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author | Fabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2015-03-03 12:24:11 (GMT) |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2015-03-03 12:24:11 (GMT) |
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diff --git a/chapitres/KASW.tex b/chapitres/KASW.tex index e6862e3..084ebbc 100644 --- a/chapitres/KASW.tex +++ b/chapitres/KASW.tex @@ -456,6 +456,11 @@ l'identification entre $\Hom(\Gal(K\bo k),μ_n)$ et $H¹(K\bo k,μ_n)$.) Notons en particulier que les groupes $A_K \bo {k^×}^n$ et $\Gal(K\bo k)$ ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $\# \Gal(K\bo k) = \# D\big(\Gal(K\bo k)\big)$ (\ref{bidualité Zsurn modules finis}). + +\commentaire{On peut probablement faire plus simple en +diagonalisant l'action et en constant que chaque caractère +apparaît une fois seulement. [cf. invariants=...].} + Soit $K ′=k(A_{K}^{1/n})$. On a trivialement $K ′ ⊆ K$ et par conséquent $A_{K ′} ⊆ A_K$. Cette dernière inclusion est une égalité car $A_{K ′}$ contient visiblement $A_K$. Les groupes $\Gal(K\bo k)$ et $\Gal(K ′ \bo k)$ ayant même cardinal — celui de diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex index 6b35b51..e3e56ed 100644 --- a/chapitres/correspondance-galois.tex +++ b/chapitres/correspondance-galois.tex @@ -1719,7 +1719,7 @@ la $A$-algèbre $A(P)=A[X₁,\dots,X_n]/(∑_i X_i=a₁,\dots,∏_i X_i=a_n)$. que les monômes $∏_i x_i^{e_i}$, où $e_i≤n-i$, forment un base.) \item Comparer le discriminant de $A(P)$ (défini à l'aide de la trace) et le discriminant de $P$. -\item À quelle condition $\Fix_{𝔖_n}(A(P))=k$ ? +\item À quelle condition $\Fix_{𝔖_n}(A(P))=A$ ? \end{enumerate} \end{exercice2} diff --git a/chapitres/exemples-galois.tex b/chapitres/exemples-galois.tex index 6ed1900..85b00f2 100644 --- a/chapitres/exemples-galois.tex +++ b/chapitres/exemples-galois.tex @@ -401,6 +401,12 @@ prouve l'existence d'un élément $\tau \in \Gal(f)$ non trivial dont l'image dans $\Gal(h)$ est l'identité, disons $\tau(\sqrt{2+\sqrt{2}}) = -\sqrt{2+\sqrt{2}}$ (quitte à conjuguer $\tau$ par $\sigma$). +\commentaire{Sauf erreur, on a $τ(…)=-…$ sans avoir besoin +de conjuger car le carré est fixe.} + +\commentaire{Variante argument irréductibilité de $f$ : Eisenstein.} + + On sait que $\sigma(\sqrt{2+\sqrt{2}}) = \pm\sqrt{2-\sqrt{2}}$. Quitte à composer $\sigma$ par $\tau$ (à droite), on peut faire en sorte que $\sigma(\sqrt{2+\sqrt{2}}) = \sqrt{2-\sqrt{2}}$, ce qu'on @@ -2064,6 +2070,63 @@ sorte sur une de la seconde, donc n'opère pas transitivement sur les hexades, une contradiction. \end{proof} +\section{Trinômes de Mori} + +Soient $g,p,b,c$ des entiers tels que : +\begin{itemize} +\item le nombre $g$ est un entier positif et $p$ +un nombre premier $≠2$ ; on suppose qu'il existe un entier +positif $N$ tel que $(\frac{p-1}{2})^N$ soit divisible par $g$. +(Cela revient à dire que tout diviseur premier de $g$ +est aussi un diviseur de $\frac{p-1}{2}$.) +Cela entraîne que $(p,g)=(p,2g)=1$ et que si +$g$ est pair, $p$ est congru à $1$ modulo $4$. + +\item le résidue $b\bmod p$ est une racine primitive +de $𝔽_p$ ; en particulier, $(b,p)=1$ et $b\bmod p$ n'est +\emph{pas} un carré dans $𝔽_p$. + +\item +l'entier $c$ est impair et $(b,c)=(b,2g+1)=(c,g)=1$. +Cela entraîne que $(c,2g)=1$. +\end{itemize} + +Posons + +\[ +f(x)=f_{g,p,b,c}(x):=x^{2g+1}-bx-\frac{pc}{4}\in +ℤ\left[\frac{1}{2}\right][x]\subset ℚ[x],\] +que l'on appelle un \textbf{trinôme de Mori}. + + +\begin{théorème2} + Soit $f=f_{g,p,b,c}$ un trinôme de Mori. Alors : +\begin{enumerate} +\item[(i)] +Le polynôme $f$ is irreducible sur $ℚ₂$ et en particulier sur $ℚ$ ; +\item[(ii)] +Le polynôme $f \bmod p \in 𝔽_p[x]$ est le produit $x (x^{2g}-b)$ +d'un facteur linéaire $x$ et d'un polynôme irréductible $x^{2g}-b$ (sur $𝔽_p$) de degré $2g$ ; +\item[(iii)] +\item[(iv)] +Pour tout nombre premier impair $ℓ$, chaque racine de $f(x)\bmod +\ell \in 𝔽_{\ell}[x]$ est simple ou double. Une telle racine +double, si elle existe, est dans $𝔽_{\ell}$. +De plus, il existe un nombre premier impair $\ell \ne p$ tel que $f(x)\bmod \ell \in +𝔽_{\ell}[x]$ ait effectivement une racine double $\bar{\alpha}\in 𝔽_{\ell}$. +Toute autre racine de $f(x)\bmod \ell$ (dans une clôture algébrique de +$𝔽_{\ell}$) est simple. +\item Si $\Gal(f)$ est le groupe de Galois de $f$ sur $ℚ$ vu +comme sous groupe (transitif) de $𝔖_{2g+1}$, +alors $\Gal(f)$ est doublement transitif. Plus précisément, +il contient une permutation $\sigma$ qui est un cycle de longueur $2g$. +En fait, le groupe de Galois $\Gal(f)$ est $𝔖_{2g+1}$. +\end{enumerate} +\end{théorème2} + +Le polygone de Newton $2$-adique a un seul segment, … + +Voir \texttt{http://arxiv.org/abs/1411.4347}. \ifx\danslelivre\undefined |