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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 20:18:15 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 20:18:15 (GMT)
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\ifx\danslelivre\undefined
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-%\title{Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques}
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+\title{Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques}
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\begin{document}
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-\begin{center}
-Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques
-\end{center}
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques}
@@ -105,9 +83,9 @@ A↠∏_{𝔭∈\Spec(A)} κ(𝔭) \tag{$\star$}
de noyau l'idéal $⋂_{𝔭∈\Spec(A)}𝔭$. D'après \refext{Spec}{caracterisation-nilpotents},
cet idéal est l'ensemble $\Nilp(A)$ des éléments nilpotents de $A$.
(Seule l'inclusion $⋂𝔭⊆\Nilp(A)$ est non triviale.)
-La surjection ci-dessus est donc un isomorphisme \ssi
+La surjection ci-dessus est donc un isomorphisme si et seulement si
$\Nilp(A)=\{0\}$ — on dit alors que $A$ est \emph{réduit} —
-ou encore \ssi $[A:k]=∑_{𝔭∈\Spec(A)} [κ(𝔭):k]$.
+ou encore si et seulement si $[A:k]=∑_{𝔭∈\Spec(A)} [κ(𝔭):k]$.
D'autre part, on a un morphisme de projection
\begin{equation}
@@ -121,9 +99,9 @@ sont dits \emph{rationnels} sur $k$. Comme observé
en \refext{Spec}{points rationnels et ideaux maximaux},
l'application qui à un morphisme de $k$-algèbres $f:A→k$
associe $\Ker(f)∈\Spec(A)$ induit une bijection entre l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k)$,
-aussi noté $A^{\japmath{田}}(k)$ ou $\japmath{田}A(k)$ dans ce livre, et le sous-ensemble de $\Spec(A)$
+aussi noté $A^{田}(k)$ ou $田A(k)$ dans ce livre, et le sous-ensemble de $\Spec(A)$
des idéaux premiers rationnels. La projection ci-dessus est donc un isomorphisme
-\ssi l'injection d'ensembles $\japmath{田}A(k)→\Spec(A)$ est une bijection.
+si et seulement si l'injection d'ensembles $田A(k)→\Spec(A)$ est une bijection.
\subsubsection{Morphisme d'évaluation}
\label{morphisme évaluation}
@@ -131,11 +109,11 @@ Il résulte des définitions (voir aussi \emph{loc. cit.},
démonstration) que l'application composée de $(\star)$ et
$(\star\star)$, réécrite sous la forme
\[
-A↠k^{\japmath{田}A(k)},
+A↠k^{田A(k)},
\]
coïncide avec l'application d'évaluation
-$a↦\big(f∈\japmath{田}A(k)↦f(a)\big)$.
-D'après ce qui précède, c'est un isomorphisme \ssi $A$ est réduit et
+$a↦\big(f∈田A(k)↦f(a)\big)$.
+D'après ce qui précède, c'est un isomorphisme si et seulement si $A$ est réduit et
chaque idéal premier est rationnel.
\subsubsection{Composantes connexes}
@@ -156,7 +134,7 @@ suivant, fonctoriel (de façon contravariante) en $A$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2em,row sep=5ex]{
-|(points)| \japmath{田}A(k) & & \\ |(specmax)| \Specmax(A) & |(spec)| \Spec(A) & |(pi0)| π₀(A) \\};
+|(points)| 田A(k) & & \\ |(specmax)| \Specmax(A) & |(spec)| \Spec(A) & |(pi0)| π₀(A) \\};
\draw[->>] (spec) -- (pi0);
\draw[right hook->] (points) -- (specmax);
\draw[right hook->] (specmax) -- (spec);
@@ -170,19 +148,19 @@ partie de ces observations dans le théorème suivant.
\begin{théorème2}\label{k-algebres-finies}
Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre \emph{finie}.
\begin{enumerate}
-\item Les trois ensembles $\japmath{田}A(k),\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont
+\item Les trois ensembles $田A(k),\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont
finis ; ils satisfont la condition suivante :
-\[♯ \japmath{田}A(k) ≤ ♯ π₀(A)= ♯ \Spec(A) ≤ [A:k].\]
+\[♯ 田A(k) ≤ ♯ π₀(A)= ♯ \Spec(A) ≤ [A:k].\]
\item Le spectre $\Spec(A)$ coïncide avec le spectre maximal $\Specmax(A)$.
Il est en bijection naturelle avec $π₀(A)$ et
-reçoit naturellement $\japmath{田}A(k)$.
+reçoit naturellement $田A(k)$.
\item L'anneau $A$ est canoniquement isomorphe à un produit $∏_{𝔵
∈ π₀(A)} A_𝔵$ de $k$-algèbres locales d'idéal maximal nilpotent.
\item Le morphisme chinois $A↠∏_𝔭 κ(𝔭)$, où $κ(𝔭)=A/𝔭$, est
-surjectif ; c'est un isomorphisme \ssi $A$ est réduit.
-\item Le morphisme d'évaluation $A → k^{\japmath{田}A(k)}$ est
-surjectif ; c'est un isomorphisme \ssi on a égalité :
-\[♯ \japmath{田}A(k)=[A:k].\]
+surjectif ; c'est un isomorphisme si et seulement si $A$ est réduit.
+\item Le morphisme d'évaluation $A → k^{田A(k)}$ est
+surjectif ; c'est un isomorphisme si et seulement si on a égalité :
+\[♯ 田A(k)=[A:k].\]
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -226,12 +204,12 @@ des séries formelles sur un corps, dans des chapitres ultérieurs.
Soit $A$ une $k$-algèbre finie. Les conditions suivantes sont
équivalentes :
\begin{enumerate}
-\item l'épimorphisme d'évaluation $A↠k^{\japmath{田}A(k)}$ est un isomorphisme ;
-\item l'inégalité \emph{a priori} $♯\japmath{田}A(k) ≤[A:k]$ est une égalité ;
+\item l'épimorphisme d'évaluation $A↠k^{田A(k)}$ est un isomorphisme ;
+\item l'inégalité \emph{a priori} $♯田A(k) ≤[A:k]$ est une égalité ;
\item l'inégalité \emph{a priori} $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$ est une égalité ;
\item il existe un ensemble fini $X$ et un $k$-isomorphisme d'algèbres $A⥲k^X$ ;
\item la famille d'applications linéaires $[×a]=(x ↦ ax) ∈ \End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où $a$ parcourt l'anneau $A$, est \emph{codiagonalisable}.
-\item l'injection $\japmath{田}A(k) ↪ \Specmax(A)$ est une bijection
+\item l'injection $田A(k) ↪ \Specmax(A)$ est une bijection
et $A$ est réduit.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -267,7 +245,7 @@ Le choix d'un isomorphisme comme en (ii) est parfois appelé une
\emph{diagonalisation} de $A$ sur $k$.
Notons que si $A$ est une algèbre diagonalisable, les trois
-ensembles finis $\japmath{田}A(k)$, $\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont
+ensembles finis $田A(k)$, $\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont
naturellement en bijection.
@@ -294,17 +272,17 @@ induit $k → B$ étant surjectif, c'est un isomorphisme.
L'algèbre $B$ est donc isomorphe à $k$ et, \emph{a fortiori}, diagonalisable.
Considérons maintenant un morphisme de $k$-algèbres $f:B → A$.
-Le composé de $f$ avec le morphisme d'évaluation $\ev_A:A ⥲ k^{\japmath{田}A(k)}$
-de $A$ se factorise à travers le morphisme d'évaluation $\ev_B:B ↠ k^{\japmath{田}B(k)}$ de $B$ :
+Le composé de $f$ avec le morphisme d'évaluation $\ev_A:A ⥲ k^{田A(k)}$
+de $A$ se factorise à travers le morphisme d'évaluation $\ev_B:B ↠ k^{田B(k)}$ de $B$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
-|(B)| B & |(A)| A \\ |(Bd)| k^{\japmath{田}B(k)} & |(Ad)| k^{\japmath{田}A(k)} \\};
+|(B)| B & |(A)| A \\ |(Bd)| k^{田B(k)} & |(Ad)| k^{田A(k)} \\};
\draw[->>] (B) -- node[swap]{$\ev_B$} (Bd);
\draw[right hook->>] (A) -- node{$\ev_A$} (Ad);
\draw[->] (B) -- node{$f$} (A);
-\draw[->] (Bd) -- node{$k^{\japmath{田}f}$} (Ad);
+\draw[->] (Bd) -- node{$k^{田f}$} (Ad);
\end{tikzpicture}
\end{center}
@@ -312,22 +290,22 @@ de $A$ se factorise à travers le morphisme d'évaluation $\ev_B:B ↠ k^{\japm
\item Si le morphisme $f$ est injectif, il en résulte que $\ev_B$ est
également injectif, donc bijectif. En d'autres termes, la
sous-algèbre $B$ de $A$ est diagonalisable.
-D'autre part, le morphisme $k^{\japmath{田}f}$ étant injectif,
-l'application $\japmath{田}f:\japmath{田}A(k) → \japmath{田}B(k)$
-est \emph{surjective}. L'image de $k^{\japmath{田}f}$ est
-l'ensemble des applications de $\japmath{田}A(k)$ vers $k$ constantes
-sur les fibres de $\japmath{田}f$.
-Ces fibres forment une partition de $\japmath{田}A(k)$.
-Réciproquement, toute partition de $\japmath{田}A(k)$ définit une
+D'autre part, le morphisme $k^{田f}$ étant injectif,
+l'application $田f:田A(k) → 田B(k)$
+est \emph{surjective}. L'image de $k^{田f}$ est
+l'ensemble des applications de $田A(k)$ vers $k$ constantes
+sur les fibres de $田f$.
+Ces fibres forment une partition de $田A(k)$.
+Réciproquement, toute partition de $田A(k)$ définit une
sous-$k$-algèbre de $A$, à savoir l'algèbre des fonctions constantes sur les constituants de la partition.
\item Si l'on ne suppose plus $f$ injectif mais que l'on suppose $B$
diagonalisable, la commutativité du diagramme ci-dessus — dont
les flèches verticales sont des isomorphismes —
montre que la donnée de $f$ est équivalente à la donnée
-du morphisme d'ensembles $\japmath{田}f: \japmath{田}B(k) → \japmath{田}A(k)$.
+du morphisme d'ensembles $田f: 田B(k) → 田A(k)$.
Rappelons que ces ensembles sont respectivement canoniquement isomorphes à $π₀(B)$ et $π₀(A)$
-et d'autre part que $\japmath{田}f$ correspond à $π₀(f)$ par ces
+et d'autre part que $田f$ correspond à $π₀(f)$ par ces
isomorphismes.
\end{itemize}
@@ -404,7 +382,7 @@ Zorn).
\end{démo}
Remarquons que dans la démonstration ci-dessus, on pourrait
-supposer que $e=e'$ ou bien $f=f'$, \cad $λ=\Id$ ou $μ=\Id$,
+supposer que $e=e'$ ou bien $f=f'$, c'est-à-dire $λ=\Id$ ou $μ=\Id$,
de sorte qu'il suffit d'établir le cas particulier $(λ₁⊗\Id)(λ₂⊗\Id)=(λ₁λ₂⊗\Id)$
de la formule précédente.
@@ -526,7 +504,7 @@ est une application $k$-linéaire (resp. un morphisme de $k$-algèbres), l'appli
$W_{k'}→V_{k'}$ (resp. $B_{k'}→A_{k'}$), caractérisée par $x⊗λ'↦f(x)⊗λ'$, est
une application $k'$-linéaire (resp. un morphisme de $k'$-algèbres).
Comme on le voit immédiatement en choisissant des bases adaptées,
-ces morphismes sont injectifs (resp. surjectifs) \ssi $f$ l'est.
+ces morphismes sont injectifs (resp. surjectifs) si et seulement si $f$ l'est.
\begin{exemple2}\label{kXtenskY}
Soient $X,Y$ deux ensembles finis.
@@ -539,7 +517,7 @@ de Dirac définies par $e_x(x)=1$ et $e_x(x')=0$ si $x'≠x$
de structures $a_{x,x'}^{x''}$ (resp. $b_{yy'}^{y''}$) valent un
si $x=x'=x''$ (resp. $y=y'=y''$) et zéro sinon.
Les constantes de structure $c_{(x,y),(x',y')}^{(x'',y'')}=a_{x,x'}^{x''}b_{y,y'}^{y''}$
-de $A⊗_k B$ sont donc non nulles \ssi $(x,y)=(x',y')=(x'',y'')$ auquel cas elles valent
+de $A⊗_k B$ sont donc non nulles si et seulement si $(x,y)=(x',y')=(x'',y'')$ auquel cas elles valent
un. Cette propriété caractérise la $k$-algèbre $k^{X×Y}$.
\end{exemple2}
@@ -601,7 +579,7 @@ s'il est non nul et de coefficient dominant égal
à un.
On dit que le polynôme $μ_a$ est le \emph{polynôme minimal}
-\index{polynôme minimal} de l'élément $a$. Il est irréductible \ssi $k[a]$
+\index{polynôme minimal} de l'élément $a$. Il est irréductible si et seulement si $k[a]$
est un corps, que l'on note alors
souvent $k(a)$. Dans tous les cas, on a
$[k[a]:k]=\deg\,μ_a$.
@@ -675,7 +653,7 @@ ils sont irréductibles sur $𝐐$, si bien que $[𝐐(√{3}):𝐐]=2$
et $[𝐐(√[3]{2}):𝐐]=3$. Considérons les sous-corps de $𝐑$
engendrés par ces racines : $K=𝐐(√{3})$ et $L=K(√[3]{2})$.
Comme $√[3]{2}$ est racine du polynôme $T³-2$ à coefficients dans
-$K$, on a trivialement $[L:K]≤3$, avec égalité \ssi $T³-2$ est irréductible dans $K$.
+$K$, on a trivialement $[L:K]≤3$, avec égalité si et seulement si $T³-2$ est irréductible dans $K$.
De l'égalité $[L:𝐐]=[L:K][K:𝐐]$ il résulte que l'extension $L\bo 𝐐$ est finie, de degré au
plus $6$ et, d'autre part, que toute expression polynomiale à coefficients
rationnels en $√{3}$ et $√[3]{2}$, par exemple $α=√{3}+√[3]{2}$,
@@ -748,7 +726,7 @@ première démonstration).
\begin{conventionrestreinte2}
Pour toute $k$-algèbre $A$ et toute partie $S$ de $A$,
on note $k[S]$ la plus petite sous-$k$-algèbre de $A$ contenant $S$,
-\cad l'image de l'unique morphisme de $k$-algèbres $k[x_s :s∈S]→A$,
+c'est-à-dire l'image de l'unique morphisme de $k$-algèbres $k[x_s :s∈S]→A$,
envoyant $x_s$ sur $s∈A$. Si $A$ est un anneau intègre, on note
$k(S)$ le corps des fractions de son sous-anneau $k[S]$.
\end{conventionrestreinte2}
@@ -1368,7 +1346,7 @@ Si un élément $a$ de $A$ nilpotent, les éléments $\Tr_{A\bo k}(a)$ et $\N_{A
de $k$ sont également nilpotents.
\end{proposition2}
-Il en résulte que si $k$ est \emph{réduit} (\cad $\Nilp(k)=\{0\}$),
+Il en résulte que si $k$ est \emph{réduit} (c'est-à-dire $\Nilp(k)=\{0\}$),
l'application $k$-linéaire $\Tr_{A\bo k}:A→k$ se factorise
à travers le quotient $A_{\red}=A/\Nilp(A)$
où, rappelons-le, $\Nilp(A)=\{a∈A:∃n∈𝐍,a^n=0\}$.
@@ -1393,7 +1371,7 @@ formule $\N(a^n)=\N(a)^n$ et de l'égalité $\N(0)=0$.
\begin{lemme2}
Soient $k$ un anneau et $Q ∈ k[X]$ un polynôme.
-Le polynôme $1+XQ(X)$ est inversible dans $k[X]$ \ssi
+Le polynôme $1+XQ(X)$ est inversible dans $k[X]$ si et seulement si
les coefficients de $Q$ sont nilpotents.
\end{lemme2}
@@ -1459,7 +1437,7 @@ $a↦a⊗1$, induit une bijection
\]
\item
Le cardinal de l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$
-est majoré par $[A:k]$, avec égalité \ssi $A$ est diagonalisée par $K\bo k$.
+est majoré par $[A:k]$, avec égalité si et seulement si $A$ est diagonalisée par $K\bo k$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -1563,10 +1541,10 @@ qui est un cas particulier explicite de \ref{k-algebres-finies} (iii).
\begin{lemme2}\label{structure k-f}
Soit $f∈k[X]$ un polynôme unitaire. La $k$-algèbre $k_f$ est :
\begin{enumerate}
-\item \emph{connexe} \ssi $f$ est une puissance d'un polynôme irréductible ;
-\item \emph{intègre} \ssi $f$ est \emph{irréductible} ;
-\item \emph{réduite} \ssi $f$ est \emph{sans facteur carré} ;
-\item \emph{diagonalisable} \ssi $f$ est \emph{scindé à racines simples sur $k$}.
+\item \emph{connexe} si et seulement si $f$ est une puissance d'un polynôme irréductible ;
+\item \emph{intègre} si et seulement si $f$ est \emph{irréductible} ;
+\item \emph{réduite} si et seulement si $f$ est \emph{sans facteur carré} ;
+\item \emph{diagonalisable} si et seulement si $f$ est \emph{scindé à racines simples sur $k$}.
\end{enumerate}
\end{lemme2}
@@ -1578,14 +1556,14 @@ Réciproquement, si $f=P^n$, $k_f$ est local, car $(P)$ est maximal
donc connexe (\refext{Spec}{local implique connexe}).
Le second point est évident ; il n'est mis que pour mémoire.
Vérifions (iii). D'après la décomposition précédente et compte tenu
-du fait qu'un produit fini d'anneaux est réduit \ssi chaque facteur l'est,
+du fait qu'un produit fini d'anneaux est réduit si et seulement si chaque facteur l'est,
il suffit de vérifier que si $P$ est un polynôme irréductible,
-l'anneau $k_{P^n}$ est réduit \ssi $n=1$. Cela résulte du fait que si $n>1$,
+l'anneau $k_{P^n}$ est réduit si et seulement si $n=1$. Cela résulte du fait que si $n>1$,
la classe de $P$ dans $k_{P^n}$ est un nilpotent non trivial. (L'implication
réciproque est un corollaire de (ii).)
Vérifions (iv). D'après \ref{critere-numerique-diagonalisable},
et \ref{points k-f}, $k_f$ est diagonalisable
-\ssi $\{a∈k:f(a)=0\}$ est de cardinal $\deg(f)$. CQFD.
+si et seulement si $\{a∈k:f(a)=0\}$ est de cardinal $\deg(f)$. CQFD.
\end{démo}
\begin{lemme2}\label{changement-base-k-f}
@@ -1646,7 +1624,7 @@ On verra plus bas qu'une extension algébrique engendrée par des éléments
séparables est séparable.
Il est clair qu'une extension algébrique $k'\bo k$ est séparable
-\ssi toute sous-$k$-extension \emph{finie} de $k$ est séparable.
+si et seulement si toute sous-$k$-extension \emph{finie} de $k$ est séparable.
\begin{proposition2}\label{critère différentiel de séparabilité polynôme}
Soit $f∈k[X]$. Les conditions suivantes sont équivalentes :
@@ -1716,7 +1694,7 @@ si pour toute extension finie $k'$ de $k$, l'anneau $A_{k'}$ est \emph{réduit}.
On dit également que le \emph{morphisme} $k → A$, aussi noté $A\bo k$, est \emph{géométriquement réduit}.
\begin{exemple2}\label{geom-red-separable}
-Une algèbre monogène $k_f$ est géométriquement réduite \ssi $f$ est séparable.
+Une algèbre monogène $k_f$ est géométriquement réduite si et seulement si $f$ est séparable.
(cf. \ref{pot-diag-reduit}).
\end{exemple2}
@@ -1855,7 +1833,7 @@ sont toutes nulles, il en est de même de $d$.
\begin{proposition2}
Soient $k$ un corps et $f∈k[X]$.
-La $k$-algèbre $k_f$ est formellement nette \ssi le polynôme $f$ est séparable.
+La $k$-algèbre $k_f$ est formellement nette si et seulement si le polynôme $f$ est séparable.
\end{proposition2}
\begin{démo}
@@ -1875,7 +1853,7 @@ alors formellement nette sur $Ω$. Contradiction (cf. \ref{nombres duaux pas ne
\begin{corollaire2}\label{mono geom red ssi f-nette}
Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre finie monogène est géométriquement réduite
-\ssi elle est formellement nette.
+si et seulement si elle est formellement nette.
\end{corollaire2}
\begin{proposition2}\label{net-implique-reduit}
@@ -1972,7 +1950,7 @@ une clôture algébrique quelconque de $k$. On le note $[A:k]_s$.
Le fait que l'entier $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$ soit indépendant
du choix de la clôture algébrique $Ω$ est un corollaire au théorème
de Steinitz. D'après le théorème ci-dessus, une $k$-algèbre finie $A$
-est étale \ssi $[A:k]=[A:k]_s$ (critère (vi)).
+est étale si et seulement si $[A:k]=[A:k]_s$ (critère (vi)).
\begin{remarque2}[terminologique]
Il résulte du théorème précédent qu'une extension $k'\bo k$
@@ -2016,7 +1994,7 @@ signalons le fait suivant — qui sera généralisé en \ref{k(sep)=sep} —,
pas évident à partir de la définition d'un élément séparable :
\begin{quote}
Soit $K\bo k$ une extension et soit $x∈K$ un élément algébrique, séparable sur $k$.
-Alors l'\emph{extension} $k(x)$ est séparable : tout élément $y∈k(x)$ — \cad
+Alors l'\emph{extension} $k(x)$ est séparable : tout élément $y∈k(x)$ — c'est-à-dire
tout polynôme en $x$ à coefficients dans $k$ — est racine d'un polynôme séparable
à coefficients dans $k$.
\end{quote}
@@ -2442,7 +2420,7 @@ bien entendu également que l'on a l'égalité $B_Ω=B'_Ω$.) Il résulte
immédiatement de la définition donnée en \ref{section définition restreinte
produit tensoriel} que le $Ω$-espace vectoriel quotient $B'_Ω/B_Ω$
est isomorphe au produit tensoriel $(B'/B)⊗_k Ω$ (voir aussi \refext{Tens}{suite exacte}).
-Il est donc nul \ssi $B'/B$ l'est, \cad si $B=B'$.
+Il est donc nul si et seulement si $B'/B$ l'est, c'est-à-dire si $B=B'$.
\end{remarque2}
%\end{facultatif}
@@ -2462,7 +2440,7 @@ est finie et $k$ parfait.
\end{theoreme2}
Remarquons que dans l'énoncé ne suppose pas l'extension $K\bo k$ finie \emph{a priori}.
-Cependant, si $K$ est monogène sur $k$, \cad $K=k[x]$ pour un $x∈K$,
+Cependant, si $K$ est monogène sur $k$, c'est-à-dire $K=k[x]$ pour un $x∈K$,
$x$ est nécessairement algébrique sur $k$ car dans le cas contraire $K$ serait
isomorphe à l'anneau de polynômes $k[X]$ qui n'est pas un corps.
@@ -2500,7 +2478,7 @@ diviseurs de $f∈K[X]$ étant en nombre fini, le résultat en découle.
\begin{remarques2}
Dans l'esprit de ce chapitre, il est tentant d'essayer de donner une
-démonstration du théorème par « extension des scalaires », \cad par tensorisation avec une
+démonstration du théorème par « extension des scalaires », c'est-à-dire par tensorisation avec une
clôture algébrique de $k$.
On observera cependant que la $k$-algèbre \emph{monogène} $k[X]/X^4$ possède
de nombreuses sous-$k$-algèbres ; par exemple les $k+k(X²+α X³)$ pour
@@ -2553,7 +2531,9 @@ général dit de \emph{localisation}.
\section{Exercices}
-\begin{exercice}[\cite{Isomorphism@Poonen}]
+\subsection{\XXX}
+
+\begin{exercice2}[\cite{Isomorphism@Poonen}]
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe $3$ classes d'isomorphisme
de $𝐑$-algèbres de rang $2$.
@@ -2563,7 +2543,7 @@ de $𝐑$-algèbres de rang $2$
dimension trois et exactement quatre classes d'isomorphisme en
dimension quatre.
\end{enumerate}
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
% esquisse solution en rang $3$ sur $𝐑$.
%Comme une telle algèbre·$A$ est un produit d'algèbres locales,
@@ -2585,16 +2565,16 @@ dimension quatre.
%sont donc
%\[𝐑³,𝐑[X]/X² × 𝐑, 𝐑× 𝐂, 𝐑[X]/X³, 𝐑[X,Y]/(X,Y)².\]
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
Soient $k$ un corps \emph{infini} et $n≥7$ un entier. Il existe une
infinité de classes d'isomorphismes de $k$-algèbres de dimension $n$.
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
\begin{démo}
Cf. Poonen \XXX
\end{démo}
-\begin{exercice}%\label{structure-algebres-finies}
+\begin{exercice2}%\label{structure-algebres-finies}
Soit $k$ un corps. Dans cet exercice, on démontre
sans faire appel à la notion d'anneau connexe que
toute $k$-algèbre finie est un produit fini de $k$-algèbres \emph{locales},
@@ -2608,9 +2588,9 @@ coïncide avec l'idéal produit $𝔪₁\cdots 𝔪_n$.
\item Vérifier que chaque anneau $A/𝔪_i^N$ est local.
\item Conclure.
\end{enumerate}
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}\label{algebres finies via idempotents}
+\begin{exercice2}\label{algebres finies via idempotents}
Soit $A$ une $k$-algèbre finie \emph{réduite}.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'application qui à un idempotent indécomposable
@@ -2621,21 +2601,21 @@ entre l'ensemble des idempotents indécomposables et $\Spec(A)$.
\item Montrer que le morphisme canonique $κ(𝔭_e)=A/𝔭_e→Ae$,
$a \mod{} 𝔭_e ↦ ae$, est un isomorphisme.
\end{enumerate}
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
Montrer que si $λ$ est une matrice $n×n$ et
$μ$ une matrice $m×m$, $\det(λ⊗μ)=\det(λ)^m\det(μ)^n$.
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}\label{utilisation matrices compagnons}
+\begin{exercice2}\label{utilisation matrices compagnons}
Donner une démonstration de \ref{entiers sur corps=sous-corps}
inspirée des calculs de \ref{exemple somme algébriques=algébrique}.
On pourra introduire les matrices compagnons de polynômes minimaux
adéquats.
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
Soit $P(X)=X^3-X-1\in \QQ[X]$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $P$ est irréductible sur $𝐐$.
@@ -2655,14 +2635,14 @@ strictement inférieur à un. On peut montrer (cf. \cite{Pisot@Siegel}) que la r
(cf. \refext{Calculs}{} pour la formule) du polynôme $X³-X-1$ est le plus petit
nombre de Pisot.}.
\end{enumerate}
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
Soit $K\bo k$ une extension de corps. Montrer que
-l'anneau $K⊗_k K$ est un corps \ssi $k=K$.
-\end{exercice}
+l'anneau $K⊗_k K$ est un corps si et seulement si $k=K$.
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}\label{non unicite composition}
+\begin{exercice2}\label{non unicite composition}
Soient $k$ un corps et $K=k[X]/f(X)$ où $f$ est un polynôme
irréductible. À quelle condition sur $f$
les extensions composées de $K$ avec lui-même sont-elles
@@ -2671,14 +2651,14 @@ toutes $k$-isomorphes ?
pour lesquelles toute $k$-extension composée de $K$ par $K$ est
$k$-isomorphe à $K$ (cf. \refext{CG}{caracterisation-extension-normale},
(v)).)
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
Soit $f$ comme ci-dessus et soit $K$ un corps de décomposition sur $k$. La relation
de divisibilité $[K:k]|n!$ est-elle satisfaite ?
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}%Difficile à ce niveau là.
+\begin{exercice2}%Difficile à ce niveau là.
Soit $K$ une extension algébrique de $k$ telle que
tout polynôme non constant de $k$ ait au moins une racine dans $K$. Montrer que $K$
est algébriquement clos. (En d'autres termes, $K$ est une clôture algébrique de
@@ -2687,9 +2667,9 @@ $k$.)
% dans une clôture algébrique $Ω$ contenant $K$. Il existe $α$ tel que
% $k(R)=k(α)$. Par hypothèse, $K$ contient un élément $β$ conjugué à $α$.
% Pour un tel $β$, on a $k(β)=k(α)=k(R)$, donc $k(R)⊂K$.
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}[Théorème de d'Alembert-Gauß]
+\begin{exercice2}[Théorème de d'Alembert-Gauß]
\begin{enumerate}
\item Soient $f∈𝐂[X]$ un polynôme non constant tel que $f(0)=1$.
Montrer qu'il existe des nombres complexes $z$ arbitrairement proches de $0$
@@ -2699,15 +2679,15 @@ tels que $|f(z)|<1$.
un zéro. (On pourra commencer par montrer que $\min_{z∈𝐂}\,|f(z)|$ existe puis qu'il est
nul.)
\end{enumerate}
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
Soit $k$ un corps et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
À quelle condition a-t-on l'égalité $\Aut_k(Ω)=\{1\}$ ?
% Essayer de deviner que les extensions doivent être radicielles.
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}[Analogue algébrique de la notion d'immersion]
+\begin{exercice2}[Analogue algébrique de la notion d'immersion]
\begin{enumerate}
\item Soient $k$ un \emph{anneau} et $A$ une $k$-algèbre. Montrer que
$A\bo k$ est formellement net si et seulement si pour toute $k$-algèbre $T$, tout idéal de carré nul $I$
@@ -2740,9 +2720,9 @@ où $∇_x f={\frac{∂}{∂_{X₁}}f}_{x}+\cdots+{\frac{∂}{∂_{X_n}}f}_{x}$,
sur $k$, alors $n=1$ et pour tout $x∈k$ tel que $f(x)=0$,
nécessairement $f'(x)∈k^×$.
\end{enumerate}
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
Soient $k$ un anneau, $A$ une $k$-algèbre, et $M$ un $A$-module.
Posons $M[ε]=A⊕M$, muni de la structure de $k$-algèbre
suivante : $(a⊕m)(a'⊕m')=aa'⊕(am'+a'm)$, et $λ(a⊕m)=λa⊕λm$.
@@ -2755,7 +2735,7 @@ vers $A$, noté $\Hom_{k\traitdunion\Alg \bo A}(A,M[ε])$.
\item Construire un isomorphisme $k$-linéaire
$\Der_k(A,M) ⥲ \Hom_{k-\mathrm{alg}\bo A}(A,M[ε])$.
\end{enumerate}
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
diff --git a/config/macros.tex b/config/macros.tex
index 12856bd..6e0c971 100644
--- a/config/macros.tex
+++ b/config/macros.tex
@@ -17,6 +17,8 @@
\DeclareMathOperatorWithFont{\Int}{\mathsf}{Int}
\DeclareMathOperatorWithFont{\Out}{\mathsf}{Out}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Der}{\mathrm}{Dér} % quelle police utiliser ?
+
\DeclareMathOperatorWithFont{\Id}{\mathrm}{Id}
\DeclareMathOperatorWithFont{\Ker}{\mathrm}{Ker}
\DeclareMathOperatorWithFont{\Fix}{\mathrm}{Fix}
@@ -36,6 +38,9 @@
\DeclareMathOperatorWithFont{\Nilp}{\mathrm}{Nilp}
\DeclareMathOperatorWithFont{\red}{\mathrm}{red}
\DeclareMathOperatorWithFont{\Idem}{\mathrm}{Idem}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Ann}{\mathrm}{Ann}
+
+\DeclareMathOperatorWithFont{\dec}{\mathrm}{déc}
\DeclareMathOperatorWithFont{\Tr}{\mathrm}{Tr}
\DeclareMathOperatorWithFont{\N}{\mathrm}{N}
@@ -74,6 +79,7 @@
\newcommand{\categ}[1]{\mathtt{#1}}
\newcommand{\Ens}{\categ{Ens}}
+\newcommand{\Alg}{\categ{Alg}}
%% Tiret et trait d'union en mode maths
@@ -134,10 +140,16 @@
\newtheorem{convention2}[subsubsection]{Convention}
\newtheorem{remarque2}[subsubsection]{Remarque}
\newtheorem{remarques2}[subsubsection]{Remarques}
+\newtheorem{miseengarde2}[subsubsection]{Mise en garde}
\newtheorem{exemple2}[subsubsection]{Exemple}
\newtheorem{exemples2}[subsubsection]{Exemples}
\newtheorem{exercice2}[subsubsection]{Exercice}
\newtheorem{algorithme2}[subsubsection]{Algorithme}
+\newtheorem{definitionrestreinte2}[subsubsection]{Définition restreinte}
+% Ce qui suit définit l'environnement {définition2} comme exactement synonyme de {definition2}
+\expandafter\expandafter\expandafter\let\expandafter\expandafter\csname définitionrestreinte2\endcsname\csname definitionrestreinte2\endcsname
+\expandafter\expandafter\expandafter\let\expandafter\expandafter\csname enddéfinitionrestreinte2\endcsname\csname enddefinitionrestreinte2\endcsname
+\newtheorem{conventionrestreinte2}[subsubsection]{Convention restreinte}
\renewcommand{\proofname}{Démonstration}
% Ce qui suit définit l'environnement {démo} comme exactement synonyme de {proof}
diff --git a/config/preambule.tex b/config/preambule.tex
index 334f801..6541388 100644
--- a/config/preambule.tex
+++ b/config/preambule.tex
@@ -16,6 +16,7 @@
%% Bibliothèques TikZ
%%
\usetikzlibrary{matrix}
+\usetikzlibrary{arrows}
\usetikzlibrary{calc}
%%
%% Polices