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authorDavid A. Madore <david@procyon>2012-01-18 15:29:39 (GMT)
committerDavid A. Madore <david@procyon>2012-01-18 15:29:39 (GMT)
commitbc0e21462170a4ca8af729e4a1eb887c41ebbbfb (patch)
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[calculs] Liste des groupes de permutations transitifs sur sept objets.
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex74
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index fba6e6c..dd652d9 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -2144,8 +2144,8 @@ racines de $f$, soit $N=1$.
(\ref{definition-polynomes-tschirnhaus-equivalents}). Un
contre-exemple est fourni par l'exemple
\refext{ExG}{exemple-galois-psl-3-f-2}, où on a vu que le polynôme
- $f = X^7 - 7X + 3$ a pour groupe de Galois $G = PSL_3(\FF_2)$ sur
- $\QQ$ (opérant sur les racines de $f$ comme $PSL_3(\FF_2)$ opère
+ $f = X^7 - 7X + 3$ a pour groupe de Galois $G = \PSL_3(\FF_2)$ sur
+ $\QQ$ (opérant sur les racines de $f$ comme $\PSL_3(\FF_2)$ opère
sur les points de $\PP^2(\FF_2)$) en montrant que sa résolvante
relativement à $Z_1 + Z_2 + Z_3 \in \QQ[Z_1,\ldots,Z_7]$ admet un
facteur irréductible de degré $7$ à savoir $X^7 + 14 X^4 - 42 X^2 -
@@ -2153,7 +2153,7 @@ racines de $f$, soit $N=1$.
$\PP^2(\FF_2)$). Pourtant,
d'après \ref{polynomes-tschirnhaus-equivalents-et-stabilisateurs-conjugues},
ces polynômes ne sont pas Tschirnhaus-équivalents car l'action de
- $PSL_3(\FF_2)$ sur les points et les droites de $\PP^2(\FF_2)$ a des
+ $\PSL_3(\FF_2)$ sur les points et les droites de $\PP^2(\FF_2)$ a des
stabilisateurs qui ne sont pas conjugués.
\end{itemize}
\end{remarques2}
@@ -3246,6 +3246,74 @@ $(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3) \rtimes C_2$ (d'ordre $72$).
\end{exemple2}
+\subsection{Degré $7$}
+
+Le groupe symétrique $\mathfrak{S}_7$ possède sept classes de
+conjugaison de sous-groupes transitifs, dont les inclusions (à
+conjugaison près) sont représentées par le schéma suivant :
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\node (group-6) at (0em,0ex) {$\mathfrak{S}_7$};
+\node (group-5) at (4em,-6ex) {$\mathfrak{A}_7$};
+\node (group-4) at (4em,-12ex) {$\PGL_3(\FF_2)$};
+\node (group-3) at (-4em,-9ex) {$C_7 \rtimes C_6$};
+\node (group-2) at (4em,-18ex) {$C_7 \rtimes C_3$};
+\node (group-1) at (-4em,-15ex) {$D_7$};
+\node (group-0) at (0em,-24ex) {$C_7$};
+\draw (group-6) -- (group-5);
+\draw (group-5) -- (group-4);
+\draw (group-6) -- (group-3);
+\draw (group-4) -- (group-2);
+\draw (group-3.south east) -- (group-2.north west);
+\draw (group-3) -- (group-1);
+\draw (group-2) -- (group-0);
+\draw (group-1) -- (group-0);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+À part $\mathfrak{S}_7$ (d'ordre $5040$) et $\mathfrak{A}_7$
+(d'ordre $2520$), qui sont bien connus et qui correspondent à des
+sous-groupes distingués, nous allons décrire successivement ces
+différentes classes de conjugaison en choisissant, pour chacune, un
+sous-groupe la représentant. À chaque fois nous donnerons un polynôme
+ayant ce sous-groupe pour fixateur, et relativement auquel il sera
+donc éventuellement intéressant de considérer une résolvante. On
+utilise la notation $\sum_{C_7} P$ pour désigner le polynôme obtenu en
+sommant toutes les permutations cycliques des variables
+$(Z_1,\ldots,Z_7)$ à partir d'un polynôme $P$ :
+
+\begin{itemize}
+\item pour $\PGL_3(\FF_2)$ (d'ordre $168$) : le polynôme $\sum_{C_7}
+ (Z_1 Z_2 Z_4) = Z_1 Z_2 Z_4 + Z_2 Z_3 Z_5 + Z_3 Z_4 Z_6 + Z_1 Z_5
+ Z_6 + Z_1 Z_3 Z_7 + Z_4 Z_5 Z_7 + Z_2 Z_6 Z_7$ ; il s'agit des
+ automorphismes du « plan de Fano » $\PP^2(\FF_2)$,
+ cf. \refext{ExG}{exemple-galois-psl-3-f-2}, si on renumérote les
+ objets $(1,2,3,4,5,6,7)$ comme $((1:0:0), \penalty-100 (0:1:0),
+ \penalty-100 (0:0:1), \penalty-100 (1:0:1), \penalty-100 (1:1:1),
+ \penalty-100 (1:1:0), \penalty-100 (0:1:1))$ (pour le choix de
+ représentant qu'on a fait) ; ce groupe $\PGL_3(\FF_2)$ (l'unique
+ groupe simple d'ordre $168$) est abstraitement isomorphe à
+ $\PSL_2(\FF_7)$, mais il n'est pas évident de trouver un ensemble à
+ $7$ éléments sur lequel $\PSL_2(\FF_7)$ opère ;
+\item pour $C_7 \rtimes C_6$ (d'ordre $42$) : le polynôme $\sum_{C_7}
+ (Z_1 Z_2 Z_4 + Z_1 Z_3 Z_4)$ ; ce groupe est aussi le groupe
+ $\AGL(\FF_7)$ des fonctions affines $x \mapsto ax + b$ sur $\FF_7$
+ (avec $a \in \FF_7^\times$ et $b \in \FF_7$) ;
+\item pour $C_7 \rtimes C_3$ (d'ordre $21$) : le polynôme $\sum_{C_7}
+ (Z_1^{2} Z_2 + Z_1^{2} Z_3 + Z_1 Z_4^{2})$ ; ce groupe est aussi le
+ groupe des fonctions affines de la forme $x \mapsto ax + b$
+ sur $\FF_7$ avec $a \in \{1,2,4\}$ (et $b \in \FF_7$) ;
+\item pour $D_7 = C_7 \rtimes C_2$ (d'ordre $14$) : le polynôme
+ $\sum_{C_7} (Z_1 Z_2) = Z_1 Z_2 + Z_2 Z_3 + Z_3 Z_4 + Z_4 Z_5 + Z_5
+ Z_6 + Z_1 Z_7 + Z_6 Z_7$ ; ce groupe (diédral de l'heptagone) est
+ aussi le groupe des fonctions affines de la forme $x \mapsto ax + b$
+ sur $\FF_7$ avec $a \in \{1,-1\}$ (et $b \in \FF_7$) ;
+\item pour $C_7$ (d'ordre $7$) : le polynôme $\sum_{C_7} (Z_1^2 Z_2) =
+ Z_1^{2} Z_2 + Z_2^{2} Z_3 + Z_3^{2} Z_4 + Z_4^{2} Z_5 + Z_5^{2} Z_6
+ + Z_6^{2} Z_7 + Z_1 Z_7^{2}$.
+\end{itemize}
+
\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}