[Gröbner] Base de Gröbner des relations de l'algèbre de décomposition universelle (suite).

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@@ -98,19 +98,18 @@ les définitions seront relatives à ce choix d'un ordre monomial.
 Pour se faire une idée du contexte dans lequel on utilisera ces
 notions, on pourra notamment penser au cas, qui sera étudié plus
 précisément en \ref{section-algebre-de-decomposition-universelle}
-ci-dessous, où $f \in k[X]$ est un
-polynôme univarié irréductible et séparable, disons $f = X^d + a_1
-X^{d-1} + \cdots + a_d$ et où on considère l'idéal $I$ de
-$k[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par les relations $\sigma_i = (-1)^i a_i$
-où $\sigma_i$ désigne le $i$-ième polynôme symétrique élémentaire en
-$Z_1,\ldots,Z_d$ : autrement dit, ces relations imposent aux
-$Z_1,\ldots,Z_d$ d'être les racines distinctes, dans un certain ordre,
-de $f$ (remarquons d'ailleurs que $f(Z_i) \in I$ pour tout $i$), et il
-s'avère que l'algèbre $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est de dimension finie,
-réduite, et est un produit de copies du corps de décomposition de $f$
-qui s'écrivent de la forme $k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$ avec $J \supseteq I$
-un idéal dont le calcul équivaut essentiellement au calcul du groupe
-de Galois de $f$.
+ci-dessous, où $f \in k[X]$ est un polynôme univarié irréductible et
+séparable, disons $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d$ et où on
+considère l'idéal $I$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par les
+relations $e_i = (-1)^i a_i$ où $e_i$ désigne le $i$-ième polynôme
+symétrique élémentaire en $Z_1,\ldots,Z_d$ : autrement dit, ces
+relations imposent aux $Z_1,\ldots,Z_d$ d'être les racines distinctes,
+dans un certain ordre, de $f$ (remarquons d'ailleurs que $f(Z_i) \in
+I$ pour tout $i$), et il s'avère que l'algèbre $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$
+est de dimension finie, réduite, et est un produit de copies du corps
+de décomposition de $f$ qui s'écrivent de la forme
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$ avec $J \supseteq I$ un idéal dont le calcul
+équivaut essentiellement au calcul du groupe de Galois de $f$.
 
 \subsection{Monômes et idéaux monomiaux}
 
@@ -1526,12 +1525,12 @@ alors manifestement satisfaite de $J$ si elle l'est de $I$.
 \begin{proposition2}\label{relations-algebre-de-decomposition-universelle}
 Soit $k$ un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire, disons $f =
 X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d$.  On considère l'idéal $I$ de
-$k[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par les relations $\sigma_i = (-1)^i a_i$
-où $\sigma_i$ désigne le $i$-ième polynôme symétrique élémentaire en
-$Z_1,\ldots,Z_d$.  Alors $I$ est de dimension $0$, et une base de
-Gröbner de $I$ pour l'ordre lexicographique (où on est convenu
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par les relations $e_i = (-1)^i a_i$ où
+$e_i$ désigne le $i$-ième polynôme symétrique élémentaire en
+$Z_1,\ldots,Z_d$.  Alors $I$ est de dimension $0$, et la base de
+Gröbner réduite de $I$ pour l'ordre lexicographique (où on est convenu
 d'ordonner les variables de la manière $Z_1 \preceq Z_2 \preceq \cdots
-\preceq Z_d$) est fourni par les
+\preceq Z_d$) est fournie par les
 \[
 q_i := h_i(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1}) + \sum_{j=1}^k a_j h_{k-j}(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1})
 \]
@@ -1543,6 +1542,33 @@ les $i-1$ dernières variables par $0$.  (Notamment, une de ces
 relations, $q_d$, est donnée par $f(Z_1) = 0$.)
 \end{proposition2}
 \begin{proof}
+Commençons par montrer l'identité suivante sur les polynômes (à
+coefficients entiers) :
+\[
+h_i(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1}) + \sum_{j=1}^k (-1)^j e_j(Z_1,\ldots,Z_d)\, h_{k-j}(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1}) = 0
+\]
+qui prouve que $q_i$ appartient bien à $I$.  Pour la prouver, on
+commence par montrer la même identité
+\[
+h_i(Z_1,\ldots,Z_n) + \sum_{j=1}^k (-1)^j e_j(Z_1,\ldots,Z_n)\, h_{k-j}(Z_1,\ldots,Z_n) = 0
+\]
+sur un même jeu $Z_1,\ldots,Z_n$ de variables : la précédente s'en
+déduit en prenant $n=d-i+1$ et écrivant $e_j(Z_1,\ldots,Z_d) =
+\sum_{u=0}^j e_{j-u}(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1}) \,
+e_u(Z_{d-i+2},\ldots,Z_d)$ et en regroupant les termes avec le même
+facteur $e_u(Z_{d-i+2},\ldots,Z_d)$.  Enfin, pour montrer cette
+dernière égalité, on peut par exemple considérer les séries formelles
+dans $\mathbb{Z}[Z_1,\ldots,Z_n][[T]]$ définies par
+\[
+H := \prod_{i=1}^n \frac{1}{1-T Z_i} = \sum_{j=0}^{+\infty} h_j(Z_1,\ldots,Z_n)\, T^j
+\]
+et
+\[
+E := \prod_{i=1}^n (1+T Z_i) = \sum_{j=0}^{n} e_j(Z_1,\ldots,Z_n)\, T^j
+\]
+(ces identités étant faciles à vérifier) : il est alors clair que
+l'inverse de $H$ est $E(-T)$, ce qui donne l'identité voulue.
+
 \XXX
 \end{proof}