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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-12-06 19:34:15 +0100 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-12-06 19:34:15 +0100 |
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[Gröbner] Base de Gröbner des relations de l'algèbre de décomposition universelle (suite).
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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index aea0775..d8bf75a 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -98,19 +98,18 @@ les définitions seront relatives à ce choix d'un ordre monomial. Pour se faire une idée du contexte dans lequel on utilisera ces notions, on pourra notamment penser au cas, qui sera étudié plus précisément en \ref{section-algebre-de-decomposition-universelle} -ci-dessous, où $f \in k[X]$ est un -polynôme univarié irréductible et séparable, disons $f = X^d + a_1 -X^{d-1} + \cdots + a_d$ et où on considère l'idéal $I$ de -$k[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par les relations $\sigma_i = (-1)^i a_i$ -où $\sigma_i$ désigne le $i$-ième polynôme symétrique élémentaire en -$Z_1,\ldots,Z_d$ : autrement dit, ces relations imposent aux -$Z_1,\ldots,Z_d$ d'être les racines distinctes, dans un certain ordre, -de $f$ (remarquons d'ailleurs que $f(Z_i) \in I$ pour tout $i$), et il -s'avère que l'algèbre $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est de dimension finie, -réduite, et est un produit de copies du corps de décomposition de $f$ -qui s'écrivent de la forme $k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$ avec $J \supseteq I$ -un idéal dont le calcul équivaut essentiellement au calcul du groupe -de Galois de $f$. +ci-dessous, où $f \in k[X]$ est un polynôme univarié irréductible et +séparable, disons $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d$ et où on +considère l'idéal $I$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par les +relations $e_i = (-1)^i a_i$ où $e_i$ désigne le $i$-ième polynôme +symétrique élémentaire en $Z_1,\ldots,Z_d$ : autrement dit, ces +relations imposent aux $Z_1,\ldots,Z_d$ d'être les racines distinctes, +dans un certain ordre, de $f$ (remarquons d'ailleurs que $f(Z_i) \in +I$ pour tout $i$), et il s'avère que l'algèbre $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ +est de dimension finie, réduite, et est un produit de copies du corps +de décomposition de $f$ qui s'écrivent de la forme +$k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$ avec $J \supseteq I$ un idéal dont le calcul +équivaut essentiellement au calcul du groupe de Galois de $f$. \subsection{Monômes et idéaux monomiaux} @@ -1526,12 +1525,12 @@ alors manifestement satisfaite de $J$ si elle l'est de $I$. \begin{proposition2}\label{relations-algebre-de-decomposition-universelle} Soit $k$ un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire, disons $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d$. On considère l'idéal $I$ de -$k[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par les relations $\sigma_i = (-1)^i a_i$ -où $\sigma_i$ désigne le $i$-ième polynôme symétrique élémentaire en -$Z_1,\ldots,Z_d$. Alors $I$ est de dimension $0$, et une base de -Gröbner de $I$ pour l'ordre lexicographique (où on est convenu +$k[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par les relations $e_i = (-1)^i a_i$ où +$e_i$ désigne le $i$-ième polynôme symétrique élémentaire en +$Z_1,\ldots,Z_d$. Alors $I$ est de dimension $0$, et la base de +Gröbner réduite de $I$ pour l'ordre lexicographique (où on est convenu d'ordonner les variables de la manière $Z_1 \preceq Z_2 \preceq \cdots -\preceq Z_d$) est fourni par les +\preceq Z_d$) est fournie par les \[ q_i := h_i(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1}) + \sum_{j=1}^k a_j h_{k-j}(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1}) \] @@ -1543,6 +1542,33 @@ les $i-1$ dernières variables par $0$. (Notamment, une de ces relations, $q_d$, est donnée par $f(Z_1) = 0$.) \end{proposition2} \begin{proof} +Commençons par montrer l'identité suivante sur les polynômes (à +coefficients entiers) : +\[ +h_i(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1}) + \sum_{j=1}^k (-1)^j e_j(Z_1,\ldots,Z_d)\, h_{k-j}(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1}) = 0 +\] +qui prouve que $q_i$ appartient bien à $I$. Pour la prouver, on +commence par montrer la même identité +\[ +h_i(Z_1,\ldots,Z_n) + \sum_{j=1}^k (-1)^j e_j(Z_1,\ldots,Z_n)\, h_{k-j}(Z_1,\ldots,Z_n) = 0 +\] +sur un même jeu $Z_1,\ldots,Z_n$ de variables : la précédente s'en +déduit en prenant $n=d-i+1$ et écrivant $e_j(Z_1,\ldots,Z_d) = +\sum_{u=0}^j e_{j-u}(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1}) \, +e_u(Z_{d-i+2},\ldots,Z_d)$ et en regroupant les termes avec le même +facteur $e_u(Z_{d-i+2},\ldots,Z_d)$. Enfin, pour montrer cette +dernière égalité, on peut par exemple considérer les séries formelles +dans $\mathbb{Z}[Z_1,\ldots,Z_n][[T]]$ définies par +\[ +H := \prod_{i=1}^n \frac{1}{1-T Z_i} = \sum_{j=0}^{+\infty} h_j(Z_1,\ldots,Z_n)\, T^j +\] +et +\[ +E := \prod_{i=1}^n (1+T Z_i) = \sum_{j=0}^{n} e_j(Z_1,\ldots,Z_n)\, T^j +\] +(ces identités étant faciles à vérifier) : il est alors clair que +l'inverse de $H$ est $E(-T)$, ce qui donne l'identité voulue. + \XXX \end{proof} |