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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-01 18:55:06 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-01 18:55:06 +0100
commitc631d683ee7da51bd958096b9b2f445367272b3c (patch)
tree8eac64158163b34d14256852f20d4606c759742b
parent238a305f17b8b008b4ad014de7cd203d92489ce7 (diff)
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galois-c631d683ee7da51bd958096b9b2f445367272b3c.zip
Merge git.madore.org:galois
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex143
1 files changed, 129 insertions, 14 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index fc78b19..224fe2d 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -397,7 +397,7 @@ ou parfois chez certains auteurs des racines $p$-ièmes inséparables).
\subsection{Généralités}
-Même si ce n'est pas immédiatement apparement, la
+\subsubsection{} Même si ce n'est pas immédiatement apparement, la
proposition \ref{extension-resoluble-egale-extension-par-radicaux} est
constructive, au sens où elle permet (en principe) de calculer une
expression par radicaux explicite pour un élément d'une extension de
@@ -434,26 +434,90 @@ caractéristique $0$ pour simplifier) :
premiers de $\varphi(m)$).
\end{itemize}
-\subsection{Expressions en radicaux de quelques $\cos\frac{2\pi}{m}$}
+Comme on le voit, l'expression des racines de l'unité en radicaux est
+un point crucial pour l'écriture par radicaux de n'importe quelle
+autre quantité.
+
+\subsubsection{} En réalité, le problème de l'écriture en radicaux des racines
+$n$-ièmes de l'unité ne se pose réellement que pour $n$ premier
+impair. En effet, si $n = n_1 n_2$, et si on sait déjà exprimer les
+racines $n_1$-ièmes et $n_2$-ièmes de l'unité par radicaux, alors les
+racines $n$-ièmes de l'unité s'écrivent comme racines $n_1$-ièmes des
+racines $n_2$-ièmes de l'unité (fois une éventuelle racine $n_1$-ième
+de l'unité) ; en fait, si $n_1$ et $n_2$ sont premiers entre eux, le
+théorème chinois permet d'obtenir quelque chose de plus agréable
+puisqu'il garantit que toute racine primitive $n$-ième de l'unité est
+produit d'une racine primitive $n_1$-ième et d'une racine primitive
+$n_2$-ième.
+
+Supposons maintenant $n$ premier impair. On a alors $\varphi(n) =
+n-1$ ; soit $g$ un élément primitif modulo $n$, c'est-à-dire un
+générateur du groupe cyclique $(\ZZ/n\ZZ)^\times$. Pour calculer
+l'expression en radicaux d'une racine $n$-ième de l'unité $\omega$, on
+peut décrire l'algorithme précédent de la manière suivante, en
+supposant déjà connue une racine $(n-1)$-ième de l'unité $\zeta$ :
+poser $\alpha_j := \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{g^i}$ (on a
+alors $\omega = \sum_{j=0}^{n-2} \alpha_j$) et calculer $a_j :=
+(\alpha_j)^{n-1}$, qui s'exprime en fonction de $\zeta$ uniquement.
+Pour justifier ce fait, on peut invoquer le fait que
+$\QQ(\zeta,\omega)$ est galoisienne sur $\QQ(\zeta)$ de groupe de
+Galois $(\ZZ/n\ZZ)^\times = \ZZ/(n-1)\ZZ$ (\XXX --- référence ?), mais
+en fait on peut aussi simplement affirmer qu'on fait les calculs dans
+$\QQ(\zeta)[X]/(\Phi_n)$ (pour lequel il est évident que $\omega
+\mapsto \omega^g$ constitue un automorphisme en notant $\omega$ la
+classe de $X$), ce qui est le cas en pratique. En fait, on n'est pas
+obligé de monter jusqu'à $(\alpha_j)^{n-1}$ pour chaque $j$ : si $d$
+désigne le pgcd de $n-1$ et $j$, alors déjà $(\alpha_j)^{(n-1)/d}$
+s'exprime en fonction de $\zeta$, et même de $\zeta^d$, uniquement.
+
+Dans le cadre qu'on vient de décrire, on s'intéresse souvent à
+l'expression $\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$
+(c'est-à-dire $\cos\frac{2\pi}{n}$ pour le bon choix de $\omega$,
+cf. ci-dessous). Remarquons que $\omega^{-1} = \omega^{g^{(n-1)/2}}$,
+de sorte que $\sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{-g^i}$ vaut $(-1)^j
+\alpha_j$ (toujours avec $\alpha_j = \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij}
+\omega^{g^i}$ défini plus haut). La somme $\frac{1}{2}
+\sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} (\omega^j + \omega^{-j})$ qui sert, dans
+l'algorithme considéré ici, à calculer $\gamma$, vaut donc $\alpha_j$
+ou $0$ selon que $j$ est pair ou impair ; ou pour dire les choses
+différemment, le calcul de $\gamma$ passe par le calcul des $\alpha_j$
+avec $j$ pair uniquement (c'est-à-dire qu'on peut se contenter des
+racines $\frac{n-1}{2}$-ièmes de l'unité) : on a $\gamma =
+\sum_{j=0}^{(n-3)/2} \alpha_{2j}$.
+
+Une fois calculé $\gamma = \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$ (en
+radicaux), on peut éventuellement en déduire une expression (toujours
+en radicaux) de $\omega$ de la façon suivante : si on pose $\delta :=
+\frac{1}{2} \sqrt{-1} (-\omega + \omega^{-1})$ en notant $\sqrt{-1}$
+une racine carrée de $-1$ (disons $\zeta^{(n-1)/4}$ si $n\equiv
+1\pmod{4}$), c'est-à-dire en fait $\delta = \sin\frac{2\pi}{n}$ pour
+le bon choix de $\omega$, alors on vérifie facilement que $\gamma^2 +
+\delta^2 = 1$, ce qui permet de calculer $\delta$ connaissant $\gamma$
+(il n'y a qu'à retrouver son signe), et du coup $\omega = \gamma +
+\sqrt{-1} \delta$. Cette remarque revient en fait à calculer $\omega$
+comme élément de degré $2$ au-dessus de l'extension engendrée
+par $\gamma$ et appliquer la technique générale.
+
+\subsection{Expressions en radicaux de quelques $\cos\frac{2\pi}{n}$}
\subsubsection{} Nous nous proposons dans cette section de calculer
-les expressions en radicaux de $e^{2 i \pi/m}$ ou au moins
-$\cos\frac{2\pi}{m}$ pour quelques valeurs de $m$. Pour rendre cette
+les expressions en radicaux de $e^{2 i \pi/n}$ ou au moins
+$\cos\frac{2\pi}{n}$ pour quelques valeurs de $n$. Pour rendre cette
idée plus précise, on considère la clôture par radicaux $\QQ\resol$ de
-$\QQ$ dans $\CC$, en utilisant la notation $\root m \of x$ pour la
-« détermination principale » de la racine $m$-ième de $x$,
+$\QQ$ dans $\CC$, en utilisant la notation $\root n \of x$ pour la
+« détermination principale » de la racine $n$-ième de $x$,
c'est-à-dire celle dont la partie réelle est la plus grande et, en cas
-d'égalité (qui se produit uniquement si $m$ est pair et $x$ réel
+d'égalité (qui se produit uniquement si $n$ est pair et $x$ réel
négatif), celle qui a la partie imaginaire positive ; et on cherche à
-exprimer, avec cette notation, le nombre $\cos\frac{2\pi}{m}$ qui est
-défini comme $\frac{1}{2}(\zeta_m + \zeta_m^{-1})$, voire le nombre
-$e^{2 i \pi/m} = \zeta_m$, où $\zeta_m$ est la racine primitive
-$m$-ième de l'unité de partie réelle la plus grande et de partie
+exprimer, avec cette notation, le nombre $\cos\frac{2\pi}{n}$ qui est
+défini comme $\frac{1}{2}(\omega_n + \omega_n^{-1})$, voire le nombre
+$e^{2 i \pi/n} = \omega_n$, où $\omega_n$ est la racine primitive
+$n$-ième de l'unité de partie réelle la plus grande et de partie
imaginaire positive.
\XXX --- Ce texte est tout pourri. Le réécrire.
-\subsubsection{$m=3$} Si $\omega$ désigne une racine cubique
+\subsubsection{$n=3$} Si $\omega$ désigne une racine cubique
primitive de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_3 = X^2 + X +
1$, alors on a $\omega^2 = -1-\omega = \omega^{-1}$, et la quantité
$\alpha := (\omega - \omega^{-1})$ vérifie $\alpha^2 = \omega^2 - 2 +
@@ -464,7 +528,7 @@ la détermination principale des racines, on peut écrire $\alpha =
e^{2i\pi/3} = \frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})
\]
-\subsubsection{$m=4$} Si $\omega$ désigne une racine
+\subsubsection{$n=4$} Si $\omega$ désigne une racine
primitive $4$-ième de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_4 =
X^2 + 1$, alors on a $\omega^2 = -1$. Eu égard aux conventions que
nous avons faites sur la détermination principale des racines, on peut
@@ -473,7 +537,7 @@ nous avons faites sur la détermination principale des racines, on peut
e^{i\pi/2} = \sqrt{-1}
\]
-\subsubsection{$m=5$} Si $\omega$ désigne une racine
+\subsubsection{$n=5$} Si $\omega$ désigne une racine
primitive $5$-ième de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_5 =
X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$, alors on considère les quantités $\alpha_j
:= \sum_{i=0}^3 (\sqrt{-1})^{ij} \omega^{2^i}$, c'est-à-dire :
@@ -507,6 +571,57 @@ calculer $(\alpha_1)^4 = -15 + 20\sqrt{-1}$, d'où on déduit $\alpha_1
20\sqrt{-1}} + \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} = \sqrt{10 +
2\sqrt{5}}$.
+\subsubsection{$n=6$} Si $1,\zeta,\zeta^2$ désignent les racines
+cubiques de l'unité, alors les racines sixièmes de l'unité sont
+$1,-\zeta^2, \zeta,-1, -\zeta,\zeta^2$. (Citées dans cet ordre car
+avec nos conventions sur le fait que la racine principale est celle
+qui a la partie réelle la plus grande et la partie imaginaire
+positive, si $\zeta$ est la racine cubique principale, la racine
+sixième principale est $-zeta^2$.)
+
+\subsubsection{$n=7$} Si $\omega$ désigne une racine
+primitive $7$-ième de l'unité, alors on considère les quantités
+$\alpha_j := \sum_{i=0}^6 (-\zeta^2)^{ij} \omega^{3^i}$ où $\zeta$ est
+une racine cubique primitive de l'unité. On a bien sûr $\alpha_0 =
+-1$.
+
+Commençons par nous intéresser à $\gamma := \frac{1}{2}(\omega +
+\omega^{-1})$. Comme on l'a expliqué, pour ce faire, on va calculer
+$\alpha_2$ et $\alpha_4$. On a $(\alpha_2)^3 = -7 - 21\zeta$, et
+d'après l'expression $\zeta = \frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})$ calculée plus
+haut avec nos conventions sur les déterminations principales, on peut
+écrire $\alpha_2 = \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}}$.
+De même (ou en appliquant la conjugaison complexe), on a $\alpha_4 =
+\root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}$. Ceci conduit déjà à
+l'expression suivante pour $\gamma$ :
+\[
+\cos\frac{2\pi}{7} = \frac{1}{6}\Big(
+-1 + \root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}
++ \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}}
+\Big)
+\]
+
+On a par ailleurs $(\alpha_3)^2 = -7$, et avec nos déterminations, on
+a $\alpha_3 = \sqrt{-7}$. Restent à déterminer $\alpha_1$ et
+$\alpha_5$. On peut calculer $(\alpha_1)^6 = -385 - 273\zeta =
+-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}$ d'où $\alpha_1 =
+-\root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$ ; et de même,
+$\alpha_5 = \root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$. Au
+final, on obtient l'expression suivante de $\omega$ :
+\[
+\begin{array}{rl}
+\displaystyle e^{2i\pi/7} &\displaystyle = \frac{1}{6}\Big(
+-1 + \sqrt{-7} + \root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}
++ \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}}\\\noalign{\vskip.5ex}
+&\displaystyle\hphantom{= \frac{1}{6}\Big(}
++ \root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}
+- \root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}}
+\Big)\\
+\end{array}
+\]
+
+\XXX --- On doit pouvoir écrire ça un peu autrement (comme pour $n=5$).
+
\ifx\danslelivre\undefined