summaryrefslogtreecommitdiffstats
diff options
context:
space:
mode:
authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-01 00:58:01 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-01 00:58:01 (GMT)
commite99d66ac2440eadfdeca236778414ed30661e685 (patch)
treeb97b33e1a6cc8a407b715914e78f003a70c7eeca
parent565d995f145c72889db62a732509e0548ee85903 (diff)
downloadgalois-e99d66ac2440eadfdeca236778414ed30661e685.zip
galois-e99d66ac2440eadfdeca236778414ed30661e685.tar.gz
galois-e99d66ac2440eadfdeca236778414ed30661e685.tar.bz2
Transformation en LuaTeX : derniers chapitres.
-rw-r--r--chapitres/AC.tex94
-rw-r--r--chapitres/AVD-Dedekind.tex77
-rw-r--r--chapitres/Cebotarev.tex45
-rw-r--r--chapitres/KASW.tex49
-rw-r--r--chapitres/brauer.tex22
-rw-r--r--chapitres/extensions-algebriques.tex2
-rw-r--r--chapitres/formes-tordues.tex8
-rw-r--r--chapitres/krull.tex136
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex193
-rw-r--r--chapitres/omega.tex31
-rw-r--r--chapitres/verselles.tex142
-rw-r--r--config/macros.tex45
12 files changed, 347 insertions, 497 deletions
diff --git a/chapitres/AC.tex b/chapitres/AC.tex
index acc519a..f72e3b4 100644
--- a/chapitres/AC.tex
+++ b/chapitres/AC.tex
@@ -1,27 +1,9 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-\usepackage{srcltx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usetikzlibrary{calc}
-
-\usepackage{palatino,euler}
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
\title{Notions d'algèbre commutative}
-
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
\externaldocument{formes-tordues}
@@ -30,15 +12,8 @@
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{categories}
-
-%\textwidth16cm
-%\hoffset-1.5cm
-\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
-
\begin{document}
-\begin{center}
-Notions d'algèbre commutative
-\end{center}
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Notions d'algèbre commutative}
@@ -62,7 +37,7 @@ contenant $S$ et multiplicative.
Si $S$ est une partie multiplicative,
la relation $ℛ$ sur $A×S$ définie par
-$(a,s)ℛ(a',s')$ \ssi il existe $t∈S$
+$(a,s)ℛ(a',s')$ si et seulement si il existe $t∈S$
tel que $t(s'a)=t(sa')$ est une relation d'équivalence. On note
$A[S^{-1}]$ son quotient et $a/s$ la classe de l'élément $(a,s)$.
On vérifie immédiatement que les opérations
@@ -99,7 +74,7 @@ maximal.
\begin{démo}
On peut supposer $S=S_{\mathrm{mult}}$ car
-$𝔭∩S=∅$ \ssi $𝔭∩S_{\mathrm{mult}}=∅$.
+$𝔭∩S=∅$ si et seulement si $𝔭∩S_{\mathrm{mult}}=∅$.
Soit $𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$. Son image
réciproque $𝔭=𝔮∩A∈\Spec(A)$ ne rencontre pas $S$
car tout élément de $S$ est envoyé
@@ -123,7 +98,7 @@ des fractions, il existe $t∈S$ tel que
Le terme de droite appartient à l'idéal premier $𝔭$.
Comme le facteur $ts''$ du terme de gauche n'appartient pas à
$𝔭$ (car $𝔭∩S=∅$) on a finalement $a∈𝔭$ ou $a'∈𝔭$.
-Vérifions que $𝔮∩A=𝔭$, \cad que l'application
+Vérifions que $𝔮∩A=𝔭$, c'est-à-dire que l'application
$𝔭↦𝔭A[S^{-1}]$ est un inverse à droite
de l'application $c$. Soit $a∈A$ tel que $a/1∈𝔮$.
D'après ce qui précède, il existe $(x,s)∈𝔭×S$ tel
@@ -305,13 +280,13 @@ Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $b\in B$
est \emph{entier} sur $A$ si $A[b]$ est un $A$-module de type fini.
\end{définition2}
-\begin{exemples}
-Tout élément $b∈B$ de la forme $a\cdot 1_B$, \cad
+\begin{exemples2}
+Tout élément $b∈B$ de la forme $a\cdot 1_B$, c'est-à-dire
dans l'image du morphisme structural $A→B$, est entier sur $A$.
Moins trivialement, il résulte de la proposition
\ref{caracterisation-entiers} ci-dessous que le nombre
complexe $\sqrt{2}$ est entier sur $𝐙$.
-\end{exemples}
+\end{exemples2}
Il est naturel de compléter cette définition par la suivante.
@@ -323,7 +298,7 @@ est une \emph{$A$-algèbre finie} si $B$ est un $A$-module \emph{de type fini}.
On dit aussi, indifféremment, que $B$ est « finie sur $A$ », ou encore que « le
morphisme $A→B$ est fini ». D'autre part, lorsque cela ne semble pas prêter à
confusion, on dira parfois que la $A$-algèbre $B$ est \emph{finie} (sous-entendu : sur $A$).
-Ainsi, un élément $b$ d'une $A$-algèbre $B$ est entier sur $A$ \ssi
+Ainsi, un élément $b$ d'une $A$-algèbre $B$ est entier sur $A$ si et seulement si
l'anneau $A[b]$ est fini sur $A$ au sens de la définition précédente.
\begin{lemme2}\label{composé de finis=fini}
@@ -359,7 +334,7 @@ Une relation $P(b)=0$, pour $P$ comme en \ref{2}, est appelée
une \emph{relation de dépendance intégrale} à coefficients
dans $A$.
-\begin{miseengarde}
+\begin{miseengarde2}
L'hypothèse \ref{3} ne peut en général pas être affaiblie en l'existence
d'un sous-$A$-\emph{module} de $B$ fini sur $A$ et contenant $b$.
C'est cependant vrai si $A$ est \emph{nœthérien}.
@@ -373,7 +348,7 @@ sur $A$ : si $P$ est un polynôme unitaire à coefficients dans
$A$ de degré $n$, $P(XY)$ ne contient qu'un seul monôme $X^n Y^n$
de sorte que $P(XY)≠0$.
% = cas particulier de ZS, volume I p. 255 (qui nécessite valuation rang $>1$).
-\end{miseengarde}
+\end{miseengarde2}
\XXX La démonstration ci-dessous est moche.
@@ -399,12 +374,15 @@ Par hypothèse, il existe une surjection $A$-linéaire $s:A^n↠C$.
Observons que l'endomorphisme $A$-linéaire de $C$
défini par la multiplication par $b$ se \emph{relève}, non canoniquement, en
un morphisme $u:A^n→A^n$ tel que le diagramme suivant soit commutatif :
-$$
-\xymatrix{
-A^n \ar[d]^{s} \ar[r]^{u} & A^n \ar[d]^{s} \\
-C \ar[r]^{b} & C
-}
-$$
+
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%A^n \ar[d]^{s} \ar[r]^{u} & A^n \ar[d]^{s} \\
+%C \ar[r]^{b} & C
+%}
+%$$
+
En effet, si l'on note $e_i$ ($1≤i≤n$) la base canonique de $A^n$ et
que l'on pose $c_i=s(e_i)$, il existe des éléments $a_{ij}∈A$
tels que, pour tout $i$, $bc_i=∑_{j≤n}a_{ij}c_j$. Il suffit de définir
@@ -573,7 +551,7 @@ On a vu ci-dessus qu'une $A$-algèbre finie est entière.
Réciproquement :
\begin{proposition2}\label{fini=entier+tf}
-Un morphisme d'anneaux est fini \ssi il est entier et de type fini.
+Un morphisme d'anneaux est fini si et seulement si il est entier et de type fini.
\end{proposition2}
@@ -709,10 +687,10 @@ B₂$ l'est aussi.
\begin{définition2}\label{normalisation,normal}
Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions. La sous-$A$-algèbre
-$A^\japmath{正}$ de $K$ constitué des éléments de $K$ entiers sur $A$ est appelé \emph{clôture
+$A^正$ de $K$ constitué des éléments de $K$ entiers sur $A$ est appelé \emph{clôture
intégrale} \index{clôture intégrale} ou \emph{normalisation} \index{normalisation}
de $A$ dans $K$. Si l'inclusion naturelle,
-entière, $A→A^\japmath{正}$ est un isomorphisme, on dit que $A$ est un anneau
+entière, $A→A^正$ est un isomorphisme, on dit que $A$ est un anneau
\emph{intégralement clos} \index{intégralement clos} ou \emph{normal}\index{normal}.
\end{définition2}
@@ -816,16 +794,16 @@ Le diagramme
de l'application $\Spec(A_𝔭)→\Spec(A)$,
on peut remplacer $A$ par $A_𝔭$ et $B$ par $B_𝔭$.
En d'autre termes, on peut supposer $A$ \emph{local},
-\cad ne possédant qu'un idéal maximal, que nous noterons $𝔪$.
+c'est-à-dire ne possédant qu'un idéal maximal, que nous noterons $𝔪$.
Soit $𝔮∈\Specmax(B)$ arbitraire et $𝔭=A∩𝔮$
son image réciproque dans $\Spec(A)$. Le morphisme composé $A↪B↠B/𝔮$ induit une
injection entière $A/𝔭↪B/𝔮$ de but un corps. Il résulte du lemme
-ci-dessous que $A/𝔭$ est un corps, \cad que $𝔭=𝔪$. CQFD.
+ci-dessous que $A/𝔭$ est un corps, c'est-à-dire que $𝔭=𝔪$. CQFD.
\end{démo}
\begin{lemme2}
Soit $A↪B$ un morphisme injectif entier entre anneaux intègres.
-L'anneau $A$ est un corps \ssi $B$ est un corps.
+L'anneau $A$ est un corps si et seulement si $B$ est un corps.
\end{lemme2}
\begin{démo}
@@ -852,7 +830,7 @@ que $𝔞$ est \emph{en-dessous} de $𝔟$.
\begin{corollaire2}\label{cas égalité relèvement idéaux premiers}
Soient $A→B$ un morphisme entier, $𝔮$ un idéal premier de $B$ et
$𝔭=𝔮∩A$ son image inverse dans $A$. L'idéal premier $𝔭$ est maximal
-\ssi $𝔮$ est maximal. D'autre part, si $𝔮'$ est un autre idéal premier
+si et seulement si $𝔮$ est maximal. D'autre part, si $𝔮'$ est un autre idéal premier
de $B$ au-dessus de $𝔭$ et \emph{contenant} $𝔮$, on a $𝔮=𝔮'$.
\end{corollaire2}
@@ -888,7 +866,7 @@ Dans ce paragraphe, on s'intéresse aux propriétés du morphisme
$A→B$ ainsi qu'à celles de l'application $Y=\Spec(B)→X=\Spec(A)$
associée. Nous verrons en particulier que, sous certaines hypothèses,
l'ensemble $X$ s'identifie à l'ensemble des $G$-orbites de $Y$,
-\cad au \emph{quotient} $Y/G$ de $Y$ sous l'action de $G$.
+c'est-à-dire au \emph{quotient} $Y/G$ de $Y$ sous l'action de $G$.
\subsubsection{Intégralité et finitude}
@@ -965,7 +943,7 @@ Il est clair que l'image de $A[S^{-1}]$ dans $B[T^{-1}]$
est fixe sous l'action de $G$. Vérifions l'injectivité.
Si $a/s$ est d'image nulle dans $B[T^{-1}]$,
il existe $t∈T$ tel que $ta=0$. Quitte à symétriser
-$t$, \cad considérer le multiple $∏_{g∈G}g(t)$ de $t$, on peut supposer
+$t$, c'est-à-dire considérer le multiple $∏_{g∈G}g(t)$ de $t$, on peut supposer
$t∈S$. Ainsi, $a/s=0$ dans $A[S^{-1}]$.
Vérifions la surjectivité. Soit $y∈\Fix_G(B[T^{-1}])$ ;
on veut montrer qu'il existe $s∈S$ et $a∈A$ tels que
@@ -1071,7 +1049,7 @@ Il résulte de \ref{invariants et localisation} que
$\Fix_G(B_𝔭)=A_𝔭$. D'autre part l'idéal premier $𝔮$ de $B$
est l'image d'un (unique) idéal premier $𝔮_𝔭$ de $B_𝔮$
par l'application $\Spec(B_𝔭)↪\Spec(B)$ et les corps résiduels
-$k=κ(𝔭)$ et $l=κ(𝔮)$ sont inchangés (\cad : les morphismes
+$k=κ(𝔭)$ et $l=κ(𝔮)$ sont inchangés (c'est-à-dire : les morphismes
canoniques $κ(𝔭)→κ(𝔭_𝔭)$ et $κ(𝔮)→κ(𝔮_𝔭)$, où
$𝔭_𝔭$ est l'idéal maximal de $A_𝔭$, sont des isomorphismes).
Enfin l'action de $D(𝔮)$ sur $\Spec(B)$
@@ -1080,7 +1058,7 @@ $D(𝔮_𝔭)$. On peut donc supposer $A$ local d'idéal maximal
$𝔭$. Il résulte de \ref{cas égalité relèvement idéaux premiers}
que $𝔮$ est alors maximal également.
-Montrons que l'extension $l\bo k$ est normale, \cad que pour tout
+Montrons que l'extension $l\bo k$ est normale, c'est-à-dire que pour tout
$β∈l=B/𝔮$, il existe un polynôme à coefficients dans $k$, scindé sur
$l$ et s'annulant en $β$. (Cf. \refext{CG}{caracterisation-extension-normale}, (iv)).
Soit $b$ un relèvement de $β$ dans $B$ et considérons
@@ -1126,7 +1104,7 @@ $l$ tout entier.
\begin{lemme2}
Deux automorphismes d'une extension algébrique coïncident
-\ssi ils agissent de la même manière sur les éléments séparables.
+si et seulement si ils agissent de la même manière sur les éléments séparables.
\end{lemme2}
Ce lemme est un cas particulier de \refext{RT}{}.
@@ -1150,7 +1128,7 @@ et, finalement, $σ(x)=τ(x)$ car l'élévation à la puissance $p$
est injective en caractéristique $p>0$.
\end{démo}
-\begin{remarque3}
+\begin{remarque2}
On montrera plus tard que pour toute $A$-algèbre $A'$,
le morphisme $A'→\Fix_G(B⊗_A A')$ est un isomorphisme
si $A→A'$ est \emph{plat} et même dans les cas
@@ -1159,7 +1137,7 @@ l'application induite sur les spectres
$\Spec(\Fix_G(B⊗_A A'))⥲\Spec(A')$ est néanmoins
une bijection.
%Voir aussi Liu, « Quotient maps and base change ».
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
diff --git a/chapitres/AVD-Dedekind.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
index 1e7a36e..0fb7a4e 100644
--- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex
+++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
@@ -1,28 +1,9 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\usepackage{palatino,euler}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-
-\input{.cv}
-
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-\usepackage{srcltx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usetikzlibrary{calc}
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
\title{Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind}
-
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
\externaldocument{formes-tordues}
@@ -31,17 +12,8 @@
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{categories}
-
-
-%\textwidth16cm
-%\hoffset-1.5cm
-\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
-
\begin{document}
-\begin{center}
-Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind
-\end{center}
-\version
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind}
@@ -223,7 +195,7 @@ EVN sur un corps valué (/normé)=… ? (cf. infra) \XXX
Lien avec valuation de rang $1$ (cas ultramétrique).
-valeur absolue archimédienne ↔ « L'Arénaire » (\textgreek{Ψαµµίτης})
+valeur absolue archimédienne ↔ « L'Arénaire » (Ψαµµίτης)
d'Archimède dans lequel il introduit un système pour nommer les grands nombres.
\subsubsection{}Définir $Σ(K)$ (ensemble des classes d'équivalences de
@@ -587,11 +559,11 @@ Notamment :
\begin{proposition2}
\XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet, $K$ son corps des fractions,
et $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Soit $B$ la normalisation de $A$ dans
-$K$ ; on suppose que l'indice de ramification $e=n$ \cad que l'extension
+$K$ ; on suppose que l'indice de ramification $e=n$ c'est-à-dire que l'extension
est \emph{totalement ramifiée}. Alors, si $x$ est une uniformisante
de $B$, et $f=\mathrm{Irr}_K(x)$ on a :
\begin{itemize}
-\item $f$ est d'Eisenstein \cad unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$,
+\item $f$ est d'Eisenstein c'est-à-dire unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$,
\item $$\begin{array}{l}A[X]/f→ B\\ X\mapsto x\end{array}$$
est un isomorphisme. En particulier $A[X]/f$ est local.
\end{itemize}
@@ -633,7 +605,7 @@ $𝐂_p$ est algébriquement clos.
\end{corollaire2}
\begin{démo}
-Fontaine-\jap{欧阳}, §3.1
+Fontaine-{\IPAMincho 欧阳}, §3.1
\end{démo}
\begin{proposition2}
@@ -642,7 +614,7 @@ Ax-Sen
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Fontaine-\jap{欧阳}, §3.1
+Fontaine-{\IPAMincho 欧阳}, §3.1
\end{démo}
@@ -740,7 +712,7 @@ pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}≃ k_L$, non canoniquement.
1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0⥲ G$.
Soit $\sigma\in G$. Comme $B$ est local, $\sigma(\MM_B)=\MM_B$ et $\sigma$
induit donc un automorphisme de $k_L$ sur $k_K$, nécessairement trivial (car
-$k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, \cad
+$k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, c'est-à-dire
$v_L(\sigma(x)-x)\geq 1$ et, en prenant $x=\pi_L$, $\sigma\in G_0$.
Remarquons que comme, d'après la proposition précédente, $B=A[\pi_L]$,
réciproquement, si $\sigma\in G_i$,
@@ -924,12 +896,13 @@ Comme $k$ est algébriquement clos et contient donc $n$ racines
de l'unité, l'extension (de Kummer) $K_n:=K(\sqrt[n]{t})/K$ est galoisienne
de groupe $\mu_n(k)$.
Considérons une extension composée $L_n=L K_n$ :
-$$
-\xymatrix{
-L \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & L_n \\
-K=k((t)) \ar@{-}[r] & K_n=k((t^{1/n})) \ar@{-}[u]
-}
-$$
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%L \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & L_n \\
+%K=k((t)) \ar@{-}[r] & K_n=k((t^{1/n})) \ar@{-}[u]
+%}
+%$$
L'extension $L_n/K$ est elle aussi galoisienne, de groupe cyclique.
Son groupe de Galois étant cyclique, il n'a donc qu'un seul quotient isomorphe à $\ZZ/n$.
Cela se traduit par l'égalité $L=K_n$
@@ -1016,14 +989,14 @@ Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekind}.
\begin{proposition2}
\XXX
-Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
-Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\Specmax(A)$
+Soit $\mathfrak{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
+Il existe un unique sous-ensemble $S_{\mathfrak{a}}$ de $\Specmax(A)$
et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_{𝔭}(𝔞)$, $𝔭\in S$,
-tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$
-De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si
-$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$,
-où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$)
-pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$).
+tels que $$\mathfrak{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\mathfrak{a})}.$$
+De plus si $\mathfrak{a}\subset \mathfrak{a'}$ si et seulement si
+$n_{𝔭}(\mathfrak{a})\leq n_{𝔭}(\mathfrak{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$,
+où l'on pose $n_{𝔭}(\mathfrak{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\mathfrak{a}')=0$)
+pour $𝔭\notin S_{\mathfrak{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\mathfrak{a}'}$).
\end{proposition2}
\begin{théorème2}[Krull-Akiduki] %秋月康夫
@@ -1136,7 +1109,7 @@ $\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\b
\end{démo}
\begin{définition2}
-Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}=\N_{K \bo 𝐐}(𝒟_{K\bo 𝐐})$.
+Discriminant $\mathfrak{d}_{K/\QQ}=\N_{K \bo 𝐐}(𝒟_{K\bo 𝐐})$.
\end{définition2}
\begin{proposition2}
diff --git a/chapitres/Cebotarev.tex b/chapitres/Cebotarev.tex
index 6ae920a..1a5474f 100644
--- a/chapitres/Cebotarev.tex
+++ b/chapitres/Cebotarev.tex
@@ -1,25 +1,9 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\usepackage{palatino,euler}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-\usepackage{srcltx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usetikzlibrary{calc}
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
\title{Réduction modulo $p$}
-
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
\externaldocument{calculs-galois}
@@ -30,15 +14,8 @@
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{categories}
-
-%\textwidth16cm
-%\hoffset-1.5cm
-%\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
-
\begin{document}
-\begin{center}
-Réduction modulo $p$
-\end{center}
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Réduction modulo $p$}
@@ -317,13 +294,13 @@ en $s=1$.
On utilisera de façon essentielle dans la démonstration du théorème,
que comme on s'y attend, l'ensemble des nombres premiers a pour densité $1$,
-\cad que $\sum_{p} p^{-s}\sim \log(\frac{1}{s-1})$, pour $s→ 1+$.
+c'est-à-dire que $\sum_{p} p^{-s}\sim \log(\frac{1}{s-1})$, pour $s→ 1+$.
Cf. chapitre précédent \refext{}{}.
\begin{théorème2}[Frobenius, 1880]\label{thm Frobenius}
Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
Soit $G_f=\Gal(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \got{S}_{X_f}$ son groupe de Galois.
-Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\got{S}_{X_f}$ \cad
+Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\got{S}_{X_f}$ c'est-à-dire
une partition de $d$.
Alors, pour $s>1$ tendant vers $1$,
$$
@@ -377,7 +354,7 @@ $\wp$, noté $p|\wp$. Revenons à notre problème.
Les racines de $F$ modulo $p$ sont en bijection avec les morphismes
-$A_F↠ \FF_p$, \cad les idéaux maximaux $\wp$ de $A_F$ tel que $N\wp$
+$A_F↠ \FF_p$, c'est-à-dire les idéaux maximaux $\wp$ de $A_F$ tel que $N\wp$
soit un nombre premier $p$. De tels idéaux maximaux sont dit « de degré $1$ »
car en général, $A_F/\wp$ est une extension finie de $\FF_p$ (de degré $\leq d$).
Ainsi,
@@ -464,7 +441,7 @@ polynômes $u_0+u_1\alpha_{s(1)}+\cdots+u_d \alpha_{s(d)}$ sont irréductibles.
L'égalité $s\Psi_S(\sous{\alpha})=s'\Psi_S(\sous{\alpha})$ entraînerait
$u_0+u_1\alpha_{s(1)}+\cdots+u_d \alpha_{s(d)}=u_0+u_1\alpha_{s'\sigma(1)}+\cdots+u_d
\alpha_{s'\sigma(d)}$ pour un $\sigma\in S$. Comme les racines sont toutes distinctes,
-cela force l'égalité $s=s'\sigma$ \cad $sS=s'S$.
+cela force l'égalité $s=s'\sigma$ c'est-à-dire $sS=s'S$.
\end{proof}
Les polynômes en $\sous{u}$ $(s\Psi_S)(\sous{\alpha})-(s'\Psi_S)(\sous{\alpha})$ étant non nuls
pour $sS\neq s'S$, et en nombre fini, il existe un élément $\sous{u}\in \ZZ^{d+1}$,
@@ -589,7 +566,7 @@ Posons :
$$
\sum_p p_{\lambda}^{-s}=\frac{g_{\lambda}}{g_f}\log(\frac{1}{s-1})+R_{\lambda}(s).
$$
-On veut montrer que $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ \cad reste bornée
+On veut montrer que $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ c'est-à-dire reste bornée
quand $s→ 1+$.
Avec ces notations, les égalités précédentes deviennent :
$$
@@ -636,7 +613,7 @@ cf. \cite{Jordan@Serre}.
Le polynôme $f$ a une racine dans $𝐅_p$ si et seulement si,
la substitution de Frobenius agissant sur les racines dans $\sur{𝐅_p}$ a un point
fixe. Grâce au théorème, il s'agit de démontrer que $G$ possède un élément agissant
-sans point fixe (\cad qui ne soit pas de type $(1,\dots)$).
+sans point fixe (c'est-à-dire qui ne soit pas de type $(1,\dots)$).
La formule
$$
\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\mathrm{Fix}(\sigma)=\# \mathrm{Orbites},=1\
@@ -661,7 +638,7 @@ Alors, $a$ est un carré.
\end{corollaire2}
\begin{proof}
-Si $X^2-a$ était irréductible (\cad $a$ non carré), $a \mod p$ ne serait
+Si $X^2-a$ était irréductible (c'est-à-dire $a$ non carré), $a \mod p$ ne serait
pas un carré pour une infinité de $p$.
\end{proof}
diff --git a/chapitres/KASW.tex b/chapitres/KASW.tex
index 4ed265b..4cf5f47 100644
--- a/chapitres/KASW.tex
+++ b/chapitres/KASW.tex
@@ -1,25 +1,9 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-\synctex=1
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-\usepackage{srcltx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usetikzlibrary{calc}
-
-\title{Théorie de Kummer et Artin-Schreier-Witt}
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
+\title{Théories de Kummer, Artin-Schreier et Artin-Schreier-Witt}
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
\externaldocument{formes-tordues}
@@ -28,15 +12,8 @@
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{categories}
-
-%\textwidth16cm
-%\hoffset-1.5cm
-\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
-
\begin{document}
-\begin{center}
-Théories de Kummer, Artin-Schreier et Artin-Schreier-Witt
-\end{center}
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Théories de Kummer, Artin-Schreier et Artin-Schreier-Witt}
@@ -1819,11 +1796,11 @@ en ensembles $𝐀^𝐍$ lorsque $p>1$ et à $𝐀¹$ lorsque $p=1$.
\begin{remarque2}
Nous verrons ci-après qu'il existe une structure d'anneau sur $W_∞$ vérifiant
les propriétés suivantes : $(1-X)^{-1}$ est l'unité
-de la multiplication (que nous noterons $\varodot$) ;
-l'application $e_p$ est un endomorphisme de \emph{anneau} $(W_∞, ⊕,\varodot)$
+de la multiplication (que nous noterons $⊙$) ;
+l'application $e_p$ est un endomorphisme de \emph{anneau} $(W_∞, ⊕,⊙)$
(restreint aux $𝐙_{(p)}$-algèbres). L'exponentielle de Artin-Hasse
est donc l'idempotent correspondant
-à $e_p$ : $W_∞^{(p)}=W_{∞|𝐙_{(p)}} \varodot E_p ⊆ W_{∞|𝐙_{(p)}}$.
+à $e_p$ : $W_∞^{(p)}=W_{∞|𝐙_{(p)}} ⊙ E_p ⊆ W_{∞|𝐙_{(p)}}$.
\end{remarque2}
\subsubsection{}\label{p-coordonnées de Witt}
@@ -2285,16 +2262,16 @@ de groupe et EG} et du fait que l'on est en caractéristique $p>0$
que l'algèbre $E_{[q]}$ représente le foncteur $A ↦
(A[X]/X^{p^{r+1}})^×$, l'action naturelle de $𝐙/p^{r+1}$
sur $E_{[q]}$ correspondant à la multiplication par $1+X$.
-D'après \ref{structure Un sur Fp}, $E_{[q]}^{\japmath{田}}$
+D'après \ref{structure Un sur Fp}, $E_{[q]}^{田}$
se surjecte sur le foncteur $W_{[q]}$ par \XXX.
Admettons un instant qu'il existe un morphisme
-$B_{[q]}^{\japmath{田}} → W_{[q]}$ faisant commuter
+$B_{[q]}^{田} → W_{[q]}$ faisant commuter
le diagramme ci-dessous.
\begin{center}\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]
-{ E_{[q]}^{\japmath{田}} \pgfmatrixnextcell W_{[q]} \\ B_{[q]}^{\japmath{田}} \pgfmatrixnextcell W_{[q]}\\};
+{ E_{[q]}^{田} \pgfmatrixnextcell W_{[q]} \\ B_{[q]}^{田} \pgfmatrixnextcell W_{[q]}\\};
\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
\draw[->] (diag-1-2) -- node{$℘_{W_{[q]}}$} (diag-2-2);
\draw[->>] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
@@ -2336,14 +2313,14 @@ canonique) et $℘=F_p \ominus \Id : W_{[q]} → W_{[q]}$.
\subsubsection{}Bien que l'exponentielle d'une série formelle $f ∈ W_∞(A)$ ne
soit pas définie en général — à cause des divisions par $n!$ —, on peut malgré
tout considérer sa dérivée logarithmique On appelle \emph{morphisme fantôme} le morphisme
-\[\japmath{鬼}: W_∞ → \Ga^∞\]
+\[鬼: W_∞ → \Ga^∞\]
\[f ↦ X \frac{f ′}{f}.\]
\begin{proposition2}
morphisme ; injectif si sans $𝐙$-torsion, bijectif si $𝐐$-algèbre. Si
$𝐙_{(p)}$-algèbre $e_p$ « correspond » à $(a₁,a₂, …) ↦ (a_1,0, …,a_p,0,
…,a_{p²}, …)$.
-\[\japmath{鬼}\big(∏(1-α_i t^i)\big)=\big(∑_{d|n} d α_{n/d}\big).\]
+\[鬼\big(∏(1-α_i t^i)\big)=\big(∑_{d|n} d α_{n/d}\big).\]
\end{proposition2}
\subsection{Algèbres simples-centrales de degré $p^r$}
diff --git a/chapitres/brauer.tex b/chapitres/brauer.tex
index 2ad3f9b..47eb669 100644
--- a/chapitres/brauer.tex
+++ b/chapitres/brauer.tex
@@ -2036,14 +2036,14 @@ l'argument donné n'utilisait pas l'hypothèse que l'anneau des coefficients
soit un corps. Nous dirons donc que $p_φ$ est un \emph{projecteur de
rang un}.
-\subsubsection{}Soient $\mathrm{pr}_i$ les applications « $i$-ième vecteur colonne »
-de $𝐌_n(A)$ dans $A^n$ et $\mathrm{pr}_{i|M_φ}$ leurs restrictions
-à $M_φ$. L'application $\mathrm{pr}_{1|M_φ}$
+\subsubsection{}Soient $\pr_i$ les applications « $i$-ième vecteur colonne »
+de $𝐌_n(A)$ dans $A^n$ et $\pr_{i|M_φ}$ leurs restrictions
+à $M_φ$. L'application $\pr_{1|M_φ}$
induit un isomorphisme sur son image $L_φ$ dont l'inverse est
l'application $L_φ → M_φ$ envoyant $l$ sur $(φ(E_{1,1})l,…,φ(E_{n,1})l)$.
On peut donc reconstruire $L_φ$ à partir de $M_φ$ ; l'égalité
\[
-(ι_φ:L_φ^n ⥲ A^n)=∑_i \mathrm{pr}_{i|M_φ} ∘ {\mathrm{pr}_{1|M_φ}}^{-1}
+(ι_φ:L_φ^n ⥲ A^n)=∑_i \pr_{i|M_φ} ∘ {\pr_{1|M_φ}}^{-1}
\]
montre comment reconstruire $ι_φ$. (Par construction,
le terme de droite prolonge l'inclusion $L⊆A^n$.)
@@ -2052,9 +2052,9 @@ Pour tout anneau $A$, notons $𝐏⁰(𝐌_n)(A)$,
l'ensemble des sous-$A$-modules $M$ de $𝐌_n(A)$
tels que l'application « image » (cf. \ref{Skolem-Noether abstrait cas corps}
\emph{infra} pour une justification de cette terminologie)
-\[I_M := ∑_i \mathrm{pr}_{i|M}:M^n → A^n\] soit un isomorphisme.
-L'application \[M↦(L_M=\Im \mathrm{pr}_{1|M}, ι_M=∑_i \mathrm{pr}_{i|M} ∘
-{\mathrm{pr}_{1|M}}^{-1})\] est une bijection entre
+\[I_M := ∑_i \pr_{i|M}:M^n → A^n\] soit un isomorphisme.
+L'application \[M↦(L_M=\Im \pr_{1|M}, ι_M=∑_i \pr_{i|M} ∘
+{\pr_{1|M}}^{-1})\] est une bijection entre
$\mathbf{P}⁰(𝐌_n)(A)$ et $ℒ_n(A)$. Il en résulte que les foncteurs
$\Aut(𝐌_n)$ et $𝐏⁰(𝐌_n)$ sont isomorphes. (Si $A → B$ un morphisme de
$k$-algèbres, l'application $𝐏⁰(𝐌_n)(A) → 𝐏⁰(𝐌_n)(B)$ envoie $M⊆𝐌_n(A)$
@@ -2086,10 +2086,10 @@ un $k$-plongement de $R$ dans $R'$.
des ouverts d'un espace affine.)
Pour toute paire d'indices $(i,j)∈\{1,…,n\}²$,
et tout anneau $A$, posons
-\[𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A)=\{M∈𝐏⁰(𝐌_n)(A): \mathrm{pr}_{ij|M}:M ⥲ A\},\]
-où $\mathrm{pr}_{ij}$ est l'application $𝐌_n(A) ↠ A$
+\[𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A)=\{M∈𝐏⁰(𝐌_n)(A): \pr_{ij|M}:M ⥲ A\},\]
+où $\pr_{ij}$ est l'application $𝐌_n(A) ↠ A$
« coefficient $(i,j)$ de la matrice » et
-$\mathrm{pr}_{ij|M}$ sa restriction à $M$.
+$\pr_{ij|M}$ sa restriction à $M$.
Si $A$ est un corps, cela revient à regarder les droites comme ci-dessus
dont un élément a sa coordonnée en position $(i,j)$ inversible.
@@ -2124,7 +2124,7 @@ inversible mais il en résulte cependant que les coefficients d'une colonne
quelconque (par exemple la première) engendre l'idéal unité de $A$.
(Calculer le déterminant en développant le long de cette colonne.)
Si l'on inverse l'un quelconque de ces coefficients, disons $a_{i1}$,
-l'application $\mathrm{pr}_{i1|M}:M → A$ est un isomorphisme.
+l'application $\pr_{i1|M}:M → A$ est un isomorphisme.
Ceci achève la démonstration du fait que les sous-foncteurs
$𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)$ recouvrent $𝐏⁰(𝐌_n)$ .
diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex
index 58e65a6..5ae3b17 100644
--- a/chapitres/extensions-algebriques.tex
+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -224,7 +224,7 @@ algèbre $A_𝔵$ est isomorphe à $k$, de sorte que $A$ est
isomorphe à $k^{π₀(A)}$. (iv) ⇒ (ii). Il suffit de démontrer que pour chaque ensemble fini $X$,
le cardinal de l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k^X,k)$
est au moins égal à $[k^X:k]=\#X$. Ceci résulte de l'existence des projections
-$\mathrm{pr}_x:k^X→k$ (évaluation en $x$), chacune d'entre elles
+$\pr_x:k^X→k$ (évaluation en $x$), chacune d'entre elles
étant un morphisme de $k^X$ vers $k$. (iv) ⇒ (v).
La base canonique de $k^X$ est une base de vecteurs propres
des endomorphismes de multiplication par les éléments de $k^X$.
diff --git a/chapitres/formes-tordues.tex b/chapitres/formes-tordues.tex
index bad6d72..6cdf363 100644
--- a/chapitres/formes-tordues.tex
+++ b/chapitres/formes-tordues.tex
@@ -541,8 +541,8 @@ $k$-algèbres de rang
$n$ trivialisées par l'extension $K\bo k$.
Pour mémoire, rappelons que les trois applications
-$\{1,\dots,n\}→\Spec(K^n)$, $i↦\Ker(\mathrm{pr}_i)$
-($\mathrm{pr}_i$ est la projection sur le $i$-ième facteur),
+$\{1,\dots,n\}→\Spec(K^n)$, $i↦\Ker(\pr_i)$
+($\pr_i$ est la projection sur le $i$-ième facteur),
$\Hom_{K\traitdunion\categ{Alg}}(K^n,K)→\Spec(K^n)$,
$φ↦\Ker(φ)$, et
$\Aut_{K\traitdunion\categ{Alg}}(K^n)→\Aut_{\Ens}(\Hom_{K\traitdunion\categ{Alg}}(K^n,K))$,
@@ -648,7 +648,7 @@ l'application $x↦σ∘x$.
(Prendre garde que si $σ$ est une permutation d'un ensemble
fini $X$,
l'image inverse par l'automorphisme $(λ_x)↦(λ_{σ(x)})$ de
-$K^X$ de l'idéal premier $𝔭_x=\Ker(\mathrm{pr}_x)$
+$K^X$ de l'idéal premier $𝔭_x=\Ker(\pr_x)$
est $𝔭_{σ^{-1}(x)}$.) CQFD.
\end{démo}
@@ -717,7 +717,7 @@ où $G$ agit sur lui-même par translation à droite : $g ⋅h=hg^{-1}$. L'alg
il résulte de l'exercice \refext{Alg}{algebres finies via
idempotents} que l'application $G → \Spec(K^G)$ $g ↦ \Ann(e_g)$ est
une bijection\footnote{On obtient une seconde démonstration de ce fait en observant que
-$\Ann(e_g)=\Ker(\mathrm{pr}_g)$ et en utilisant \refext{Alg}{ideaux-k-X}}.
+$\Ann(e_g)=\Ker(\pr_g)$ et en utilisant \refext{Alg}{ideaux-k-X}}.
L'isomorphisme $G ⥲ \Spec(K^G)$
ainsi obtenu est $G$-équivariant, si l'on fait agir $G$ sur le spectre de
la manière naturelle, c'est-à-dire par $g ⋅ 𝔭=g(𝔭)$.
diff --git a/chapitres/krull.tex b/chapitres/krull.tex
index bf41a2f..9b3ed00 100644
--- a/chapitres/krull.tex
+++ b/chapitres/krull.tex
@@ -1,33 +1,13 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-%\usepackage{makeidx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
-%\usepackage{pxfonts}
-
-\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
+\title{Théorie de Galois infinie}
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
\externaldocument{categories}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{KAS}
-%\makeindex
-
-\title{Théorie de Galois infinie}
-
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
@@ -74,7 +54,7 @@ distingué d'indice fini algébrique.
\begin{démo}
(i) Soit $H⊆G$ contenant $H'=G_{K\bo k'}$ où $k'\bo k$ est
-finie. Quitte à agrandir $k'$ (\cad rétrécir $G_{K\bo k'}$),
+finie. Quitte à agrandir $k'$ (c'est-à-dire rétrécir $G_{K\bo k'}$),
on peut
supposer que $k'\bo k$ est finie galoisienne. L'application
composée $H/H'↪G/H' ⥲ \Gal(k'\bo k)$
@@ -106,7 +86,7 @@ les sous-groupes d'indice fini algébriques soient ouverts.
\begin{définition2}
On appelle \emph{topologie de Krull} sur $G$ la topologie
-pour laquelle un sous-ensemble $U$ de $G$ est ouvert \ssi
+pour laquelle un sous-ensemble $U$ de $G$ est ouvert si et seulement si
pour tout $u∈U$ il existe un sous-groupe
d'indice fini \emph{algébrique} $H_{u,U}$ de $G$ tel
que $uH_{u,U}$ soit contenu dans $U$.
@@ -126,7 +106,7 @@ que $U∩U'$ est ouvert.
Enfin, remarquons qu'il n'y a pas de « nouveaux »
sous-groupes ouverts :
-un sous-groupe de $G$ est ouvert \ssi il est d'indice fini
+un sous-groupe de $G$ est ouvert si et seulement si il est d'indice fini
algébrique.
Cela résulte immédiatement de la définition de la topologie
et
@@ -169,7 +149,7 @@ k}$ étant caractérisé par son action sur les $y_i$,
le morphisme $G→\{±1\}^𝐍$, $g\mapsto (\frac{g(y_i)}{y_i})$
est
injectif. D'autre part, pour tout $i∈𝐍$, le polynôme
-$X²-y_i$ est irréductible (\cad : n'a pas de racine) sur
+$X²-y_i$ est irréductible (c'est-à-dire : n'a pas de racine) sur
$k(y_j, j≠i)$ (exercice).
Il en résulte que pour toute partie finie $I⊆𝐍$, le corps
$k(y_i,i∈I)$ est isomorphe
@@ -237,7 +217,7 @@ de $K$ dans $K$ et munissons-le de la topologie produit
où chaque facteur $K$ est muni de la topologie discrète.
Montrons que l'injection canonique $G→K^K$, $g\mapsto
(g(λ))_{λ∈K}$, est
-continue, \cad que pour tout indice $λ∈K$, l'application
+continue, c'est-à-dire que pour tout indice $λ∈K$, l'application
composée
$G→K^K\dessusdessous{\ev_λ}{→}K_λ$ est continue, où on note $\ev_λ$
l'« évaluation en $λ$ », projection
@@ -315,7 +295,7 @@ réunion \emph{disjointe} des classes à gauche (ou à droite)
de $H$ dans $G$
(resp. des classes à gauche différentes de $H$). Puisque les
translations sont des homéomorphismes,
-chaque classe est ouverte (resp. fermée) \ssi $H$ l'est.
+chaque classe est ouverte (resp. fermée) si et seulement si $H$ l'est.
Les énoncés (i—iii) résultent immédiatement de cette
observation.
\end{démo}
@@ -488,7 +468,7 @@ constantes}\label{Spec(Hom(X,k))}
Soient $X$ un espace topologique, $k$ un corps muni de la
topologie discrète et
-$A$ l'anneau des fonctions \emph{continues} (\cad localement
+$A$ l'anneau des fonctions \emph{continues} (c'est-à-dire localement
constantes)
de $X$ dans $k$. Le morphisme d'évaluation
en $x$, $\ev_x:f↦f(x)$, est une surjection de $A$ sur $k$.
@@ -496,11 +476,11 @@ Son noyau
$\{f∈A: f(x)=0\}$ est donc un idéal maximal de $A$, que nous
noterons $\MM_x$.
-\begin{proposition3}\label{Spec(Hom(X,k))}
+\begin{proposition2}\label{Spec(Hom(X,k))}
Si l'espace topologique $X$ est quasi-compact et totalement
discontinu,
l'application $X→\Spec(A)$, $x↦\MM_x$, est une bijection.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{démo}
Puisque $X$ est totalement discontinu, l'application
@@ -582,7 +562,7 @@ $\MM_x$) n'appartiennent à $𝔭$.
%Réduction au cas où $G$ est fini.
%Cas où $G$ est fini.
%Soient $𝔭,𝔭'$ deux idéaux de $A$ ayant même image dans
-%$B=\Fix_G(A)$, \cad
+%$B=\Fix_G(A)$, c'est-à-dire
%tels que $𝔭⋂B=𝔭'⋂B=p$. Soit $x∈𝔭$ et considérons $y=∏_{g∈G}
%g(x)$. Il est
%$G$-invariant et appartient à $𝔭$ donc à $𝔭⋂B=𝔭'⋂B⊆𝔭'$.
@@ -604,17 +584,17 @@ $\MM_x$) n'appartiennent à $𝔭$.
\subsection{Le groupe de Galois, muni de la topologie de
Krull, est profini}\label{galois=profini}
-Considérons une famille $\mc{E}$
+Considérons une famille $\mathscr{E}$
de sous-$k$-extensions galoisiennes $E\bo k$
-(finies ou non) \emph{exhaustive}, \cad telle que
-$⋃_{E∈\mc{E}} E=K$.
+(finies ou non) \emph{exhaustive}, c'est-à-dire telle que
+$⋃_{E∈\mathscr{E}} E=K$.
Supposons que, munie de la relation d'ordre définie
par la relation d'inclusion des corps,
cette famille soit \emph{filtrante à droite} :
-pour toute paire d'extensions $E₁,E₂∈\mc{E}$,
-il existe $E∈\mc{E}$ telle que $E₁⊆E$ et $E₂⊆E$.
+pour toute paire d'extensions $E₁,E₂∈\mathscr{E}$,
+il existe $E∈\mathscr{E}$ telle que $E₁⊆E$ et $E₂⊆E$.
-Si $E$ et $E'$ sont dans $\mc{E}$, avec $E⊆E'$, la
+Si $E$ et $E'$ sont dans $\mathscr{E}$, avec $E⊆E'$, la
restriction à $E$ induit un morphisme surjectif
$π_{E,E'}:G_{E'\bo k}↠G_{E\bo k}$. Notons $\lim_E G_{E\bo
k}$ la limite de ce
@@ -625,7 +605,7 @@ Ce morphisme est :
\begin{itemize}
\item injectif car tout élément non trivial
de $G$ agit non trivialement sur un élément de $K$,
-et en particulier sur toute extension galoisienne $E∈\mc{E}$
+et en particulier sur toute extension galoisienne $E∈\mathscr{E}$
qui le contient ;
\item surjectif car toute famille compatible
d'éléments $(g_E∈G_{E\bo k})$ se « recolle »
@@ -633,7 +613,7 @@ en un automorphisme $g∈G_{K\bo k}$.
\end{itemize}
Ainsi, on a un isomorphisme de groupes abstraits :
$$
-G ⥲ \lim_{E∈\mc{E}} G_{E\bo k}.
+G ⥲ \lim_{E∈\mathscr{E}} G_{E\bo k}.
$$
Supposons maintenant que les extensions $E∈ℰ$ soient
@@ -645,13 +625,13 @@ la limite projective (des groupes de Galois des extensions
sous-extensions
finie galoisiennes de $K\bo k$).
-Puisque $G$ est compact et $\lim_{E∈\mc{E}} G_{E\bo k}$
+Puisque $G$ est compact et $\lim_{E∈\mathscr{E}} G_{E\bo k}$
séparé (car compact, cf. \ref{limite-compacts=compact}),
-la bijection $G→\lim_{E∈\mc{E}} G_{E\bo k}$ est un
+la bijection $G→\lim_{E∈\mathscr{E}} G_{E\bo k}$ est un
homéomorphisme
-\ssi elle est continue (\cite{TG@Bourbaki}, I.63, cor. 2).
+si et seulement si elle est continue (\cite{TG@Bourbaki}, I.63, cor. 2).
Par définition de la topologie de la limite,
-il suffit de vérifier que pour chaque $E'∈\mc{E}$ le
+il suffit de vérifier que pour chaque $E'∈\mathscr{E}$ le
morphisme composé $G→\lim_E G_{E\bo k}→G_{E'\bo k}$
est continu. Puisque c'est un morphisme de groupes et que le
but
@@ -675,9 +655,9 @@ $a⊗b\mapsto \big(g∈G\mapsto
g(a)b∈K'\big)$
induit un isomorphisme de $K'$-algèbres
$$
-K⊗_k K' ⥲ \Hom_{\cont}(G,K'),
+K⊗_k K' ⥲ \Hom_{\mathrm{cont}}(G,K'),
$$
-où $\Hom_{\cont}(G,K')$ désigne l'ensemble des applications
+où $\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$ désigne l'ensemble des applications
\emph{continues}
de $G$ dans $K'$, $G$ étant muni de la topologie de Krull et
$K'$ de la topologie
@@ -702,7 +682,7 @@ par translation à droite donc localement constante, et par
conséquent continue car l'espace
but est discret.
-Notons $\mc{E}$ l'ensemble des sous-$k$-extensions
+Notons $\mathscr{E}$ l'ensemble des sous-$k$-extensions
\emph{finies
galoisiennes} de $K$. La démonstration se fait par « passage
à la limite »
@@ -710,7 +690,7 @@ sur $E∈ℰ$.
Commençons par démontrer l'affirmation suivante, qui est une
variante
-de \refext{CG}{galois=autodiag} : pour tout $E∈\mc{E}$,
+de \refext{CG}{galois=autodiag} : pour tout $E∈\mathscr{E}$,
l'application $f_{E,K}:E⊗_k
K'→\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')$
envoyant $e⊗b$ sur $\big(g\mapsto g(e)b\big)$ est un
@@ -731,24 +711,25 @@ qui est $K'$-isomorphe à $\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')$ par
l'application
$β:φ⊗b\mapsto (g\mapsto φ(g)b)$.
La conclusion résulte de la commutativité du diagramme
-$$
-\xymatrix{
-(E⊗_k E)⊗_E K' \ar[r]^{f_{E,E}⊗_E K'} \ar[d]^{\alpha} &
-\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},E)⊗_E K'
-\ar[d]^{\beta} \\
-E⊗_k K' \ar[r]^{f_{E,F}} & \Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')
-}
-$$
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%(E⊗_k E)⊗_E K' \ar[r]^{f_{E,E}⊗_E K'} \ar[d]^{\alpha} &
+%\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},E)⊗_E K'
+%\ar[d]^{\beta} \\
+%E⊗_k K' \ar[r]^{f_{E,F}} & \Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')
+%}
+%$$
-Pour tout $E∈\mc{E}$, l'application $E⊗_k K'→ K ⊗_k K'$
+Pour tout $E∈\mathscr{E}$, l'application $E⊗_k K'→ K ⊗_k K'$
déduite de l'inclusion
$E⊆K$ est injective (cf. \refext{Cat}{}). De plus,
identifiant
$E⊗_k K'$ à son image dans $K ⊗_k K'$, on a (cf.
\refext{Cat}{}) :
-$$K⊗_k K'=⋃_{E∈\mc{E}} E⊗_k K'.$$
+$$K⊗_k K'=⋃_{E∈\mathscr{E}} E⊗_k K'.$$
-D'autre part, pour tout $E∈\mc{E}$, l'application
+D'autre part, pour tout $E∈\mathscr{E}$, l'application
$\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')→
\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$ déduite du morphisme de
restriction $r_E:G→G_{E\bo k}$
@@ -756,7 +737,7 @@ est injective car $r_E$ est surjectif. Identifiant
$\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')$ à son image dans
$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$,
on a :
-$$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')=⋃_{E∈\mc{E}}
+$$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')=⋃_{E∈\mathscr{E}}
\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K').$$
Soit en effet $f:G→K'$ une application continue ; on
souhaite
@@ -764,9 +745,9 @@ montrer qu'elle se factorise à travers un quotient par un
sous-groupe
distingué ouvert de $G$.
Comme remarqué plus haut, puisque $K'$ est discret,
-une application de but $K'$ est continue \ssi elle est
+une application de but $K'$ est continue si et seulement si elle est
localement
-constante \cad si pour tout $g∈G$, il existe un ouvert $U_g$
+constante c'est-à-dire si pour tout $g∈G$, il existe un ouvert $U_g$
de $G$ contenant
$g$ tel que $f(U_g)=\{f(g)\}$. Puisque $G$ est un groupe
topologique, on peut
@@ -787,13 +768,14 @@ factorise
donc par le groupe quotient $G/H$. CQFD.
La conclusion résulte de la commutativité des diagrammes
-$$
-\xymatrix{
-K⊗_k K' \ar[r] & \Hom_{\cont}(G,K') \\
-E⊗_k K' \ar[u] \ar[r] & \Hom(G_{E\bo k},K') \ar[u]
-}
-$$
-pour chaque $E∈\mc{E}$.
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%K⊗_k K' \ar[r] & \Hom_{\mathrm{cont}}(G,K') \\
+%E⊗_k K' \ar[u] \ar[r] & \Hom(G_{E\bo k},K') \ar[u]
+%}
+%$$
+pour chaque $E∈\mathscr{E}$.
Le fait que cet isomorphisme soit $G$-équivariant est
conséquence immédiate des définitions.
@@ -803,10 +785,10 @@ conséquence immédiate des définitions.
L'espace topologique sous-jacent à $G$ étant compact,
il résulte du résultat de \ref{Spec(Hom(X,k))} que le
spectre de
-$\Hom_{\cont}(G,K')$ est en bijection naturelle avec
+$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$ est en bijection naturelle avec
$G$, par l'application naturelle $g↦\Ker(\ev_g)$.
On retrouve le résultat de \refext{CG}{points-KtensK}, pour $K'=K$,
-puisque l'application $\ev_g:\Hom_{\cont}(G,K')→K'$
+puisque l'application $\ev_g:\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')→K'$
correspond
par l'isomorphisme de la proposition à l'application
$a⊗b↦g(a)b$,
@@ -847,7 +829,7 @@ de sorte que l'application $H\mapsto \Fix_H(K)$, de
l'ensemble
de \emph{tous} les sous-groupes de $G_{K\bo k}$ vers les
sous-corps de $K$ n'est injective
-que si $G=\Gal(K\bo k)$ est fini, \cad si l'extension $K\bo
+que si $G=\Gal(K\bo k)$ est fini, c'est-à-dire si l'extension $K\bo
k$ est finie.
\end{miseengarde2}
@@ -883,7 +865,7 @@ Le fait que $K\bo k'$ soit galoisienne n'est mis que pour
mémoire.
Soit $g$ un élément du sous-groupe \emph{fermé} $\Gal(K\bo
k')$.
-On veut montrer que $g$ est adhérent à $H$, \cad que pour
+On veut montrer que $g$ est adhérent à $H$, c'est-à-dire que pour
tout sous-groupe ouvert
$U$ de $G$, l'intersection $H∩gU$ est non vide. Il suffit de
le vérifier
@@ -1052,12 +1034,12 @@ Cf. p. ex., Fontaine, cours à Orsay. \XXX
On montre par Hilbert 90 que $\dim_k D(V)=\dim_{𝐅_p} V$.
Pour la réciproque, on utilise le·:
-\begin{lemme3} Soient $K$ un corps de caractéristique $p>0$
+\begin{lemme2} Soient $K$ un corps de caractéristique $p>0$
et
$(a_{ij})∈\GL_d(K)$. Posons $P_i=X_i^p+∑_j a_{ij}X_j$
et $A=K[X₁,…,X_d]/(P₁,…,P_d)$. Alors, le $𝐅_p$-sous-espace
vectoriel $A(K)$ de $K^d$ est de dimension finie $d$.
-\end{lemme3}
+\end{lemme2}
\end{démo}
Amplification. [Katz, «·p-adic properties of modular schemes
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 7cdc8dd..234e1bb 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1,36 +1,9 @@
%%% vim: set textwidth=80: %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/amsart}
-\usepackage{palatino,euler}
-
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-
-\InputIfFileExists{.cv.tex}{}{}
-
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-\usepackage{srcltx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usetikzlibrary{calc}
-\usepackage{pifont}
-\usepackage{mathtools} % pour mathrlap, cf. produit restreint
-
-\tikzset{column sep=3em,row sep=2em,text height=1.5ex, text depth=0.25ex}
-\tikzset{description/.style={fill=white,inner sep=1pt}}
-
-\def\russe#1{\foreignlanguage{russian}{#1}}
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
\title{Corps locaux, corps globaux}
-
\externaldocument{AC}
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
@@ -42,22 +15,14 @@
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{categories}
\externaldocument{AVD-Dedekind}
-
-%\textwidth16cm
-%\hoffset-1.5cm
-\usepackage[a4paper,left=4cm,right=4cm,marginpar=1.5cm,marginparsep=1cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
-
\begin{document}
-\begin{center}
-Corps locaux, corps globaux
-\end{center}
-\IfFileExists{.cv.tex}{\version}{}
+\maketitle
\tableofcontents
\else
-\chapter{corps locaux, corps globaux}
+\chapter{Corps locaux, corps globaux}
\fi
-\renewcommand{\mod}{\mathrm{mod}}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\module}{\mathrm}{mod}
\section{Corps locaux}
@@ -465,12 +430,12 @@ $ν(ψ)$ arbitrairement proche de $1$. Nécessairement, $μ(φ)=ν(φ)$ ; CQFD
Si $φ$ est un automorphisme de $G$ et $μ$ une mesure de Haar
invariante à gauche, la mesure de Radon $φ^*μ:f ↦ ∫_G f ∘ φ^{-1}   d μ$
est également une mesure de Haar. Il existe donc un nombre
-réel $\mod(φ)>0$, appelé \textbf{module} de $φ$, tel que $φ^*μ=\mod(φ) μ$ ; il
+réel $\module(φ)>0$, appelé \textbf{module} de $φ$, tel que $φ^*μ=\module(φ) μ$ ; il
ne dépend pas du choix de $μ$. Par construction,
-pour toute partie $μ$-mesurable $E$ de $G$, on a $μ(φ(E))=\mod(φ)μ(E)$.
+pour toute partie $μ$-mesurable $E$ de $G$, on a $μ(φ(E))=\module(φ)μ(E)$.
Si $G$ est \emph{compact}, tout automorphisme est de module
unité : en effet, $μ(G)<+∞$ (fait général aux mesures de Radon) et on a $μ(G)=μ(φ(G))$
-— car $φ(G)=G$ — donc $μ(G)=\mod(φ)μ(G)$, d'où le résultat.
+— car $φ(G)=G$ — donc $μ(G)=\module(φ)μ(G)$, d'où le résultat.
Appliquant cette observation au cas des automorphismes
intérieurs, on en déduit dans ce cas que si $E ⊆ G$ est mesurable,
on a $μ(E)=μ(gEg^{-1})=μ(Eg^{-1})$ : la mesure $μ$
@@ -524,12 +489,12 @@ Il résulte immédiatement de la formule ci-dessus que pour tout
automorphisme de $G$ induisant un automorphisme de $Γ$,
on a
\[
-\mod_G(φ)=\mod_{G/Γ}(φ)\mod_Γ(φ).
+\module_G(φ)=\module_{G/Γ}(φ)\module_Γ(φ).
\]
Dans le cas particulier considéré ici,
-on a $\mod_Γ(φ)=1$ car $Γ$ est discret,
-et $\mod_{G/Γ}(φ)=1$ car $G/Γ$ est compact,
-d'où $\mod_G(φ)=1$.
+on a $\module_Γ(φ)=1$ car $Γ$ est discret,
+et $\module_{G/Γ}(φ)=1$ car $G/Γ$ est compact,
+d'où $\module_G(φ)=1$.
Réciproquement, partant d'une mesure de Haar sur $G$,
et imposant à $μ_Γ$ d'être — par exemple — la mesure de comptage,
@@ -570,13 +535,13 @@ du paragraphe précédent.
\subsubsection{}Soit $K$ un corps topologique localement
compact, non discret. Fixons une mesure de Haar $μ$ sur le
-groupe additif de $K$. Pour chaque $a ∈ K^×$, notons $\mod_K(x)$
+groupe additif de $K$. Pour chaque $a ∈ K^×$, notons $\module_K(x)$
le module de l'automorphisme $[×a]:x ↦ ax$ du groupe additif
-de $K$ : $μ(aX)=\mod_K(a)μ(X)$ pour toute partie
-mesurable $X$ de $K$ de mesure finie. On étend cette définition en posant $\mod_K(0)=0$.
+de $K$ : $μ(aX)=\module_K(a)μ(X)$ pour toute partie
+mesurable $X$ de $K$ de mesure finie. On étend cette définition en posant $\module_K(0)=0$.
Dans cette section nous allons montrer comment
construire une valeur absolue sur $K$
-à partir de $\mod_K$ et démontrer un analogue
+à partir de $\module_K$ et démontrer un analogue
du théorème \refext{AVD-Dedekind}{EVT sur corps valué complet}
dans le cas d'un corps localement compact (cf. \ref{EVT sur corps localement compact} \emph{infra}).
Nous terminons par une démonstration du
@@ -586,15 +551,15 @@ théorème \ref{corps locaux conditions équivalentes}.
\begin{proposition2}
\label{continuité de modK}
-La fonction $\mod_K:K → 𝐑_+$ est continue et
-satisfaisant l'égalité $\mod_K(ab)=\mod_K(a)\mod_K(b)$ pour chaque $a,b ∈ K$.
+La fonction $\module_K:K → 𝐑_+$ est continue et
+satisfaisant l'égalité $\module_K(ab)=\module_K(a)\module_K(b)$ pour chaque $a,b ∈ K$.
\end{proposition2}
Ce résultat est également vrai lorsque $K$ est discret.
\begin{démo}
L'égalité est un cas particulier de la formule générale évidente :
-$\mod(φ ∘ ψ)=\mod(φ) \mod(ψ)$ où $φ$ et $ψ$
+$\module(φ ∘ ψ)=\module(φ) \module(ψ)$ où $φ$ et $ψ$
sont deux automorphismes d'un groupe localement compact.
Vérifions la continuité. Soit $C$ un voisinage compact
de $0$ dans $K$. Pour chaque $a ∈ K$ et chaque $ε>0$
@@ -604,11 +569,11 @@ Soit $A$ un voisinage compact de $a$ tel que $AC ⊆ U_{a,ε}$,
dont l'existence est assurée par la continuité du produit.
Pour chaque $x ∈ A$, on a :
\[
-\frac{μ(xC)}{μ(C)}=\mod_K(x) ≤ \mod_K(a)+ ε μ(C)^{-1}.
+\frac{μ(xC)}{μ(C)}=\module_K(x) ≤ \module_K(a)+ ε μ(C)^{-1}.
\]
-Il en résulte que la fonction $\mod_K$ est \emph{semi-continue
+Il en résulte que la fonction $\module_K$ est \emph{semi-continue
supérieurement}. En particulier, elle est continue en $0$ (où
-elle atteint son minimum.) L'égalité $\mod_K(x)=\mod_K(x^{-1})^{-1}$
+elle atteint son minimum.) L'égalité $\module_K(x)=\module_K(x^{-1})^{-1}$
pour chaque $x ≠ 0$ montre qu'elle est aussi semi-continue
inférieurement sur $K^×$ donc, finalement, continue.
\end{démo}
@@ -621,20 +586,20 @@ En déduire que $K$ n'est pas compact.
\subsubsection{}
\label{compacité des Br}
Soit $r>0$ un réel. Il résulte de la
-proposition précédente que l'ensemble $B_r=\{x ∈ K:\mod_K(x)
+proposition précédente que l'ensemble $B_r=\{x ∈ K:\module_K(x)
≤ r\}$ est un voisinage fermé de $0$ dans $K$. Montrons
qu'il est \emph{compact}. Soit $V$ un voisinage compact
de $0$ et $W$ un voisinage ouvert de $0$ tel que $WV ⊆ V$.
L'existence de $V$ résulte de la locale compacité de $K$ ;
celle de $W$ de la continuité du produit $K×K → K$.
-Le corps $K$ étant non discret et $\mod_K$ étant
+Le corps $K$ étant non discret et $\module_K$ étant
continue, il existe $x ∈ W ∩ V$ tel que
-$0<\mod_K(x)<1$. Par récurrence, $x^n$ appartient à $V$
+$0<\module_K(x)<1$. Par récurrence, $x^n$ appartient à $V$
pour tout $n ≥ 1$. Nous allons montrer que $B_r$ est contenu
dans une réunion finie d'ensembles $x^{-n}V$, $n ≥ 0$.
Soit $y$ une valeur d'adhérence de la suite $(x^n)$.
-Le réel $\mod_K(y)$ est valeur d'adhérence de la
-suite $\mod_K(x^n)=\mod_K(x)^n$ donc nul. Finalement, $y$
+Le réel $\module_K(y)$ est valeur d'adhérence de la
+suite $\module_K(x^n)=\module_K(x)^n$ donc nul. Finalement, $y$
est nul. Comme la suite $(x^n)$ appartient au \emph{compact} $V$,
elle tend donc vers $0$. Ainsi, pour chaque $a ∈ K$, il
existe $n ≥ 0$ — que l'on peut supposer minimal —
@@ -645,9 +610,9 @@ Si $n>0$, $x^n a ∈ V-xV$. Soit $X$
l'adhérence de $V-xV$ ; c'est un compact, car fermé
dans $V$, ne contenant pas $0$, car $xV$ en est un
voisinage. Il en résulte qu'il existe $m_r>0$
-tel que $\mod_K(y) ≥ m_r$ pour tout $y ∈ X$.
-En particulier, $\mod_K(x^n a)=\mod_K(a) \mod_K(x)^n ≥ m_r$.
-Comme $\mod_K(a)$ est inférieur à $r$ et $\mod_K(x)<1$,
+tel que $\module_K(y) ≥ m_r$ pour tout $y ∈ X$.
+En particulier, $\module_K(x^n a)=\module_K(a) \module_K(x)^n ≥ m_r$.
+Comme $\module_K(a)$ est inférieur à $r$ et $\module_K(x)<1$,
l'entier $n$ est majoré indépendamment de $a$. CQFD.
\subsubsection{}
@@ -657,9 +622,9 @@ voisinage de $0$ dans $K$ : pour tout voisinage $V$ de $0$,
il existe $r>0$ tel que $B_r ⊆ V$. Pour le montrer, on peut
supposer $V$ compact (par locale compacité de $K$). Soit $ρ$
un réel strictement supérieur à la borne supérieure
-de $\mod_K$ sur $V$ ; on a $V ⊆ B_ρ$. Soit $X$ l'adhérence
+de $\module_K$ sur $V$ ; on a $V ⊆ B_ρ$. Soit $X$ l'adhérence
de $B_ρ-V$. C'est un compact ne contenant pas $0$. Soit $σ$
-la borne inférieure de $\mod_K$ sur $X$ ; on a $0<σ ≤ ρ$.
+la borne inférieure de $\module_K$ sur $X$ ; on a $0<σ ≤ ρ$.
Considérons enfin $0<r<σ$ ; par construction, $B_r ∩ X= ∅$
et $B_r ⊆ V_ρ$ donc $B_r ⊆ V$.
@@ -667,23 +632,23 @@ et $B_r ⊆ V_ρ$ donc $B_r ⊆ V$.
\label{module est valeur absolue}
Soit
\[
-A_K=\sup_{\mod_K(x) ≤ 1} \mod_K(1+x) ,
+A_K=\sup_{\module_K(x) ≤ 1} \module_K(1+x) ,
\]
le réel $ ≥ 1$ dont l'existence est assurée par la continuité
-de la fonction $\mod_K$ (\ref{continuité de modK}) et la compacité
+de la fonction $\module_K$ (\ref{continuité de modK}) et la compacité
de $B_1$ (\ref{compacité des Br}).
Pour toute paire $(x,y) ∈ K²$, on a l'inégalité
\[
-\mod_K(x+y) ≤ A_K \max\{\mod_K(x),\mod_K(y)\}
+\module_K(x+y) ≤ A_K \max\{\module_K(x),\module_K(y)\}
\]
et $A_K$ est le plus petit réel pour lequel ceci soit vrai.
Pour vérifier l'inégalité, on peut supposer
-$x ≠ 0$ et $\mod_K(y) ≤ \mod_K(x)$, auquel
-cas on a $\mod_K(x+y)=\mod_K(1+yx^{-1}) \mod_K(x) ≤ A_K \mod_K(x)$ car
-$\mod_K(yx^{-1})≤ 1.$
+$x ≠ 0$ et $\module_K(y) ≤ \module_K(x)$, auquel
+cas on a $\module_K(x+y)=\module_K(1+yx^{-1}) \module_K(x) ≤ A_K \module_K(x)$ car
+$\module_K(yx^{-1})≤ 1.$
\subsubsection{}Soit $f_K$ la fonction $𝐍 → 𝐑_+$, $n ↦
-\mod_K(n)$. Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\module_K(n)$. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $f_K ≤ 1$
\item $A_K=1$.
@@ -697,7 +662,7 @@ Vérifions l'équivalence ci-dessus. Une récurrence immédiate montre que (ii)
Considérons la réciproque. Soient $r$ un entier et $n=2^r$.
Par récurrence sur $r$, on a
\[
-\mod_K(∑_{i=1}^n x_i) ≤ A_K^r \max_i \mod_K(x_i)
+\module_K(∑_{i=1}^n x_i) ≤ A_K^r \max_i \module_K(x_i)
\]
pour tout choix d'éléments $x₁,…,x_n ∈ K$.
Quitte à considérer des éléments nuls, cette inégalité
@@ -710,18 +675,18 @@ où $x$ et $y$ sont des éléments quelconques de $K$
et la somme de gauche contient $2^r+1 ≤ 2^{r+1}$ termes, on
obtient, grâce à l'hypothèse faite sur $f_K$,
\[
-\mod_K(x+y)^{2^r} ≤ A_K^{r+1} \max_i \{\mod_K(x)^i  \mod_K(y)^{2^r-i}\}.
+\module_K(x+y)^{2^r} ≤ A_K^{r+1} \max_i \{\module_K(x)^i  \module_K(y)^{2^r-i}\}.
\]
-Si $\mod_K(y) ≤ \mod_K(x)$, on en tire
+Si $\module_K(y) ≤ \module_K(x)$, on en tire
\[
-\mod_K(x+y) ≤ A_K^{(r+1)/2^r} \mod_K(x),
+\module_K(x+y) ≤ A_K^{(r+1)/2^r} \module_K(x),
\]
et l'inégalité ultramétrique par passage à la limite.
\subsubsection{}
\label{corps localement compacts archimédiens}
Soit $K$ un corps localement compact \emph{archimédien}.
-La restriction du module $\mod_K$ au sous-corps premier $𝐐$
+La restriction du module $\module_K$ au sous-corps premier $𝐐$
est $|⋅|_∞^c$, où $|⋅|_∞$ désigne la valeur absolue usuelle et $c>0$ est un réel.
D'autre part, la topologie induite sur $𝐐$ est celle donnée
par la valeur absolue : cela résulte de \ref{Br système
@@ -741,25 +706,25 @@ sur corps valué complet}).
\subsubsection{}
\label{corps localement compacts ultramétriques}
Soit $K$ un corps localement compact \emph{ultramétrique}.
-Posons $𝒪=\{x ∈ K: \mod_K(x) ≤ 1\}$ ; c'est l'ensemble que
+Posons $𝒪=\{x ∈ K: \module_K(x) ≤ 1\}$ ; c'est l'ensemble que
nous notions $B₁$ précédemment. Il est donc compact. D'autre
part, on a $𝒪+𝒪=𝒪$ car $K$ est ultramétrique. Ainsi, $𝒪$
est un sous-anneau compact de $K$ ; il est maximal
-car — comme il résulte de la continuité de $\mod_K$
-et de la formule $\mod_K(x^n)=\mod_K(x)^n$ —
+car — comme il résulte de la continuité de $\module_K$
+et de la formule $\module_K(x^n)=\module_K(x)^n$ —
tout sous-ensemble relativement compact de $K$
-est contenu dans $𝒪$. Le sous-ensemble $𝔪=\{x ∈ K:\mod_K(x)<1\}$
+est contenu dans $𝒪$. Le sous-ensemble $𝔪=\{x ∈ K:\module_K(x)<1\}$
de $𝒪$ est un idéal ; il est maximal car tout élément de $x ∈ 𝒪-𝔭$
est de module $1$ donc d'inverse $x^{-1}$ dans $𝒪$.
Soit $x_i$ ($i ∈ I$) un ensemble de représentants
de $𝒪$ modulo $𝔭$. L'ensemble $𝒪$ est recouvert par les ouverts
-disjoints $\{x ∈ K:\mod_K(x-x_i)<1\}$. L'ensemble $I$ est donc
+disjoints $\{x ∈ K:\module_K(x-x_i)<1\}$. L'ensemble $I$ est donc
fini ; le corps résiduel $k=𝒪/𝔭$ aussi. Le quotient $k$ étant
fini donc séparé, l'idéal $𝔭$ est fermé dans $𝒪$ donc
compact. Puisqu'il est recouvert par les ouverts
-$\{x:\mod_K(x)<1-1/n\}$, $n ≥ 1$, il existe $n$
-tel que $𝔭=\{x:\mod_K(x)<1-1/n\}$. La valeur
-absolue $\mod_K$ est donc discrète : son
+$\{x:\module_K(x)<1-1/n\}$, $n ≥ 1$, il existe $n$
+tel que $𝔭=\{x:\module_K(x)<1-1/n\}$. La valeur
+absolue $\module_K$ est donc discrète : son
image est un sous-groupe discret de $𝐑_+$.
Ainsi, $K$ est le corps des fractions d'un anneau de
valuation discrète de corps résiduel fini.
@@ -776,7 +741,7 @@ En caractéristique nulle, on peut à nouveau considérer
l'adhérence du corps $𝐐$ et utiliser \refext{AVD-D}{Ostrowki}).
En caractéristique $p>0$, on peut remplacer $𝐐$
par le corps $ℚ=𝐅_p(ϖ)$ engendré par un élément $ϖ ∈ K$ tel
-que $\mod_K(x)<1$. Un tel élément est nécessairement transcendant
+que $\module_K(x)<1$. Un tel élément est nécessairement transcendant
sur $𝐅_p$ sans quoi il serait une racine de l'unité,
de module $1$. Utilisant \refext{AVD-D}{k-valuations de k(X)},
il en résulte que l'adhérence de $ℚ$ dans $K$
@@ -878,7 +843,7 @@ constante : l'anneau des entiers $𝒪$ de $K$ étant
un voisinage de l'origine, on se ramène par translation
à montrer que toute fonction continue $𝒪 → 𝐂$ est localement constante.
Cela résulte de la définition de la topologie sur $𝒪=\lim_n 𝒪/ 𝔪^n$
-d'après laquelle $\Hom_\cont(𝒪,𝐂)=\colim_n \Hom(𝒪/𝔪^n,𝐂)$.
+d'après laquelle $\Hom_{\mathrm{cont}}(𝒪,𝐂)=\colim_n \Hom(𝒪/𝔪^n,𝐂)$.
Le fonction $f$ ci-dessus étant de plus à support
compact, il existe un entier $e ∈ 𝐙$
tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie
@@ -1003,9 +968,9 @@ du fait que $ψ$ est un morphisme de groupes. L'injectivité est alors
niveau nul, ce qui est loisible, on peut préciser :
si $x,x ′ ∈ 𝒪$ et $r ∈ 𝐍$, les restrictions
de $[×x]^* ψ$ et $[× x ′]^*ψ$ à $𝔪^{-r}𝒪$
-coïncident si et seulement si $x ≡ x ′ \mod 𝔪^r$.
+coïncident si et seulement si $x ≡ x ′ \module 𝔪^r$.
Observons que pour chaque $n ≥ 0$ et chaque $x_n ∈ 𝒪$,
-l'ensemble des relèvements de $x_n \mod 𝔪^n$ à $𝒪/𝔪^{n+1}$
+l'ensemble des relèvements de $x_n \module 𝔪^n$ à $𝒪/𝔪^{n+1}$
peut être muni d'une structure de torseur sous le groupe additif du
corps résiduel $k=𝒪/𝔪$ : si $ϖ$ est une uniformisante,
et $y ∈ 𝒪/𝔪^{n+1}$ un relèvement, on fait agir $λ ∈ k$ sur $y$
@@ -1194,7 +1159,7 @@ on a la généralisation suivante de
pour tout caractère continu $χ$ \emph{non trivial} sur un
groupe compact $G$ (noté multiplicativement) et toute mesure de Haar $μ$ sur $G$,
l'intégrale $I= ∫_G χ d μ$ est nulle. En effet, on a $I=∫_G χ(gh) d μ(h)$ pour
-tout $g ∈ G$ (car $\mod(g)=1$) de sorte que $I=χ(g)I$ pour tout $g ∈ G$
+tout $g ∈ G$ (car $\module(g)=1$) de sorte que $I=χ(g)I$ pour tout $g ∈ G$
et finalement $I=0$ car $χ ≠ 1$. On applique ce résultat à $G=𝔪^r$, $χ$ la restriction à $𝔪^r$
de $ψ_x$, et $μ=μ^{\mbox{\minus $+$}}$. (Notons que, comme signalé
ci-dessus, l'intégrale considérée ici est une somme finie : on peut
@@ -1240,7 +1205,7 @@ dans $𝐙[1/ \sqrt{q}]$ si le niveau de $ψ$ est impair.
Supposons $K=𝐐_p$ et fixons un caractère $χ: (𝐙/p)^× → 𝐂^×$.
Soit $f_χ$ l'unique fonction sur $𝐐_p$ à support dans $𝐙_p$
telle que pour chaque $x ∈ 𝐙_p$, on ait
-$f_χ(x)=χ(x \mod p)$, où l'on identifie naturellement le quotient
+$f_χ(x)=χ(x \module p)$, où l'on identifie naturellement le quotient
$𝐙_p/p 𝐙_p$ à $𝐙/p𝐙=𝐅_p$
et on étend $χ$ à $𝐅_p$ en la prolongeant par zéro.
On constate que $f_χ$ est localement constante et que l'on a l'égalité
@@ -2565,7 +2530,7 @@ la relation d'équivalence $∼$ est \emph{fermée}.
En effet, le saturé $HF$ d'un fermé $F$ de $G$
est l'image du morphisme propre — donc fermé —
composé de l'isomorphisme $H×G ⥲ H×G$, $(h,g) → hg$, et
-du morphisme propre $\mathrm{pr}₂:H×G → G$, $(h,g)↦ g$.
+du morphisme propre $\pr₂:H×G → G$, $(h,g)↦ g$.
\begin{proposition2}
\label{discrétion et séparation quotient}
@@ -2751,8 +2716,8 @@ craindre, le produit
d'espaces topologiques. Toute inclusion $U′ ⊆ U$ induit une immersion
ouverte (continue) $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U) ↪ (𝒳;\!𝒱)_𝐀(U′)$. Le produit restreint $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ (ou
simplement $𝒳_𝐀$) des $𝒳_s$ relativement aux $𝒱_s$ — aussi noté
-$\mathrlap{\coprod}{\prod}_{s ∈ Σ} (𝒳_s ;𝒱_s)$, ou simplement
-$\mathrlap{\coprod}{\prod}_{s ∈ Σ} 𝒳_s$ — est la colimite
+$\resprod_{s ∈ Σ} (𝒳_s ;𝒱_s)$, ou simplement
+$\resprod_{s ∈ Σ} 𝒳_s$ — est la colimite
\[(𝒳;\! 𝒱)_𝐀=\colim_{U ⊆ Σ} (𝒳;\!𝒱)_𝐀(U),\]
où $U$ parcourt les sous-ensembles cofinis de $Σ$. Ensemblistement,
$(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ est l'ensemble des $(x_s)_{s ∈ Σ} ∈ ∏_{s ∈ Σ} 𝒳_s$ tels que pour presque
@@ -2982,7 +2947,7 @@ Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$.
discrète, est continue et est un isomorphisme modulo les compacts : l'image de $K$
dans $K_𝐀$ est discrète et le quotient $K_𝐀 / K$ est compact.
Cependant, si $U$ est \emph{affine} (\ref{normalité triviale}, \ref{OKU Dedekind}), le morphisme diagonal
-$K → \mathrlap{\coprod}{\prod}_{u ∈ U} (K_{\chap{u}} ; K_{\chap{u}}^+)$ est d'image \emph{dense}.
+$K → \resprod_{u ∈ U} (K_{\chap{u}} ; K_{\chap{u}}^+)$ est d'image \emph{dense}.
\commentaire{notations non homogènes, cf. $\chap{u}$...}
\item L'inclusion $𝒪_K(U) → ∏_{x ∉ U} K_x$, où $𝒪_K(U)$ est muni de la topologie discrète, est
un isomorphisme modulo les compacts.
@@ -3099,7 +3064,7 @@ de la formule de multiplicativité des modules (\ref{module et mesure quotients}
que le module de l'automorphisme $[×a]:K → K$ est égal à $1$.
D'autre part, il résulte immédiatement de la construction
de la mesure de Haar adélique (\ref{mesure produit-colimite})
-que $\mod_K([×a])= ∏_x \mod_{K_x}([×a])$.
+que $\module_K([×a])= ∏_x \module_{K_x}([×a])$.
Les facteurs sont respectivement égaux à $|a|_x$. CQFD.
\end{démo}
@@ -3144,7 +3109,7 @@ si pour chaque nombre premier $p$, $x_p$ désigne l'idèle de $𝐐$
dont la seule coordonnée non triviale vaut $p$ en $p$, la suite $x_p$ converge
vers $1$ dans $𝐐_𝐀$ mais pas dans $𝐐^×_𝐀$
-Notons également que la norme $K_𝐀 → 𝐑_{≥0}$, $a↦ \mod_{K_𝐀}([×a])=∏_x |a_x|_x$,
+Notons également que la norme $K_𝐀 → 𝐑_{≥0}$, $a↦ \module_{K_𝐀}([×a])=∏_x |a_x|_x$,
n'est \emph{pas} continue pour la topologie adèlique, alors que sa restriction
en $K^×_𝐀 → 𝐑_{>0}$ l'est — essentiellement par définition — pour la topologie
idélique : si pour chaque entier $n$, $x_n$ désigne l'adèle de $𝐐$ tel que $x_{n,∞}=1$ et
@@ -4027,8 +3992,8 @@ adélique}).
\begin{enumerate}
\item La mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est indépendante
du choix de $ψ$ et coïncide l'unique mesure de Haar
-$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$, dite \emph{mesure de Tamagawa},
-telle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ soit le produit
+$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}$, dite \emph{mesure de Tamagawa},
+telle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}$ soit le produit
(au sens de \ref{module et mesure quotients}) de la mesure de comptage sur le groupe discret $K$ par
la mesure de Haar normalisée sur le groupe \emph{compact} $K_𝐀/K$.
@@ -4058,7 +4023,7 @@ forme $[×a]^*ψ$ (noté également $ψ_a$) pour un unique $a ∈ K^×$. Il ré
$+$}}_{ψ_a}$. (On montre également, en utilisant la formule
$ℱ_{ψ_a}(f)=[× a^{-1}]^* ℱ_{ψ}(f)$ que le terme de droite de l'égalité (iii)
ne dépend pas de $ψ$, comme attendu.) Le fait que la mesure induite
-par $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ sur le quotient $K_𝐀/K$
+par $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}$ sur le quotient $K_𝐀/K$
soit \emph{normalisée} sera établi à la fin de la démonstration.
\subsubsection{Formule d'inversion}
@@ -4453,7 +4418,7 @@ et son analogue complexe $ℱ_{𝐂}(g_𝐂)=\big(g_𝐂:z↦ \frac{1}{π}e^{-2
L'égalité locale $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}=|d_{ψ,x}|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}$
entraîne l'égalité
\[
-μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}=|d_ψ|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁.
+μ^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}=|d_ψ|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁.
\]
Le module $|d_ψ|$ ne dépendant pas du choix de $ψ$, on
le note dorénavant $|d_K|$.
@@ -4496,9 +4461,9 @@ Pour toute mesure de Haar $μ$ sur $K_𝐀$, notons ici
$\sur{μ}$ l'unique mesure de Haar sur $K_𝐀/K$
telle que $μ$ soit le produit (au sens de \ref{module et mesure quotients})
de $\sur{μ}$ par la mesure de comptage sur le sous-groupe discret $K$.
-Compte tenu des égalités $\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(K_𝐀 ∕ K)=1$
+Compte tenu des égalités $\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}(K_𝐀 ∕ K)=1$
(\ref{Fourier adélique}, (i)), et $μ^{\mbox{\minus
-$+$}}_{\japmath{玉}}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
+$+$}}_{玉}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
(\ref{Tamagawa et idèle différentiel}), on a :
\[
\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)
@@ -5141,7 +5106,7 @@ Soient $K$ un corps global, $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial des classes d
et $χ$ un quasi-caractère multiplicatif des idèles $K^×_𝐀$.
Soit $f:K_𝐀 → 𝐂$ une fonction dans $𝒮(K_𝐀)$.
\begin{enumerate}
-\item L'intégrale $∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est absolument convergente et définit une fonction
+\item L'intégrale $∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{玉}$ est absolument convergente et définit une fonction
holomorphe $ζ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$. Dans ce domaine, elle s'exprime
comme un produit « eulérien » absolument convergent
\[
@@ -5253,8 +5218,8 @@ exactement $h_K>0$ diviseurs de degré $n$.
Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une
constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
$$
-\{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in
-\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\}
+\{\mathfrak{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \mathfrak{a}\in
+\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\mathfrak{a})\leq t\}
$$
soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$.
\end{corollaire2}
@@ -5279,7 +5244,7 @@ $𝐑$-algèbre $K ⊗_𝐐 𝐑$.
\begin{théorème2}[Minkowski]
Soit $K\bo 𝐐$ une extension finie de degré $d$.
\[
-\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}.
+\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}.
\]
\end{théorème2}
@@ -5305,7 +5270,7 @@ Admettons que
$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
- \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$
+ \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.
@@ -5402,7 +5367,7 @@ $$
Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc,
-la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
+la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, c'est-à-dire $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$,
on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit
l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$.
@@ -5487,7 +5452,7 @@ qui est égale à $\exp(∑_{n=1}^∞ N(n)\frac{T^n}{n})$ (cf. \ref{réécriture
par $P$, on a $c_{2g-n}=q^{g-n}c_n$ pour chaque $0 ≤ n ≤ g$. Il en résulte que la fonction
Zêta $Z=P (1-T)^{-1}(1-qT)^{-1}$ est déterminée par $c₁,…,c_g$.
Or, l'égalité
-$1+c₁T+c₂T²+\cdots+c_g T^g ≡ (1-T)(1-qT)\exp(∑_{n=1}^∞ N(n)\frac{T^n}{n})) \mod (T^{g+1})$
+$1+c₁T+c₂T²+\cdots+c_g T^g ≡ (1-T)(1-qT)\exp(∑_{n=1}^∞ N(n)\frac{T^n}{n})) \module (T^{g+1})$
montre que ces coefficients $c₁,…,c_g$ sont déterminés par les $N(n)$, $1 ≤ n ≤ g$.
\end{démo}
@@ -5573,7 +5538,7 @@ Il suffit de vérifier que les fonctions $f_s ∈ K$ sont linéairement
indépendantes sur $K′=K^{q′}$. Or, si $∑_s λ_s^{q′} f_s=0$, où les coefficients
$λ_s$ sont non nuls et dans $K$, il existe deux indices distincts $s₁,s₂$
dans $S_{≤ N}$ tels que $v_x( λ_{s₁}^{q′} f_{s₁})=v_x(λ_{s₂}^{q′}
-f_{s₂})$. Or, une telle égalité entraîne la congruence $s₁ ≡ s₂ \mod q′$, ce qui
+f_{s₂})$. Or, une telle égalité entraîne la congruence $s₁ ≡ s₂ \module q′$, ce qui
est exclu car $s₁$ et $s₂$ sont majorés par $N=q′ -1$.
Il résulte de ce qui précède que le sous-$k$-espace vectoriel $ℒ_{N,M}$ de $K$
diff --git a/chapitres/omega.tex b/chapitres/omega.tex
index 41fed71..fda3639 100644
--- a/chapitres/omega.tex
+++ b/chapitres/omega.tex
@@ -1,25 +1,9 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-\synctex=1
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-\usepackage{srcltx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usetikzlibrary{calc}
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
\title{Différentielles}
-
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
\externaldocument{formes-tordues}
@@ -28,15 +12,8 @@
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{categories}
-
-%\textwidth16cm
-%\hoffset-1.5cm
-\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
-
\begin{document}
-\begin{center}
-Différentielles
-\end{center}
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Différentielles}
diff --git a/chapitres/verselles.tex b/chapitres/verselles.tex
index 298787a..f4ccca0 100644
--- a/chapitres/verselles.tex
+++ b/chapitres/verselles.tex
@@ -1,26 +1,9 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-
-\synctex=1
-
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-%\usepackage{makeidx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
-%\usepackage{pxfonts}
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
+\title{Équations verselles et petits degrés}
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
\externaldocument{categories}
\externaldocument{entiers}
@@ -30,18 +13,8 @@
\externaldocument{formes-tordues}
\externaldocument{cohomologie-groupes}
\externaldocument{KASW}
-
-%\makeindex
-
-\setcounter{tocdepth}{1}
-
-\textwidth16cm
-\hoffset-1.5cm
-
\begin{document}
-\begin{center}
-Équations verselles et petits degrés
-\end{center}
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Équations verselles et petits degrés}
@@ -57,7 +30,7 @@ contient strictement $k$ et est inclus dans $K$. Ainsi, la
$k$-extension $K$ est isomorphe au quotient $k_f=k[X]/f$ où $f=X²-aX+b$ est un
polynôme irréductible de degré deux. Par irréductibilité, le coefficient $b$ est
nécessairement non nul. L'extension $K$ est séparable
-\ssi le polynôme $f$ est séparable
+si et seulement si le polynôme $f$ est séparable
(\refext{Alg}{dec(f)-sep=>f-red-separable}),
ce qui est le cas sauf si $\car(k)=2$ et $a=0$
(cf. \refext{Alg}{separable-irreductible}).
@@ -84,7 +57,7 @@ d'\emph{Artin-Schreier}\index{Artin-Schreier}, cf. \refext{KAS}{}.)
En résumé, nous avons établi la proposition suivante.
-\begin{proposition}\label{equation verselle C2}
+\begin{proposition2}\label{equation verselle C2}
\begin{enumerate}
\item Soit $k$ un corps. Toute extension séparable de degré
deux est galoisienne
@@ -94,14 +67,14 @@ $X²-σX+1$ où $σ∈k$, de discriminant $σ²-4$ et de distinguant
$(σ²-4)^{-1}$.
\item Si $k$ est de caractéristique différente de deux,
l'équation précédente se transforme en $X²-π$,
-de discriminant $4π$. Un tel polynôme est irréductible \ssi
+de discriminant $4π$. Un tel polynôme est irréductible si et seulement si
$π∉k²$.
\item Si $k$ est de caractéristique deux, l'équation
précédente
se transforme en $X²-X-a$, de $2$-distinguant $a$.
-Un tel polynôme est irréductible \ssi $a∉℘k$.
+Un tel polynôme est irréductible si et seulement si $a∉℘k$.
\end{enumerate}
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
%idéalement, remplacer $℘$ par un $2$ sous une forme
%spéciale.
@@ -110,7 +83,7 @@ Les énoncés sur l'irréductibilité sont évidents et résultent
d'ailleurs de \refext{CG}{caracterisation groupe Gal
alterne}.
-\begin{remarque}
+\begin{remarque2}
La proposition ci-dessus ne donne pas une description
parfaite des extensions galoisiennes de degré deux : la
famille
@@ -121,13 +94,13 @@ les extensions $k_σ\bo k$ et $k_σ'\bo k$ peuvent
$σ²<4$ et $𝐑_σ≃𝐑²$ dans le cas contraire.)
L'équation ci-dessus est donc une équation « verselle »
et non universelle.
-\end{remarque}
+\end{remarque2}
\section{Extensions de groupe $C₃=𝐙/3$}
Nous nous proposons d'exhiber une équation verselle (à un
paramètre)
-pour le groupe $C₃$, \cad une équation (à un paramètre)
+pour le groupe $C₃$, c'est-à-dire une équation (à un paramètre)
décrivant,
de façon non nécessairement unique, les extensions
galoisienne de groupe $C₃$ d'un corps $k$.
@@ -221,14 +194,14 @@ racine
d'un polynôme du type attendu (où $a=\frac{y³-3y+1}{y²-y}$).
Il faut vérifier que, pour un choix convenable de $x$, $y_x$
engendre $K$ sur
-$k$, \cad n'appartient pas à $k$. La condition $y∈k$ se
+$k$, c'est-à-dire n'appartient pas à $k$. La condition $y∈k$ se
réécrit $σ(y)=y$
ou encore $y(1-y)=1$, équation ayant au plus deux solutions
dans $K$.
Or, si $1,α,β$ est une $k$-base de $K$, les quantités
$y_α,y_β$ et $y_{α+β}$
sont deux à deux distinctes.
-En effet, si par exemple $y_α=y_β=λ∈k$, \cad
+En effet, si par exemple $y_α=y_β=λ∈k$, c'est-à-dire
\[
\frac{α-σ²(α)}{α-σ(α)}=λ=\frac{β-σ²(β)}{β-σ(β)},
\]
@@ -326,18 +299,18 @@ En résumé, on a démontré la proposition suivante :
Soient $k$ un corps et $f=X³+aX+b$ un polynôme irréductible
séparable sur $k$.
Le groupe de Galois du polynôme $f$ est cyclique d'ordre
-trois \ssi
+trois si et seulement si
le polynôme $Y²+3bY+(a³+9b²)$ est scindé sur $k$.
\end{proposition2}
\begin{remarque2}\label{ce n'est pas une coincidence}
Il résulte des formules \refext{CG}{} que
\[
-\japmath{別}(Y²+3bY+(a³+9b²))=-\frac{a³+\mathbf{9}b²}{4a³+27b²}
+別(Y²+3bY+(a³+9b²))=-\frac{a³+\mathbf{9}b²}{4a³+27b²}
\]
et
\[
-\japmath{別}(X³+aX+b)=-\frac{a³+\mathbf{7}b²}{4a³+27b²}.
+別(X³+aX+b)=-\frac{a³+\mathbf{7}b²}{4a³+27b²}.
\]
La somme des deux racines du polynôme quadratique est $3b$,
où $b≠0$
@@ -380,12 +353,12 @@ $k₄=k₂(\sqrt{a+b\sqrt{ε}})$.
\begin{enumerate}
\item L'extension $k₄\bo k$ est galoisienne de groupe
cyclique
-d'ordre quatre \ssi $\N_{k_2\bo k}(a+b\sqrt{ε})=a²-εb²$ est
+d'ordre quatre si et seulement si $\N_{k_2\bo k}(a+b\sqrt{ε})=a²-εb²$ est
de la forme $εc²$ pour
un $c∈k^×$.
\item Une extension quadratique $k(\sqrt{ε})$ se plonge
dans une extension galoisienne de groupe cyclique d'ordre
-quatre \ssi $ε$ est une somme
+quatre si et seulement si $ε$ est une somme
de deux carrés dans $k$.
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -520,7 +493,7 @@ carrées (usuelles) par des racines $\root℘\of{}$.
\begin{exercice2}
Déduire du théorème précédent qu'un
polynôme $X⁴+AX²+B$ est de groupe de Galois isomorphe
-à $C₄$ \ssi $A²-4B∉k²$ et $\frac{A²-4B}{B}∈{k^×}²$.
+à $C₄$ si et seulement si $A²-4B∉k²$ et $\frac{A²-4B}{B}∈{k^×}²$.
\end{exercice2}
\begin{exercice2}
@@ -535,7 +508,7 @@ de $X$ sur $𝐐(T)$ est
X⁴-TX³+6X²+TX+1=0
\]
\item Montrer que l'équation ci-dessus est verselle
-\ssi $-1$ est un carré dans $k$.
+si et seulement si $-1$ est un carré dans $k$.
\end{enumerate}
\end{exercice2}
@@ -556,7 +529,7 @@ on associe le corps $k₄=k₂(\sqrt[℘]{a+b\sqrt[℘]{ε}})$.
\begin{enumerate}
\item L'extension $k₄\bo k$ est galoisienne de groupe
cyclique
-d'ordre quatre \ssi $\Tr_{k_2\bo k}(a+b\sqrt[℘]{ε})=b$ est
+d'ordre quatre si et seulement si $\Tr_{k_2\bo k}(a+b\sqrt[℘]{ε})=b$ est
de la forme
$ε+℘(c)$ pour un $c∈k$.
\item Une extension quadratique $k(\sqrt[℘]{ε})$ se plonge
@@ -639,7 +612,7 @@ $W_{r+1}(k)/℘W_{r+1}(k)↠W_{r}(k)/℘W_{r}(k)$
Déduire du théorème précédent
qu'un polynôme $X⁴+aX²+bX+c$ est de groupe de Galois
isomorphe
-à $C₄$ \ssi $...$ et $...$. \XXX
+à $C₄$ si et seulement si $...$ et $...$. \XXX
\end{exercice2}
\section{¶ Extensions de groupe quaternionique}
@@ -1186,7 +1159,7 @@ $\Hom_k(k[𝐇_k],A)$ est naturellement isomorphe
à l'ensemble $𝐇(A)$ est quaternions à coefficients
dans $k$. (En d'autres termes, l'algèbre
$k[𝐇_k]$ \emph{représente} (cf. \refext{Categ}{}) le \emph{foncteur}
-$𝐇:A ↦ 𝐇(A)$ : $𝐇=k[𝐇_k]^{\japmath{田}}$.)
+$𝐇:A ↦ 𝐇(A)$ : $𝐇=k[𝐇_k]^{田}$.)
De même $\Hom_k(k[𝐇_k][\frac{1}{x₁²+x²_\i+x²_\j+x²_\k}],A) ⥲ 𝐇^×(A)$.
Remarquons que les anneaux $k[𝐇^×]:=k[𝐇_k][\frac{1}{x₁²+x²_\i+x²_\j+x²_\k}]$
et $k[𝐇_k]$ ont même corps des fractions de sorte qu'il suffit
@@ -1366,7 +1339,7 @@ Signalons la caractérisation suivante des bases normales.
\begin{proposition2}\label{caracterisation base normale}
Soient $K\bo k$ une extension finie galoisienne de groupe $G$
et $x∈K$. Les éléments $g(x)$, où $g$ parcourt $G$,
-forment une base de $K$ sur $k$ \ssi le déterminant
+forment une base de $K$ sur $k$ si et seulement si le déterminant
$\det\big(g′g(x)\big)_{(g ′,g)∈G²}$ est non nul.
\end{proposition2}
@@ -1419,7 +1392,7 @@ g^{-1}(λ)μ \,e_{g})$ (produit dans $K[G]$). Ce produit est $y=∑_g g^{-1}(λ)
\begin{proposition2}\label{pleine-fidelite-cb}
Soient $k$ un corps, $K\bo k$ une extension, $A$ une $k$-algèbre non nécessairement commutative
et $A_K$ le produit tensoriel $A⊗_k K$. Deux $A$-modules à gauche $M₁$ et $M₂$
-\emph{de dimension finie sur $k$} sont $A$-isomorphes \ssi $M₁⊗_k K$ et $M₂⊗_k
+\emph{de dimension finie sur $k$} sont $A$-isomorphes si et seulement si $M₁⊗_k K$ et $M₂⊗_k
K$ sont $A_K$-isomorphes.
\end{proposition2}
@@ -1432,7 +1405,7 @@ Ceci est suffisant pour démontrer le théorème de la base normale car tout gro
d'une extension finie de corps finis est cyclique.
\begin{démo}
-Soient $M₁$ et $M₂$ comme dans l'énoncé, supposés isomorphes sur $K$ \cad tels
+Soient $M₁$ et $M₂$ comme dans l'énoncé, supposés isomorphes sur $K$ c'est-à-dire tels
qu'il existe un $A_K$-isomorphisme ${M₁}_K≃{M₂}_K$.
Nécessairement $\dim_k(M₁)=\dim_k(M₂)$ car $\dim_k(M_i)=\dim_K({M_i}_K)$ pour
chaque $i∈\{1,2\}$. Soit $V=\Hom_A(M₁,M₂)$ ; c'est un sous-$k$-espace vectoriel de
@@ -1547,9 +1520,9 @@ les extensions de groupe $G$.
\end{théorème2}
Rappelons que l'ensemble des $k$-morphismes de $BG$ vers une $k$-algèbre
-$T$ est noté $BG^\japmath{田}(T)$. Le théorème précédent
+$T$ est noté $BG^田(T)$. Le théorème précédent
affirme donc que toute extension galoisienne de $K$ de groupe
-$G$ correspond à (au moins) un élément de l'ensemble $BG^\japmath{田}(K)$
+$G$ correspond à (au moins) un élément de l'ensemble $BG^田(K)$
des \emph{$K$-points de $BG$}. Le choix des notations
provient de la topologie, où l'on note souvent $BG$
les espaces dit « classifiants » et $EG$ le « $G$-torseur universel »
@@ -1569,12 +1542,15 @@ Le morphisme composé $k[x_g:g∈G] ↪ K[x_g:g∈G] → L$ s'étend
donc, de façon unique, en un $k$-morphisme $EG → L$.
Par construction, ce morphisme est $G$-équivariant ;
il s'insère donc dans un diagramme commutatif
-\[
-\xymatrix{
-L & EG \ar[l] \\
-K \ar[u] & BG \ar[u] \ar[l]
-}
-\]
+
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%\[
+%\xymatrix{
+%L & EG \ar[l] \\
+%K \ar[u] & BG \ar[u] \ar[l]
+%}
+%\]
+
On utilise ici le fait que $\Fix_G(L)=K$.
Par propriété universelle du produit tensoriel d'algèbres,
le morphisme $EG → L$ se factorise en
@@ -1593,7 +1569,7 @@ est un isomorphisme.
Soient $G$ un groupe abélien et $k$ un anneau. Le foncteur $k\traitdunion\Alg→\Ens$,
associant à une $k$-algèbre $A$ l'ensemble $\Hom_{\Ens}(G,A)=A^{(G)}$ est
représentable par la $k$-algèbre $CG=k[x_g:g∈G]$. En effet, l'application
-\[CG^\japmath{田}(A)=\{φ \colon k[x_g:g∈G]→A\}→\Hom_{\Ens}(G,A),\]
+\[CG^田(A)=\{φ \colon k[x_g:g∈G]→A\}→\Hom_{\Ens}(G,A),\]
envoyant un morphisme $φ $ sur la fonction $f_φ: g↦φ(x_g)$ est une bijection fonctorielle en $A$.
Pour chaque $A$, les ensembles $\Hom_{\Ens}(G,A)$
@@ -1602,13 +1578,13 @@ donnée par le \emph{produit de convolution} :
\[(f⋆f')(h)=∑_{gg'=h}f(g)f'(g').\] Cette $k$-algèbre n'est autre que
l'algèbre de groupe $A[G]$. Le produit $A[G]×A[G]→A[G]$, pour $A$
variable, correspond donc à un morphisme de foncteurs
-\[CG^\japmath{田}×CG^\japmath{田}→CG^\japmath{田}.\] Par
+\[CG^田×CG^田→CG^田.\] Par
définition du produit tensoriel, le foncteur « produit cartésien »
-$CG^\japmath{田}×CG^\japmath{田}$ envoyant
-$A$ sur $CG^\japmath{田}(A)×CG^\japmath{田}(A)$ est représentable
+$CG^田×CG^田$ envoyant
+$A$ sur $CG^田(A)×CG^田(A)$ est représentable
par le produit tensoriel $CG ⊗_k CG$.
D'après le lemme de Yoneda, le morphisme de foncteurs
-$CG^\japmath{田}×CG^\japmath{田}→CG^\japmath{田}$,
+$CG^田×CG^田→CG^田$,
déduit du produit de convolution, correspond à un morphisme de $k$-algèbres
dans l'autre sens :
\[
@@ -1702,15 +1678,15 @@ tensoriel $k[T,T^{-1}]^{⊗ μ}$ (produit tensoriel indicé par l'ensemble
à $n$ éléments $μ$), lui-même isomorphe à l'algèbre
$k[T_ζ^{±1}: ζ ∈ μ]$. Soit $ζ ∈ μ$ une racine primitive. La projection
$\pr_ζ:\Gm^μ→\Gm$ induit, via l'isomorphisme
-$E_n^\japmath{田} ≃ \Gm^ μ$, un morphisme de foncteurs
-$E_n ^\japmath{田}→\Gm$ ; il est $𝐙/n$-équivariant
+$E_n^田 ≃ \Gm^ μ$, un morphisme de foncteurs
+$E_n ^田→\Gm$ ; il est $𝐙/n$-équivariant
si l'on fait agir $\sur{i} ∈ 𝐙/n$ sur $\Gm$ par multiplication
par la puissance $ζ^{\sur{i}}$ de $ζ$. Le morphisme composé
-de foncteurs $E _n ^\japmath{田}→\Gm \dessusdessous{[n]}{→} \Gm=k[X,X^{-1}]^\japmath{田}$
+de foncteurs $E _n ^田→\Gm \dessusdessous{[n]}{→} \Gm=k[X,X^{-1}]^田$
étant $𝐙/n$-équivariant, où le second $\Gm$ est muni
de l'action triviale, il se factorise
-à travers le morphisme de foncteurs $E_n ^\japmath{田}→ B_n
-^\japmath{田}$, où l'on écrit $B_n$ pour $B(𝐙/n)$.
+à travers le morphisme de foncteurs $E_n ^田→ B_n
+^田$, où l'on écrit $B_n$ pour $B(𝐙/n)$.
Détaillons pourquoi. Le morphisme d'algèbres composé $k[X,X^{-1}] → k[X,X^{-1}] → E_n$
correspondant est $𝐙/n$-équivariant où l'action est triviale à la source : son
image est donc contenue dans l'algèbre des points fixes
@@ -1721,12 +1697,14 @@ Si $L \bo K$ est une extension galoisienne de groupe $𝐙/n$,
où $K$ est une extension de $k$, le diagramme de la démonstration du théorème
\ref{base normale géométrique} se complète
donc en un diagramme commutatif de $k$-algèbres
-\[
-\xymatrix{
-L & E _n \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \\
-K \ar[u] & B _n \ar[u] \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \ar[u]^{X ↦ X^n}
-}
-\]
+
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%\[
+%\xymatrix{
+%L & E _n \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \\
+%K \ar[u] & B _n \ar[u] \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \ar[u]^{X ↦ X^n}
+%}
+%\]
L'extension $k[X^{±1}] → k[X^{±1}]$, $X ↦ X^n$
est galoisienne de groupe $𝐙/n$ (\refext{CG}{revêtement
@@ -1764,13 +1742,13 @@ a₀+a₁X+\cdots+a_{p-1}X^{p-1} \mod X^p ∈ (A[X]/(X^p))^×↦ \frac{a₁}{a
sont $𝐙/p$-équivariants, où $𝐙/p$ agit par multiplication
par $1+X$ sur $(A[X]/(X^p))^×$ et par translation par $1$ sur $A$.
Ils définissent un morphisme de foncteurs
-$E_{[1]}^{\japmath{田}}→\Ga=k[Y]^{\japmath{田}}$,
+$E_{[1]}^{田}→\Ga=k[Y]^{田}$,
où l'on écrit $E_{[1]}$ pour $E(𝐙/p¹)$.
Enfin, l'action de $𝐙/p$ sur $\Ga$ étant tuée par
le morphisme de Weierstraß $ ℘:Y ↦ Y^p-Y$,
-le morphisme composé $E_{[1]}^{\japmath{田}}→\Ga
+le morphisme composé $E_{[1]}^{田}→\Ga
\dessusdessous{℘}{→} \Ga$ se factorise à travers un morphisme
-$B_{[1]}^{\japmath{田}} → \Ga$, où l'on écrit $B_{[1]}$ pour $B(𝐙/p)$.
+$B_{[1]}^{田} → \Ga$, où l'on écrit $B_{[1]}$ pour $B(𝐙/p)$.
En retournant les flèches, on obtient comme ci-dessus — par le lemme de Yoneda —
un morphisme de $k$-algèbres $k[Y] → B _{[1]}$.
diff --git a/config/macros.tex b/config/macros.tex
index a88c2f6..d6685ff 100644
--- a/config/macros.tex
+++ b/config/macros.tex
@@ -17,10 +17,15 @@
\DeclareMathOperatorWithFont{\Int}{\mathsf}{Int}
\DeclareMathOperatorWithFont{\Out}{\mathsf}{Out}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Sym}{\mathsf}{Sym} % quelle police utiliser ?
+
\DeclareMathOperatorWithFont{\Der}{\mathrm}{Dér} % quelle police utiliser ?
\DeclareMathOperatorWithFont{\Id}{\mathrm}{Id}
\DeclareMathOperatorWithFont{\Ker}{\mathrm}{Ker}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Coker}{\mathrm}{Coker}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\rmIm}{\mathrm}{Im}
+\AtBeginDocument{\let\Im\rmIm} % Écrase la définition standard de \Im
\DeclareMathOperatorWithFont{\Fix}{\mathrm}{Fix}
\DeclareMathOperatorWithFont{\Stab}{\mathrm}{Stab}
@@ -40,10 +45,12 @@
\DeclareMathOperatorWithFont{\red}{\mathrm}{red}
\DeclareMathOperatorWithFont{\Idem}{\mathrm}{Idem}
\DeclareMathOperatorWithFont{\Ann}{\mathrm}{Ann}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\rad}{\mathrm}{rad}
\DeclareMathOperatorWithFont{\dec}{\mathrm}{déc}
\DeclareMathOperatorWithFont{\Gal}{\mathrm}{Gal}
\DeclareMathOperatorWithFont{\Result}{\mathrm}{Résult}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Pic}{\mathrm}{Pic}
\DeclareMathOperatorWithFont{\Br}{\mathrm}{Br}
\DeclareMathOperatorWithFont{\Azu}{\mathrm}{Azu}
@@ -54,6 +61,7 @@
\DeclareMathOperatorWithFont{\NSpin}{\mathrm}{N\!S}
\DeclareMathOperatorWithFont{\ev}{\mathrm}{ev}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\pr}{\mathrm}{pr}
\DeclareMathOperatorWithFont{\ob}{\mathsf}{Ob}
@@ -64,10 +72,13 @@
\DeclareMathOperatorWithFont{\Orth}{\mathrm}{O}
\DeclareMathOperatorWithFont{\SOrth}{\mathrm}{SO}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\rang}{\mathrm}{rang}
\DeclareMathOperatorWithFont{\degtr}{\mathrm}{deg.tr}
\DeclareMathOperatorWithFont{\diag}{\mathrm}{diag}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Res}{\mathrm}{Rés}
+
% Exposants
\newcommand{\op}{^{\mathsf{op}}}
\newcommand{\sep}{^{\mathrm{sép}}}
@@ -108,7 +119,8 @@
\newcommand{\Ens}{\categ{Ens}}
\newcommand{\Alg}{\categ{Alg}}
-%% Tiret et trait d'union en mode maths
+%% Macros générales
+\providecommand*\clap[1]{\hbox to 0pt{\hss#1\hss}}
% Trouvé sur <URL: http://tug.org/pipermail/luatex/2010-October/002192.html >
\makeatletter
@@ -120,6 +132,19 @@
}
\makeatother
+% Adapté du package mathtools
+\makeatletter
+\newcommand\mathrlap[1][\@empty]{
+ \ifx\@empty#1\@empty
+ \expandafter \mathpalette \expandafter \sub@mathrlap
+ \else
+ \expandafter \sub@mathrlap \expandafter #1
+ \fi
+}
+\def\sub@mathrlap#1#2{{}\rlap{$\m@th#1{#2}$}}
+\makeatother
+
+%% Tiret et trait d'union en mode maths
%\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"2013}
\DeclareUnicodeMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"2013}
\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D}
@@ -128,6 +153,12 @@
\DeclareUnicodeMathSymbol{\boxempty}{\mathord}{operators}{"25A1}
\DeclareUnicodeMathSymbol{\bimu}{\mathord}{operators}{"1D6CD}
+%% En attendant de trouver une solution (cf. \bigboxtimes de mathabx qui ne marche pas avec nos paquets)
+\newcommand{\bigboxtimes}{\mathop{\lower.6ex\hbox{\huge$\boxtimes$}}\limits}
+
+%% Produit restreint
+\newcommand{\resprod}{\mathop{\mathrlap{\coprod}{\prod}}}
+
%% Une horreur pour avoir \lwave et compagnie sans inclure le package mathdesign:
\DeclareFontFamily{OMX}{mdput}{}
\DeclareFontShape{OMX}{mdput}{m}{n}{<-> mdputr7v}{}
@@ -160,6 +191,7 @@
%% Fabrice n'aime pas les noms anglais
\let\chap\widehat
+\let\gtilde\widetilde
\let\sur\overline
\let\sous\underline
\let\dessusdessous\stackrel
@@ -219,6 +251,17 @@
\newcommand{\bbkac}[4]{\bbk{A.C.}{#1}{#2}{#3}{#4}}
\newcommand{\bbka}[4]{\bbk{A.}{#1}{#2}{#3}{#4}}
+\newcommand\BourbakiAC[1]{[{\bf AC}, #1]}
+\newcommand\BourbakiTS[1]{[{\bf TS}, #1]}
+\newcommand\BourbakiE[1]{[{\bf E}, #1]}
+\newcommand\BourbakiA[1]{[{\bf A}, #1]}
+\newcommand\BourbakiEVT[1]{[{\bf EVT}, #1]}
+\newcommand\BourbakiFVR[1]{[{\bf FVR}, #1]}
+\newcommand\BourbakiINT[1]{[{\bf INT}, #1]}
+\newcommand\BourbakiVAR[1]{[{\bf VAR}, #1]}
+\newcommand\BourbakiLIE[1]{[{\bf LIE}, #1]}
+\newcommand\BourbakiTG[1]{[{\bf TG}, #1]}
+
%%
%% Paramétrages divers
%%