[LG] fin démonstration du lemme et de l'existence d'un diviseur de degré 1

2012-12-20 (16h34)

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@@ -4623,16 +4623,13 @@ Il en résulte que l'on a, du moins formellement,
 ζ_K(s) = Z_K(q^{-s}) \text{, où }
 \]
 \[
-Z_K(T)=∏_{x ∈ X} \frac{1}{1-T^{\deg(x)}} = ∏_{n ≥ 1} (1-T^n)^{-B_K(n)} ∈ 𝐙[[T]],
+Z_K(T)=∏_{x ∈ X} \frac{1}{1-T^{\deg(x)}} ∈ 𝐙[[T]].
 \]
-où $B_K(n)$ est ici le nombre de $x ∈ X$ de degré $n$.
 L'égalité $(1-T)^{-1}=∑_{n ≥ 0} T^n$ nous permet d'une part de calculer la dérivée logarithmique
 \[
 T \frac{Z′_K}{Z_K} = ∑_{n ≥ 1} N_K(n)  T^n,
 \]
-où $N_K(n):= ∑_{r|n} B_K(r)r=∑_{x ∈ X \atop \deg(x)|n} \deg(x)$ — ce qui revient à compter
-les points de $X$ de degré $r$ avec une multiplicité $r$ —
-et aussi d'exprimer la fonction Zêta sous la forme
+où $\displaystyle N_K(n)=∑_{x ∈ X \atop \deg(x)|n} \deg(x)$ et également d'exprimer la fonction Zêta sous la forme
 d'une série génératrice
 \[
 Z_K(T)= ∑_{n ≥ 0} E_K(n) T^n,
@@ -4640,7 +4637,7 @@ Z_K(T)= ∑_{n ≥ 0} E_K(n) T^n,
 où $E_K(n)$ est le nombre de \emph{diviseur effectifs}
 (\ref{définition diviseur effectif}) de $K$ de degré $n$\footnote{En termes plus
 expressifs, $N_K(n)$ est le \emph{nombre de $𝐅_{q^n}$-points de la courbe projective
-lisse sur $𝐅_q$ associée à $K$}.}.
+lisse sur $𝐅_q$ associée à $K$}.}
 Notons que l'expression de la dérivée logarithmique est équivalente
 à la formule :
 \[
@@ -4648,28 +4645,27 @@ Z_K(T)=\exp(∑_{n ≥ 1} N_K(n)\frac{T^n}{n}). \tag{††}
 \]
 
 \subsubsection{Extension du corps des constantes}
+\label{extension des scalaires pour Zêta}
 Fixons un corps de fonctions $K$ de corps des constantes $k$ et un entier $e ≥ 1$.
 Notons $k_e$ l'extension (cyclique) de degré $e$ de $k$ (unique à isomorphisme
 près), $K_e$ le corps produit tensoriel $K ⊗_k} k_e$ obtenu à partir de $K$
 par extension des scalaires de $k$ à $k_e$, et $X_d$ l'ensemble de ses places (ultramétriques).
-Le corps des constantes de $K_e$ est $k_e$ \XXX et l'application
-$X_d → X$ est surjective. Si $y↦x$, le corps résiduel $κ(y)$ est extension
-composée du corps fini $κ(x)$ (de degré $\deg(x)$ sur $k$) et de $k_e$ : elle
-est donc de degré $\frac{e}{(e,\deg(x))}$ sur $k_e$. 
-L
-
-
-Reprenons les notations de
-\ref{réécriture Zêta corps de fonctions}. Le lecteur se convaincra aisément,
-à partir de la formule $N_K(n)=∑_{r | n} r B_K(r)$, que l'on a
-$N_{K_d}(n)=N_K(nd)$ si $d$ divise $n$ et $N_{K_d}(n)=0$ sinon.
-
-
-C'est un
-fait général (indépendant de l'hypothèse faite sur $d$) \XXX que $Z_{K_d}(T^d)= ∏_{μ ∈ μ_d(𝐂)} Z_K(μT)$.
-
-
-
+Les faits suivant résultent des résultats exposés en \refext{AVD-D}{} \XXX :
+\begin{enumerate}
+\item le corps des constantes de $K_e$ est $k_e$ ;
+\item l'application $X_e → X$ est surjective ;
+\item si $x ∈ X$, tout $y ∈ X_e$ s'envoyant sur $x$ est
+de corps résiduel $κ(y)$ un corps composé de $k_e$ et de $κ(x)$ et,
+par conséquent, de degré $(e,\deg(x))$ sur $k$ ;
+\item si $x ∈ X$, la fibre au-dessus de $x$ est de cardinal
+$\frac{e}{(e,\deg(x))}$.
+\end{enumerate}
+Il résulte formellement de tout ceci que l'on a $N_{K_e}(n)=N_K(n)$ pour chaque
+entier $n ≥ 1$. En termes de fonctions Zêta, cela se traduit par l'égalité
+\[
+Z_{K_e}(T^e)= ∏_{μ ∈ μ_e(𝐂)} Z_K(μT).
+\] 
+(Utiliser la formule $(††)$.)
 
 \subsubsection{Fonction zêta complétée}
 \label{fonction zêta complétée}
@@ -5157,14 +5153,12 @@ la fonction $Z_K(T)$ est une fraction rationnelle $Q(T^d)$,
 où $Q$ a un pôle simple en $1$ (cf. $h_K ≠ 0$). Il en résulte que pour tout
 corps de fonctions $L$ et tout entier $n ≥ 1$,
 la fonction rationnelle $Z_L(T^n)$ un pôle simple en $1$.
-Appliquons cette remarque au corps $K_d=K ⊗_{𝐅_q} 𝐅_{q^d}$ obtenu à partir de $K$ par extension des scalaires
-de $𝐅_q$ à $𝐅_{q^d}$ et à l'entier $n=d$.
-[...]
-
-Comme $Z_K$ ne dépend que de $T^d$, cette formule se réécrit
-$Z_{K_d}(T^d)=Z_K(T)^d$.  Le terme de gauche a un
+Appliquons cette remarque au corps $K_d$ obtenu à partir de $K$ par extension
+des scalaires de degré $d$ (cf. \ref{extension des scalaires pour Zêta})
+Comme $Z_K$ ne dépend que de $T^d$, la formule établie en \emph{loc. cit.}
+devient $Z_{K_d}(T^d)=Z_K(T)^d$. Le terme de gauche a un
 pôle simple en $T=1$ et le terme de droite un pôle de
-multiplicité $d$.  On a donc $d=1$. CQFD.
+multiplicité $d$. On a donc $d=1$. CQFD.
 
 			\[⁂\]
 
@@ -5370,17 +5364,6 @@ $g$ mesure la complexité de la courbe :
 $Z(K)$ est connu dès que l'on connaît les $g$ premières
 valeurs.
 
-\subsubsection{}Extension des scalaires. Si $K\bo k$,
-on note $k_d$ l'unique extension de degré $d$ de $k$
-dans une clôture algébrique fixée et $K_{k_d}$ le \emph{corps}
-$K ⊗_k k_d$ \XXX.
-
-\begin{lemme2}
-\[
-Z(K_{k_d}\bo k_d,T)= ∏_{ζ ∈ μ_d(𝐂)} Z(K\bo k, ζT).
-\]
-\end{lemme2}
-
 Il suffit donc de démontrer le théorème après extension
 des scalaires.