\textbf{archimédien}) si les valuations correspondantes
+sont ultramétriques (resp. archimédiennes) ; leurs ensembles
+respectifs sont notés $Σ_u(K)$ et $Σ_a(K)$.
+Si $x ∈ Σ(K)$, on note $K_x$ le complété de $K$ pour la
+topologie induite par une valuation quelconque dans la
+classe $x$ ; si $x$ est ultramétrique, on note $𝒪_x$
+l'anneau de valuation de $K_x$ associé et $𝔪_x$ son idéal maximal.
+
+\subsubsection{}
+Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ_a(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$
+qui sont \textbf{$U$-entiers}, c'est-à-dire appartenant à $𝒪_x$ pour chaque $x ∈ U$.
+De façon équivalente, $|f| ≤ 1$ pour toute valeur absolue dans $U$. (La
+condition $|f| ≤ 1$ ne dépend pas de la valeur absolue choisie
+dans une même classe d'équivalence.)
+
+\subsubsection{}
+Si $K$ est un corps global de caractéristique $p>0$,
+la clôture algébrique de $𝐅_p$ dans $K$ est appelée
+\textbf{corps des constantes} de $K$. C'est le plus grand
+sous-corps fini de $K$. \XXX
+
+\subsection{Points de $𝐐$ et $𝐅_p(t)$}
+
+\subsubsection{}On a vu en \refext{AVD-Dedekind}{Ostrowski}
+que toute valeur absolue de $𝐐$ est équivalente
+à une unique valeur absolue $| ⋅ |_p$, où $p ∈ 𝒫 ∪ \{∞\}$,
+$𝒫$ désigne l'ensemble des nombres premiers et $| ⋅ |_p$
+envoie $f ∈ 𝐐$ sur $p^{-v_p(f)}$ — $v_p(f) ∈ 𝐙 ∪\{+∞\}$ étant la
+valuation $p$-adique de $f$ — si $p$ est premier
+ou sur la valeur absolue usuelle $|f|_∞$ de $f$ si $p=∞$.
+Ainsi, $𝒫 → Σ_u(𝐐)$, $p ↦ \text{classe de }|⋅|_p$
+est une bijection, d'inverse noté $x ↦ p_x$, et
+$\{∞\} → Σ_a(𝐐)$, $∞ ↦ \text{classe de }|⋅|_∞$ également.
+Par la suite, on identifiera souvent ces ensembles
+par les bijections précédentes. Cette identification
+est compatible avec les notations introduites ci-dessus.
+Par exemple, si $p$ est un nombre premier, $𝒪_{x_p}=𝐙_p$, etc.
+Notons que $𝒫$ est naturellement en bijection avec $\Specmax(𝐙)$.
+
+\subsubsection{}Soient $p$ un nombre premier et $k=𝐅_p$.
+Il résulte de \refext{AVD-Dedekind}{k-valuations de k(X)}
+et [...] que les valuations non triviales de $𝐅_p(t)$
+sont toutes ultramétriques et que l'ensemble $Σ(𝐅_p(t))$
+est naturellement en bijection avec $𝒫_p ∪ \{+∞\}$, où
+$𝒫_p=\{P ∈ 𝐅_p[t] \text{ irréductible unitaire}\}$.
+Notons que $𝒫_p$ est naturellement en bijection avec
+$\Specmax(𝐅_p[t])$. \XXX
+
+\ \[⁂\]
+
+\subsubsection{}
-On note $Σ(K)$, ou simplement $Σ$, l'ensemble des places
-de $K$. On note $Σ_f(K)$ (resp. $Σ_∞(K)$) l'ensemble
-des places finies, c'est-à-dire ultramétriques (resp.
-infinies, c'est-à-dire archimédiennes). Pour toute partie
-cofinie $U ⊆ Σ_f(U)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $x$
-de $K$ tels que $v(x) ≥ 0$ pour tout $v ∈ U$. $\Frac 𝒪_K(U)=K$. [...]
+\subsection{}
+
+$\Frac 𝒪_K(U)=K$.
$\colim_U 𝒪_K(U)=K$.
-\begin{définition2}
-Corps des constantes : clôture algébrique de $𝐅_p$ dans $K$
-ou plus grand sous-corps fini.
-\end{définition2}
\subsection{Lien avec les courbes algébriques sur les corps finis}
@@ -1416,7 +1497,7 @@ l'image de $\div$ est constituée des \emph{diviseurs principaux} de $K$.
Diviseurs effectifs $\Div_+(K)$ ; relation d'ordre.
-Si $K$ est de caractéristique $p>0$ de corps des
+Si $K$ est de caractéristique \mbox{$p>0$} de corps des
constantes $k$, considérons également l'application
\[
\deg:\Div(K) → 𝐙
@@ -1578,7 +1659,7 @@ on a :
\subsubsection{}
\label{Poisson implique RR}
Soient $K$ un corps global de
-caractéristique $p>0$, $k$ son corps des constantes,
+caractéristique \mbox{$p>0$}, $k$ son corps des constantes,
de cardinal $q$ et considérons un caractère $ψ=(ψ_x)_{x ∈ Σ(K)}$ non trivial
de $K_𝐀\bo K$. Notons $\div(ψ)$ le diviseur $∑_x o(ψ_x) ⋅ x$,
où $o(ψ_x)$ désigne l'ordre d'un caractère (\ref{}).
@@ -2063,7 +2144,8 @@ Utilise :
\section{Notes}
Pour la transformation de Fourier :
-\cite{Bushnell-Henniart}, \cite{Bernstein-Zelevinski}, [Colmez, appendice F].
+\cite{Bushnell-Henniart} (d'où on a tiré
+la seconde démonstration de l'équation fonctionnelle locale), \cite{Bernstein-Zelevinski}, [Colmez, appendice F].
\ifx\danslelivre\undefined