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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-02-28 17:49:46 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-02-28 17:49:46 (GMT)
commitf5acdaed3683df908c2d3bc8091adb5cad2a6011 (patch)
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[LG] grosse merdouille sur les courbes, les points, etc.
2013-2-28 (18h49)
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex117
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index 1005a18..13fd723 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2138,6 +2138,14 @@ en égale caractéristique, comme par exemple la classe de la valuation
$P↦ p^{-\deg(P)}$ dans $𝐅_p(t)$. Nous noterons d'ailleurs souvent $∞$
cette place (ultramétrique).
+\begin{remarque2}
+Le choix du mot « point » est justifié par le fait suivant :
+un corps global $K$ de caractéristique $p>0$ de corps des constantes $k$
+est le « corps des fonctions » d'une courbe projective lisse sur $k$
+dont l'ensemble des points fermés est naturellement en
+bijection avec $Σ(K)$.
+\end{remarque2}
+
\subsubsection{}Si $x ∈ Σ(K)$, on note $K_x$ le complété de $K$ pour la
\commentaire{Noter $K_{\chap{x}}$ ? et réserver $K_x$ pour le corps valué
$(K,||_x)$ ?}
@@ -4664,7 +4672,7 @@ Z_K(T)= ∑_{n ≥ 0} E_K(n) T^n,
où $E_K(n)$ est le nombre de \emph{diviseur effectifs}
(\ref{définition diviseur effectif}) de $K$ de degré $n$\footnote{En termes plus
expressifs, $N_K(n)$ est le \emph{nombre de $𝐅_{q^n}$-points de la courbe projective
-lisse sur $𝐅_q$ associée à $K$}.}
+lisse sur $𝐅_q$ associée à $K$}.}.
Notons que l'expression de la dérivée logarithmique est équivalente
à la formule :
\[
@@ -4678,17 +4686,40 @@ notons $X(k′)$ l'ensemble des $k$-places de $K$ à valeurs dans $k′$
(\refext{AVD-D}{définition-place}). Comme expliqué dans \emph{loc. cit.},
on a une application naturelle $X(k′) → X$, envoyant
une place $φ:K → k′ ∪ \{∞\}$ sur l'anneau de valuation $φ^{-1}(k′)$,
-correspondant à son tour à une classe de valuations sur $K$.
+correspondant à son tour à une classe de valuations $|⋅|_φ$ sur $K$ ;
+on a \mbox{$\{f ∈ K: |f|_φ<1\}=φ^{-1}(0)$}.
Si l'extension $k′ \bo k$ est finie de degré $n$,
-l'image cette application est l'ensemble $\{x ∈ X: \deg(x)|n\}$ ; la fibre
+l'image cette application est l'ensemble $\{x ∈ X: \deg(x)|n\}$ et la fibre
au-dessus de $x$ est exactement de cardinal $\deg(x)$.
Il en résulte que l'entier $N_K(n)$ ci-dessus n'est autre
que le cardinal de $X(k_n)$, où $k_n$ désigne une extension
de $k$ de degré $n$ (unique à isomorphisme près) et que
pour toute fonction $f ∈ K^×$, l'ensemble des places $φ ∈ X(\sur{k})$
-telles que $φ(f)=0$ est de cardinal au plus $\deg \div₀(f)$.
-Observons pour référence ultérieure que les $k$-automorphismes $σ$ de $K$
-agissent sur $X(k′)$ : $σ ⋅ φ = φ ∘ σ^{-1}$.
+telles que $φ(f)=0$ est de cardinal $\deg \div₀(f)=\displaystyle ∑_{x:|f|_x<1} \deg(x)$.
+
+\subsubsection{}
+\label{action-sur-Xk}
+On conserve les notations précédentes.
+Si $σ$ est un $k$-automorphisme de $K$, il agit (à gauche) sur $X$
+en envoyant (la classe d')une valeur absolue $|⋅|$ sur (la classe de) la
+valeur absolue $f↦ |σ^{-1}(f)|$. De même, pour toute extension $k′\bo k$,
+$σ$ agit sur $X(k′)$ via $σ ⋅ φ = φ ∘ σ^{-1}$. Ces actions
+sont compatibles : le morphisme $X( k′) → X$ est $\Aut_k(K)$-équivariant.
+
+Dualement, le groupe de Galois $G_k=\Gal(\sur{k}/k)$ agit sur $X(\sur{k})$ :
+un élément $σ ∈ G_k$ agit sur $φ : K → \sur{k} ∪ \{∞\}$ par la formule
+$σ ⋅ φ = σ ∘ φ$. (On décide que $σ(∞)=∞$.) L'application naturelle
+$X(\sur{k}) → X$ induit une bijection
+\[
+{}_{G_k ∖}X(\sur{k}) ⥲ X.
+\]
+
+\begin{remarque2}
+Dans le langage de la géométrie algébrique, l'ensemble
+$X(\sur{k})$ peut s'interpréter de la façon suivante :
+c'est l'ensemble des points fermés de la courbe algébrique projective
+lisse sur $\sur{k}$ de corps des fonctions $K ⊗_k \sur{k}$.
+\end{remarque2}
\subsubsection{Extension du corps des constantes}
\label{extension des scalaires pour Zêta}
@@ -5483,47 +5514,36 @@ de degré $n$. On veut estimer la taille — notée $N(n)$ ci-dessus — des
définis en \ref{notation-Xk}.
Il est tautologique que $X(k_n)$ s'identifie à l'ensemble
$\Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)$ des points
-fixes de l'automorphisme de Frobenius $\Frob_k$ agissant sur
-$X(\sur{k})$ via son action sur $\sur{k}$. (Explicitement :
-par composition d'une place $φ : K → \sur{k} ∪ \{∞\}$ avec l'élévation
-avec la puissance $q$ de $\sur{k} ∪ \{∞\}$ dans lui-même.)
+fixes de l'automorphisme de Frobenius $\Frob_k ∈ \Gal(\sur{k}\bo k)$ agissant sur
+$X(\sur{k})$ comme expliqué en \ref{action-sur-Xk}.
\subsubsection{}Supposons que le corps $K$ soit une extension galoisienne de groupe $G$ du corps
$k(t)$, corps dont on note $𝐏¹_k$ le foncteur des $k$-places ultramétriques (\ref{notation-Xk}).
-Si $x ∈ X(\sur{k})$ s'envoie sur $y ∈ 𝐏¹_k(\sur{k})$ et si le morphisme
+Si $\sur{x} ∈ X(\sur{k})$ s'envoie sur un point $k$-rationnel $y ∈ 𝐏¹_k(k)$ et si le morphisme
correspondant est net, il existe un unique $σ ∈ G$ tel
-que $\Frob_k(x)=σ(x)$. Il en résulte
+que $\Frob_k(\sur{x})=σ(\sur{x})$. Il en résulte
que
\[
-1+q=\# 𝐏¹_k(k)=\frac{1}{\# G} ∑_{σ ∈ G} \#\Fix\big(σ^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)+ 𝖮(1).
+1+q=\# 𝐏¹_k(k)=\frac{1}{\# G} ∑_{σ ∈ G} \#\Fix\big(σ^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)+ 𝖮(1),
\]
-Le terme supplémentaire est la contribution des points de ramification,
-en nombre fini.
-Il en résulte que si l'on sait \emph{majorer} le cardinal des
-ensembles $ \Fix\big(σ^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)$, on sait également
+où le terme supplémentaire est la contribution des points de ramification, en nombre fini.
+En conséquence, si l'on sait \emph{majorer} le cardinal des
+ensembles $ \Fix\big(σ^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)$ pour $σ ≠ \Id$, on sait également
minorer celui de $\Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)=X(k)$.
-
-\subsubsection{}
-Pour contourner le problème de ramification auquel il a été
-fait allusion ci-dessus, il est utile d'introduire — suivant
-\cite[chap. 4]{Fried-Jarden} — le nombre de points fixes pondérés par
-le degré :
-\[
-\# \gtilde{\Fix}\big(\Frob_k^σ|X(\sur{k})\big)= ∑_{x ∈ X \atop σ(x)=\Frob_k(x)} \deg(x).
-\]
-(Voir \ref{formule de la moyenne}, \emph{infra}.)
-Notons le cas particulier important suivant (cas où $σ=\Id$) :
-\[
-\# \gtilde{\Fix}\big(\Frob_k^\Id|X(\sur{k})\big)=\# \Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)=\# X(k).
-\]
+Notons également qu'une $k$-place $φ:K → \sur{k} ∪ \{∞\}$ est fixe
+par $σ^{-1}\Frob_k$ si et seulement si $\Frob_k ∘ φ = φ ∘ σ$.
+Il en résulte que si $φ,φ′$ ont même image dans $X$,
+$φ$ est fixe si et seulement si $φ′$ l'est. (En effet,
+$φ$ et $φ′$ diffèrent par l'action du Frobenius $\Frob_k$.)
\begin{théorème2}[Bombieri]
Supposons que $q$ est un carré ${q′}²$,
satisfait l'inégalité $q′>(g+1)²$, et qu'il existe un \emph{point rationnel} $x ∈ X(k)$.
Alors pour tout $σ ∈ \Aut(K\bo k)$, on a la majoration
\[
-\# \gtilde{\Fix}\big(\Frob^σ_k|X(\sur{k})\big) -(1+q) < (2g+1) √{q}.
+\# \Fix \big(\Frob^σ_k|X(\sur{k})\big) -(1+q) < (2g+1) √{q},
\]
+où l'on note $\Frob^σ_k=σ^{-1}\Frob_k$.
En particulier, $\# X(k) ≤ 1+q+(2g+1)√{q}$.
\end{théorème2}
@@ -5582,11 +5602,11 @@ mais
\[
F ≔ ∑_{s ∈ S_{≤ N}} h_s (σf_s)^{q′}=0.
\]
-Soit $φ$ une $k$-place dans $\Fix \big(σ^{-1}\Frob_k | X(\sur{k})\big)$
+Soit $φ$ une $k$-place dans $\Fix \big(\Frob^σ_k | X(\sur{k})\big)$
non localisée en $x$ de sorte que $φ$ est défini sur les espaces $ℒ_n$.
Comme $φ(f_s)=φ(σf_s)^{q}$, on a
$φ(f)=∑_s φ(h_s)^{q′} φ(σf_s)^q=φ(F)^{q′} =0$.
-D'après \ref{notation-Xk}, le cardinal de $\Fix \big(σ^{-1}\Frob_k | X(\sur{k})\big)$
+D'après \ref{notation-Xk}, le cardinal de $\Fix \big(\Frob^σ _k | X(\sur{k})\big)$
est donc majoré par $\deg(\div₀(f))$.
Comme $\deg(\div₀(f))=\deg(\div_∞(f))$ et $f ∈ ℒ_{N+q′ M}$,
le cardinal recherché est donc inférieur ou égal
@@ -5598,27 +5618,26 @@ le cardinal recherché est donc inférieur ou égal
\begin{proposition2}
\label{formule de la moyenne}
Soit $L\bo K$ une extension finie galoisienne de groupe $G$
-et soit $Y$ l'ensemble des points du corps global $L$.
+et utilisons la lettre $Y$ pour désigner les points du corps global $L$ et
+le foncteur des $k$-places.
Si le corps des constantes de $L$ égal à $k$ alors, pour tout
-$σ ∈ \Aut(K \bo k)$, on a la formule de la moyenne :
+$σ ∈ \Aut(L \bo k)$ stabilisant $K$, on a la formule de la moyenne :
\[
-\# \gtilde{\Fix}\big(\Frob_k^σ|X(\sur{k})\big)
-=\frac{1}{\# G} ∑_{γ ∈ G} \# \gtilde{\Fix}\big(\Frob_k^{γ σ}|Y(\sur{k})\big).
+\# \\Fix\big(\Frob_k^σ|X(\sur{k})\big)
+=\frac{1}{\# G} ∑_{γ ∈ G} \# \Fix\big(\Frob_k^{γ σ}|Y(\sur{k})\big).
\]
\end{proposition2}
+L'énoncé de [Fried-Jarden] n'a pas de sens.
+L'énoncé ci-dessus est peut-être bon... ? :( \XXX
+
\begin{démo}
-Fixons un $x ∈ X$ tel que $σ(x)=\Frob_k(x)$.
-Soit $r$ le cardinal de la fibre $Y_x$, $e$ l'indice de ramification
-des $y$ dans cette fibre et $f$ le degré de l'extension résiduelle.
-On a $\# G = efr$. Pour chaque $y$ dans la fibre, il existe exactement
-$e$ éléments $γ ∈ G$ tels que $γ σ(y)=\Frob_k(y)$ et chaque $y$
-est de degré $f$ sur le corps résiduel de $x$. La formule
-à démontrer est donc conséquence de l'égalité « ponctuelle »
-\[
-1 = \frac{1}{\#G} (r × e × f).
-\]
-[On doit pouvoir dire ça mieux] \XXX
+Soit $\sur{x} ∈ X(\sur{k})$, d'image $x$ dans $X$, et considérons la fibre du morphisme
+$Y(\sur{k}) → X(\sur{k})$ au-dessus de $\sur{x}$,
+dont on note $r_x$ le cardinal. Il existe un entier $f_x$ tel que
+chaque $y ∈ Y$ au-dessus de $x$ induise une extension résiduelle
+de degré $f_x$. Enfin, notons $e_x$ l'indice de ramification de $x$
+dans $L$. On a $\#G=e_x f_x r_x$.
\end{démo}
\subsubsection{}