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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2010-12-22 18:26:46 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2010-12-22 18:26:46 +0100
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-rw-r--r--verselles.tex73
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index 04510ca..a4e0054 100644
--- a/KASW.tex
+++ b/KASW.tex
@@ -1118,8 +1118,7 @@ Ici encore, le fait remarquable est que toutes les extensions
abéliennes d'exposant divisant $p$ sont obtenues ainsi.
\begin{théorème2}\label{AS général}
-Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$ contenant $n$ racines
-$n$-ièmes de l'unité et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$ et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
\begin{enumerate}
\item L'application $A ↦ K_A=k(\root ℘ \of A)$ est une bijection
croissante entre l'ensemble des sous-groupes de $k$
@@ -2039,8 +2038,8 @@ On constate donc que l'équation d'Artin-Schreier $℘(x,y)=(a,b)$
permet de décrire toutes les équations de degré $p²$
d'un corps de caractéristique $p>0$.
Nous allons voir dans la section suivante que ceci
-est un fait général, possédant
-une démonstration conceptuelle.
+est un fait général dont il est possible
+de donner une démonstration conceptuelle.
\begin{exercice2}
Montrer que pour chaque nombre premier $p$,
@@ -2061,7 +2060,7 @@ les coordonnées de $F_p(f)$ (resp. $V_p(f)$) sont $\Frob_p(α)=(α_1^p,α_p^p,
(resp. $v_p(α)=(0,α₁,α_p, …,α_{q/p})$).
-\begin{proposition2}
+\begin{proposition2}\label{calcul W(Fp)}
Le groupe $W(𝐅_p)$ est isomorphe au groupe cyclique $𝐙/p^{r+1}$.
\end{proposition2}
@@ -2124,7 +2123,7 @@ de la $K$-algèbre $M(f):=M ⊗_{℘_M,M,φ_f} K$ (\refext{Tens}{}). En d'autres
le foncteur $A ↦ ℘_W^{-1}(f)(A)$ est représentable
par la $K$-algèbre $M(f)$.
-\begin{proposition2}
+\begin{proposition2}\label{séparabilité p-Weierstrass-Witt}
Soit $K$ un \emph{corps} de caractéristique $p>0$.
Pour tout $f ∈ W(K)$ la $K$-algèbre $M(f)$ est \emph{étale}
de rang $p^{r+1}$. En particulier, si $K$ est séparablement
@@ -2157,8 +2156,8 @@ le rang étant invariant par une telle extension,
on peut supposer $K$ séparablement clos.
D'après ce qui précède, il existe alors un
élément $g ∈ W(K)$ tel que $℘(g)=f$. La translation $t_g:W → W$, $x ↦ x + g$,
-induit un isomorphisme de foncteurs entre $℘^{-1}(f)$ et $℘^{-1}(0)$
-d'où un $K$-isomorphisme entre $M(f)$ et $M(0)$. La conclusion
+induit un isomorphisme de foncteurs entre $℘^{-1}(0)$ et $℘^{-1}(f)$
+d'où un $K$-isomorphisme entre $M(0)$ et $M(f)$. La conclusion
résulte de la proposition \ref{noyau p-Weierstrass-Witt}.
\end{démo}
@@ -2170,20 +2169,77 @@ $E_p(α.X) ↦ ∑_{i=0}^{r} \gtilde{α_{p^i}}p^i \mod p^{r+1}$, est un isomorph
\XXX % pas clair
\end{exercice2}
-\subsection{Extensions galoisiennes de groupe $𝐙/p^{r+1}$ : énoncés}
-
-De même que dans le paragraphe précédent, on fixe un nombre premier $p>0$,
-$r ≥ 0$ un entier et $q=p^r$ une puissance de $p$.
-On note $W$ la restriction du foncteur $W_{[q]}$ aux $𝐅_p$-algèbres.
+\subsection{Extensions galoisiennes de groupe $𝐙/p^{r+1}$}
\begin{théorème2}\label{ASW}
-Toute extension galoisienne de groupe $𝐙/p^r$
-est de la forme $k(\sqrt[℘]{(α_{q ′}:q ′ |q})\bo k$.
+Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$,
+$r ≥ 0$ un entier et $q=p^r$ la puissance de $p$
+correspondante. Soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+\begin{enumerate}
+\item Pour toute extension galoisienne $K\bo k$ de groupe
+cyclique d'ordre $p^{r+1}$, il existe un
+élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ tel que
+$K$ soit $k$-isomorphe au plus petit sous-corps
+$k(\sqrt[℘]{f})$ de $Ω$ tel que les
+solutions de l'équation $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ appartiennent
+à $W_{[q]}(k(\sqrt[℘]{f}))$.
+\item Soit $f ∈ W_{[q]}(k)$. L'extension $k(\sqrt[℘]{f}) \bo k$
+est galoisienne cyclique d'ordre divisant $p^{r+1}$
+avec égalité si et seulement si le premier coefficient
+de Witt de $f$ n'appartient pas à $℘(k)$. D'autre
+part, $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps de $Ω$ engendré
+par les coefficients de Witt d'un élément
+quelconque $g$ de $W_{[q]}(Ω)$ satisfaisant l'équation $℘(g)=f$.
+\end{enumerate}
\end{théorème2}
-\subsection{Extensions galoisiennes de groupe $𝐙/p^{r+1}$ : démonstrations}
-
-\subsubsection{Versel}
+\subsubsection{Démonstration de \ref{ASW} (ii)}
+
+Soit $f$ comme dans l'énoncé. Notons $k\sep$ la clôture
+séparable de $k$ dans $Ω$. D'après \ref{séparabilité p-Weierstrass-Witt},
+il existe $g₀ ∈ ℘^{-1}(f)(k\sep)$. Pour chaque $ζ ∈ W_{[q]}(𝐅_p)$,
+posons $g_ζ:=g₀ ⊕ ζ ∈ W_{[q]}(k\sep)$. D'après \ref{noyau p-Weierstrass-Witt},
+les solutions de $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ sont les $(g_ζ)_ζ$.
+(Ici, comme dans l'énoncé, on note abusivement $f$ l'image
+de l'élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ par l'injection canonique
+$W_{[q]}(k) ↪ W_{[q]}(Ω)$.) Il en résulte que $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps
+de $Ω$ engendré par les coefficients de Witt de $g₀$ (par exemple)
+et d'autre part que le corps $k(\sqrt[℘]{f})$ est contenu dans $k\sep$ :
+l'extension $k(\sqrt[℘]{f})\bo k$ est donc
+algébrique \emph{séparable}. Montrons qu'elle est \emph{normale}.
+Soit $σ : Ω → Ω$ un $k$-automorphisme. En appliquant
+$σ$ à l'égalité $℘(g₀)=f$ on obtient, par commutation
+évidente de $σ$ avec $℘$, l'égalité $℘\big(σ (g₀)\big)=f$
+d'où $σ (g₀)=g_{ζ_σ}$ pour un unique $ζ_σ ∈ W(𝐅_p)$.
+Il en résulte que $σ (g_ζ)=g_ζ ⊕ ζ_σ$ pour tout $ζ$ car $σ$ commute
+à l'addition dans les vecteurs de Witt tronqués et
+agit trivialement sur $W_{[q]}(𝐅_p)$.
+Ainsi, $σ$ préserve $K=k(\sqrt[℘]{f})$, de sorte
+que l'extension $K \bo k$ est galoisienne,
+et $σ ∈ G=\Gal(K\bo k) ↦ ζ_σ ∈ W_{[q]}(𝐅_p)$
+est une injection. D'après \ref{calcul W(Fp)},
+$G$ est donc cyclique de cardinal divisant $p^{r+1}$.
+
+Soit $f ′$ (resp. $g₀ ′$) l'image de $f$ (resp. $g₀$) dans $W_{[1]}(k) = k$
+($W_{[1]}(K) = K$) par la surjection canonique $W_{[q]} ↠W_{[1]}$.
+Le morphisme $℘$ commute à cette projection de sorte que
+$℘_{W_{[1]}}(g₀ ′)=f ′ $. Le corps $K$ contient donc le sous-corps
+$K ′ =k(\sqrt[℘]{f ′})$, galoisien sur $k$. D'autre part,
+l'action d'un élément $σ ∈ G$ sur $K ′$ se factorise
+à travers le quotient $W_{[q]}(𝐅_p) ↠ W_{[1]}(𝐅_p)=𝐅_p$ :
+la réduction de l'égalité $σ(g₀)= g₀ ⊕_{W_{[q]}(K)} ζ_σ$
+dans $W_{[1]}(K)$ se réécrit : $σ(g ′₀)=g ′₀ + ζ_σ ′$
+où $ζ_σ ′$ est l'image de $ζ_σ$ dans $𝐅_p$.
+Ainsi, l'image de $G$ dans l'unique quotient
+d'ordre $p$ de $W_{[q]}(𝐅_p) ≃ 𝐙/p^{r+1}$
+coïncide avec l'image du groupe de Galois de l'extension
+d'Artin-Schreier $K ′ \bo k$. Ce groupe est trivial
+si et seulement si $f ′ ∈ ℘(k)$, cf. \ref{extension AS est de groupe Z
+sur p}. On achève la démonstration
+en observant qu'un sous-groupe de $𝐙/p^{r+1}$ est strict
+si et seulement si son image dans $𝐙/p$ est triviale.
+
+\subsubsection{Première démonstration de \ref{ASW} (i) : méthode verselle}
\begin{proposition2}
On a $F_p(E_p(-X)f)=E_p(-X)F_p(f)$ et la multiplication
@@ -2200,7 +2256,7 @@ qu'un sous-groupe de $𝐙/q$ se surjectant sur $𝐙/p$ est nécessairement
égal à $𝐙/q$.
-\subsubsection{Cohomologique}
+\subsubsection{Seconde démonstration de \ref{ASW} (i) : méthode cohomologique}
\subsection{Composantes fantômes, structure d'anneau}\label{composantes fantômes}
diff --git a/verselles.tex b/verselles.tex
index 3fe7419..00e68ad 100644
--- a/verselles.tex
+++ b/verselles.tex
@@ -1441,17 +1441,25 @@ du théorème de Krull-Schmidt (cf. \cite{Bourbaki}, chap. 8, \cite{First@Lam},
\subsection{Interprétation géométrique}
Nous allons maintenant énoncer un corollaire important du théorème
-de la base normale.
+de la base normale.
-\begin{théorème2}\label{base normale géométrique}
+\subsubsection{}\label{notations base normale géométrique}
Soient $G$ un groupe fini et $k$ un corps.
-Posons
-\[EG=k[x_g:g∈G][\det\big( (x_{g ′g})_{(g ′,g)∈G²}\big)^{-1}]\]
-et
-\[BG=\Fix_G(EG),\]
-où $g∈G$ agit $k$-linéairement sur $EG$ par $g\cdot x_{h}=x_{gh}$.
+On note
+\[
+EG=k[x_g:g∈G][\det\big( (x_{g ′g})_{(g
+′,g)∈G²}\big)^{-1}]
+\]
+et
+\[BG=\Fix_G(EG),\]
+où $g∈G$ agit $k$-linéairement sur $EG$ par $g\cdot
+x_{h}=x_{gh}$.
+
+Avec ces notations, on a le théorème suivant.
+
+\begin{théorème2}\label{base normale géométrique}
Pour toute extension finie galoisienne $L\bo K$ de groupe $G$,
-où $K$ est une extension de $k$, il existe un morphisme de $k$-algèbres $BG→K$ tel que
+où $K$ est une extension de $k$, il existe un morphisme de $k$-algèbres $BG→K$ tel que
la $K$-algèbre $L$ soit isomorphe à $EG⊗_{BG} K$.
En d'autres termes, le morphisme $BG→EG$ est \emph{versel} pour
les extensions de groupe $G$.
@@ -1635,34 +1643,37 @@ l'algèbre $A[T]/(T^n-1)$ est canoniquement isomorphe à l'algèbre
L'isomorphisme (dit canonique) envoyant (la classe de) $T$
sur la famille $(ζ)_{ζ ∈ μ} ∈ A^μ$.
Passant aux unités, il en résulte
-que l'algèbre $E 𝐙/n$ représente le foncteur
+que l'algèbre $E 𝐙/n$, que nous noterons dorénavant $E_n$ dans
+ce paragraphe, représente le foncteur
$\Gm^μ:A ↦ (A^×)^ μ$. D'après le lemme de Yoneda et l'exemple ci-dessus
-on en déduit que $E 𝐙/n$ est canoniquement isomorphe au produit
-tensoriel $k[T,T^{-1}]^{⊗ μ}$ (produit tensoriel indicé par l'ensemble
+on en déduit que $E_n$ est canoniquement isomorphe au produit
+tensoriel $k[T,T^{-1}]^{⊗ μ}$ (produit tensoriel indicé par l'ensemble
à $n$ éléments $μ$), lui-même isomorphe à l'algèbre
$k[T_ζ^{±1}: ζ ∈ μ]$. Soit $ζ ∈ μ$ une racine primitive. La projection
$\pr_ζ:\Gm^μ→\Gm$ induit, via l'isomorphisme
-$E 𝐙/n^\japmath{田} ≃ \Gm^ μ$, un morphisme de foncteurs
-$E 𝐙/n ^\japmath{田}→\Gm$ ; il est $𝐙/n$-équivariant
+$E_n^\japmath{田} ≃ \Gm^ μ$, un morphisme de foncteurs
+$E_n ^\japmath{田}→\Gm$ ; il est $𝐙/n$-équivariant
si l'on fait agir $\sur{i} ∈ 𝐙/n$ sur $\Gm$ par multiplication
par la puissance $ζ^{\sur{i}}$ de $ζ$. Le morphisme composé
-de foncteurs $E 𝐙/n ^\japmath{田}→\Gm \dessusdessous{[n]}{→} \Gm=k[X,X^{-1}]^\japmath{田}$
+de foncteurs $E _n ^\japmath{田}→\Gm \dessusdessous{[n]}{→} \Gm=k[X,X^{-1}]^\japmath{田}$
étant $𝐙/n$-équivariant, où le second $\Gm$ est muni
-de l'action triviale, il se factorise
-à travers le morphisme de foncteurs $E 𝐙/n ^\japmath{田}→ B𝐙/n ^\japmath{田}$.
-Détaillons pourquoi. Le morphisme d'algèbres composé $k[X,X^{-1}] → k[X,X^{-1}] → E 𝐙/n$
+de l'action triviale, il se factorise
+à travers le morphisme de foncteurs $E_n ^\japmath{田}→ B_n
+^\japmath{田}$, où l'on écrit $B_n$ pour $B(𝐙/n)$.
+Détaillons pourquoi. Le morphisme d'algèbres composé $k[X,X^{-1}] → k[X,X^{-1}] → E_n$
correspondant est $𝐙/n$-équivariant où l'action est triviale à la source : son
-image est donc contenue dans l'algèbre des points fixes $\Fix_{𝐙/n}(E 𝐙/n)=B 𝐙/n$.
-(En d'autres termes, « points fixes » et « quotient »
+image est donc contenue dans l'algèbre des points fixes
+$\Fix_{𝐙/n}(E_n)=B_n$.
+(En d'autres termes, « points fixes » et « quotient »
se correspondent par le foncteur de Yoneda.)
Si $L \bo K$ est une extension galoisienne de groupe $𝐙/n$,
où $K$ est une extension de $k$, le diagramme de la démonstration du théorème
\ref{base normale géométrique} se complète
-donc en un diagramme commutatif de $k$-algèbres
+donc en un diagramme commutatif de $k$-algèbres
\[
\xymatrix{
-L & E 𝐙/n \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \\
-K \ar[u] & B 𝐙/n \ar[u] \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \ar[u]^{X ↦ X^n}
+L & E _n \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \\
+K \ar[u] & B _n \ar[u] \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \ar[u]^{X ↦ X^n}
}
\]
@@ -1675,7 +1686,7 @@ par extraction d'une racine $n$-ième d'un élément de $K^×$, dès lors que $K
contient exactement $n$ racines $n$-ièmes de l'unité.}
\end{quote}
(L'élément dont on extrait la racine n'est autre que l'image
-de $X$ dans $k$ par le composé $k[X,X^{-1}] → B 𝐙/n → K$.)
+de $X$ dans $k$ par le composé $k[X,X^{-1}] → B _n → K$.)
Ce fait est l'un des principaux résultats de la \emph{la théorie de Kummer}
qui sera étudiée en détail, et par d'autres techniques,
au chapitre [KAS].
@@ -1699,13 +1710,15 @@ a₀+a₁X+\cdots+a_{p-1}X^{p-1} \mod X^p ∈ (A[X]/(X^p))^×↦ \frac{a₁}{a
sont $𝐙/p$-équivariants, où $𝐙/p$ agit par multiplication
par $1+X$ sur $(A[X]/(X^p))^×$ et par translation par $1$ sur $A$.
Ils définissent un morphisme de foncteurs
-$E𝐙/p^{\japmath{田}}→\Ga=k[Y]^{\japmath{田}}$.
-Enfin, l'action de $𝐙/p$ sur $\Ga$ étant tuée par
-le morphisme de Weierstraß $ ℘:Y ↦ Y^p-Y$,
-le morphisme composé $E𝐙/p^{\japmath{田}}→\Ga
-\dessusdessous{℘}{→} \Ga$ se factorise à travers un morphisme $B 𝐙/p^{\japmath{田}} → \Ga$.
+$E_{[1]}^{\japmath{田}}→\Ga=k[Y]^{\japmath{田}}$,
+où l'on écrit $E_{[1]}$ pour $E(𝐙/p¹)$.
+Enfin, l'action de $𝐙/p$ sur $\Ga$ étant tuée par
+le morphisme de Weierstraß $ ℘:Y ↦ Y^p-Y$,
+le morphisme composé $E_{[1]}^{\japmath{田}}→\Ga
+\dessusdessous{℘}{→} \Ga$ se factorise à travers un morphisme
+$B_{[1]}^{\japmath{田}} → \Ga$, où l'on écrit $B_{[1]}$ pour $B(𝐙/p)$.
En retournant les flèches, on obtient comme ci-dessus — par le lemme de Yoneda —
-un morphisme de $k$-algèbres $k[Y] → B 𝐙/p$.
+un morphisme de $k$-algèbres $k[Y] → B _{[1]}$.
Comme dans le cas précédent, ces faits, joints
au théorème \ref{base normale géométrique} entraînent :
@@ -1713,7 +1726,7 @@ au théorème \ref{base normale géométrique} entraînent :
entre corps de caractéristique $p>0$ est obtenue par extraction d'une racine $℘$-ième d'un élément de $K$.}
\end{quote}
(L'élément dont on extrait la racine n'est autre que l'image
-de $Y$ dans $K$ par le composé $k[Y] → B 𝐙/p → K$.)
+de $Y$ dans $K$ par le composé $k[Y] → B _{[1]} → K$.)
Ce fait est l'un des principaux résultats de la \emph{la théorie
d'Artin-Schreier} qui sera étudiée en détail, et par d'autres techniques,
au chapitre [KAS].