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--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -15,6 +15,8 @@
 
 \synctex=1
 
+\externaldocument{KASW}
+
 \title{Radicaux, r\'esolubilit\'e, calculs explicites et cyclotomie}
  
 \begin{document}
@@ -29,6 +31,8 @@
 
 \section{Extensions résolubles}
 
+\subsection{Clôture par radicaux}
+
 \begin{convention2}
 Si $k$ est un corps et $n$ un entier non multiple de la
 caractéristique de $k$, on dit que $k$ \emph{contient les racines
@@ -84,6 +88,13 @@ a paru meilleure car elle permet d'affirmer de façon non-triviale que
 les racines $n$-ièmes de l'unité s'expriment elles-mêmes par
 radicaux !
 
+\begin{remarque2}\label{remarque-cloture-par-radicaux-est-galoisienne}
+Soit $k$ un corps et $\sigma$ un automorphisme d'une clôture séparable
+$k\sep$ de $k$.  Alors $k\resol$ est stable par $\sigma$ : en effet,
+$\sigma(k\resol)$ est clos par radicaux et par minimalité on doit donc
+avoir $\sigma(k\resol) = k\resol$.
+\end{remarque2}
+
 \begin{definition2}
 Soit $k$ un corps.  On appelle \emph{tour d'extensions par radicaux}
 sur $k$ une suite $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \cdots \subseteq
@@ -99,9 +110,26 @@ des propriétés suivantes :
 \end{itemize}
 \end{definition2}
 
-Le résultat suivant est essentiellement trivial :
+\begin{proposition2}\label{composition-tours-extensions-par-radicaux}
+Soient $k \subseteq \cdots \subseteq k'$ et $k \subseteq \cdots
+\subseteq k''$ deux tours d'extensions par radicaux d'un même
+corps $k$.  Alors il existe une tour d'extensions $k \subseteq \cdots
+\subseteq k' k''$ (la composée étant prise dans une extension commune
+quelconque).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Si $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \cdots \subseteq k_r = k'$ est la
+tour dans laquelle s'inscrit $k'$, on en déduit une tour $k'' = k_0
+k'' \subseteq k_1 k'' \subseteq \cdots \subseteq k_r k'' = k' k''$
+(toutes ces compositions étant entendues dans une extension commune
+fixée) où toutes les étapes sont soit triviales soit une étape de tour
+d'extensions par radicaux ; en mettant bout à bout cette tour $k''
+\subseteq \cdots \subseteq k' k''$ avec celle $k \subseteq \cdots
+\subseteq k''$ dans laquelle s'inscrit $k''$, on a inscrit $k'k''$
+dans une tour d'extensions par radicaux comme souhaité.
+\end{proof}
 
-\begin{proposition2}
+\begin{proposition2}\label{trivialite-cloture-par-radicaux}
 Soit $k$ un corps, dont on fixe une clôture séparable $k\sep$.  Alors
 la clôture par radicaux $k\resol$ de $k$ (à l'intérieur de $k\sep$)
 est précisément la réunion de tous les corps intervenant dans une tour
@@ -125,19 +153,87 @@ vérifier que $E$ est un corps, qui sera alors évidemment clos par
 radicaux donc contenu dans $k\resol$.  Pour montrer que $E$ est un
 corps, il suffit de montrer que si $k'$ et $k''$ sont deux corps
 intervenant dans une tour d'extensions par radicaux sur $k$ incluse
-dans $k\sep$, on peut trouver une tour d'extensions faisant intervenir
-une extension commune à $k'$ et $k''$ (cette extension commune
-permettant alors de faire la somme ou le produit d'un élément de $k'$
-et d'un élément de $k''$).  Si $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \cdots
-\subseteq k_r = k'$ est la tour dans laquelle s'inscrit $k'$ (on peut
-évidemment l'arrêter là), on en déduit une tour $k'' = k_0 k''
-\subseteq k_1 k'' \subseteq \cdots \subseteq k_r k'' = k' k''$ (toutes
-ces compositions étant entendues dans $k\sep$) où toutes les étapes
-sont soit triviales soit une étape de tour d'extensions par radicaux ;
-en mettant bout à bout cette tour $k'' \subseteq \cdots \subseteq k'
-k''$ avec celle $k \subseteq \cdots \subseteq k''$ dans laquelle
-s'inscrit $k''$, on a inscrit $k'k''$ dans une tour d'extensions par
-radicaux comme souhaité.
+dans $k\sep$, on peut trouver une tour d'extensions par radicaux
+faisant intervenir une extension commune à $k'$ et $k''$ (cette
+extension commune permettant alors de faire la somme ou le produit
+d'un élément de $k'$ et d'un élément de $k''$).  Or on a prouvé
+ci-dessus que si $k \subseteq \cdots \subseteq k'$ est la tour dans
+laquelle s'inscrit $k'$ (on peut évidemment l'arrêter là), et $k
+\subseteq \cdots \subseteq k''$ de même pour $k''$, on dispose d'une
+tour d'extensions par radicaux $k \subseteq \cdots \subseteq k' k''$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Rappels sur les groupes résolubles}
+
+\begin{definition2}
+On dit qu'un groupe fini $G$ est \emph{résoluble} lorsqu'il vérifie
+les conditions équivalentes suivantes :
+\begin{itemize}
+\item il existe une chaîne $G = G_0 \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r =
+  \{1\}$ de sous-groupes de $G$ telle que pour chaque $i$ le
+  sous-groupe $G_{i+1}$ soit distingué dans $G_i$ (mais non
+  nécessairement dans $G$) et que le quotient $G_i / G_{i+1}$ soit
+  \emph{cyclique d'ordre premier},
+\item (la même condition, en omettant les mots « d'ordre premier »),
+\item (la même condition, en remplaçant « cyclique d'ordre premier »
+  par « abélien »),
+\item si on note $G'$ le sous-groupe, dit \emph{groupe dérivé}
+  engendré par les commutateurs (éléments de la forme
+  $xyx^{-1}y^{-1}$) des éléments de $G$, qui est également le plus
+  grand sous-groupe distingué de $G$ tel que le quotient soit abélien,
+  alors la suite $G \geq G' \geq G'' \geq G''' \geq \cdots$ termine
+  en $1$ (i.e., elle ne stationne pas avant).
+\end{itemize}
+\end{definition2}
+
+\begin{proposition2}\label{enonces-standards-groupes-resolubles}
+Un sous-groupe et un quotient d'un groupe résoluble sont résolubles.
+Un groupe dont un quotient par un sous-groupe distingué résoluble est
+résoluble est lui-même résoluble.
+\end{proposition2}
+
+On renvoie par exemple à \cite[théorèmes 5.15 à 5.23]{Rotman} pour une
+démonstration ces différentes affirmations.
+
+\subsection{Extensions par radicaux et groupes de Galois résolubles}
+
+\begin{proposition2}
+Soit $K\bo k$ une extension de corps finie séparable.  Il y a
+équivalence entre :
+\begin{itemize}
+\item il existe une tour d'extensions par radicaux $k \subseteq \cdots
+  \subseteq k'$ telle que $K \subseteq k'$,
+\item le corps $K$ est inclus dans $k\resol$ (pour une clôture
+  séparable $k\sep$ de $K$),
+\item le groupe de Galois de la clôture galoisienne de $K$ sur $k$ est
+  résoluble.
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+L'équivalence entre les deux premières affirmations a déjà été prouvée
+en \ref{trivialite-cloture-par-radicaux}.
+
+Supposons maintenant la première propriété vérifiée, et on veut
+montrer que le groupe de Galois de la clôture galoisienne de $K$
+sur $k$ est résoluble.  On peut agrandir $K$ (sachant que si on prouve
+que le groupe de Galois de la clôture galoisienne est résoluble après
+agrandissement, il l'était à plus forte raison avant
+d'après \ref{enonces-standards-groupes-resolubles} et spécifiquement
+la stabilité de « résoluble » par quotient) : on peut donc supposer
+qu'on a une tour $k \subseteq \cdots \subseteq K$ d'extensions par
+radicaux.  Quitte à remplacer $K$ par sa clôture galoisienne,
+c'est-à-dire la composée de ses conjuguées par les différents
+automorphismes de $k\sep$ sur $k$,
+d'après \ref{composition-tours-extensions-par-radicaux}, on peut
+supposer que $K \bo k$ est galoisienne et toujours qu'on a une tour $k
+= k_0 \subseteq \cdots \subseteq k_r = K$ d'extensions par radicaux.
+En appelant $G = \Gal(K/k)$ et $G_i = \Gal(K\bo k_i)$, on a $G = G_0
+\geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$ et les suppositions faites sur
+l'extension $k_{i+1}\bo k_i$ garantissent que $G_i/G_{i+1}$ est
+cyclique d'après \refext{KASW}{extension Kummerienne est de groupe
+  cyclique} et \refext{KASW}{extension AS est de groupe Z sur p}.
+
+\XXX
 \end{proof}