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author | Fabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-10-19 15:27:21 +0200 |
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[LG] fin détails sur convergence uniforme (pour Poisson)
-rw-r--r-- | chapitres/locaux-globaux.tex | 46 |
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 967e0e6..87a3ab1 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -3974,7 +3974,7 @@ des formules d'inversion locales (\ref{Fourier et mesure locaux}, (iv) \& (v)). \label{lemme de convergence normale sur compacts} \newcommand{\Supp}{\mathop{\mathrm{Supp}}} Soit $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ une fonction et soit $C$ un compact de $K_𝐀$. -Vérifions que la somme de fonctions $a_𝐀 ∈ K_𝐀 ↦ ∑_{λ ∈ K} f(a_𝐀+λ)$ converge +Vérifions que la somme de fonctions $a_𝐀 ∈ K_𝐀 ↦ ∑_{λ ∈ K} |f(a_𝐀+λ)|$ converge uniformément sur $C$. On peut supposer que la fonction est un produit restreint $f=(f_x)$. Nous traitons séparément corps de fonctions et corps de nombres. @@ -3995,14 +3995,16 @@ la somme considérée, restreinte au compact $C$, est une somme finie. ❧ Cas des corps de nombres. D'après \ref{Bruhat-Schwartz adélique}, on peut supposer $f$ de la forme $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où -$f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{o+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$, avec $o ∈ K$ et $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$ +$f^{\mathrm{ultr}}$ est la fonction caractéristique $𝟭_{o+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$ +de $o+𝔫𝒪_{K_𝐀}$, pour un $o ∈ K$ et un produit cartésien $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$ ($n_x=0$ pour presque tout $x$). Lorsque $a_𝐀$ appartient à $C$, les termes $f(a_𝐀+λ)$ de la somme sont nuls sauf peut-être si $λ ∈ K ∩ \big((o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathrm{ultr}}\big)$, -\commentaire{notation merdique : c'est $+(-C)$ et non la soustraction ensembliste} où $C^{\mathrm{ultr}}$ est la projection (compacte) de $C$ dans l'ensemble $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ des adèles ultramétriques (\ref{définition adèles ultramétriques}). +(On note ici $(o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathrm{ultr}}$ l'image de l'application +soustraction, et non la différence ensembliste.) L'application $λ↦ o+𝔫 λ$ induisant une bijection de $K$ ainsi que de l'ensemble des compacts de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$, on peut supposer que $f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{𝒪_{K_𝐀}}$. @@ -4019,26 +4021,24 @@ sur le compact $C^{\mathrm{arch}}$ image de $C$ dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}= dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$ par le plongement diagonal et on rappelle que $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=K ⊗_𝐐 𝐑$ est isomorphe, en tant que $𝐑$-algèbre, à $𝐑^N$ où $N=r_𝐂 + 2 r_𝐂$.) - - - \[⁂\] -Tout compact de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ étant contenu dans -l'image de $𝒪_{K_𝐀}$ par une homothétie de rapport dans $K$, -on peut de même supposer [pas clair \XXX ; dire que $K ∩ (...)$ contenue dans -idéal fractionnaire ?] le compact $C^{\mathrm{ultr}}$ contenu dans $𝒪$ -de sorte que $𝒪 +{\traitdunion}C^{\mathrm{ultr}}$ est contenu dans $𝒪$. -Or, on a vu en \ref{cocompacité} (ii) que le sous-groupe -$K ∩ 𝒪 = 𝒪_K(…)$ est naturellement un réseau dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$. -Il suffit donc de démontrer le fait suivant : -\begin{quote} -Soient $N$ un entier, $φ ∈ 𝒮(𝐑^N)$ et $Λ ≃ 𝐙^N$ un réseau -de $𝐑^N$. La somme $∑_{λ ∈ Λ} φ(x+λ)$ est uniformément convergente -sur tout compact. -\end{quote} -La démonstration de ce fait, bien connu, est laissée -en exercice au lecteur. - -% références : Weil [BNT, p. 111], Bump. p. 278. +Il existe une famille $n_x$ d'entiers négatifs presque tous nuls tels +que le compact $C^{\mathrm{ultr}}$ de $𝒪_{K_𝐀}=∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} +𝒪_{K,x}$ soit contenu dans le produit cartésien $∏_x 𝔪_x^{n_x}$. +L'intersection $K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mathrm{ultr}})$ est donc contenue +dans l'idéal fractionnaire produit $I=∏_x 𝔪_x^{n_x}$ de $K$. +On s'est donc ramené à montrer que pour toute fonction $φ ∈ 𝒮(K_𝐑)$, +la série de fonctions $a ↦ ∑_{λ ∈ I} |φ(a+λ)|$ converge uniformément +sur tout compact de $K_𝐑$. Puisqu'un multiple rationnel (non nul) de $I$ est contenu dans l'anneau +des entiers $𝒪_K$ on peut supposer, quitte à changer $φ$, +que $I=𝒪_K$. L'anneau des entiers $𝒪_K$ étant un \emph{réseau} +dans $K_𝐑$ (\ref{cocompacité} (ii)) (c'est-à-dire : son image +(par le plongement diagonal) est isomorphe à $𝐙^N$, où $N=\dim_𝐑 K_𝐑$) +la conclusion résulte du fait élémentaire suivant : +pour tout entier $N$ et toute fonction $φ ∈ 𝒮(𝐑^N)$, +la série $a↦ ∑_{λ ∈ 𝐙^n} |φ(a+λ)|$ est uniformément convergente +sur tout compact de $𝐑^N$. La définition \ref{BS-local} +nous ramène à la convergence de la série $∑_{k ∈ 𝐙^N} \frac{1}{1+|k|^{s}}$ un +$s$ suffisamment grand ; chaque $s>N$ convient. \subsubsection{Démonstration du (iii) : suite et fin} Notons $G$ le groupe localement compact $K_𝐀$, $Γ$ son sous-groupe discret cocompact $K$ |