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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2013-02-28 22:32:21 +0100 |
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Unicode : remplacement du symbole dièze (♯) quand il sert à désigner le cardinal.
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diff --git a/chapitres/AC.tex b/chapitres/AC.tex index 7e67843..acc519a 100644 --- a/chapitres/AC.tex +++ b/chapitres/AC.tex @@ -1277,7 +1277,7 @@ Cf. [CL], III. §5 ou Raynaud, Anneaux locaux henséliens. \XXX $A$ $𝐙$-algèbre de type fini. \[ -ζ_A^{\mathrm{Hasse}}(s)=∏_{x ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1-♯κ(x)^{-s}}. +ζ_A^{\mathrm{Hasse}}(s)=∏_{x ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1-\#κ(x)^{-s}}. \] \end{définition2} diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex index 4921a88..e6f86fe 100644 --- a/chapitres/Dedekind.tex +++ b/chapitres/Dedekind.tex @@ -609,7 +609,7 @@ Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$. \begin{théorème2}[F.K. Schmidt] Structure des $S$-unités dans le cas des corps de fonctions : -$𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $≤ ♯S-1$. +$𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $≤ \#S-1$. \end{théorème2} \begin{démo} diff --git a/chapitres/KASW.tex b/chapitres/KASW.tex index bf2ad7b..a88d1e3 100644 --- a/chapitres/KASW.tex +++ b/chapitres/KASW.tex @@ -439,7 +439,7 @@ en posant $φ(m ′ + s m)=φ(m ') + s y$. Absurde. \begin{lemme2}\label{bidualité Zsurn modules finis} Soit $M$ un $𝐙/n$-module \emph{fini}. \begin{enumerate} -\item $ ♯ D(M) = ♯ M$. +\item $ \# D(M) = \# M$. \item Le morphisme d'évaluation (ou « bidualité ») $M → D(D(M))$ est un isomorphisme. \end{enumerate} @@ -476,7 +476,7 @@ $A_K \bo {k^×}^n → \Hom(\Gal(K\bo k),μ_n)$ est également démontré en \ref{Kummer 4}, si l'on se souvient de l'identification entre $\Hom(\Gal(K\bo k),μ_n)$ et $H¹(K\bo k,μ_n)$.) Notons en particulier que les groupes $A_K \bo {k^×}^n$ et $\Gal(K\bo k)$ -ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $♯ \Gal(K\bo k) = ♯ D\big(\Gal(K\bo k)\big)$ +ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $\# \Gal(K\bo k) = \# D\big(\Gal(K\bo k)\big)$ (\ref{bidualité Zsurn modules finis}). Soit $K ′=k(A_{K}^{1/n})$. On a trivialement $K ′ ⊆ K$ et par conséquent $A_{K ′} ⊆ A_K$. Cette dernière inclusion est une égalité car $A_{K ′}$ contient visiblement $A_K$. @@ -701,8 +701,8 @@ quatrième de l'unité $x-1$ appartient à $k$. $(k^×⟨A⟩:k^×)$ être une puissance d'un nombre premier $ℓ$. En effet, si l'on considère pour chaque $ℓ$ l'image inverse $T_ℓ$ du $ℓ$-Sylow $S_ℓ$ de $k^×⟨A⟩/k^×$ dans $k^×⟨A⟩$, et que l'on démontre -l'égalité $[k(T_ℓ):k]=(k^×⟨T_ℓ⟩:k^×)\,(=♯S_ℓ)$, on aura -la divisibilité $♯ S_ℓ | [k(A):k]$ pour chaque nombre premier $ℓ$ et finalement +l'égalité $[k(T_ℓ):k]=(k^×⟨T_ℓ⟩:k^×)\,(=\#S_ℓ)$, on aura +la divisibilité $\# S_ℓ | [k(A):k]$ pour chaque nombre premier $ℓ$ et finalement la relation $(k^×⟨A⟩ : k^×) | [k(A):k]$. On peut alors conclure en utilisant la majoration $[k(A):k] ≤ (k^×⟨A⟩ : k^×)$ démontrée ci-dessus. @@ -1162,7 +1162,7 @@ $A_K \bo ℘(k) → \Hom(\Gal(K\bo k),𝐙/p)$ est également démontré en \ref{AS 4}, si l'on se souvient de l'identification entre $\Hom(\Gal(K\bo k),𝐙/p)$ et $H¹(K\bo k,𝐙/p)$.) Notons en particulier que les groupes $A_K \bo ℘(k)$ et $\Gal(K\bo k)$ -ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $♯ \Gal(K\bo k) = ♯ D\big(\Gal(K\bo k)\big)$ +ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $\# \Gal(K\bo k) = \# D\big(\Gal(K\bo k)\big)$ (\ref{bidualité Zsurn modules finis}). Soit $K ′=k(\root ℘ \of A_{K})$. On a trivialement $K ′ ⊆ K$ et par conséquent $A_{K ′} ⊆ A_K$. diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex index 0e78c6c..bcd8903 100644 --- a/chapitres/correspondance-galois.tex +++ b/chapitres/correspondance-galois.tex @@ -871,7 +871,7 @@ est $G$-invariante, où l'action de $G$ sur $H(B)$ vient de l'action de $G$ sur $B$ et de la fonctorialité de $H$. D'après \refext{Spec}{}, $H(B) → \End_{\Ens}(G)$ etc. \XXX. En particulier, l'ensemble des points fixes -est de cardinal $♯G$. On a donc $♯H(A)= ♯G$ d'où +est de cardinal $\#G$. On a donc $\#H(A)= \#G$ d'où les égalités $G=\End_A(B)=\Aut_A(B)$. \end{démo} diff --git a/chapitres/formes-tordues.tex b/chapitres/formes-tordues.tex index 25f1398..6705890 100644 --- a/chapitres/formes-tordues.tex +++ b/chapitres/formes-tordues.tex @@ -122,7 +122,7 @@ sont des anti-équivalences de catégories quasi-inverses l'une de l'autre. les classes d'isomorphismes de $k$-algèbres étales trivialisées par $K \bo k$ et les classes d'isomorphismes de $Π$-ensembles finis. De plus, \[ -[A:k] = ♯ π₀^{K\bo k}(A). +[A:k] = \# π₀^{K\bo k}(A). \] \item Pour toute paire $A,B$ d'objets de $\categ{\acute{E}t}(K\bo k)$, l'application @@ -242,7 +242,7 @@ classique. On souhaite montrer que le morphisme d'évaluation $A → \Fix_Π(\Hom_\Ens(A^\japmath{田}(K),K))$ est un isomorphisme. Comme l'algèbre $A$ est supposée étale sur $k$, trivialisée par $K$, on -a égalité $♯A^\japmath{田}(K)=\dim_k(A)=:n$ de sorte que la dimension +a égalité $\#A^\japmath{田}(K)=\dim_k(A)=:n$ de sorte que la dimension du $K$-espace vectoriel $\Hom_\Ens(A^\japmath{田}(K),K))$ est $n$. Il résulte du lemme \ref{lemme de Speiser} ci-dessous que le $k$-espace vectoriel $\Fix_Π(\Hom_\Ens(A^\japmath{田}(K),K))$ est également de dimension $n$. @@ -813,7 +813,7 @@ du $1$-cocycle trivial ; la bijection respecte ces points. % tiré de Serre et Bayer-F. (1994) Soit $A$ un $G$-torseur sur $k$ trivialisé par $K\bo k$. \begin{enumerate} -\item Montrer que l'ensemble $\Hom_k(A,K)$ a $♯G$ éléments, +\item Montrer que l'ensemble $\Hom_k(A,K)$ a $\#G$ éléments, permutés transitivement par l'action naturelle de $G$. (Indication : $\Hom_k(A,K) ⥲ \Hom_K(A_K,K)$.) \item Soit $ι ∈ \Hom_k(A,K)$. Montrer que pour chaque diff --git a/chapitres/verselles.tex b/chapitres/verselles.tex index 3c707a7..bdc44b1 100644 --- a/chapitres/verselles.tex +++ b/chapitres/verselles.tex @@ -1091,7 +1091,7 @@ Cependant, ceci ne produit pas d'équation polynomiale verselle en des \emph{paramètres} comme en \ref{equation verselle C3} ou \ref{equation verselle C4}. Supposons maintenant que $\Frac(BG)$ soit une extension \emph{transcendante pure} de $k$, c'est-à-dire de la forme $k(Y₁, …,Y_n)$ où les $Y_i$ sont -algébriquement indépendants. (On a alors nécessairement $n= ♯G$ ; +algébriquement indépendants. (On a alors nécessairement $n= \#G$ ; cela résulte du fait que $\Frac(EG)$ est isomorphe à $k(x_g:g ∈ G)$ et de la proposition \refext{}{}.) Insistons sur le fait que la condition de pureté transcendante n'est pas systématiquement vérifiée ; @@ -1511,7 +1511,7 @@ Cela résulte de l'hypothèse d'invertibilité du déterminant. \end{démo} \begin{remarque2} -On peut montrer que le $BG$-module $EG$ est \emph{libre} de rang $♯G$. +On peut montrer que le $BG$-module $EG$ est \emph{libre} de rang $\#G$. (On sait déjà qu'il est \emph{projectif}, c'est-à-dire \emph{localement} libre.) Soient $s:EG → \Hom_{\Ens}(G,BG)$ et $π:\Hom_{\Ens}(G,BG) → EG$ |