Merge branch 'master' of git.madore.org:galois

3 files changed, 69 insertions, 1 deletions

diff --git a/chapitres/KASW.tex b/chapitres/KASW.tex
index e6862e3..084ebbc 100644
--- a/chapitres/KASW.tex
+++ b/chapitres/KASW.tex
@@ -456,6 +456,11 @@ l'identification entre $\Hom(\Gal(K\bo k),μ_n)$ et $H¹(K\bo k,μ_n)$.)
 Notons en particulier que les groupes $A_K \bo {k^×}^n$ et $\Gal(K\bo k)$
 ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $\# \Gal(K\bo k) = \# D\big(\Gal(K\bo k)\big)$
 (\ref{bidualité Zsurn modules finis}).
+
+\commentaire{On peut probablement faire plus simple en
+diagonalisant l'action et en constant que chaque caractère
+apparaît une fois seulement. [cf. invariants=...].}
+
 Soit $K ′=k(A_{K}^{1/n})$. On a trivialement $K ′ ⊆ K$ et par conséquent $A_{K ′} ⊆ A_K$.
 Cette dernière inclusion est une égalité car $A_{K ′}$ contient visiblement $A_K$.
 Les groupes $\Gal(K\bo k)$ et $\Gal(K ′ \bo k)$ ayant même cardinal — celui de
diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex
index 6b35b51..e3e56ed 100644
--- a/chapitres/correspondance-galois.tex
+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -1719,7 +1719,7 @@ la $A$-algèbre $A(P)=A[X₁,\dots,X_n]/(∑_i X_i=a₁,\dots,∏_i X_i=a_n)$.
 que les monômes $∏_i x_i^{e_i}$, où $e_i≤n-i$, forment un base.)
 \item Comparer le discriminant de $A(P)$ (défini à l'aide
 de la trace) et le discriminant de $P$.
-\item À quelle condition $\Fix_{𝔖_n}(A(P))=k$ ?
+\item À quelle condition $\Fix_{𝔖_n}(A(P))=A$ ?
 \end{enumerate}
 \end{exercice2}
 
diff --git a/chapitres/exemples-galois.tex b/chapitres/exemples-galois.tex
index 6ed1900..85b00f2 100644
--- a/chapitres/exemples-galois.tex
+++ b/chapitres/exemples-galois.tex
@@ -401,6 +401,12 @@ prouve l'existence d'un élément $\tau \in \Gal(f)$ non trivial dont
 l'image dans $\Gal(h)$ est l'identité, disons $\tau(\sqrt{2+\sqrt{2}})
 = -\sqrt{2+\sqrt{2}}$ (quitte à conjuguer $\tau$ par $\sigma$).
 
+\commentaire{Sauf erreur, on a $τ(…)=-…$ sans avoir besoin
+de conjuger car le carré est fixe.}
+
+\commentaire{Variante argument irréductibilité de $f$ : Eisenstein.}
+
+
 On sait que $\sigma(\sqrt{2+\sqrt{2}}) = \pm\sqrt{2-\sqrt{2}}$.
 Quitte à composer $\sigma$ par $\tau$ (à droite), on peut faire en
 sorte que $\sigma(\sqrt{2+\sqrt{2}}) = \sqrt{2-\sqrt{2}}$, ce qu'on
@@ -2064,6 +2070,63 @@ sorte sur une de la seconde, donc n'opère pas transitivement sur les
 hexades, une contradiction.
 \end{proof}
 
+\section{Trinômes de Mori}
+
+Soient $g,p,b,c$ des entiers tels que :
+\begin{itemize}
+\item le nombre $g$ est un entier positif et $p$
+un nombre premier $≠2$ ; on suppose qu'il existe un entier
+positif $N$ tel que $(\frac{p-1}{2})^N$ soit divisible par $g$.
+(Cela revient à dire que tout diviseur premier de $g$
+est aussi un diviseur de $\frac{p-1}{2}$.)
+Cela entraîne que $(p,g)=(p,2g)=1$ et que si
+$g$ est pair, $p$ est congru à $1$ modulo $4$.
+
+\item le résidue $b\bmod p$ est une racine primitive
+de $𝔽_p$ ; en particulier, $(b,p)=1$ et $b\bmod p$ n'est
+\emph{pas} un carré dans $𝔽_p$.
+
+\item
+l'entier $c$ est impair et $(b,c)=(b,2g+1)=(c,g)=1$.
+Cela entraîne que $(c,2g)=1$.
+\end{itemize}
+
+Posons
+
+\[
+f(x)=f_{g,p,b,c}(x):=x^{2g+1}-bx-\frac{pc}{4}\in
+ℤ\left[\frac{1}{2}\right][x]\subset ℚ[x],\]
+que l'on appelle un \textbf{trinôme de Mori}.
+
+
+\begin{théorème2}
+ Soit $f=f_{g,p,b,c}$ un trinôme de Mori. Alors :
+\begin{enumerate}
+\item[(i)]
+Le polynôme $f$ is irreducible sur $ℚ₂$ et en particulier sur $ℚ$ ;
+\item[(ii)]
+Le polynôme $f \bmod p \in 𝔽_p[x]$ est le produit $x (x^{2g}-b)$
+d'un facteur linéaire $x$ et d'un polynôme irréductible $x^{2g}-b$ (sur $𝔽_p$) de degré $2g$ ;
+\item[(iii)]
+\item[(iv)]
+Pour tout nombre premier impair $ℓ$, chaque racine de $f(x)\bmod
+\ell \in 𝔽_{\ell}[x]$ est simple ou double. Une telle racine
+double, si elle existe, est dans $𝔽_{\ell}$.
+De plus, il existe un nombre premier impair $\ell \ne p$ tel que $f(x)\bmod \ell \in
+𝔽_{\ell}[x]$ ait effectivement une racine double $\bar{\alpha}\in 𝔽_{\ell}$.
+Toute autre racine de $f(x)\bmod \ell$ (dans une clôture algébrique de
+$𝔽_{\ell}$) est simple.
+\item  Si $\Gal(f)$ est le groupe de Galois de $f$ sur $ℚ$ vu
+comme sous groupe (transitif) de $𝔖_{2g+1}$,
+alors $\Gal(f)$ est doublement transitif. Plus précisément,
+il contient une permutation $\sigma$ qui est un cycle de longueur $2g$.
+En fait, le groupe de Galois $\Gal(f)$ est $𝔖_{2g+1}$.
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+Le polygone de Newton $2$-adique a un seul segment, …
+
+Voir \texttt{http://arxiv.org/abs/1411.4347}.
 
 
 \ifx\danslelivre\undefined