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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2021-06-25 15:59:37 +0200
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2021-06-25 15:59:37 +0200
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galois-c59c04f75c5cdab448a40e25c5c6bb0707be4e06.zip
[config] Remplacement des \mathtextXX en \mymathtextXX (conflit de nom).
Faudra voir à virer complètement ces commandes, sans doute devenues obsolètes.
-rw-r--r--chapitres/AC.tex18
-rw-r--r--chapitres/AVD-Dedekind.tex8
-rw-r--r--chapitres/Cebotarev.tex4
-rw-r--r--chapitres/Dedekind.tex34
-rw-r--r--chapitres/KASW.tex44
-rw-r--r--chapitres/RT.tex2
-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex48
-rw-r--r--chapitres/brauer.tex16
-rw-r--r--chapitres/corps-finis.tex72
-rw-r--r--chapitres/correspondance-galois.tex6
-rw-r--r--chapitres/descente.tex2
-rw-r--r--chapitres/extensions-algebriques.tex2
-rw-r--r--chapitres/formes-tordues.tex26
-rw-r--r--chapitres/krull.tex16
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex216
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex2
-rw-r--r--chapitres/spectre.tex4
-rw-r--r--config/macros.tex120
-rw-r--r--config/preambule.tex10
19 files changed, 325 insertions, 325 deletions
diff --git a/chapitres/AC.tex b/chapitres/AC.tex
index 9df985c..c578070 100644
--- a/chapitres/AC.tex
+++ b/chapitres/AC.tex
@@ -20,7 +20,7 @@
\begingroup
\fi
-\newcommand{\Top}{\mathop{\mathtextrm{Top}}}
+\newcommand{\Top}{\mathop{\mymathtextrm{Top}}}
%%% À faire·:
@@ -33,7 +33,7 @@
si tout produit fini d'élément de $S$ appartient à $S$ ou,
de façon équivalente, si $1∈S$ et pour tous $s,s'∈S$, $ss'∈S$.
Étant donnée une partie quelconque $S$ de $A$, il existe une
-plus petite partie, notée $S_{\mathtextrm{mult}}$, de $A$
+plus petite partie, notée $S_{\mymathtextrm{mult}}$, de $A$
contenant $S$ et multiplicative.
Si $S$ est une partie multiplicative,
@@ -47,7 +47,7 @@ On vérifie immédiatement que les opérations
d'une structure d'anneau commutatif pour laquelle l'application
$A→A[S^{-1}]$, $a↦(a/1)$ (dite « canonique ») est un \emph{morphisme}.
Si $S$ est une partie quelconque de $A$, on pose
-$A[S^{-1}]:=A[S_{\mathtextrm{mult}}^{-1}]$. On appelle cet anneau l'
+$A[S^{-1}]:=A[S_{\mymathtextrm{mult}}^{-1}]$. On appelle cet anneau l'
\emph{anneau de fractions de $A$ défini par $S$}. C'est la
$A$-algèbre « universelle » dans lequelle tout élément
de $S$ devient inversible (cf. \refext{Tens}{propriété universelle
@@ -74,8 +74,8 @@ L'anneau $A_𝔭$ est donc \emph{local} : il ne possède qu'un idéal
maximal.
\begin{démo}
-On peut supposer $S=S_{\mathtextrm{mult}}$ car
-$𝔭∩S=∅$ si et seulement si $𝔭∩S_{\mathtextrm{mult}}=∅$.
+On peut supposer $S=S_{\mymathtextrm{mult}}$ car
+$𝔭∩S=∅$ si et seulement si $𝔭∩S_{\mymathtextrm{mult}}=∅$.
Soit $𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$. Son image
réciproque $𝔭=𝔮∩A∈\Spec(A)$ ne rencontre pas $S$
car tout élément de $S$ est envoyé
@@ -129,9 +129,9 @@ est également injectif.
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Soit $a/s$, où $a∈A$ et $s∈S_{\mathtextrm{mult}}$, dans le noyau.
-Observons que l'on a $f(S_{\mathtextrm{mult}})=f(S)_{\mathtextrm{mult}}$.
-Par hypothèse, il existe $t∈S_{\mathtextrm{mult}}$ tel que
+Soit $a/s$, où $a∈A$ et $s∈S_{\mymathtextrm{mult}}$, dans le noyau.
+Observons que l'on a $f(S_{\mymathtextrm{mult}})=f(S)_{\mymathtextrm{mult}}$.
+Par hypothèse, il existe $t∈S_{\mymathtextrm{mult}}$ tel que
$f(t)f(a)=f(ta)=0$. Comme $f$ est injective, $ta=0$ et,
finalement $a/1=0$ dans $A[S^{-1}]$. \emph{A fortiori},
son multiple $a/s=(a/1)(1/s)$ est également nul.
@@ -1256,7 +1256,7 @@ Cf. [CL], III. §5 ou Raynaud, Anneaux locaux henséliens.
\XXX
$A$ $𝐙$-algèbre de type fini.
\[
-ζ_A^{\mathtextrm{Hasse}}(s)=∏_{x ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1-\#κ(x)^{-s}}.
+ζ_A^{\mymathtextrm{Hasse}}(s)=∏_{x ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1-\#κ(x)^{-s}}.
\]
\end{définition2}
diff --git a/chapitres/AVD-Dedekind.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
index 952eff3..1e63272 100644
--- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex
+++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
@@ -324,7 +324,7 @@ dans l'énoncé est immédiate. Pour démontrer que son inverse
est continu (bicontinuité), il suffit de vérifier que
pour chaque $j$, l'application $∑_i λ_i v_i ↦ λ_j$, $E → K$
est continue. Or, une telle forme linéaire est de noyau
-$H_j=\mathtextrm{Vect}(e_i:i ≠ j)$. Par hypothèse
+$H_j=\mymathtextrm{Vect}(e_i:i ≠ j)$. Par hypothèse
de récurrence, ce sous-espace vectoriel topologique
est isomorphe à $K^{n-1}$ donc complet donc fermé dans $E$.
La forme linéaire « $j$-ième coordonnée »
@@ -562,7 +562,7 @@ Notamment :
et $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Soit $B$ la normalisation de $A$ dans
$K$ ; on suppose que l'indice de ramification $e=n$ c'est-à-dire que l'extension
est \emph{totalement ramifiée}. Alors, si $x$ est une uniformisante
-de $B$, et $f=\mathtextrm{Irr}_K(x)$ on a :
+de $B$, et $f=\mymathtextrm{Irr}_K(x)$ on a :
\begin{itemize}
\item $f$ est d'Eisenstein c'est-à-dire unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$,
\item $$\begin{array}{l}A[X]/f→ B\\ X\mapsto x\end{array}$$
@@ -1104,8 +1104,8 @@ Formule
\begin{proposition2}
\XXX
\[
-\mathtextrm{dét}(\sigma_i(x_j))^2
-=|\mathtextrm{dét}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\]
+\mymathtextrm{dét}(\sigma_i(x_j))^2
+=|\mymathtextrm{dét}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\]
\end{proposition2}
\begin{démo}
diff --git a/chapitres/Cebotarev.tex b/chapitres/Cebotarev.tex
index 2f3cc17..47a7f71 100644
--- a/chapitres/Cebotarev.tex
+++ b/chapitres/Cebotarev.tex
@@ -456,7 +456,7 @@ $$
C'est un polynôme de degré $d!$, qui est la puissance $\# S$-ième de $\tilde{f}_S$,
défini par le même produit mais restreint aux $\sigma$ parcourant
les représentants de $\mathfrak{S}_d/S$ (classes à gauche).
-Soient $\Delta=\mathtextrm{disc}(f)$ et $\Delta_S=\mathtextrm{disc}(\tilde{f}_S)$
+Soient $\Delta=\mymathtextrm{disc}(f)$ et $\Delta_S=\mymathtextrm{disc}(\tilde{f}_S)$
leurs discriminants respectifs.
Ils appartienent tous deux à $\ZZ-\{0\}$. Soit $\Sigma_S$ l'ensemble des nombres premiers
divisant $\Delta\Delta_S$.
@@ -618,7 +618,7 @@ fixe. Grâce au théorème, il s'agit de démontrer que $G$ possède un élémen
sans point fixe (c'est-à-dire qui ne soit pas de type $(1,\dots)$).
La formule
$$
-\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\Fix(\sigma)=\# \mathtextrm{Orbites},=1\
+\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\Fix(\sigma)=\# \mymathtextrm{Orbites},=1\
\textrm{par transitivit\'e}
$$
entraîne que $\#\Fix(\sigma)$ ne peut être systématiquement $\geq 1$. En effet,
diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex
index f855443..cbcc25e 100644
--- a/chapitres/Dedekind.tex
+++ b/chapitres/Dedekind.tex
@@ -20,7 +20,7 @@
\begingroup
\fi
-\DeclareMathOperatorWithFont{\vol}{\mathtextrm}{vol}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\vol}{\mymathtextrm}{vol}
\section{Anneaux de Dedekind : généralités}
@@ -155,8 +155,8 @@ Formule
\begin{proposition2}
\XXX
\[
-\mathtextrm{dét}(\sigma_i(x_j))^2
-=|\mathtextrm{dét}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\]
+\mymathtextrm{dét}(\sigma_i(x_j))^2
+=|\mymathtextrm{dét}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\]
\end{proposition2}
\begin{démo}
@@ -185,8 +185,8 @@ Le morphisme
$𝒪_K→ K_{\RR} ≃ \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}⥲ \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$
est de la forme
$$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x),
-\mathtextrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathtextrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots,
-\mathtextrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathtextrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$
+\mymathtextrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mymathtextrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots,
+\mymathtextrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mymathtextrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$
Passer de la matrice ayant ces colonnes à
$\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisions par $2$.
La formule en résulte.
@@ -297,7 +297,7 @@ de $K → ⨁_v K_v/O_v$.
\XXX
Corps de nombres :
-\[ζ_K=ζ_{𝒪_K}^{\mathtextrm{Hasse}}.\]
+\[ζ_K=ζ_{𝒪_K}^{\mymathtextrm{Hasse}}.\]
\[\chap{ζ}_K(s)=|D_K|^{\frac{s}{2}}Γ_𝐑(s)^{r_𝐑}Γ_𝐂(s)^{r_𝐂} ζ_K(s),\]
(fonction zêta complétée) où
$Γ_𝐑(s)=π^{-\frac{s}{s}} Γ(\frac{s}{2})$ et $Γ_𝐂(s)=2(2 π)^{-s}Γ(s)$.
@@ -320,7 +320,7 @@ $ζ_K(s)=∑_𝔞 N(𝔞)^{-s}$.
$ζ_{𝐐(\sqrt{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(\sqrt{m})}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
-$ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathtextrm{Hasse}}(s)$.
+$ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mymathtextrm{Hasse}}(s)$.
\end{exemple2}
@@ -401,7 +401,7 @@ Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$.
Soient $Y$ un partie mesurable [OU MIEUX] bornée de $\RR^{n}$ et $B$ un réseau de $\RR^{n}$.
Alors, si $\vol(Y)>0$,
$$
-\#(B\cap aY)\dessusdessous{a→ +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathtextrm{covol}(B)} a^{n}.
+\#(B\cap aY)\dessusdessous{a→ +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mymathtextrm{covol}(B)} a^{n}.
$$
\end{quote}
@@ -563,9 +563,9 @@ fermée (donc mesurable), symétrique par rapport
$$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$
Soit $\mu_K>0$ une constante telle que
$$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]}
-\mathtextrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
+\mymathtextrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que
-$\mathtextrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
+$\mymathtextrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
c'est-à-dire $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour
ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les
@@ -626,17 +626,17 @@ le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_
L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point
de $A$ a une norme inférieure à $1$.
Admettons que
-$$\mathtextrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
+$$\mymathtextrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
-$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathtextrm{vol}(tA)
- \geq 2^n \mathtextrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$
+$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mymathtextrm{vol}(tA)
+ \geq 2^n \mymathtextrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.
Effectuons le calcul volumique. Posons
$$
-f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathtextrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
+f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mymathtextrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
$$
@@ -651,7 +651,7 @@ $$
f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1).
$$
Soit
-$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathtextrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
+$$g_{r_{\CC}}(t)=\mymathtextrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$.
@@ -703,7 +703,7 @@ que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$.
Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$,
si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$,
on a
-$\mathtextrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
+$\mymathtextrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$,
en sommant le carré des deux égalités on trouve :
$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$
@@ -714,7 +714,7 @@ Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$,
$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$,
on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus,
$$
-\mathtextrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
+\mymathtextrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
$$
Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
diff --git a/chapitres/KASW.tex b/chapitres/KASW.tex
index 084ebbc..713d8c7 100644
--- a/chapitres/KASW.tex
+++ b/chapitres/KASW.tex
@@ -276,7 +276,7 @@ et fixons un générateur $σ$. Fixons également un générateur $ζ$ de $μ_n(
L'isomorphisme $ι:Π ⥲ μ_n(k)$, $σ ↦ ζ$ (ou plutôt son inverse) et l'action naturelle de $Π$
font de $K$ un $μ_n(k)$-torseur sur $k$, trivialisé par $K\bo k$
(\refext{Formes}{extension galoisienne groupe G est un
-G-torseur}). L'ensemble $\mathtextrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼$
+G-torseur}). L'ensemble $\mymathtextrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼$
des classes d'isomorphismes de tels torseurs est naturellement isomorphe au groupe
de cohomologie $H¹(K\bo k,μ_n(k))=\Hom(Π,μ_n(k))$ ;
cet isomorphisme envoyant $[K]$ sur $ι$.
@@ -295,7 +295,7 @@ $H⁰(K\bo k,K^×)$ est, par définition, $\Fix_Π(K^×)$, lui-même égal
à $k^×$ et $H⁰(K\bo k,{K^×}^n)=k^× ∩ {K^×}^n$ pour la même raison.
Le morphisme cobord induit donc un isomorphisme
\[
-(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n ⥲ H¹(K\bo k,μ_n(k)) ≃ \mathtextrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼.
+(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n ⥲ H¹(K\bo k,μ_n(k)) ≃ \mymathtextrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼.
\]
Par définition du cobord (\refext{formes}{}), il envoie
la classe d'un élément $a$ de $k^× ∩ {K^×}^n$
@@ -311,7 +311,7 @@ CQFD.
\item Le lecteur constatera que cette méthode donne aussi
une démonstration de \ref{extension cyclique=Kummer} (ii).
\item On peut vérifier que le morphisme composé
-\[(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n → \mathtextrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼\]
+\[(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n → \mymathtextrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼\]
envoie la classe de $a$ sur la classe du $μ_n(k)$-torseur
$k[X]/(X^n-a)$. % \XXX à faire
\end{itemize}
@@ -1016,7 +1016,7 @@ cyclique d'ordre $p$, et fixons un générateur $σ$.
L'isomorphisme $ι:Π ⥲ 𝐙/p$, $σ ↦ 1$ (ou plutôt son inverse) et l'action naturelle de $Π$
font de $K$ un $𝐙/p$-torseur sur $k$, trivialisé par $K\bo k$
(\refext{Formes}{extension galoisienne groupe G est un
-G-torseur}). L'ensemble $\mathtextrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼$
+G-torseur}). L'ensemble $\mymathtextrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼$
des classes d'isomorphismes de tels torseurs est naturellement isomorphe au groupe
de cohomologie $H¹(K\bo k,𝐙/p)=\Hom(Π,𝐙/p)$ ;
cet isomorphisme envoyant $[K]$ sur $ι$.
@@ -1034,7 +1034,7 @@ $H⁰(K\bo k,K)$ est, par définition, $\Fix_Π(K)$, lui-même égal
à $k$ et $H⁰(K\bo k,℘(K))=k ∩ ℘(K)$ pour la même raison.
Le morphisme cobord induit donc un isomorphisme
\[
-(k ∩ ℘(K))/℘(k) ⥲ H¹(K\bo k,𝐙/p) ≃ \mathtextrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼.
+(k ∩ ℘(K))/℘(k) ⥲ H¹(K\bo k,𝐙/p) ≃ \mymathtextrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼.
\]
Par définition du cobord (\refext{formes}{}), il envoie
la classe d'un élément $a$ de $k ∩ ℘(K)$
@@ -1051,7 +1051,7 @@ CQFD.
\item Le lecteur constatera que cette méthode donne aussi
une démonstration de \ref{extension Z sur p-AS} (ii).
\item On peut vérifier que le morphisme composé
-\[(k ∩ ℘(K))/℘(k) → \mathtextrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼\]
+\[(k ∩ ℘(K))/℘(k) → \mymathtextrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼\]
envoie la classe de $a$ sur la classe du $𝐙/p$-torseur
$k[X]/(X^p-X-a)$. % \XXX à faire
\end{itemize}
@@ -1438,11 +1438,11 @@ $⊕$ leur loi de groupe. Ainsi, nous appellerons par exemple
« multiplication par un entier $r$ » le morphisme $[r]:(W_n(A),⊕) → (W_n(A),⊕)$, $f ↦ f^r$
(pour $A$ variable).
-\subsubsection{}Considérons la filtration descendante $(\mathtextrm{Fil}^iW_n)_{0 < i ≤ n+1}$ ($i
-∈ 𝐍$) de $W_n$ définie par les sous-groupes $\mathtextrm{Fil}^iW_n(A)=1+X^i A_n$.
-On a $\mathtextrm{Fil}^1W_n=W_n$ et $⋂_i \mathtextrm{Fil}^iW_n=\{1\}$.
-Pour chaque $i>0$, les applications évidentes $\mathtextrm{Fil}^iW_n(A) → A$, $1+a X^i+\cdots
-↦ a$ induisent un isomorphisme $\mathtextrm{Fil}^iW_n/\mathtextrm{Fil}^{i+1}W_n
+\subsubsection{}Considérons la filtration descendante $(\mymathtextrm{Fil}^iW_n)_{0 < i ≤ n+1}$ ($i
+∈ 𝐍$) de $W_n$ définie par les sous-groupes $\mymathtextrm{Fil}^iW_n(A)=1+X^i A_n$.
+On a $\mymathtextrm{Fil}^1W_n=W_n$ et $⋂_i \mymathtextrm{Fil}^iW_n=\{1\}$.
+Pour chaque $i>0$, les applications évidentes $\mymathtextrm{Fil}^iW_n(A) → A$, $1+a X^i+\cdots
+↦ a$ induisent un isomorphisme $\mymathtextrm{Fil}^iW_n/\mymathtextrm{Fil}^{i+1}W_n
→ \Ga$, où l'on rappelle que l'on note $\Ga$ le foncteur
envoyant un anneau $A$ sur le groupe additif $(A,+)$.
Le foncteur en groupes commutatifs $W_n$ est donc extension successive
@@ -1460,11 +1460,11 @@ qui sont des \emph{isomorphismes} de groupes (cf. \ref{Wn en caractéristique
nulle}).
\begin{remarque2}\label{groupe unipotent est ensemblistement trivial}
-Soit $W$ un groupe abstrait et $(\mathtextrm{Fil}^iW)_{0 ≤ i < r}$ une filtration décroissante finie
-sur $W$ telle que $F⁰W=W$ et $\mathtextrm{Fil}^rW=\{1\}$, à gradués
-$\mathtextrm{gr}^{\mathtextrm{Fil}}_i(W)=\mathtextrm{Fil}^iW/\mathtextrm{Fil}^{i+1}W$ isomorphes à un
+Soit $W$ un groupe abstrait et $(\mymathtextrm{Fil}^iW)_{0 ≤ i < r}$ une filtration décroissante finie
+sur $W$ telle que $F⁰W=W$ et $\mymathtextrm{Fil}^rW=\{1\}$, à gradués
+$\mymathtextrm{gr}^{\mymathtextrm{Fil}}_i(W)=\mymathtextrm{Fil}^iW/\mymathtextrm{Fil}^{i+1}W$ isomorphes à un
même groupe $G$. Chaque choix de sections \emph{ensemblistes} $s_i$ aux morphismes
-$\mathtextrm{Fil}^i(W) ↠ \mathtextrm{gr}^{\mathtextrm{Fil}}_i(W)⥲ G$ induit une bijection $G^r ⥲ W$,
+$\mymathtextrm{Fil}^i(W) ↠ \mymathtextrm{gr}^{\mymathtextrm{Fil}}_i(W)⥲ G$ induit une bijection $G^r ⥲ W$,
$(g₀, …,g_{r-1}) ↦ s₀(g₀)\cdots s_{r-1}(g_{r-1})$.
\end{remarque2}
@@ -1500,7 +1500,7 @@ dans $k$ indépendants de la $k$-algèbre $A$.
\end{lemme2}
Remarquons que les applications $α ↦ E(\frac{α}{u} x^i)$ sont des sections
-(fonctorielles, ensemblistes) du morphisme $\mathtextrm{Fil}^iW_n/\mathtextrm{Fil}^{i+1}W_n → \Ga$.
+(fonctorielles, ensemblistes) du morphisme $\mymathtextrm{Fil}^iW_n/\mymathtextrm{Fil}^{i+1}W_n → \Ga$.
L'énoncé (ii), dont (i) est le cas particulier $k=𝐙$ et $E(X)=1-X$, est
donc une variante de la remarque \ref{groupe unipotent est
ensemblistement trivial}.
@@ -1522,10 +1522,10 @@ Le cas $n=∞$ se démontre de même. (ii)
Supposons $n$ fini.
On suffit de montrer par récurrence sur $r ≤ n$ que
tout élément $f ∈ W_n(A)$ s'écrit $E(α₁X) \cdots E(α_r X^r) g_r$
-où $g_r ∈ \mathtextrm{Fil}^{r+1}W_n(A)$, et les $α_i$ sont comme dans l'énoncé.
+où $g_r ∈ \mymathtextrm{Fil}^{r+1}W_n(A)$, et les $α_i$ sont comme dans l'énoncé.
Cela résulte du fait que pour chaque $α ∈ A$, le quotient
d'une série $g=1+αX^{r+1}+ β X^{r+2}+\cdots $ par $E(\frac{α}{u} X^{r+1})$ appartient
-à $ \mathtextrm{Fil}^{r+2}W_n(A)$ et que son coefficient en $X^{r+2}$
+à $ \mymathtextrm{Fil}^{r+2}W_n(A)$ et que son coefficient en $X^{r+2}$
est un polynôme en $α$ et $β$ à coefficients dans $k$. (Ce polynôme
ne dépend que de $r$ et des coefficients de $E$.) Le cas $n=∞$ se démontre de même.
\end{démo}
@@ -1579,7 +1579,7 @@ Soient $r$ et $s$ des entiers non nuls. Les identités suivantes sont valables d
\item $F_s F_t =F_{st}$ ;
\item $V_s V_t =V_{st}$ ;
\item $F_r V_s=V_s F_r$ si $r$ et $s$ sont premiers entre eux.
-\item $V_r F_r (\mathtextrm{Fil}^s) ⊆ \mathtextrm{Fil}^s$.
+\item $V_r F_r (\mymathtextrm{Fil}^s) ⊆ \mymathtextrm{Fil}^s$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -1655,9 +1655,9 @@ de $p$. Le produit fini $e_L=∏_{ℓ ∈ L} (1-ε_ℓ)$ des
idempotents $1-ε_ℓ$ est un idempotent de $\End(W_{∞|𝐙_{(p)}})$.
Développant le produit, on trouve :
\[
-e_L=∑_{\mathtextrm{supp}(r) ⊆ L} μ(r) ε_r,
+e_L=∑_{\mymathtextrm{supp}(r) ⊆ L} μ(r) ε_r,
\]
-où le support $\mathtextrm{supp}(r)$ d'un entier $r$ est l'ensemble
+où le support $\mymathtextrm{supp}(r)$ d'un entier $r$ est l'ensemble
des nombres premiers le divisant et où $μ$ est la fonction de Möbius
(cf. \refext{CF}{definition-fonction-de-Moebius}).
Faisant tendre l'ensemble fini $L$ vers l'ensemble infini $𝒫-\{p\}$
@@ -2125,7 +2125,7 @@ s'en déduisant par passage au quotient \XXX.
Par récurrence et d'après \ref{bijections entre Wn et An},
il suffit de démontrer que pour chaque $α ∈ K$ et chaque entier $i ≥ 1$,
il existe $β ∈ K$ tel que le quotient $(1-α X^i)/℘(1-β X^i)$
-appartienne à $\mathtextrm{Fil}^{i+1}W_∞(K)$. Cela résulte
+appartienne à $\mymathtextrm{Fil}^{i+1}W_∞(K)$. Cela résulte
de l'égalité
\[
\frac{(1-α X^i)(1-β X^i)}{1-β^p X^i}=1+(β^p-β-α)X^i+ \cdots.
diff --git a/chapitres/RT.tex b/chapitres/RT.tex
index ea4b452..e8d5ed0 100644
--- a/chapitres/RT.tex
+++ b/chapitres/RT.tex
@@ -62,7 +62,7 @@ $p$-rang
\begin{proposition2}
\label{p-rang-invariant-par-extension-finie}
Soit $L\bo K$ une extension finie. Alors,
-$p-\mathtextrm{rang}(K)=p-\mathtextrm{rang}(L)$.
+$p-\mymathtextrm{rang}(K)=p-\mymathtextrm{rang}(L)$.
\end{proposition2}
\begin{proposition2}
diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex
index d342fe0..f6833b6 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -15,7 +15,7 @@
\begingroup
\fi
-\DeclareMathOperatorWithFont{\initial}{\mathtextrm}{in}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\initial}{\mymathtextrm}{in}
\section{Bases de Gröbner}
@@ -255,7 +255,7 @@ variables, que $Z_1 \preceq Z_2 \preceq \cdots \preceq Z_d$.
\subsubsection{L'ordre lexicographique (pur)} L'\textbf{ordre
lexicographique} est défini par $Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d}
-\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{lex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$
+\mathrel{\preceq_{\mymathtext{lex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$
ssi $\ell_i < \ell'_i$ pour le \emph{plus grand} $i$ tel que $\ell_i
\neq \ell'_i$. Autrement dit, l'ordre lexicographique compare deux
monômes en comparant leur degré en $Z_d$ ou, en cas d'égalité, de
@@ -276,7 +276,7 @@ Z_3^2 \preceq \cdots \preceq Z_4 \preceq \cdots$ (l'ordinal associé à
ce bon ordre sur les monômes de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ vaut $\omega^d$).
\begin{proposition2}\label{caracterisation-ordre-lexicographique-pur}
-Si $\initial_{\mathtexttt{lex}}(f) \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (pour un $t\leq
+Si $\initial_{\mymathtext{lex}}(f) \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (pour un $t\leq
d$) alors $f \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$. De plus, cette propriété
caractérise l'ordre lexicographique (parmi les ordres admissibles).
\end{proposition2}
@@ -308,7 +308,7 @@ coïncident.
\subsubsection{L'ordre lexicographique gradué} L'\textbf{ordre
lexicographique par degré} ou \textbf{ordre lexicographique gradué}
est défini par $Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d}
-\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$
+\mathrel{\preceq_{\mymathtext{glex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$
ssi $\sum \ell_i < \sum \ell'_i$ ou $\sum \ell_i = \sum \ell'_i$ et
$\ell_i < \ell'_i$ pour le \emph{plus grand} $i$ tel que $\ell_i \neq
\ell'_i$. Autrement dit, les monômes sont classés en priorité par
@@ -328,15 +328,15 @@ ordre sur les monômes de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ vaut $\omega$ comme c'est
le cas pour tout ordre gradué).
\begin{proposition2}\label{caracterisation-ordre-lexicographique-gradue}
-L'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}}$ est gradué au sens
+L'ordre $\mathrel{\preceq_{\mymathtext{glex}}}$ est gradué au sens
de \ref{definition-ordres-admissibles}, et si
-$\initial_{\mathtexttt{glex}}(f) \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (pour un $t\leq
+$\initial_{\mymathtext{glex}}(f) \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (pour un $t\leq
d$) avec $f$ un polynôme homogène, alors $f \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$.
De plus, ces propriétés caractérisent l'ordre lexicographique gradué
(parmi les ordres admissibles).
\end{proposition2}
\begin{proof}
-Le fait que l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}}$ soit gradué
+Le fait que l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mymathtext{glex}}}$ soit gradué
est évident sur sa définition ; pour ce qui est de la deuxième
propriété, il suffit de remarquer que tous les monômes plus petits,
pour l'ordre lexicographique gradué, et de même degré, qu'un monôme
@@ -354,17 +354,17 @@ k[Z_1,\ldots,Z_t]$ ; ceci signifie que tout monôme faisant intervenir
supérieur à tout monôme du même degré ne faisant intervenir que
$Z_1,\ldots,Z_t$. Si $s = Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d}$ et $s' =
Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$ sont deux monômes de même degré
-total tels que $s \mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}} s'$ (donc, vu que
-le degré total est le même, $s \mathrel{\preceq_{\mathtexttt{lex}}} s'$),
+total tels que $s \mathrel{\preceq_{\mymathtext{glex}}} s'$ (donc, vu que
+le degré total est le même, $s \mathrel{\preceq_{\mymathtext{lex}}} s'$),
la démonstration utilisée dans le cas de l'ordre lexicographique pur
montre que $s \preceq s'$, et ceci démontre que $\preceq$ coïncide
-avec l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}}$.
+avec l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mymathtext{glex}}}$.
\end{proof}
\subsubsection{L'ordre lexicographique inversé gradué} L'\textbf{ordre
lexicographique inversé par degré} (ou \textbf{...gradué}) est
défini par $Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d}
-\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots
+\mathrel{\preceq_{\mymathtext{grevlex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots
Z_d^{\ell'_d}$ ssi $\sum \ell_i < \sum \ell'_i$ ou $\sum \ell_i = \sum
\ell'_i$ et $\ell_i > \ell'_i$ pour le \emph{plus petit} $i$ tel que
$\ell_i \neq \ell'_i$. Autrement dit, cet ordre trie en premier lieu
@@ -385,21 +385,21 @@ Z_1 Z_2 Z_3 \preceq \cdots \preceq Z_2^3 \preceq \cdots$ (l'ordinal
associé à ce bon ordre sur les monômes de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$
vaut $\omega$ comme c'est le cas pour tout ordre gradué).
-On peut noter que $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$ et
-$\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}}$ coïncident lorsqu'il n'y a que
+On peut noter que $\mathrel{\preceq_{\mymathtext{grevlex}}}$ et
+$\mathrel{\preceq_{\mymathtext{glex}}}$ coïncident lorsqu'il n'y a que
deux variables (une fois fixé l'ordre entre celles-ci).
\begin{proposition2}\label{caracterisation-ordre-lexicographique-inverse-gradue}
-L'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$ est gradué au sens
+L'ordre $\mathrel{\preceq_{\mymathtext{grevlex}}}$ est gradué au sens
de \ref{definition-ordres-admissibles}, et si
-$\initial_{\mathtexttt{grevlex}}(f) \in (Z_1,\ldots,Z_t)$ (pour un $t\leq
+$\initial_{\mymathtext{grevlex}}(f) \in (Z_1,\ldots,Z_t)$ (pour un $t\leq
d$, et en notant bien sûr $(Z_1,\ldots,Z_t)$ l'idéal engendré par ces
variables) avec $f$ un polynôme homogène, alors $f \in
(Z_1,\ldots,Z_t)$. De plus, ces propriétés caractérisent l'ordre
lexicographique inversé gradué (parmi les ordres admissibles).
\end{proposition2}
\begin{proof}
-Le fait que l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$ soit gradué
+Le fait que l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mymathtext{grevlex}}}$ soit gradué
est évident sur sa définition ; pour ce qui est de la deuxième
propriété, il suffit de remarquer que tous les monômes plus petits,
pour l'ordre lexicographique inversé gradué, et de même degré, qu'un
@@ -407,7 +407,7 @@ monôme dans $(Z_1,\ldots,Z_t)$, sont eux-mêmes dans
$(Z_1,\ldots,Z_t)$ : en effet, dire d'un monôme qu'il appartient à
$(Z_1,\ldots,Z_t)$ signifie qu'il a un degré $>0$ dans l'une des $t$
premières variables, et, à degré total constant, diminuer le monôme
-pour $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$ se fait en augmentant le
+pour $\mathrel{\preceq_{\mymathtext{grevlex}}}$ se fait en augmentant le
degré dans la plus petite variable.
Pour montrer que les propriétés énoncées caractérisent l'ordre
@@ -420,7 +420,7 @@ ordre admissible gradué tel que si $\initial_{\preceq}(f) \in
inférieur à tout monôme du même degré ne faisant intervenir que
$Z_{t+1},\ldots,Z_d$. Si $s = Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d}$ et
$s' = Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$ sont deux monômes de même
-degré total tels que $s \mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}} s'$,
+degré total tels que $s \mathrel{\preceq_{\mymathtext{grevlex}}} s'$,
c'est-à-dire tels que $\ell_i > \ell'_i$ où $i$ est le \emph{plus
petit} possible tel que $\ell_i \neq \ell'_i$, on appelle comme
précédemment $s^0 = Z_1^{\ell^0_1} \cdots Z_d^{\ell^0_d}$ le plus
@@ -429,7 +429,7 @@ par$s = s^0 s^1$ et $s' = s^0 s^{1\prime}$ : on a alors $s^1 \preceq
s^{1\prime}$ puisque $s^1$ fait intervenir $Z_i$ et non $s^{1\prime}$
(alors qu'ils sont de même degré total), donc $s \preceq s'$, et ceci
démontre que $\preceq$ coïncide avec
-l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$.
+l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mymathtext{grevlex}}}$.
\end{proof}
\subsubsection{Quelques autres ordres possibles} Il est assez fréquent
@@ -701,7 +701,7 @@ L'un ou l'autre de ces phénomènes montre que $f_1,f_2$ ne forment pas
une base de Gröbner de l'idéal $I$ qu'ils engendrent. En fait, il
s'avère que cet idéal $I$ est celui engendré par $f_2$ et $f = -f_1 +
X f_2$, et que ces polynômes-là en forment une base de Gröbner,
-l'idéal initial $\initial_{\mathtexttt{lex}}(I)$ étant celui engendré par
+l'idéal initial $\initial_{\mymathtext{lex}}(I)$ étant celui engendré par
$X^3$ et $Y^2$. (Par ailleurs, si $k = \QQ$, alors $\QQ[X,Y]/I$ est
le corps $\QQ(\root3\of2, j\root3\of2)$ de décomposition de $X^3 - 2$
sur $\QQ$.)
@@ -1243,11 +1243,11 @@ algorithme permettant de le résoudre :
\begin{proposition2}\label{base-de-groebner-elimination}
Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ et $t\leq d$ : notons $J = I
-\cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$. Alors on a $\initial_{\mathtexttt{lex}}(J) =
-\initial_{\mathtexttt{lex}}(I) \cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (où on est convenu
+\cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$. Alors on a $\initial_{\mymathtext{lex}}(J) =
+\initial_{\mymathtext{lex}}(I) \cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (où on est convenu
d'ordonner les variables de la manière $Z_1 \preceq Z_2 \preceq \cdots
\preceq Z_d$) ; et si $B = \{f_1,\ldots,f_r\}$ est une base de Gröbner
-de $I$ pour l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{lex}}}$, alors $B \cap
+de $I$ pour l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mymathtext{lex}}}$, alors $B \cap
k[Z_1,\ldots,Z_t]$ est une base de Gröbner de $J$.
Plus généralement, ces affirmations (à $t$ fixé) valent pour tout
@@ -1294,7 +1294,7 @@ dans cette démonstration ?
\emph{si on connaît $t$ à l'avance}, consiste à prendre l'ordre sur le
degré total en les seules variables $Z_1,\ldots,Z_t$ comme premier
critère de comparaison, et en cas d'égalité comparer avec
-$\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$.)
+$\mathrel{\preceq_{\mymathtext{grevlex}}}$.)
\begin{corollaire2}\label{projection-et-extensions-de-corps}
Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ et $t\leq d$ : notons $J = I
diff --git a/chapitres/brauer.tex b/chapitres/brauer.tex
index 096b4e6..0d63d10 100644
--- a/chapitres/brauer.tex
+++ b/chapitres/brauer.tex
@@ -135,7 +135,7 @@ L'application \refext{Formes}{formes vers H1} induit une bijection
\begin{démo}
Par définition, $\Azu(n,K\bo
-k)=\mathtextrm{Formes}(\text{algèbre }𝐌_n,K\bo k)$.
+k)=\mymathtextrm{Formes}(\text{algèbre }𝐌_n,K\bo k)$.
La donnée d'une structure de $k$-algèbre sur un $k$-espace
vectoriel
$A$ de rang $n²$ correspond à la donnée d'une application
@@ -976,13 +976,13 @@ des quaternions imaginaires. On en déduit un morphisme
$𝐇^×(A) → \GL₃(A)$. Comme d'autre part on a l'égalité $N(rqr^{-1})=N(q)$,
cette action préserve la forme quadratique euclidienne naturelle sur $\Im 𝐇(A)$,
$q=a\i+b\j+c\k ↦ N(q)=a²+b²+c²$, si bien que le morphisme précédent
-se factorise à travers un morphisme $𝐇^×(A) → \mathtextrm{O}₃(A)$.
+se factorise à travers un morphisme $𝐇^×(A) → \mymathtextrm{O}₃(A)$.
Le noyau de ce morphisme est $\Gm(A)=A^×$, plongé
dans $𝐇^×(A)$ par $a↦a⋅1$, car le centre de $𝐇(A)$ est $A$.
\begin{proposition2}\label{H vers special orthogonal}
-L'image du morphisme $𝐇^×(A) → \mathtextrm{O}₃(A)$ est contenue
+L'image du morphisme $𝐇^×(A) → \mymathtextrm{O}₃(A)$ est contenue
dans $\SOrth₃(A)$.
\end{proposition2}
@@ -1020,7 +1020,7 @@ le morphisme $𝐇^{N=1}(K) → \SOrth₃(K)$ est également surjectif.
\end{théorème2}
Le groupe $𝐇^{N=1}$ est aussi appelé \emph{groupe spin},
-noté $\mathtextrm{Spin}₃$ ; c'est un revêtement double de $\SOrth₃$.
+noté $\mymathtextrm{Spin}₃$ ; c'est un revêtement double de $\SOrth₃$.
Dans les deux paragraphes suivants nous allons donner deux démonstrations,
radicalement différentes, de ce théorème.
@@ -1083,7 +1083,7 @@ exprimant l'inverse d'une matrice en terme du déterminant et de la transposée
sa comatrice ; en multipliant cette matrice par $1-A$,
on obtient la matrice $c(1+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k)$,
image de $1+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k$ par le morphisme
-$c: 𝐇^×(K) → \mathtextrm{SO}₃(K)$ (cf. \ref{H vers special orthogonal}, démonstration).
+$c: 𝐇^×(K) → \mymathtextrm{SO}₃(K)$ (cf. \ref{H vers special orthogonal}, démonstration).
Il n'est maintenant pas difficile d'achever la démonstration du théorème.
Commençons par quelques notations : pour chaque $μ∈\{1,\i,\j,\k\}$, notons $V_μ(K)$
@@ -1142,7 +1142,7 @@ que si $m∈U_μ(K)$, on a l'égalité
Il n'est pas difficile de vérifier que la norme spinorielle
n'est autre que le morphisme $\SOrth₃(K)=H⁰(K,\SOrth₃) → H¹(K,μ₂)=K^×/{K^×}²$
-déduit de la suite exacte $1 → μ₂ → \mathtextrm{Spin}₃=𝐇^{N=1} → \SOrth₃ → 1$.
+déduit de la suite exacte $1 → μ₂ → \mymathtextrm{Spin}₃=𝐇^{N=1} → \SOrth₃ → 1$.
\XXX
\begin{exercice2}
@@ -1190,7 +1190,7 @@ s_{r₁} ∘ \cdots ∘ s_{r_n}=\left(q↦(r₁\cdots
r_n)q (\sur{r_n \cdots r₁})^{-1}\right).\]
Considérons maintenant le plongement naturel
-de $\mathtextrm{O}₃(K)=\mathtextrm{O}(\Im 𝐇(K))$ dans $\mathtextrm{O}₄(K)=\mathtextrm{O}(𝐇(K))$,
+de $\mymathtextrm{O}₃(K)=\mymathtextrm{O}(\Im 𝐇(K))$ dans $\mymathtextrm{O}₄(K)=\mymathtextrm{O}(𝐇(K))$,
envoyant une isométrie de $\Im 𝐇(K)$ sur l'unique isométrie de $𝐇(K)$
la prolongeant agissant trivialement sur le centre $K⋅1$ de $𝐇(K)$.
(Remarquons que $𝐇(K)=\Im 𝐇(K) ⊥ \mbox{$K⋅1$}$.) Ce plongement préserve le
@@ -1906,7 +1906,7 @@ homogène de degré $n$. Ceci entraîne le résultat annoncé.
\begin{remarque2}
On laisse le soin au lecteur de définir, pour tout $a∈A$, un « polynôme caractéristique
-réduit » $\mathtextrm{Prd}_A(a,X)=X^n-\Trd_A(a)X^{n-1}+\cdots+(-1)^n\Nrd_A(a)$.
+réduit » $\mymathtextrm{Prd}_A(a,X)=X^n-\Trd_A(a)X^{n-1}+\cdots+(-1)^n\Nrd_A(a)$.
Cf. Bourbaki, VIII, §12.
\end{remarque2}
diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex
index 960ec2a..445d437 100644
--- a/chapitres/corps-finis.tex
+++ b/chapitres/corps-finis.tex
@@ -2629,7 +2629,7 @@ en bijection avec $\chap{G/K}$.
\begin{lemme2}
Soit $G$ un groupe fini abélien. Le morphisme d'évaluation
-$G→\chap{\chap{G}}$, $g\mapsto \big(\mathtextrm{év}_g:χ\mapsto χ(g)\big)$ est un isomorphisme.
+$G→\chap{\chap{G}}$, $g\mapsto \big(\mymathtextrm{év}_g:χ\mapsto χ(g)\big)$ est un isomorphisme.
\end{lemme2}
\begin{démo}
@@ -2687,7 +2687,7 @@ Alors, $∑_{χ∈\chap{G}} χ(g)$ est égal à $0$ si $g≠e$ et $|G|$ sinon.
\begin{démo}
Le résultat est trivial si $g=e$. Supposons
$g≠e$. Puisque le morphisme $G→\chap{\chap{G}}$ est un
-isomorphisme, il est donc injectif : $\mathtextrm{év}_g≠e$.
+isomorphisme, il est donc injectif : $\mymathtextrm{év}_g≠e$.
En d'autres termes, il existe un caractère $χ'∈\chap{G}$
tel que $χ'(g)≠1$. Soit $S=∑_χ χ(g)$. On a $χ'(g)S=∑_χ (χ'χ)(g)=S$.
Puisque $χ'(g)≠1$, on a bien $S=0$.
@@ -2701,9 +2701,9 @@ et $|G|$ sinon.
\end{corollaire2}
\begin{démo}
-Cela résulte de l'égalité $∑_g χ(g)=∑_g \mathtextrm{év}_g(χ)$,
+Cela résulte de l'égalité $∑_g χ(g)=∑_g \mymathtextrm{év}_g(χ)$,
du lemme précédent, et du fait que tout caractère de $\chap{G}$ est
-de la forme $\mathtextrm{év}_g$ pour un unique $g∈G$.
+de la forme $\mymathtextrm{év}_g$ pour un unique $g∈G$.
\end{démo}
\subsection{Équation $X^n=g$ dans un groupe abélien fini ; application}
@@ -2821,13 +2821,13 @@ par une sous-algèbre quotient \emph{stricte}.
(On a vu en \ref{algebre-diagonalisable} que tous ces quotients sont du type
envisagé dans la démonstration.)
-On note $\chap{A^×}^{\mathtextrm{nouv}}$ l'\emph{ensemble} de ces caractères (par oppositions
+On note $\chap{A^×}^{\mymathtextrm{nouv}}$ l'\emph{ensemble} de ces caractères (par oppositions
aux \emph{anciens}, provenant d'une plus petite algèbre).
Généralisant quelque peu la notation habituelle,
on pose $\chap{A^×}[n]:=\{χ=(χ₀,\dots,χ_d)∈\chap{A^×}, χ_i^{n_i}=1\}$.
(Si $n₀=\dots=n_d$, on retombe sur la définition précédente.)
-Enfin, si $E⊂\chap{A^×}$, on note $E[n]$ (resp. $E^{\mathtextrm{nouv}}$ resp.
-$E^{\mathtextrm{nouv}}[n]$) son intersection avec le sous-ensemble correspondant
+Enfin, si $E⊂\chap{A^×}$, on note $E[n]$ (resp. $E^{\mymathtextrm{nouv}}$ resp.
+$E^{\mymathtextrm{nouv}}[n]$) son intersection avec le sous-ensemble correspondant
de $\chap{A^×}$.
Remarquons que si $d+1=\dim_F(A)>1$, tout nouveau caractère de $A^×$ est non
trivial.
@@ -2841,7 +2841,7 @@ Utilisant cette remarque et le lemme précédent, on peut donc
écrire :
$$
-N=(\# F)^d+∑_{χ∈\chap{A^×}^{\substack{\mathtextrm{nouv}}[n]\\ χ≠1}} χ^{-1}(c)\big( ∑_{\substack{a∈A^×\\ \Tr(a)=b}}
+N=(\# F)^d+∑_{χ∈\chap{A^×}^{\substack{\mymathtextrm{nouv}}[n]\\ χ≠1}} χ^{-1}(c)\big( ∑_{\substack{a∈A^×\\ \Tr(a)=b}}
χ(a)\big).
$$
@@ -2872,7 +2872,7 @@ Nous avons établi la proposition suivante.
Soient $F$ un corps fini de cardinal $q$, $d≥0$ un entier, $c₀,\dots,c_d∈F^×$, et $n₀,\dots,n_d≥1$.
Alors,
$$
-N(∑_i c_i X_i^{n_i}=0)=q^d+(q-1)∑_{\substack{x∈A^×/F^×,\Tr(a)=0 \\ χ∈\chap{A^×/F^×}^{\mathtextrm{nouv}}[n], χ≠1}} χ(c)χ^{-1}(x).
+N(∑_i c_i X_i^{n_i}=0)=q^d+(q-1)∑_{\substack{x∈A^×/F^×,\Tr(a)=0 \\ χ∈\chap{A^×/F^×}^{\mymathtextrm{nouv}}[n], χ≠1}} χ(c)χ^{-1}(x).
$$
\end{proposition2}
@@ -2910,7 +2910,7 @@ reformule :
$$
N=q^d+(-1)^{d-1}(q-1)∑_χ χ(c)J(χ),
$$
-où $χ$ parcourt le sous-ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathtextrm{nouv}}[n]$.
+où $χ$ parcourt le sous-ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mymathtextrm{nouv}}[n]$.
\subsubsection{Le cas $b$ quelconque}\label{formule-b-quelconque}
Comme pour $x∈F^×$, on a $x^{q-1}=1$, il vient :
@@ -2924,8 +2924,8 @@ $$
N=q^d+(-1)^d\big(∑_{χ'} χ'(c,-b)J(χ')-∑_χ χ(c)J(χ)\big),
$$
où la première somme se fait relativement à l'algèbre $A'=A×F$,
-$χ'$ parcourt l'ensemble $\chap{{A'}^×/F^×}^{\mathtextrm{nouv}}[(n,q-1)]$
-et $χ$ parcourt l'ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathtextrm{nouv}}[n]$.
+$χ'$ parcourt l'ensemble $\chap{{A'}^×/F^×}^{\mymathtextrm{nouv}}[(n,q-1)]$
+et $χ$ parcourt l'ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mymathtextrm{nouv}}[n]$.
(Remarquer que $q^{d+1}-q^d=(q-1)q^d$.)
@@ -3002,7 +3002,7 @@ $$
\begin{proposition2}
Soient $A$ une $F$-algèbre étale, $ψ$ un caractère (additif) non trivial
-de $F$ et $χ∈\chap{A^×}^{\mathtextrm{nouv}}$ non trivial.
+de $F$ et $χ∈\chap{A^×}^{\mymathtextrm{nouv}}$ non trivial.
Alors,
$$
|𝔤(χ,ψ)|=\sqrt{\# A}.
@@ -3080,8 +3080,8 @@ réciprocité quadratique}
\subsubsection{Notations}
Soit $F$ un corps fini cardinal $q$ et de caractéristique $p≠2$. Le groupe $F^×$ a donc un unique
-sous-groupe d'indice deux ; on note $χ_{\mathtextrm{quad}}$ le caractère
-correspondant. On a donc $χ_{\mathtextrm{quad}}(x)=1$ si $x∈{F^×}²$ et $-1$ sinon.
+sous-groupe d'indice deux ; on note $χ_{\mymathtextrm{quad}}$ le caractère
+correspondant. On a donc $χ_{\mymathtextrm{quad}}(x)=1$ si $x∈{F^×}²$ et $-1$ sinon.
C'est le seul caractère non trivial de $2$-torsion, de sorte que l'ensemble
des nouveaux caractères de $2$-torsion de $F^d$ est soit vide soit réduit à un seul
@@ -3089,7 +3089,7 @@ des nouveaux caractères de $2$-torsion de $F^d$ est soit vide soit réduit à
Dans tout ce paragraphe, nous fixons une racine primitive $p$-ème
de l'unité $ζ_p$ et considérons le caractère additif non trivial associé :
-$ψ(x)=ζ_p^{\Tr_{F/\FF_p}(x)}$. Nous notons $g_{\mathtextrm{quad}}$ la
+$ψ(x)=ζ_p^{\Tr_{F/\FF_p}(x)}$. Nous notons $g_{\mymathtextrm{quad}}$ la
somme de Gauß associée à ce caractère additif et au caractère (multiplicatif) quadratique.
\begin{proposition2}
@@ -3097,36 +3097,36 @@ somme de Gauß associée à ce caractère additif et au caractère (multiplicati
Soient $d≥0$ un entier et $N$ le nombre de solutions de l'équation
$X₀²+\cdots+X_d²=1$.
\begin{enumerate}
-\item $g_{\mathtextrm{quad}}²=qχ_{\mathtextrm{quad}}(-1)$ ;
-\item $χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)=(-1)^{\frac{q-1}{2}}$ ;
-\item $N=q^d+χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}} q^{\frac{d}{2}}$ si $d$ est
+\item $g_{\mymathtextrm{quad}}²=qχ_{\mymathtextrm{quad}}(-1)$ ;
+\item $χ_{\mymathtextrm{quad}}(-1)=(-1)^{\frac{q-1}{2}}$ ;
+\item $N=q^d+χ_{\mymathtextrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}} q^{\frac{d}{2}}$ si $d$ est
pair ;
-\item $N=q^d+χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^{\frac{d+1}{2}} q^{\frac{d-1}{2}}$ si $d$ est
+\item $N=q^d+χ_{\mymathtextrm{quad}}(-1)^{\frac{d+1}{2}} q^{\frac{d-1}{2}}$ si $d$ est
impair.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
-Rappelons que $χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^n=χ_{\mathtextrm{quad}}\big((-1)^n\big)$ vaut
+Rappelons que $χ_{\mymathtextrm{quad}}(-1)^n=χ_{\mymathtextrm{quad}}\big((-1)^n\big)$ vaut
$1$ si $(-1)^n$ est un carré dans $F$, $-1$ sinon.
\begin{démo}
(i) résulte de la formule générale :
$$𝔤(χ,ψ)𝔤(\sur{χ},ψ)=χ(-1)^{-1}𝔤(χ,ψ)\sur{𝔤(χ,ψ)}=χ(-1)q.$$
(ii) Si $x∈{F^×}²$, $x^{\frac{q-1}{2}}=1$ et vice-versa pour des raisons
-de cardinalité. Ainsi, $χ_{\mathtextrm{quad}}(x)=x^{\frac{q-1}{2}})$,
+de cardinalité. Ainsi, $χ_{\mymathtextrm{quad}}(x)=x^{\frac{q-1}{2}})$,
égalité ayant lieu dans $\{±1\}$, plongé dans $\mathbf{U}$ (terme
de gauche) et $F^×$ (terme de droite).
(iii) et (iv) résultent de la formule générale exprimant $N$ comme
une somme, de l'égalité $qJ=g$.
Pour (iii), on utilise également l'égalité
-$χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)\frac{g_{\mathtextrm{quad}}^{d+2}}{p}=χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}}q^{\frac{d}{2}}$,
+$χ_{\mymathtextrm{quad}}(-1)\frac{g_{\mymathtextrm{quad}}^{d+2}}{p}=χ_{\mymathtextrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}}q^{\frac{d}{2}}$,
qui découle de (i). L'égalité (iv) est semblable et laissée au lecteur.
\end{démo}
\begin{remarque2}
Insistons sur le caractère élémentaire de ces formules.
-Puisque $N(X²=a)=1+χ_{\mathtextrm{quad}}(a)$, en tire
-$N=q^d+∑_{a₀+\cdots+a_d=1} ∏_i χ_{\mathtextrm{quad}}(a_i)$. Le second
+Puisque $N(X²=a)=1+χ_{\mymathtextrm{quad}}(a)$, en tire
+$N=q^d+∑_{a₀+\cdots+a_d=1} ∏_i χ_{\mymathtextrm{quad}}(a_i)$. Le second
terme est, au signe près, une somme de Jacobi.
Ce calcul a été fait bien avant le cas d'une hypersurface diagonale
générale, dû à Weil.
@@ -3190,37 +3190,37 @@ explicite lorsque $p=17$.
Cf. \ref{reciprocite-quadratique}.
Soit $ℓ≠p$ un nombre premier impair.
-Notons $χ=(χ_{\mathtextrm{quad}},\dots,χ_{\mathtextrm{quad}})$
+Notons $χ=(χ_{\mymathtextrm{quad}},\dots,χ_{\mymathtextrm{quad}})$
le caractère de ${F^{ℓ+1}}^×$, où $F=\FF_p$. Il est nouveau, non trivial
-mais diagonalement trivial car $χ_{\mathtextrm{quad}}^{ℓ+1}=1$.
+mais diagonalement trivial car $χ_{\mymathtextrm{quad}}^{ℓ+1}=1$.
Il résulte de la formule $pJ=g$ (\ref{proposition-Gauss-Jacobi}) et
du calcul de $g²$ (\ref{proposition-cardinal-spheres}, (i-ii)) que l'on a
l'égalité :
-$$p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ+1}{2})}=J(χ)=χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^ℓ∑_{∑x_i=1}χ_{\mathtextrm{quad}}(x₁)\cdots
-χ_{\mathtextrm{quad}}(x_ℓ).
+$$p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ+1}{2})}=J(χ)=χ_{\mymathtextrm{quad}}(-1)^ℓ∑_{∑x_i=1}χ_{\mymathtextrm{quad}}(x₁)\cdots
+χ_{\mymathtextrm{quad}}(x_ℓ).
$$
L'égalité de droite est une traduction immédiate de la définition
des sommes de Jacobi. (On utilise le fait que
-$χ_{\mathtextrm{quad}}=χ_{\mathtextrm{quad}}^{-1}$.)
-En faisant passer le terme $χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^ℓ$ à gauche, on trouve :
+$χ_{\mymathtextrm{quad}}=χ_{\mymathtextrm{quad}}^{-1}$.)
+En faisant passer le terme $χ_{\mymathtextrm{quad}}(-1)^ℓ$ à gauche, on trouve :
$$
-p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ-1}{2})}=∑_{\substack{∑x_i=1\\ x_i∈𝐅_p^×}}χ_{\mathtextrm{quad}}(x₁)\cdots
-χ_{\mathtextrm{quad}}(x_ℓ).
+p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ-1}{2})}=∑_{\substack{∑x_i=1\\ x_i∈𝐅_p^×}}χ_{\mymathtextrm{quad}}(x₁)\cdots
+χ_{\mymathtextrm{quad}}(x_ℓ).
$$
La somme de droite est une somme d'entiers égaux à $±1$.
-Elle est congrue à $χ_{\mathtextrm{quad}}(ℓ)$ modulo $ℓ$ pour
+Elle est congrue à $χ_{\mymathtextrm{quad}}(ℓ)$ modulo $ℓ$ pour
la raison suivante. L'ensemble de sommation est naturellement un $𝐙/ℓ$-ensemble (action
par permutation cyclique des coordonnées) et la fonction
sommée est invariante par cette action. Il en résulte que,
modulo $ℓ$, seuls les points fixes contribuent. L'unique point
fixe est donné par $x₁=\cdots=x_ℓ=\frac{1}{ℓ}∈F^×$. Sa
-contribution est $χ_{\mathtextrm{quad}}(ℓ)∈\{±1\}$.
+contribution est $χ_{\mymathtextrm{quad}}(ℓ)∈\{±1\}$.
-Puisque $χ_{\mathtextrm{quad}}(ℓ)=(\frac{ℓ}{p})$ et que d'autre part,
+Puisque $χ_{\mymathtextrm{quad}}(ℓ)=(\frac{ℓ}{p})$ et que d'autre part,
modulo $ℓ$, $p^{\frac{ℓ-1}{2}}\equiv (\frac{p}{ℓ})$, on en tire :
\[
diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex
index e9b3704..f80f22b 100644
--- a/chapitres/correspondance-galois.tex
+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -1650,8 +1650,8 @@ $別₂$.
\begin{exemples2}
-En utilisant le fait que $∏_{i<j}(x_i+x_j)²=\mathtextrm{rés}(f(X),f(-X))$
-[presque] et $∏_{i<j}(x_i-x_j)²=Δ_{2'}(f)=\mathtextrm{rés}(f,f')$, on trouve
+En utilisant le fait que $∏_{i<j}(x_i+x_j)²=\mymathtextrm{rés}(f(X),f(-X))$
+[presque] et $∏_{i<j}(x_i-x_j)²=Δ_{2'}(f)=\mymathtextrm{rés}(f,f')$, on trouve
facilement les formules ci-dessous. \XXX
\begin{enumerate}
@@ -1922,7 +1922,7 @@ $\Spec(K⊗_k {k'}\alg)→\Spec(K⊗_k k')$ est surjectif
(\refext{AC}{relèvement idéaux} ou \refext{Descente}{fidèle platitude})
et $G$-équivariant donc on peut supposer $k'$ algébriquement clos.
Dans ce cas, $A$ est isomorphe comme $k'$-algèbre, munie
-d'une action de $G$, à $\Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,k')$ (\refext{Krull}{KtensK-cas-infini}).
+d'une action de $G$, à $\Hom_{\mymathtextrm{cont}}(G,k')$ (\refext{Krull}{KtensK-cas-infini}).
Le spectre de cette algèbre est canoniquement isomorphe à $G$
(\refext{Krull}{Spec(Hom(X,k))}) agissant (transitivement) sur lui-même par translation.
diff --git a/chapitres/descente.tex b/chapitres/descente.tex
index 37de1f2..98b7ca9 100644
--- a/chapitres/descente.tex
+++ b/chapitres/descente.tex
@@ -51,7 +51,7 @@ Toute $k$-\emph{dérivation} de $M_n(k)$ est
toute application $k$-linéaire $δ:M_n(k)→M_n(k)$
satisfaisant les relations $δ(xy)=xδ(y)+yδ(x)$ pour toute
paire $(x,y)∈M_n(k)²$ est de la forme
-$m↦\mathtextrm{Int}_x(m)=xm-mx$ pour un (unique)
+$m↦\mymathtextrm{Int}_x(m)=xm-mx$ pour un (unique)
$x∈M_n(k)$.
\end{proposition2}
diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex
index 26216ea..107ce4a 100644
--- a/chapitres/extensions-algebriques.tex
+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -2752,7 +2752,7 @@ de sorte que $M[ε]$ est une $k$-algèbre au-dessus de $A$.
\item Définir la notion de morphisme entre $k$-algèbres augmentées
vers $A$, noté $\Hom_{k\traitdunion\Alg \bo A}(A,M[ε])$.
\item Construire un isomorphisme $k$-linéaire
-$\Der_k(A,M) ⥲ \Hom_{k-\mathtextrm{alg}\bo A}(A,M[ε])$.
+$\Der_k(A,M) ⥲ \Hom_{k-\mymathtextrm{alg}\bo A}(A,M[ε])$.
\end{enumerate}
\end{exercice2}
diff --git a/chapitres/formes-tordues.tex b/chapitres/formes-tordues.tex
index cf7c754..6b6e0ba 100644
--- a/chapitres/formes-tordues.tex
+++ b/chapitres/formes-tordues.tex
@@ -462,11 +462,11 @@ K}^{-1}$
et, finalement, $c_ψ=c_φ$.
\end{démo}
-Notons $\mathtextrm{Formes}(x,K\bo k)$ l'ensembles des classes
+Notons $\mymathtextrm{Formes}(x,K\bo k)$ l'ensembles des classes
de $k$-isomorphisme des $K\bo k$-formes de $x$.
Nous venons de construire une application
\begin{equation}\label{formes vers H1}
-\mathtextrm{Formes}(x,K\bo k)→H¹(Π,\Aut(x_{\bo K})).
+\mymathtextrm{Formes}(x,K\bo k)→H¹(Π,\Aut(x_{\bo K})).
\end{equation}
\subsubsection{}\label{hypothèse faisceau}Un des point clef
@@ -494,7 +494,7 @@ induit une \emph{bijection}
\begin{proposition2}\label{formes et cohomologie}
Sous l'hypothèse (F), l'application
\[
-\mathtextrm{Formes}(x,K\bo k)→H¹(Π,\Aut(x_{\bo K}))
+\mymathtextrm{Formes}(x,K\bo k)→H¹(Π,\Aut(x_{\bo K}))
\]
\[
\textrm{classe de $k$-isomorphisme de }y↦[y]
@@ -569,7 +569,7 @@ Il résulte de la construction générale qui précède que nous
disposons
d'une application explicite :
\[
-\mathtextrm{Formes}(\text{algèbre } k^n,K\bo
+\mymathtextrm{Formes}(\text{algèbre } k^n,K\bo
k)=\{k\traitdunion\textrm{alg. rang
}n\textrm{ diag. sur }K\}∕\textrm{isom.}→H¹(Π,𝔖_n).
\]
@@ -577,7 +577,7 @@ k)=\{k\traitdunion\textrm{alg. rang
\begin{proposition2}\label{formes algebres commutatives}
L'application
\[
-\mathtextrm{Formes}(\text{algèbre } k^n,K\bo k)→H¹(\Gal(K\bo
+\mymathtextrm{Formes}(\text{algèbre } k^n,K\bo k)→H¹(\Gal(K\bo
k),𝔖_n)
\]
est une bijection.
@@ -592,7 +592,7 @@ $σ⋅x=g∘x$. Par hypothèse, cet ensemble est de cardinal $n$.
D'après la correspondance de Galois-Grothendieck
(\ref{Galois-Grothendieck fini})
cette construction induit une bijection entre l'ensemble
-$\mathtextrm{Formes}(k^n,K\bo K)$ et l'ensemble des classes
+$\mymathtextrm{Formes}(k^n,K\bo K)$ et l'ensemble des classes
d'isomorphismes
d'action de $Π$ sur $\{1,\dots,n\}$. Ce dernier
n'est autre que l'ensemble des morphismes
@@ -601,7 +601,7 @@ qui coïncide avec $H¹(Π,𝔖_n)$ car l'action de $Π$ est
triviale (cf. \ref{H1=Hom}).
Ceci montre déjà que les deux ensembles
-$\mathtextrm{Formes}(k^n,K\bo k)$ et $H¹(Π,𝔖_n)$
+$\mymathtextrm{Formes}(k^n,K\bo k)$ et $H¹(Π,𝔖_n)$
sont en bijection ; en particulier, ils ont même cardinal.
Pour conclure deux méthodes s'offrent à nous.
@@ -614,7 +614,7 @@ est fini et, d'après ce qui précède, en bijection
avec la source, l'application de l'énoncé est une bijection.
\emph{Seconde méthode} : vérifier que l'application
-$\mathtextrm{Formes}(k^n,K\bo K)→H¹(Π,𝔖_n)$ que nous venons
+$\mymathtextrm{Formes}(k^n,K\bo K)→H¹(Π,𝔖_n)$ que nous venons
de construire en utilisant la correspondance de
Galois-Grothendieck
coïncide avec l'application de l'énoncé, définie de façon
@@ -691,7 +691,7 @@ une interprétation générale de l'ensemble de cohomologie
$H¹(Π,G)$. Signalons qu'on ne l'étudie pas nécessairement \emph{per se}
mais souvent au motif qu'il décrit les objets que nous allons introduire
dans un instant. Pour le lien entre ce qui suit, dans le cas
-particulier où $G=𝔖_n$, et la bijection $\mathtextrm{Formes}(\text{algèbre } k^n,K\bo k) ⥲ H¹(Π,𝔖_n)$
+particulier où $G=𝔖_n$, et la bijection $\mymathtextrm{Formes}(\text{algèbre } k^n,K\bo k) ⥲ H¹(Π,𝔖_n)$
précédente, voir remarque \ref{H1(k,Sn)=H1(k,Sn)}.
\subsubsection{}Considérons les catégories des $k$-algèbres
@@ -743,12 +743,12 @@ $K\bo k$ toute $k$-algèbre $A$ munie d'une action $k$-linéaire de $G$
telle que $A_K$ soit isomorphe à $K^G$.
\end{définition2}
-On note $\mathtextrm{Tors}(K\bo k,G)$ leur ensemble. On appelle
+On note $\mymathtextrm{Tors}(K\bo k,G)$ leur ensemble. On appelle
$G$-torseur trivial (sous-entendu : sur $k$) le $G$-torseur $k^G$.
\begin{exemple2}\label{extension galoisienne groupe G est un G-torseur}
Toute extension $k′\bo k$ galoisienne de groupe $G$
-et trivialisé par $K\bo k$ est un objet de $\mathtextrm{Tors}(K\bo k,G)$.
+et trivialisé par $K\bo k$ est un objet de $\mymathtextrm{Tors}(K\bo k,G)$.
Choisissons en effet un $k$-plongement $ι$ de $k′$ dans $K$,
dont l'existence est conséquence du fait que $K\bo k$ diagonalise
$k′\bo k$ (voir aussi \ref{description explicite Tors=H1}, (i)).
@@ -771,7 +771,7 @@ De façon générale, on a :
— $A\bo k$ est une $G$-algèbre galoisienne.
\begin{proposition2}\label{H1G=TorsG}
-L'ensemble des classes d'isomorphismes $\mathtextrm{Tors}(K\bo k,G)/∼$
+L'ensemble des classes d'isomorphismes $\mymathtextrm{Tors}(K\bo k,G)/∼$
est naturellement en bijection avec l'ensemble
$H¹(Π,G)$, quotient de l'ensemble $\Hom(Π,G)$
sous l'action de $G$ par conjugaison. Si $G$ est abélien, il est isomorphe à $\Hom(Π,G)$.
@@ -1084,7 +1084,7 @@ extension finie galoisienne.
Pour tout $k$-tenseur $(V,x)$ de type $(p,q)$,
l'application
\[
-\mathtextrm{Formes}\big((V,x),K\bo k)→H¹\big(\Gal(K\bo
+\mymathtextrm{Formes}\big((V,x),K\bo k)→H¹\big(\Gal(K\bo
k),\Aut((V,x)_{\bo K})\big)
\]
est une bijection.
diff --git a/chapitres/krull.tex b/chapitres/krull.tex
index 716de94..f37543a 100644
--- a/chapitres/krull.tex
+++ b/chapitres/krull.tex
@@ -656,9 +656,9 @@ $a⊗b\mapsto \big(g∈G\mapsto
g(a)b∈K'\big)$
induit un isomorphisme de $K'$-algèbres
$$
-K⊗_k K' ⥲ \Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K'),
+K⊗_k K' ⥲ \Hom_{\mymathtextrm{cont}}(G,K'),
$$
-où $\Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K')$ désigne l'ensemble des applications
+où $\Hom_{\mymathtextrm{cont}}(G,K')$ désigne l'ensemble des applications
\emph{continues}
de $G$ dans $K'$, $G$ étant muni de la topologie de Krull et
$K'$ de la topologie
@@ -732,13 +732,13 @@ $$K⊗_k K'=⋃_{E∈\mathscr{E}} E⊗_k K'.$$
D'autre part, pour tout $E∈\mathscr{E}$, l'application
$\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')→
-\Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K')$ déduite du morphisme de
+\Hom_{\mymathtextrm{cont}}(G,K')$ déduite du morphisme de
restriction $r_E:G→G_{E\bo k}$
est injective car $r_E$ est surjectif. Identifiant
$\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')$ à son image dans
-$\Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K')$,
+$\Hom_{\mymathtextrm{cont}}(G,K')$,
on a :
-$$\Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K')=⋃_{E∈\mathscr{E}}
+$$\Hom_{\mymathtextrm{cont}}(G,K')=⋃_{E∈\mathscr{E}}
\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K').$$
Soit en effet $f:G→K'$ une application continue ; on
souhaite
@@ -772,7 +772,7 @@ La conclusion résulte de la commutativité des diagrammes
\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
%$$
%\xymatrix{
-%K⊗_k K' \ar[r] & \Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K') \\
+%K⊗_k K' \ar[r] & \Hom_{\mymathtextrm{cont}}(G,K') \\
%E⊗_k K' \ar[u] \ar[r] & \Hom(G_{E\bo k},K') \ar[u]
%}
%$$
@@ -785,10 +785,10 @@ conséquence immédiate des définitions.
L'espace topologique sous-jacent à $G$ étant compact,
il résulte de \ref{SpecHomXk} que le
spectre de
-$\Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K')$ est en bijection naturelle avec
+$\Hom_{\mymathtextrm{cont}}(G,K')$ est en bijection naturelle avec
$G$, par l'application naturelle $g↦\Ker(\ev_g)$.
On retrouve le résultat de \refext{CG}{points-KtensK}, pour $K'=K$,
-puisque l'application $\ev_g:\Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K')→K'$
+puisque l'application $\ev_g:\Hom_{\mymathtextrm{cont}}(G,K')→K'$
correspond
par l'isomorphisme de la proposition à l'application
$a⊗b↦g(a)b$,
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 1fb5b6a..9dddaa8 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -23,7 +23,7 @@
\begingroup
\fi
-\DeclareMathOperatorWithFont{\module}{\mathtextrm}{mod}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\module}{\mymathtextrm}{mod}
\section{Corps locaux}
@@ -419,7 +419,7 @@ tel que pour toute fonction $ψ ∈ 𝒞_c(G)_+$ de support dans $V_{φ,ε}$
et d'intégrale $μ(ψ)=1$, on ait $‖ φ ⋆_μ ψ - φ ‖_∞ ≤ ε$. (Un tel
énoncé est souvent utilisé pour régulariser des fonctions ; nous
n'en rappelons pas la démonstration.)
-Pour un tel $ψ$, on a $|ν(φ ⋆_μ ψ) -ν(φ)| ≤ ε ⋅ ν\big( \mathtextrm{Supp}(φ) V_{φ,ε}^{-1}\big)$.
+Pour un tel $ψ$, on a $|ν(φ ⋆_μ ψ) -ν(φ)| ≤ ε ⋅ ν\big( \mymathtextrm{Supp}(φ) V_{φ,ε}^{-1}\big)$.
En particulier, il existe des fonctions $ψ$ positives de $μ$-intégrale unité telles que $ν(φ ⋆_μ ψ)$ soit
arbitrairement proche de $ν(φ)$. En appliquant ceci à $φ=φ₀$, et en utilisant
les égalités $ν(φ ⋆_μ ψ)=μ(φ)ν(ψ)$ et $μ(φ₀)=ν(φ₀)$, on en déduit
@@ -846,7 +846,7 @@ constante : l'anneau des entiers $𝒪$ de $K$ étant
un voisinage de l'origine, on se ramène par translation
à montrer que toute fonction continue $𝒪 → 𝐂$ est localement constante.
Cela résulte de la définition de la topologie sur $𝒪=\lim_n 𝒪/ 𝔪^n$
-d'après laquelle $\Hom_{\mathtextrm{cont}}(𝒪,𝐂)=\colim_n \Hom(𝒪/𝔪^n,𝐂)$.
+d'après laquelle $\Hom_{\mymathtextrm{cont}}(𝒪,𝐂)=\colim_n \Hom(𝒪/𝔪^n,𝐂)$.
Le fonction $f$ ci-dessus étant de plus à support
compact, il existe un entier $e ∈ 𝐙$
tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie
@@ -1298,7 +1298,7 @@ un caractère du groupe fini $𝒰/(1+𝔣_χ)$, où $𝔣_χ$ est l'idéal co
Si $K$ est archimédien, l'entier $a$ tel que $χ₁=(u ↦ u^{-a})$ est appelé \emph{conducteur} de $χ$.
Les quasi-caractères $ω_s$ sont de conducteur nul, aussi
bien dans le cas ultramétrique qu'archimédien. Si $K$ est réel, le quasi-caractère $x↦ x^{-1}$ n'est autre
-que $\mathtextrm{sgn} ⋅ ω_{-1}$, où $\mathtextrm{sgn}(x) ∈ \{±1\}$ est le signe du réel non nul $x$.
+que $\mymathtextrm{sgn} ⋅ ω_{-1}$, où $\mymathtextrm{sgn}(x) ∈ \{±1\}$ est le signe du réel non nul $x$.
\begin{démo}
Soit $χ$ comme dans l'énoncé. Posons $χ₁=χ_{|𝒰}$ ; c'est un
@@ -2098,7 +2098,7 @@ valeurs absolues non triviales sur $K$ ; on note $Σ(K)$ leur ensemble.
Un point est dit \textbf{ultramétrique} (resp.
\textbf{archimédien}) si les valuations correspondantes
sont ultramétriques (resp. archimédiennes) ; leurs ensembles
-respectifs sont notés $Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ et $Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$.
+respectifs sont notés $Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)$ et $Σ^{\mymathtextrm{arch}}(K)$.
Nous faisons le choix de \emph{pas} utiliser les notations
traditionnelles $Σ_f(K)$ et $Σ_∞(K)$, afin d'éviter la possible
confusion entre les valeurs absolues archimédiennes et les valeurs absolues « à l'infini »
@@ -2137,21 +2137,21 @@ $k_x=𝒪_{K,x}/𝔪_x$ le corps résiduel, $N(x)$ le cardinal de $k_x$ — ap
Notons que si $ϖ$ est une uniformisante de $𝒪_{K,x}$,
on a $N(x)=|ϖ|_x^{-1}$.
Il est parfois utile de faire la convention suivante :
-lorsque $x ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$, on pose $𝒪_{K,x}=K_x$.
+lorsque $x ∈ Σ^{\mymathtextrm{arch}}(K)$, on pose $𝒪_{K,x}=K_x$.
% pertinence à vérifier \XXX. (Cela permet parfois d'éviter
-% d'écrire « $S ⊆ Σ(K)$ fini contenant $Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$ »
+% d'écrire « $S ⊆ Σ(K)$ fini contenant $Σ^{\mymathtextrm{arch}}(K)$ »
\subsubsection{}
\label{U-entiers}
-Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$
+Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$
qui sont \textbf{$U$-entiers}, c'est-à-dire appartenant à $𝒪_{K,x}$ pour chaque $x ∈ U$.
De façon équivalente : $|f|_x ≤ 1$ pour tout $x ∈ U$.
Nous dirons qu'un tel ensemble $U$ est un \emph{ouvert dense} \index{ouvert dense} de $K$.
(Insistons sur le fait que l'on ne topologise pas $K$ et qu'il s'agit d'une convention de langage.)
% choix terminologique discutable \XXX
Lorsque $K$ est un corps de nombres, il est d'usage de noter $𝒪_K$
-l'anneau $𝒪_K(Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K))$, dit \textbf{anneau des entiers} de $K$.
+l'anneau $𝒪_K(Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K))$, dit \textbf{anneau des entiers} de $K$.
\subsubsection{}
\label{notation OLU}
@@ -2184,7 +2184,7 @@ nul. Ce n'est autre que le sous-anneau $k[t^i/P, 0 ≤ i ≤ d]$ de $𝐅_p(t)$
où $d=\deg(P)$. Notons que dans un cas comme dans l'autre, ces anneaux sont des
$k$-algèbres de type fini et de corps des fractions $𝐅_p(t)$.
-Par contre, si $K=𝐐$ et $Σ=Σ^{\mathtextrm{ultr}}(𝐐))$, on a $𝒪_𝐐=𝒪_K(Σ)=𝐙$.
+Par contre, si $K=𝐐$ et $Σ=Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(𝐐))$, on a $𝒪_𝐐=𝒪_K(Σ)=𝐙$.
\subsubsection{}
\label{corps des constantes}
@@ -2202,9 +2202,9 @@ $𝒫$ désigne l'ensemble des nombres premiers et $| ⋅ |_p$
envoie $f ∈ 𝐐$ sur $p^{-v_p(f)}$, où $v_p(f) ∈ 𝐙 ∪\{+∞\}$ est la
valuation $p$-adique de $f$ si $p$ est premier,
ou sur la valeur absolue usuelle $|f|_∞$ de $f$ si $p=∞$.
-Ainsi, $𝒫 → Σ^{\mathtextrm{ultr}}(𝐐)$, $p ↦ (\text{classe de }|⋅|_p$)
+Ainsi, $𝒫 → Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(𝐐)$, $p ↦ (\text{classe de }|⋅|_p$)
est une bijection, d'inverse noté $x ↦ p_x$, et
-$\{∞\} → Σ^{\mathtextrm{arch}}(𝐐)$, $∞ ↦ \text{classe de }|⋅|_∞$ également.
+$\{∞\} → Σ^{\mymathtextrm{arch}}(𝐐)$, $∞ ↦ \text{classe de }|⋅|_∞$ également.
Par la suite, on identifiera souvent ces ensembles
par les bijections précédentes. Cette identification
est compatible avec les notations introduites ci-dessus.
@@ -2309,10 +2309,10 @@ et le théorème \ref{cocompacité} \emph{infra}.)
\label{finitude-infinitude-places}
Soit $K$ un corps global.
\begin{enumerate}
-\item L'ensemble $Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$ est \emph{fini}.
-\item L'ensemble $Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ est \emph{infini}. De plus,
+\item L'ensemble $Σ^{\mymathtextrm{arch}}(K)$ est \emph{fini}.
+\item L'ensemble $Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)$ est \emph{infini}. De plus,
pour chaque $c ∈ 𝐑_{>0}$, son sous-ensemble
-$\{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K): N(x) ≤ c\}$ est \emph{fini}.
+$\{x ∈ Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K): N(x) ≤ c\}$ est \emph{fini}.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -2321,8 +2321,8 @@ Il résulte de \refext{AVD-D}{fonctorialité valeurs absolues}
et du fait que la restriction d'une valeur absolue archimédienne
(resp. ultramétrique) est archimédienne (resp. ultramétrique),
qu'il suffit de traiter le cas particulier où $K$ est un corps global premier.
-Dans ce cas, (i) résulte du fait que $Σ^{\mathtextrm{arch}}(𝐐)$
-est un singleton et $Σ^{\mathtextrm{arch}}(𝐅_p(t))$ est vide.
+Dans ce cas, (i) résulte du fait que $Σ^{\mymathtextrm{arch}}(𝐐)$
+est un singleton et $Σ^{\mymathtextrm{arch}}(𝐅_p(t))$ est vide.
Quant au premier point de (ii), il suffit de montrer que l'ensemble des idéaux maximaux
$(P)$ de $𝐙$ (resp. $𝐅_p[t]$) est infini. Ceci est bien connu
et en substance dû à Euclide : considérer un diviseur irréductible
@@ -2419,10 +2419,10 @@ déduit de l'inclusion $A ↪ K_u^+$. C'est un idéal \emph{maximal} car $A/(A
(On utilise le fait qu'un anneau fini intègre est un corps.)
Rappelons que $\Specmax(A)$ s'injecte naturellement dans
\commentaire{mettre ces sorites ailleurs ?}
-$Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ car chaque idéal maximal $𝔭$ de l'anneau $A$
+$Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)$ car chaque idéal maximal $𝔭$ de l'anneau $A$
induit une valuation ultramétrique $|⋅|_𝔭$ sur son corps des fractions
-telle que $𝔭 = A ∩ K_{|⋅|_𝔭}^{++}$. L'application composée $U → \Specmax(A) → Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$
-est l'injection de $U$ dans $Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$.
+telle que $𝔭 = A ∩ K_{|⋅|_𝔭}^{++}$. L'application composée $U → \Specmax(A) → Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)$
+est l'injection de $U$ dans $Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)$.
En effet, si $u ∈ U$ et $𝔭_u=A ∩ K_u^{++}$ est l'idéal
premier de $A$ correspondant, inclusion $A ⊆ K_u^+$ s'étend en une inclusion
du localisé $A_{𝔭_u}$ dans l'anneau $K_u^+$ (car pour tout élément $b$ de $A∖ 𝔭_u$,
@@ -2586,8 +2586,8 @@ associé est un isomorphisme de groupes topologiques.
\begin{itemize}
\item Dans (i), on demande que l'isomorphisme de \emph{groupes} $\sur{f}$
soit bicontinu c'est-à-dire, ici, d'inverse continu. Cette condition
-n'est pas automatique : considérer le morphisme $G^{\mathtextrm{disc}} → G$,
-où $G$ est un groupe topologique quelconque et $G^{\mathtextrm{disc}}$ le
+n'est pas automatique : considérer le morphisme $G^{\mymathtextrm{disc}} → G$,
+où $G$ est un groupe topologique quelconque et $G^{\mymathtextrm{disc}}$ le
même groupe, muni de la topologie discrète.
\item Le composé de deux morphismes stricts n'est pas nécessairement strict.
\end{itemize}
@@ -2816,30 +2816,30 @@ On le note $μ(f)$ ; la forme linéaire $f↦ μ(f)$ est une mesure de Radon
\subsubsection{}
\label{définition adèles}
Soit $K$ un corps global, dont on note $Σ(K)$
-l'ensemble des points et $Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
+l'ensemble des points et $Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
cofini des points ultramétriques. La construction
générale précédente nous permet de définir
le produit restreint $K_𝐀$ des corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ(K)$, relativement
-aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ pour $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$.
+aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ pour $x ∈ Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)$.
C'est la colimite des anneaux topologiques $K_𝐀(U)=∏_{x ∉ U} K_x × ∏_{x ∈ U} 𝒪_{K,x}$
-pour $U ⊆ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
+pour $U ⊆ Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
\textbf{anneau des adèles sur $K$}.
Un élément de $K_𝐀$ est souvent noté $a=(a_x)$, ou parfois $a_𝐀$
pour éviter toute confusion avec un élément de $K$.
\subsubsection{}
\label{définition adèles ultramétriques}
-On note aussi $K_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$ (resp. $K_𝐀^{\mathtextrm{arch}}$) le produit restreint des
-corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$, relativement
+On note aussi $K_𝐀^{\mymathtextrm{ultr}}$ (resp. $K_𝐀^{\mymathtextrm{arch}}$) le produit restreint des
+corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)$, relativement
aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ (resp. le produit fini des $K_x$ pour $x
-∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$). C'est l'anneau des \textbf{adèles ultramétriques}
+∈ Σ^{\mymathtextrm{arch}}(K)$). C'est l'anneau des \textbf{adèles ultramétriques}
ou \textbf{finis} (resp. \textbf{archimédiens} ou \textbf{infinis}).
\subsubsection{}
\label{adèles principaux}
Pour chaque $x ∈ Σ(K)$, le corps $K$ se plonge
naturellement dans $K_x$. De plus chaque élément $λ ∈ K$
-est $x$-entier pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$.
+est $x$-entier pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)$.
Ainsi l'inclusion diagonale $K ↪ ∏_{x ∈ Σ} K_x$
se factorise à travers l'inclusion $K ↪ K_𝐀$, dite
\emph{inclusion canonique}. Par la suite, nous identifierons $K$
@@ -2851,10 +2851,10 @@ pour les propriétés topologiques de cette inclusion.)
\label{notation KAU}
On prendra garde de ne pas confondre
l'anneau $𝒪_K(U)$ des éléments $U$-entiers de $K$,
-pour $U ⊆ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ cofini, et le sous-anneau $K_𝐀(U)$
+pour $U ⊆ Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)$ cofini, et le sous-anneau $K_𝐀(U)$
des adèles. Ils sont liés par la relation : $𝒪_K(U)= K ∩ K_𝐀(U)$.
Lorsque cela ne semble pas prêter à confusion,
-le sous-anneau $K_𝐀(Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K))$ des \textbf{adèles entiers} de $K_𝐀$ est parfois noté $𝒪_{K_𝐀}$ ;
+le sous-anneau $K_𝐀(Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K))$ des \textbf{adèles entiers} de $K_𝐀$ est parfois noté $𝒪_{K_𝐀}$ ;
il est \emph{compact} lorsque $K$ est un corps de fonctions.
D'autre part, lorsque $K$ est un corps de nombres, on a $𝒪_{K_𝐀} ∩ K =𝒪_K$ (\ref{U-entiers}).
@@ -2980,7 +2980,7 @@ Pour montrer la compacité du quotient,
il suffit de vérifier l'égalité $C + 𝐐 =𝐐_𝐀$.
Par translation par un entier, il suffit
de montrer que l'on a $\big(𝐑 × ∏_p 𝐙_p\big) + 𝐐 = 𝐐_𝐀$,
-ou encore que le groupe additif quotient $𝐐_𝐀 / 𝐐_𝐀(Σ^{\mathtextrm{ultr.}}(𝐐))$
+ou encore que le groupe additif quotient $𝐐_𝐀 / 𝐐_𝐀(Σ^{\mymathtextrm{ultr.}}(𝐐))$
est engendré par (l'image de) $𝐐$.
Or, ce quotient est canoniquement isomorphe à la \emph{somme}
directe $⨁_p 𝐐_p / 𝐙_p$, car l'anneau des adèles est un produit \emph{restreint}. Comme le morphisme
@@ -3044,7 +3044,7 @@ Pour tout $a_𝐀 ∈ K_𝐀^×$, l'ensemble $K ∩ a_𝐀^{-1}𝒪_{K_𝐀}$ es
\end{corollaire2}
Rappelons (\ref{notation KAU}) que $𝒪_{K_𝐀}$ est
-le produit $∏_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} K_x × ∏_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)}
+le produit $∏_{x ∈ Σ^{\mymathtextrm{arch}}(K)} K_x × ∏_{x ∈ Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)}
𝒪_{K,x}$, le premier facteur n'apparaissant pas lorsque $K$ est un corps
de fonctions.
@@ -3095,13 +3095,13 @@ et, par conséquent, $∏_y |λ|_y = ∏_x |\N_{L\bo K}(λ)|_x$.
\subsubsection{}
\label{définition idèles}
Comme précédemment, on considère un corps global $K$, dont on note $Σ(K)$
-l'ensemble des points et $Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
+l'ensemble des points et $Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
cofini des points ultramétriques. La construction
générale du §\ref{généralités produits restreints} nous permet de définir
le produit restreint $K^×_𝐀$ des groupes multiplicatifs $K^×_x$ des corps
-locaux $K_x$, relativement aux sous-groupes  $𝒪_{K,x}^×$ (pour $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$).
+locaux $K_x$, relativement aux sous-groupes  $𝒪_{K,x}^×$ (pour $x ∈ Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)$).
C'est la colimite des groupes topologiques $K^×_𝐀(U)=∏_{x ∉ U} K^×_x × ∏_{x ∈ U} 𝒪^×_{K,x}$
-pour $U ⊆ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
+pour $U ⊆ Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
\textbf{groupe des idèles sur $K$}. L'inclusion $K^×_𝐀 ↪ K_𝐀$ est
\emph{continue} \XXX et son image est le groupe des éléments inversibles de
l'anneau $K_𝐀$ des adèles.
@@ -3191,7 +3191,7 @@ Les résultats établis permettent de conclure.
\label{idèles principaux}
Pour chaque place $x ∈ Σ(K)$, le groupe $K^×$ se plonge
naturellement dans $K^×_x$. De plus chaque élément $λ ∈ K^×$
-est une unité en $x$ pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$.
+est une unité en $x$ pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)$.
Ainsi l'inclusion diagonale $K^× ↪ ∏_{x ∈ Σ(K)} K^×_x$
se factorise à travers l'inclusion $K^× ↪ K^×_𝐀$, dite
\emph{inclusion canonique}. Par la suite, nous identifierons $K^×$
@@ -3252,7 +3252,7 @@ $\log_𝐀:f ↦ (\log(|f|_x))_{x ∉ U}$ de $𝒪_K(U)^×$
vers l'hyperplan $(⨁_{x ∉ U} 𝐑)⁰$ des éléments de somme nulle
est un isomorphisme modulo les compacts et
le groupe $𝒪_K(U)^×$ est isomorphe à la somme directe de $𝐙^r$, où $r =
-\max\{\mathtextrm{card}( Σ(K)∖U)-1,0\}$, et d'un groupe abélien fini.
+\max\{\mymathtextrm{card}( Σ(K)∖U)-1,0\}$, et d'un groupe abélien fini.
En particulier, si $K$ un corps de nombres, $r_{\RR},r_{\CC}$ sont les entiers tels que
la $𝐑$-algèbre $K_𝐑=K\otimes_{\QQ} \RR$ se décompose en
$\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$, alors le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entiers $𝒪_K$
@@ -3419,8 +3419,8 @@ réelles $\Re(χ_x)$ sont toutes égales à $σ$.
\subsubsection{Caractères de Hecke} \XXX
\subsection{Groupes de Picard}
-\newcommand{\Div}{\mathop{\mathtextrm{Div}}}
-\renewcommand{\div}{\mathop{\mathtextrm{div}}\nolimits}
+\newcommand{\Div}{\mathop{\mymathtextrm{Div}}}
+\renewcommand{\div}{\mathop{\mymathtextrm{div}}\nolimits}
\subsubsection{}
\label{définition diviseur}
@@ -3444,7 +3444,7 @@ Les diviseurs dans le sous-groupe $\div_U(K^×)$ de $\Div(U)$
sont appelés \textbf{diviseurs principaux} (sur $U$).
On appelle \textbf{groupe de Picard} de $U$, le quotient
\[
-\Pic(U)=\Div(U)∕\div_U(K^×)=\mathtextrm{coker}(K^× → ⨁_u 𝐙).
+\Pic(U)=\Div(U)∕\div_U(K^×)=\mymathtextrm{coker}(K^× → ⨁_u 𝐙).
\]
D'après ce qui précède, on a un isomorphisme naturel, induit par $\div_U$,
\[
@@ -3509,7 +3509,7 @@ plus précisément que le morphisme $K^{×,=1}_𝐀 → K^×_𝐀 / K^×_𝐀(X)
c'est-à-dire que l'on a l'égalité $K^×_𝐀 = K^{×,=1}_𝐀 K^×_𝐀(X)$,
ou encore, par translation multiplicative, qu'il existe des idèles dans $ K^×_𝐀(X)$ de norme
arbitraire. Cela résulte de l'existence
-d'une place archimédienne $∞ ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$
+d'une place archimédienne $∞ ∈ Σ^{\mymathtextrm{arch}}(K)$
et de la surjectivité de la norme $K^×_∞ → 𝐑_{>0}$.
[détailler \XXX]
\end{démo}
@@ -3593,7 +3593,7 @@ Dans tout ce paragraphe, $K$ désigne un corps global.
\subsubsection{Notations}
\label{produit externe restreint}
À toute collection $(f_x:K_x → 𝐂)_{x ∈ Σ(K)}$ de fonctions continues telles
-que pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ on ait
+que pour presque tout $x ∈ Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)$ on ait
$f_x(𝒪_{K,x})=\{1\}$, on peut associer la fonction
$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ(K)} f_x$
de $K_𝐀$ dans $𝐂$, produit externe restreint des $(f_x)$,
@@ -3603,10 +3603,10 @@ $f_𝐀=(f_x)$, tout en gardant à l'esprit que la donnée de la fonction produi
externe restreint $f_𝐀$ ne permet bien évidemment pas de retrouver
les facteurs $f_x$. (Voir cependant \ref{caractères additifs QA}
ci-dessous dans le cas de caractères.) Il est parfois commode de considérer la partie
-archimédienne $f_{𝐀}^{\mathtextrm{arch}}:K_𝐀^{\mathtextrm{arch}} → 𝐂$, produit externe fini
-des $f_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$,
-et son analogue ultramétrique $f_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}:K_𝐀^{\mathtextrm{ultr}} → 𝐂$.
-Par construction, on a $f_𝐀=f_𝐀^{\mathtextrm{arch}} ⊠ f_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$.
+archimédienne $f_{𝐀}^{\mymathtextrm{arch}}:K_𝐀^{\mymathtextrm{arch}} → 𝐂$, produit externe fini
+des $f_x$ pour $x ∈ Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)$,
+et son analogue ultramétrique $f_𝐀^{\mymathtextrm{ultr}}:K_𝐀^{\mymathtextrm{ultr}} → 𝐂$.
+Par construction, on a $f_𝐀=f_𝐀^{\mymathtextrm{arch}} ⊠ f_𝐀^{\mymathtextrm{ultr}}$.
\subsubsection{Espace de Bruhat-Schwartz adélique}
\commentaire{Bonne définition ? Kudla [Tate]/Weil [1964b]}
@@ -3615,23 +3615,23 @@ On note $𝒮(K_𝐀)$ l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients
complexes de produits externes restreints $f_𝐀=(f_x)$
où chaque $f_x$ appartient à l'espace de Schwartz $𝒮(K_x)$
du corps local $K_x$ (\ref{BS-local}), et $f_x = 𝟭_{𝒪_{K,x}}$ pour
-presque tout $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$.
+presque tout $x ∈ Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)$.
% cf. Kudla, « Tate's thesis »
%p. 125, ces fonctions seraient en général seulement
%\emph{denses} dans l'espace de Bruhat-Schwartz.
%L'inclusion stricte ne pouvant se produire que pour
%des corps de nombres différents de $𝐐$, cf. Weil, [1964b]
%p. 178 et p. 189. \XXX
-Ainsi, la fonction $f_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$ est combinaison linéaire de fonctions
-$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)}
-𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_{K,x}}$ où $(a_x) ∈ K_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$
+Ainsi, la fonction $f_𝐀^{\mymathtextrm{ultr}}$ est combinaison linéaire de fonctions
+$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)}
+𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_{K,x}}$ où $(a_x) ∈ K_𝐀^{\mymathtextrm{ultr}}$
et les entiers relatifs $n_x$ sont presque tous nuls.
Si $K$ est un corps de nombres, il résulte de \ref{cocompacité} (i)
qu'il existe un élément $a ∈ K$ tel que $a-a_x$ appartienne à $𝒪_{K,x}$
-pour chaque $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$.
+pour chaque $x ∈ Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)$.
Dans ce cas, toute fonction $f_𝐀 ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est combinaison
-linéaire de fonctions $f^{\mathtextrm{arch}} ⊠ f^{\mathtextrm{ultr}}$, où $f^{\mathtextrm{ultr}}$
-est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)} 𝔪_x^{n_x}$
+linéaire de fonctions $f^{\mymathtextrm{arch}} ⊠ f^{\mymathtextrm{ultr}}$, où $f^{\mymathtextrm{ultr}}$
+est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_{x ∈ Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)} 𝔪_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).
\subsubsection{Caractères additifs $𝐐_𝐀$}
@@ -3923,20 +3923,20 @@ où $ψ_{a}=[× a]^* ψ$. Explicitons maintenant cette construction dans deux ca
particuliers.
— Transformation de Fourier sur $𝐐_𝐀$. Considérons une
-fonction $f^{\mathtextrm{arch}} ∈ 𝒮(𝐑)=𝒮(𝐐_∞)$, un entier relatif
+fonction $f^{\mymathtextrm{arch}} ∈ 𝒮(𝐑)=𝒮(𝐐_∞)$, un entier relatif
$N∈ 𝐙-\{0\}$ et un rationnel $o ∈ 𝐐$. Il résulte
des égalités $𝟭_{o_p+ N 𝐙_p}=[-o_p]^* [×\frac{1}{N}]^* 𝟭_{𝐙_p}$,
du formulaire \ref{Fourier et mesure locaux} (ii--iii) et
de la formule du produit $∏_p |N|_p=1/|N|$ que l'on a l'égalité
\[
-ℱ_{ψ_𝐐}(f^{\mathtextrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N \chap{𝐙}})=
-\big( \frac{1}{|N|} ℱ_{𝐑}(f^{\mathtextrm{arch}}) \big) ⊠
-\big( [×o]^* ψ_𝐐^{\mathtextrm{ultr}} ⋅ 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐙}}\big) \tag{$⋆$},
+ℱ_{ψ_𝐐}(f^{\mymathtextrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N \chap{𝐙}})=
+\big( \frac{1}{|N|} ℱ_{𝐑}(f^{\mymathtextrm{arch}}) \big) ⊠
+\big( [×o]^* ψ_𝐐^{\mymathtextrm{ultr}} ⋅ 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐙}}\big) \tag{$⋆$},
\]
-où $ψ_𝐐^{\mathtextrm{ultr}}=(𝐞_p)_p$ désigne le caractère additif des adèles finis
+où $ψ_𝐐^{\mymathtextrm{ultr}}=(𝐞_p)_p$ désigne le caractère additif des adèles finis
déduit de $ψ_𝐐$ et l'on rappelle que
l'on note $\chap{𝐙}$ le complété profini $∏_p 𝐙_p = \lim_n 𝐙/n$ de $𝐙$.
-Il en résulte qu'une telle fonction $f=f^{\mathtextrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N
+Il en résulte qu'une telle fonction $f=f^{\mymathtextrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N
\chap{𝐙}}$ satisfait la \emph{formule de Poisson adélique}
\[
∑_{λ ∈ 𝐐} f(λ)=∑_{λ ∈ 𝐐} ℱ_{ψ_𝐐}(f)(λ), \tag{$⋆⋆$}
@@ -3944,12 +3944,12 @@ Il en résulte qu'une telle fonction $f=f^{\mathtextrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N
En effet, compte tendu du calcul $(⋆)$ de la transformée de Fourier,
la formule de Poisson à établir se réécrit :
\[
-∑_{λ ∈ o+N 𝐙} f^{\mathtextrm{arch}}(λ)=\frac{1}{|N|} ∑_{λ ∈ N^{-1} 𝐙} 𝐞_∞(-λ o)
-\chap{f^{\mathtextrm{arch}}}(λ).
+∑_{λ ∈ o+N 𝐙} f^{\mymathtextrm{arch}}(λ)=\frac{1}{|N|} ∑_{λ ∈ N^{-1} 𝐙} 𝐞_∞(-λ o)
+\chap{f^{\mymathtextrm{arch}}}(λ).
\]
Cette dernière résulte de la formule de Poisson archimédienne classique
-appliquée à la fonction $φ(λ)=f^{\mathtextrm{arch}}(N λ + o)$, dont la transformée
-de Fourier est $λ↦ \frac{1}{|N|} 𝐞_∞(-λ o/N)\chap{f^{\mathtextrm{arch}}}(\frac{λ}{N})$.
+appliquée à la fonction $φ(λ)=f^{\mymathtextrm{arch}}(N λ + o)$, dont la transformée
+de Fourier est $λ↦ \frac{1}{|N|} 𝐞_∞(-λ o/N)\chap{f^{\mymathtextrm{arch}}}(\frac{λ}{N})$.
Par linéarité et l'observation faite en (\ref{Bruhat-Schwartz adélique}),
la formule de Poisson $(⋆⋆)$ est valable pour toute fonction $f ∈ 𝒮(𝐐_𝐀)$ ;
c'est aussi un cas particulier de la formule \ref{Fourier adélique} établie ci-dessous.
@@ -4041,7 +4041,7 @@ des formules d'inversion locales (\ref{Fourier et mesure locaux}, (iv) \& (v)).
\subsubsection{Formule de Poisson : convergence normale sur les compacts}
\label{lemme de convergence normale sur compacts}
-\newcommand{\Supp}{\mathop{\mathtextrm{Supp}}}
+\newcommand{\Supp}{\mathop{\mymathtextrm{Supp}}}
Soit $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ une fonction et soit $C$ un compact de $K_𝐀$.
Vérifions que la somme de fonctions $a_𝐀 ∈ K_𝐀 ↦ ∑_{λ ∈ K} |f(a_𝐀+λ)|$ converge
uniformément sur $C$. On peut supposer que la fonction est un produit
@@ -4063,37 +4063,37 @@ la somme considérée, restreinte au compact $C$, est une somme finie.
❧ Cas des corps de nombres.
D'après \ref{Bruhat-Schwartz adélique}, on peut supposer $f$
-de la forme $f^{\mathtextrm{arch}} ⊠ f^{\mathtextrm{ultr}}$, où
-$f^{\mathtextrm{ultr}}$ est la fonction caractéristique $𝟭_{o+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$
+de la forme $f^{\mymathtextrm{arch}} ⊠ f^{\mymathtextrm{ultr}}$, où
+$f^{\mymathtextrm{ultr}}$ est la fonction caractéristique $𝟭_{o+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$
de $o+𝔫𝒪_{K_𝐀}$, pour un $o ∈ K$ et un produit cartésien $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).
Lorsque $a_𝐀$ appartient à $C$, les termes $f(a_𝐀+λ)$
de la somme sont nuls sauf peut-être si
-$λ ∈ K ∩ \big((o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathtextrm{ultr}}\big)$,
-où $C^{\mathtextrm{ultr}}$ est la projection (compacte) de $C$ dans l'ensemble
-$K_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$ des adèles ultramétriques (\ref{définition adèles ultramétriques}).
-(On note ici $(o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathtextrm{ultr}}$ l'image de l'application
+$λ ∈ K ∩ \big((o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mymathtextrm{ultr}}\big)$,
+où $C^{\mymathtextrm{ultr}}$ est la projection (compacte) de $C$ dans l'ensemble
+$K_𝐀^{\mymathtextrm{ultr}}$ des adèles ultramétriques (\ref{définition adèles ultramétriques}).
+(On note ici $(o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mymathtextrm{ultr}}$ l'image de l'application
soustraction, et non la différence ensembliste.)
L'application $λ↦ o+𝔫 λ$ induisant une bijection de $K$
-ainsi que de l'ensemble des compacts de $K_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$,
-on peut supposer que $f^{\mathtextrm{ultr}}=𝟭_{𝒪_{K_𝐀}}$.
+ainsi que de l'ensemble des compacts de $K_𝐀^{\mymathtextrm{ultr}}$,
+on peut supposer que $f^{\mymathtextrm{ultr}}=𝟭_{𝒪_{K_𝐀}}$.
Comme d'autre part cette fonction est majorée par $1$ en valeur
absolue, il nous suffit de montrer la convergence uniforme de
la somme
\[
-a_𝐀^{\mathtextrm{arch}} ↦ ∑_{λ ∈ K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mathtextrm{ultr}})}
-|f^{\mathtextrm{arch}}(a_𝐀^{\mathtextrm{arch}}+λ^{\mathtextrm{arch}})|
+a_𝐀^{\mymathtextrm{arch}} ↦ ∑_{λ ∈ K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mymathtextrm{ultr}})}
+|f^{\mymathtextrm{arch}}(a_𝐀^{\mymathtextrm{arch}}+λ^{\mymathtextrm{arch}})|
\]
-sur le compact $C^{\mathtextrm{arch}}$ image de $C$ dans $K_𝐀^{\mathtextrm{arch}}=∏_{x ∈
-Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} K_x$.
-(On note ici $λ^{\mathtextrm{arch}}$ l'image de $λ$
-dans $K_𝐀^{\mathtextrm{arch}}$ par le plongement diagonal et
-on rappelle que $K_𝐀^{\mathtextrm{arch}}=K ⊗_𝐐 𝐑$ est isomorphe, en tant que
+sur le compact $C^{\mymathtextrm{arch}}$ image de $C$ dans $K_𝐀^{\mymathtextrm{arch}}=∏_{x ∈
+Σ^{\mymathtextrm{arch}}(K)} K_x$.
+(On note ici $λ^{\mymathtextrm{arch}}$ l'image de $λ$
+dans $K_𝐀^{\mymathtextrm{arch}}$ par le plongement diagonal et
+on rappelle que $K_𝐀^{\mymathtextrm{arch}}=K ⊗_𝐐 𝐑$ est isomorphe, en tant que
$𝐑$-algèbre, à $𝐑^N$ où $N=r_𝐂 + 2 r_𝐂$.)
Il existe une famille $n_x$ d'entiers négatifs presque tous nuls tels
-que le compact $C^{\mathtextrm{ultr}}$ de $𝒪_{K_𝐀}=∏_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)}
+que le compact $C^{\mymathtextrm{ultr}}$ de $𝒪_{K_𝐀}=∏_{x ∈ Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)}
𝒪_{K,x}$ soit contenu dans le produit cartésien $∏_x 𝔪_x^{n_x}$.
-L'intersection $K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mathtextrm{ultr}})$ est donc contenue
+L'intersection $K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mymathtextrm{ultr}})$ est donc contenue
dans l'idéal fractionnaire produit $I=∏_x 𝔪_x^{n_x}$ de $K$.
On s'est donc ramené à montrer que pour toute fonction $φ ∈ 𝒮(K_𝐑)$,
la série de fonctions $a ↦ ∑_{λ ∈ I} |φ(a+λ)|$ converge uniformément
@@ -4381,7 +4381,7 @@ de Tamagawa locale définie en \ref{mesures Tamagawa locales} sur ce même corps
Lorsque $x$ est ultramétrique, une condition nécessaire et suffisante
sur $d_{ψ,x}$ est que sa valuation $x(d_{ψ,x})$ soit égale au
niveau $n_x(ψ_x)$. En particulier (\ref{dual des classes de adèles}),
-$|d_{ψ,x}|=1$ pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ de sorte qu'il existe un
+$|d_{ψ,x}|=1$ pour presque tout $x ∈ Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)$ de sorte qu'il existe un
idèle $d_ψ ∈ K^×_𝐀$, appelé \textbf{idèle différentiel attaché à $ψ$},
\index{idèle différentiel} tel que $d_ψ=(d_{ψ,x})$.
@@ -4446,8 +4446,8 @@ fonctions $K$, de corps des constantes de cardinal $q$.
\label{Fourier de 1}
Soit $K$ un corps global et posons
\[
-𝟭_𝒪= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠
-\big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits}\limits_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)}
+𝟭_𝒪= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠
+\big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits}\limits_{x ∈ Σ^{\mymathtextrm{arch}}(K)}
g_{K_x}\big).
\]
Il résulte de ces formules locales précédentes que l'on
@@ -4536,24 +4536,24 @@ la conclusion est acquise dans ce cas.
Cas d'un corps de nombres.
Pour calculer le volume du quotient $K^{×,=1}_𝐀/𝒪_K^×$, nous utilisons
-maintenant l'application logarithme $\log_𝐀:K^×_𝐀 → ∏_{y ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} 𝐑$
+maintenant l'application logarithme $\log_𝐀:K^×_𝐀 → ∏_{y ∈ Σ^{\mymathtextrm{arch}}(K)} 𝐑$
définie en \ref{theoreme-unites-Dirichlet} et
-$μ^{\mathtextrm{arch}}$ la mesure image directe de $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$ par $\log_𝐀$.
+$μ^{\mymathtextrm{arch}}$ la mesure image directe de $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$ par $\log_𝐀$.
Le noyau de la restriction à $𝒪_K^×$ de $\log_𝐀$ étant l'ensemble des racines de
l'unité, de cardinal $w$, on a l'égalité
\[
w ⋅ \sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}\big(K_𝐀^{×,=1}(X)/𝒪_K^×\big)=
-\sur{μ}^{\mathtextrm{arch}}\Big(\big(∏_{y ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰)/\log_𝐀 𝒪_K^×\Big).
+\sur{μ}^{\mymathtextrm{arch}}\Big(\big(∏_{y ∈ Σ^{\mymathtextrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰)/\log_𝐀 𝒪_K^×\Big).
\]
(Raisonner par exemple en terme de domaines fondamentaux.)
Il résulte des définitions locales \ref{sorites mesures multiplicatives locales}
ainsi que d'un calcul élémentaire immédiat
\footnote{Précisément : $∫_{𝐑^×} f(\log(|x|))\frac{dx}{x}=2×∫_𝐑 f(y)dy$ et
$∫_{𝐂^×} f(\log(|z|²))\frac{2dxdy}{|z|²} = 2π×∫_𝐑 f(r)dr$.}
-que la mesure $μ^{\mathtextrm{arch}}$ est égale à $2^{r_𝐑}(2π)^{r_𝐂}$ fois
-la mesure de Lebesgue usuelle sur l'espace euclidien $𝐑^{Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)}=𝐑^{r_𝐑 + r_𝐂}$.
+que la mesure $μ^{\mymathtextrm{arch}}$ est égale à $2^{r_𝐑}(2π)^{r_𝐂}$ fois
+la mesure de Lebesgue usuelle sur l'espace euclidien $𝐑^{Σ^{\mymathtextrm{arch}}(K)}=𝐑^{r_𝐑 + r_𝐂}$.
Pour conclure, il nous faut vérifier que le covolume (usuel)
-de $\log_𝐀(𝒪_K^×)$ dans $\big(∏_{y ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰$ est égal
+de $\log_𝐀(𝒪_K^×)$ dans $\big(∏_{y ∈ Σ^{\mymathtextrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰$ est égal
au régulateur $R$. C'est essentiellement la définition.
\end{démo}
@@ -4592,9 +4592,9 @@ c'est-à-dire un ensemble cofini $U ⊆ X$ tel que l'anneau $𝒪_K(U)$
des $U$-entiers soit de corps des fractions $K$ (\ref{normalité triviale},
\ref{OKU Dedekind}), on a l'égalité tautologique
\[
-ζ_K(s) = ζ_{𝒪_K(U)}^{\mathtextrm{Hasse}}(s) × ∏_{x ∈ X-U} ζ_{K_x}(s),
+ζ_K(s) = ζ_{𝒪_K(U)}^{\mymathtextrm{Hasse}}(s) × ∏_{x ∈ X-U} ζ_{K_x}(s),
\]
-où l'on note $ζ_{A}^{\mathtextrm{Hasse}}(s)=∏_{𝔪 ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1- \# κ(𝔪)^{-s}}$
+où l'on note $ζ_{A}^{\mymathtextrm{Hasse}}(s)=∏_{𝔪 ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1- \# κ(𝔪)^{-s}}$
est la fonction zêta de Hasse d'un anneau $A$ et $κ(𝔪)$
le corps résiduel $A/𝔪$ (\refext{AC}{définition fonction zêta Hasse}).
Cette égalité est conséquence formelle du fait
@@ -4605,7 +4605,7 @@ telle que $q_x = N(𝔪_x)$.
\subsubsection{Réécriture : corps de nombres}
Si $K$ est un corps de nombres, on a l'égalité
\[
-ζ_K(s)=ζ_{𝒪_K}^{\mathtextrm{Hasse}}(s)=∑_{𝔞} N(𝔞)^{-s},
+ζ_K(s)=ζ_{𝒪_K}^{\mymathtextrm{Hasse}}(s)=∑_{𝔞} N(𝔞)^{-s},
\]
où $𝔞$ parcourt l'ensemble des idéaux non nuls de l'anneau
des entiers $𝒪_K$ et $N(𝔞)$ est le cardinal du quotient (fini) $𝒪_K ∕ 𝔞$.
@@ -4719,12 +4719,12 @@ Z_{K_e}(T^e)= ∏_{μ ∈ μ_e(𝐂)} Z_K(μT).
Lorsque $K$ est un corps de nombres, il est commode
d'introduire la \textbf{fonction zêta (de Dedekind) complétée}
\[
-\sur{ζ}_K(s)=∏_{\clap {$\scriptstyle a ∈ Σ^{\mathtextrm{arch.}}(K)$}} ζ_{K_a} ⋅ ζ_K(s),
+\sur{ζ}_K(s)=∏_{\clap {$\scriptstyle a ∈ Σ^{\mymathtextrm{arch.}}(K)$}} ζ_{K_a} ⋅ ζ_K(s),
\]
où les fonctions zêta archimédiennes $ζ_𝐑$ et $ζ_𝐂$ sont
les \textbf{facteurs Gamma} modifiés considérés en \ref{Mellin local archimédien}.
Nous étendons cette définition au cas où $K$ est un corps de fonctions
-en posant $\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s)$ (cf. $Σ^{\mathtextrm{arch.}}(K)=∅$).
+en posant $\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s)$ (cf. $Σ^{\mymathtextrm{arch.}}(K)=∅$).
Nous verrons ci-dessous que cette fonction zêta se prolonge analytiquement
en une fonction méromorphe satisfaisant l'équation fonctionnelle
\[
@@ -4805,11 +4805,11 @@ $(x,y)=(\frac{\sin(u)}{\cos(v)},\frac{\sin(v)}{\cos(u)})$
a pour jacobien $(1-x²y²)$ et envoie le triangle
\[T=\{u,v ∈ 𝐑_{>0}: u + v < π/2\}\]
bijectivement sur l'intérieur du carré de sorte que
-$∫_{[0,1]²} (1-x²y²)^{-1} dxdy= \mathtextrm{Aire}(T)$.
+$∫_{[0,1]²} (1-x²y²)^{-1} dxdy= \mymathtextrm{Aire}(T)$.
En déduire que $ζ(2)=\frac{π²}{6}$, c'est-à-dire $P=π$.
\end{enumerate}
%Cf. Zagier, « Quelques conséquences surprenantes de la
-%cohomologie de $\mathtextrm{SL}₂(𝐙)$ » et exposé au CEM.
+%cohomologie de $\mymathtextrm{SL}₂(𝐙)$ » et exposé au CEM.
%Calcul de $ζ(2)$ du à Calabi : cf. « Sums of generalized
%harmonic series and volumes », 1993.
\nocite{Sums@BCK}
@@ -5021,7 +5021,7 @@ où $\dot{ζ}_{≤ 1}(\dot{f},χ,s)=∫_{C_K^{≤1}} \dot{f} c χ ω_s d\dot{μ}
$×$}}_{1}$, etc.
Il résulte de la formule de Poisson (\ref{Fourier
adélique} \ref{Poisson-Riemann-Roch}) et de la formule
-$\mathtextrm{inv}^* c=1-c$, où $\mathtextrm{inv}(ι)=ι^{-1}$,
+$\mymathtextrm{inv}^* c=1-c$, où $\mymathtextrm{inv}(ι)=ι^{-1}$,
que l'on a :
\[
ζ_{≤ 1}(f,χ,s) + f(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s) =
@@ -5158,8 +5158,8 @@ Déduisons maintenant le théorème \ref{équation fonctionnelle zêta}
du théorème \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}.
Comme en \ref{Fourier de 1}, considérons la fonction
\[
-𝟭_𝒪= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits'}\limits_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠
-\big(\mathop{\bigboxtimes}_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
+𝟭_𝒪= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits'}\limits_{x ∈ Σ^{\mymathtextrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠
+\big(\mathop{\bigboxtimes}_{x ∈ Σ^{\mymathtextrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
\]
On a d'une part $ζ(𝟭_𝒪,ω_s)=\sur{ζ}_K(s)$ et, d'autre part,
${\chap{𝟭_𝒪}=|d_K|^{½} [×d_K]^* 𝟭_𝒪}$ (« formule de Riemann-Roch »).
@@ -5274,17 +5274,17 @@ le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_
L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point
de $A$ a une norme inférieure à $1$.
Admettons que
-$$\mathtextrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
+$$\mymathtextrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
-$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathtextrm{vol}(tA)
- \geq 2^n \mathtextrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$
+$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mymathtextrm{vol}(tA)
+ \geq 2^n \mymathtextrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.
Effectuons le calcul volumique. Posons
$$
-f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathtextrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
+f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mymathtextrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
$$
@@ -5299,7 +5299,7 @@ $$
f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1).
$$
Soit
-$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathtextrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
+$$g_{r_{\CC}}(t)=\mymathtextrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$.
@@ -5358,7 +5358,7 @@ que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$.
Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$,
si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$,
on a
-$\mathtextrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
+$\mymathtextrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$,
en sommant le carré des deux égalités on trouve :
$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$
@@ -5369,7 +5369,7 @@ Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$,
$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$,
on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus,
$$
-\mathtextrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
+\mymathtextrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
$$
Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 3a1aa32..cef8d7f 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -16,7 +16,7 @@
\fi
\makeatletter
-\newcommand{\resol}[1][\@empty]{\ifx#1\@empty^{\mathtextrm{résol}}\else^{\mathtextrm{résol}\,#1}\fi}
+\newcommand{\resol}[1][\@empty]{\ifx#1\@empty^{\mymathtextrm{résol}}\else^{\mymathtextrm{résol}\,#1}\fi}
\makeatother
\section{Extensions résolubles}
diff --git a/chapitres/spectre.tex b/chapitres/spectre.tex
index f492e9d..62086ac 100644
--- a/chapitres/spectre.tex
+++ b/chapitres/spectre.tex
@@ -163,9 +163,9 @@ quotient est, par construction, une injection. Puisque son image est une
sous-$k$-algèbre de $k$, donc égale à $k$, $\bar{f}$ est un isomorphisme.
L'idéal $𝔭_f$ est donc maximal. D'autre part, le morphisme composé
$k→A↠A/𝔭_f→k$, où la première flèche est le morphisme structural
-$\mathtextrm{str}:k→A$ (définissant la $k$-algèbre $A$), est
+$\mymathtextrm{str}:k→A$ (définissant la $k$-algèbre $A$), est
l'identité car $\Hom_k(k,k)=\{\Id\}$. L'isomorphisme
-$A/𝔭_f⭇k$ est donc l'inverse du morphisme composé $\overline{\mathtextrm{str}}:k→A↠A/𝔭_f$ munissant
+$A/𝔭_f⭇k$ est donc l'inverse du morphisme composé $\overline{\mymathtextrm{str}}:k→A↠A/𝔭_f$ munissant
le quotient $A/𝔭_f$ de sa structure de $k$-algèbre naturelle.
L'injectivité de l'application $田A(k)→\Specmax(A)$ est alors évidente :
le seul $k$-morphisme $A→k$ de noyau $𝔭$ est $A↠A/𝔭⭇k$ où
diff --git a/config/macros.tex b/config/macros.tex
index 75dd938..20b8383 100644
--- a/config/macros.tex
+++ b/config/macros.tex
@@ -80,88 +80,88 @@ end
% pas contenir de commande quelle qu'elle soit, uniquement des
% caractères.
-\newcommand\mathtextrm[1]{\mathtextrmfont{\emitmathchars{#1}}}
-\newcommand\mathtextsf[1]{\mathtextsffont{\emitmathchars{#1}}}
-\newcommand\mathtexttt[1]{\mathtextttfont{\emitmathchars{#1}}}
+\newcommand\mymathtextrm[1]{\mymathtextrmfont{\emitmathchars{#1}}}
+\newcommand\mymathtextsf[1]{\mymathtextsffont{\emitmathchars{#1}}}
+\newcommand\mymathtext[1]{\mymathtextfont{\emitmathchars{#1}}}
% Macro pour définir un opérateur dans une police quelconque
\newcommand\DeclareMathOperatorWithFont[3]{%
\newcommand{#1}{\mathop{\kern0pt\relax#2{#3}}\nolimits}}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Hom}{\mathtextsf}{Hom}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\MHom}{\mathtextsf}{MHom}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\End}{\mathtextsf}{End}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Isom}{\mathtextsf}{Isom}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Aut}{\mathtextsf}{Aut}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Int}{\mathtextsf}{Int}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Out}{\mathtextsf}{Out}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Hom}{\mymathtextsf}{Hom}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\MHom}{\mymathtextsf}{MHom}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\End}{\mymathtextsf}{End}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Isom}{\mymathtextsf}{Isom}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Aut}{\mymathtextsf}{Aut}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Int}{\mymathtextsf}{Int}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Out}{\mymathtextsf}{Out}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Sym}{\mathtextsf}{Sym} % quelle police utiliser ?
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Sym}{\mymathtextsf}{Sym} % quelle police utiliser ?
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Der}{\mathtextrm}{Dér} % quelle police utiliser ?
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Der}{\mymathtextrm}{Dér} % quelle police utiliser ?
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Id}{\mathtextrm}{Id}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Ker}{\mathtextrm}{Ker}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Coker}{\mathtextrm}{Coker}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\rmIm}{\mathtextrm}{Im}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Id}{\mymathtextrm}{Id}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Ker}{\mymathtextrm}{Ker}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Coker}{\mymathtextrm}{Coker}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\rmIm}{\mymathtextrm}{Im}
\AtBeginDocument{\let\Im\rmIm} % Écrase la définition standard de \Im
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Fix}{\mathtextrm}{Fix}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Stab}{\mathtextrm}{Stab}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Fix}{\mymathtextrm}{Fix}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Stab}{\mymathtextrm}{Stab}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\pgcd}{\mathtextrm}{pgcd}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\ppcm}{\mathtextrm}{ppcm}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\pgcd}{\mymathtextrm}{pgcd}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\ppcm}{\mymathtextrm}{ppcm}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\prlim}{\mathtextrm}{lim}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\colim}{\mathtextrm}{colim}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\prlim}{\mymathtextrm}{lim}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\colim}{\mymathtextrm}{colim}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\car}{\mathtextrm}{car}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Frob}{\mathtextrm}{Frob}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\car}{\mymathtextrm}{car}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Frob}{\mymathtextrm}{Frob}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Spec}{\mathtextrm}{Spec}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Specmax}{\mathtextrm}{Specmax}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Frac}{\mathtextrm}{Frac}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Nilp}{\mathtextrm}{Nilp}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\red}{\mathtextrm}{red}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Idem}{\mathtextrm}{Idem}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Ann}{\mathtextrm}{Ann}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\rad}{\mathtextrm}{rad}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Spec}{\mymathtextrm}{Spec}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Specmax}{\mymathtextrm}{Specmax}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Frac}{\mymathtextrm}{Frac}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Nilp}{\mymathtextrm}{Nilp}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\red}{\mymathtextrm}{red}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Idem}{\mymathtextrm}{Idem}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Ann}{\mymathtextrm}{Ann}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\rad}{\mymathtextrm}{rad}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\dec}{\mathtextrm}{déc}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Gal}{\mathtextrm}{Gal}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Result}{\mathtextrm}{Résult}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Pic}{\mathtextrm}{Pic}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Br}{\mathtextrm}{Br}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Azu}{\mathtextrm}{Azu}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\dec}{\mymathtextrm}{déc}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Gal}{\mymathtextrm}{Gal}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Result}{\mymathtextrm}{Résult}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Pic}{\mymathtextrm}{Pic}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Br}{\mymathtextrm}{Br}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Azu}{\mymathtextrm}{Azu}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Tr}{\mathtextrm}{Tr}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Trd}{\mathtextrm}{Trd}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\N}{\mathtextrm}{N}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Nrd}{\mathtextrm}{Nrd}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\NSpin}{\mathtextrmfont}{\emitmathchars{N}\!\emitmathchars{S}}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Tr}{\mymathtextrm}{Tr}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Trd}{\mymathtextrm}{Trd}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\N}{\mymathtextrm}{N}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Nrd}{\mymathtextrm}{Nrd}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\NSpin}{\mymathtextrmfont}{\emitmathchars{N}\!\emitmathchars{S}}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\ev}{\mathtextrm}{ev}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\pr}{\mathtextrm}{pr}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\ev}{\mymathtextrm}{ev}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\pr}{\mymathtextrm}{pr}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\ob}{\mathtextsf}{Ob}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\ob}{\mymathtextsf}{Ob}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\GL}{\mathtextrm}{GL}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\PGL}{\mathtextrm}{PGL}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\AGL}{\mathtextrm}{AGL}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\PSL}{\mathtextrm}{PSL}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Orth}{\mathtextrm}{O}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\SOrth}{\mathtextrm}{SO}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\GL}{\mymathtextrm}{GL}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\PGL}{\mymathtextrm}{PGL}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\AGL}{\mymathtextrm}{AGL}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\PSL}{\mymathtextrm}{PSL}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Orth}{\mymathtextrm}{O}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\SOrth}{\mymathtextrm}{SO}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\rang}{\mathtextrm}{rang}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\degtr}{\mathtextrm}{deg.tr}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\rang}{\mymathtextrm}{rang}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\degtr}{\mymathtextrm}{deg.tr}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\diag}{\mathtextrm}{diag}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\diag}{\mymathtextrm}{diag}
-\DeclareMathOperatorWithFont{\Res}{\mathtextrm}{Rés}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Res}{\mymathtextrm}{Rés}
% Exposants
-\newcommand{\op}{^{\mathtextsf{op}}}
-\newcommand{\sep}{^{\mathtextrm{sép}}}
-\newcommand{\alg}{^{\mathtextrm{alg}}}
+\newcommand{\op}{^{\mymathtextsf{op}}}
+\newcommand{\sep}{^{\mymathtextrm{sép}}}
+\newcommand{\alg}{^{\mymathtextrm{alg}}}
%% Ensembles usuels
\newcommand{\ZZ}{\mathbf{Z}}
@@ -197,7 +197,7 @@ end
% Police pour les catégories
\newcommand{\categ}[1]{\mathtt{#1}} % Pour une variable (C, D, etc.)
-\newcommand{\categmot}[1]{\mathtexttt{#1}} % Pour une abréviation (Ens, Alg, etc.)
+\newcommand{\categmot}[1]{\mymathtext{#1}} % Pour une abréviation (Ens, Alg, etc.)
\newcommand{\Ens}{\categmot{Ens}}
\newcommand{\Alg}{\categmot{Alg}}
diff --git a/config/preambule.tex b/config/preambule.tex
index e294128..bbef87d 100644
--- a/config/preambule.tex
+++ b/config/preambule.tex
@@ -42,15 +42,15 @@
% Attention ! Comme ces polices ne contiennent pas les alphabets
% mathématiques d'Unicode (et qu'à cause du package unicode-math taper
% un bête x va émettre un U+1D465 MATHEMATICAL ITALIC SMALL X), les
-% commandes \mathtextrmfont et \mathtextsffont ne pourront fonctionner
+% commandes \mymathtextrmfont et \mymathtextsffont ne pourront fonctionner
% que si on a redéfini les \mathcode - il faut donc plutôt utiliser
-% \mathtextrm et \mathtextsf (définis dans macros.tex) qui appellent
+% \mymathtextrm et \mymathtextsf (définis dans macros.tex) qui appellent
% la magie de \emitmathchars pour obtenir des caractères "normaux".
\ExplSyntaxOn
\fontspec_set_family:Nnn{\TeXGyreTermesFamily}{}{TeXGyreTermes}
\fontspec_set_family:Nnn{\TeXGyreHerosFamily}{}{TeXGyreHeros}
\fontspec_set_family:Nnn{\CMUTypewriterFamily}{}{CMU Typewriter Text}
-\DeclareMathAlphabet{\mathtextrmfont}{EU2}{\TeXGyreTermesFamily}{\mddefault}{\updefault}
-\DeclareMathAlphabet{\mathtextsffont}{EU2}{\TeXGyreHerosFamily}{\mddefault}{\updefault}
-\DeclareMathAlphabet{\mathtextttfont}{EU2}{\CMUTypewriterFamily}{\mddefault}{\updefault}
+\DeclareMathAlphabet{\mymathtextrmfont}{EU2}{\TeXGyreTermesFamily}{\mddefault}{\updefault}
+\DeclareMathAlphabet{\mymathtextsffont}{EU2}{\TeXGyreHerosFamily}{\mddefault}{\updefault}
+\DeclareMathAlphabet{\mymathtextfont}{EU2}{\CMUTypewriterFamily}{\mddefault}{\updefault}
\ExplSyntaxOff