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authorFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-04-17 12:42:16 (GMT)
committerFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-04-17 12:42:16 (GMT)
commitcc6ae9d18a34cc7e1ff4491069c68abc9f8a7748 (patch)
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[modp] deux exercices
-rw-r--r--chapitres/Cebotarev.tex32
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diff --git a/chapitres/Cebotarev.tex b/chapitres/Cebotarev.tex
index ee3f2f7..d33f1d4 100644
--- a/chapitres/Cebotarev.tex
+++ b/chapitres/Cebotarev.tex
@@ -153,6 +153,18 @@ On laisse le soin au lecteur de vérifier qu'il en est de
même des polynômes de degré au plus $d$, non nécessairement
unitaires.
+\begin{exercice2}
+Soit $d$ un entier et $𝐑_d[X]$ l'ensemble des polynômes
+de $𝐑[X]$ de degré au plus $d$. Montrer que le sous-ensemble
+des polynômes à coefficients rationnels et irréductibles
+sur $𝐐$ est \emph{dense}. (On munit $𝐑_d[X]$ de la topologie
+d'espace vectoriel normé.)
+Indication : si $P ∈ 𝐙[X]$, on pourra montrer
+l'irréductibilité du polynôme $ℓP+1$ lorsque $ℓ$
+est un grand nombre premier en utilisant le critère
+d'Eisenstein.
+\end{exercice2}
+
\begin{proposition2}
\label{Sd-par-2-3-l}
Pour tout $d\geq 1$, il existe un polynôme unitaire de degré $f\in \ZZ[X]$
@@ -199,6 +211,26 @@ démontré par des méthodes analytiques, reposant
notamment sur le théorème d'irréductibilité de Hilbert \refext{}{}.
\end{remarque2}
+\begin{exercice2}
+Soient $p$ un nombre premier impair, $m$ un entier naturel
+non nul et $(n₁,…,n_{p−2})$ un $p − 2$-uplet d'entiers relatifs distincts.
+On pose $f = (X² + m) ∏_{i=1}^{p−2} (X − n_i )$.
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que pour tout réel $ε$ de valeur absolue suffisamment
+petite, le polynôme $f + ε ∈ R[X]$ admet $p − 2$ racines réelles simples et deux racines
+complexes conjuguées.
+\item Pour tout nombre premier $ℓ$, on considère le polynôme $P = ℓ^p
+f ( X/ℓ) + ℓ$. Montrer que pour $ℓ$ assez grand,
+le polynôme $P ∈ 𝐐[X]$ est un polynôme irréductible ayant $p − 2$ racines réelles
+simples et deux racines complexes conjuguées.
+\item En déduire que le groupe de Galois de $P$ est isomorphe
+au groupe symétrique $𝔖_p$.
+\item En déduire que l'ensemble des classes d'isomorphismes
+d'extensions de $𝐐$ de groupe de Galois $𝔖_p$ est infini.
+\end{enumerate}
+\end{exercice2}
+% tiré d'une feuille d'exercices de Joël Riou.
+
\begin{théorème2}[\cite{Seltenheit@Dorge},\cite{Seltenheit-I@vdWaerden}]
Soit $d ≥ 1$ un entier.
Parmi les polynômes $f ∈ 𝐙[X]$ unitaires de degré $d$