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author | Fabrice (Phare) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2013-03-22 11:46:59 +0100 |
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committer | Fabrice (Phare) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2013-03-22 11:46:59 +0100 |
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[calculs] exemple G_168
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex index ff2dfe7..fe95e05 100644 --- a/chapitres/calculs-galois.tex +++ b/chapitres/calculs-galois.tex @@ -3659,6 +3659,16 @@ sur $\QQ$ est $C_7 \rtimes C_6$, ce qui n'est évidemment pas une surprise. \end{exemple2} +\begin{exemple2} +Considérons le polynôme $f =X⁷-7X+3 ∈ 𝐐[X]$, déjà considéré +en \ref{} \XXX. On vérifie qu'il a exactement trois racines +dans $𝐅_{107}$ ; il en résulte que son groupe de Galois +n'est pas contenu dans $C₇ \rtimes C₆= \AGL(\FF_7)$ car seule +l'identité à $2$ points fixes. Comme $R_P(f)$ est divisible +par $T⁷+14T⁴-42T²-21T+9$, la proposition précédente +montre que $G=\PGL₃(𝐅₂)$. +\end{exemple2} + \ifx\danslelivre\undefined \bibliography{../biblio/bibliographie-livre} diff --git a/chapitres/exemples-galois.tex b/chapitres/exemples-galois.tex index 3fabfb6..c0e65eb 100644 --- a/chapitres/exemples-galois.tex +++ b/chapitres/exemples-galois.tex @@ -1758,9 +1758,13 @@ $c(\tau)$. \subsection{$\PSL_3(\FF_2)$}\label{exemple-galois-psl-3-f-2} Considérons le polynôme $f = X^7 - 7X + 3$ sur $\QQ$ : il est -irréductible car sa réduction modulo $2$ l'est. On va montrer que son -groupe de Galois est $\PSL_3(\FF_2)$ (unique groupe simple d'ordre -$168$, qui s'écrit également $\PSL_2(\FF_7)$). +irréductible car sa réduction modulo $2$ l'est. (En effet, +il n'a pas de racine dans $𝐅₄$ — car si $j²+j+1=0$, alors $j⁷+j+1 +≠ 0$ —, ni dans $𝐅₈$ car les équations $α⁸=α$ et $α⁷=1+α$ sont +incompatibles.) +On va montrer que son groupe de Galois est $\PSL_3(\FF_2)$ +(unique groupe simple d'ordre $168$, qui s'écrit également +$\PSL_2(\FF_7)$). Considérons le polynôme $\rho(Z)=\prod_{\substack{i<j<k}} (Z-\xi_i-\xi_j-\xi_k)$ dont les racines sont tous les |