[calculs] exemple G_168

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index ff2dfe7..fe95e05 100644
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+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -3659,6 +3659,16 @@ sur $\QQ$ est $C_7 \rtimes C_6$, ce qui n'est évidemment pas une
 surprise.
 \end{exemple2}
 
+\begin{exemple2}
+Considérons le polynôme $f =X⁷-7X+3 ∈ 𝐐[X]$, déjà considéré
+en \ref{} \XXX. On vérifie qu'il a exactement trois racines
+dans $𝐅_{107}$ ; il en résulte que son groupe de Galois
+n'est pas contenu dans $C₇ \rtimes C₆= \AGL(\FF_7)$ car seule
+l'identité à $2$ points fixes. Comme $R_P(f)$ est divisible
+par $T⁷+14T⁴-42T²-21T+9$, la proposition précédente
+montre que $G=\PGL₃(𝐅₂)$. 
+\end{exemple2}
+
 
 \ifx\danslelivre\undefined
 \bibliography{../biblio/bibliographie-livre}
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index 3fabfb6..c0e65eb 100644
--- a/chapitres/exemples-galois.tex
+++ b/chapitres/exemples-galois.tex
@@ -1758,9 +1758,13 @@ $c(\tau)$.
 \subsection{$\PSL_3(\FF_2)$}\label{exemple-galois-psl-3-f-2}
 
 Considérons le polynôme $f = X^7 - 7X + 3$ sur $\QQ$ : il est
-irréductible car sa réduction modulo $2$ l'est.  On va montrer que son
-groupe de Galois est $\PSL_3(\FF_2)$ (unique groupe simple d'ordre
-$168$, qui s'écrit également $\PSL_2(\FF_7)$).
+irréductible car sa réduction modulo $2$ l'est. (En effet,
+il n'a pas de racine dans $𝐅₄$ — car si $j²+j+1=0$, alors $j⁷+j+1
+≠ 0$ —, ni dans $𝐅₈$ car les équations $α⁸=α$ et $α⁷=1+α$ sont
+incompatibles.)
+On va montrer que son groupe de Galois est $\PSL_3(\FF_2)$
+(unique groupe simple d'ordre $168$, qui s'écrit également
+$\PSL_2(\FF_7)$).
 
 Considérons le polynôme $\rho(Z)=\prod_{\substack{i<j<k}}
 (Z-\xi_i-\xi_j-\xi_k)$ dont les racines sont tous les