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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-12-20 16:34:30 +0100 |
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[LG] fin démonstration du lemme et de l'existence d'un diviseur de degré 1
2012-12-20 (16h34)
-rw-r--r-- | chapitres/locaux-globaux.tex | 67 |
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index f50addd..ead47d6 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -4623,16 +4623,13 @@ Il en résulte que l'on a, du moins formellement, ζ_K(s) = Z_K(q^{-s}) \text{, où } \] \[ -Z_K(T)=∏_{x ∈ X} \frac{1}{1-T^{\deg(x)}} = ∏_{n ≥ 1} (1-T^n)^{-B_K(n)} ∈ 𝐙[[T]], +Z_K(T)=∏_{x ∈ X} \frac{1}{1-T^{\deg(x)}} ∈ 𝐙[[T]]. \] -où $B_K(n)$ est ici le nombre de $x ∈ X$ de degré $n$. L'égalité $(1-T)^{-1}=∑_{n ≥ 0} T^n$ nous permet d'une part de calculer la dérivée logarithmique \[ T \frac{Z′_K}{Z_K} = ∑_{n ≥ 1} N_K(n) T^n, \] -où $N_K(n):= ∑_{r|n} B_K(r)r=∑_{x ∈ X \atop \deg(x)|n} \deg(x)$ — ce qui revient à compter -les points de $X$ de degré $r$ avec une multiplicité $r$ — -et aussi d'exprimer la fonction Zêta sous la forme +où $\displaystyle N_K(n)=∑_{x ∈ X \atop \deg(x)|n} \deg(x)$ et également d'exprimer la fonction Zêta sous la forme d'une série génératrice \[ Z_K(T)= ∑_{n ≥ 0} E_K(n) T^n, @@ -4640,7 +4637,7 @@ Z_K(T)= ∑_{n ≥ 0} E_K(n) T^n, où $E_K(n)$ est le nombre de \emph{diviseur effectifs} (\ref{définition diviseur effectif}) de $K$ de degré $n$\footnote{En termes plus expressifs, $N_K(n)$ est le \emph{nombre de $𝐅_{q^n}$-points de la courbe projective -lisse sur $𝐅_q$ associée à $K$}.}. +lisse sur $𝐅_q$ associée à $K$}.} Notons que l'expression de la dérivée logarithmique est équivalente à la formule : \[ @@ -4648,28 +4645,27 @@ Z_K(T)=\exp(∑_{n ≥ 1} N_K(n)\frac{T^n}{n}). \tag{††} \] \subsubsection{Extension du corps des constantes} +\label{extension des scalaires pour Zêta} Fixons un corps de fonctions $K$ de corps des constantes $k$ et un entier $e ≥ 1$. Notons $k_e$ l'extension (cyclique) de degré $e$ de $k$ (unique à isomorphisme près), $K_e$ le corps produit tensoriel $K ⊗_k} k_e$ obtenu à partir de $K$ par extension des scalaires de $k$ à $k_e$, et $X_d$ l'ensemble de ses places (ultramétriques). -Le corps des constantes de $K_e$ est $k_e$ \XXX et l'application -$X_d → X$ est surjective. Si $y↦x$, le corps résiduel $κ(y)$ est extension -composée du corps fini $κ(x)$ (de degré $\deg(x)$ sur $k$) et de $k_e$ : elle -est donc de degré $\frac{e}{(e,\deg(x))}$ sur $k_e$. -L - - -Reprenons les notations de -\ref{réécriture Zêta corps de fonctions}. Le lecteur se convaincra aisément, -à partir de la formule $N_K(n)=∑_{r | n} r B_K(r)$, que l'on a -$N_{K_d}(n)=N_K(nd)$ si $d$ divise $n$ et $N_{K_d}(n)=0$ sinon. - - -C'est un -fait général (indépendant de l'hypothèse faite sur $d$) \XXX que $Z_{K_d}(T^d)= ∏_{μ ∈ μ_d(𝐂)} Z_K(μT)$. - - - +Les faits suivant résultent des résultats exposés en \refext{AVD-D}{} \XXX : +\begin{enumerate} +\item le corps des constantes de $K_e$ est $k_e$ ; +\item l'application $X_e → X$ est surjective ; +\item si $x ∈ X$, tout $y ∈ X_e$ s'envoyant sur $x$ est +de corps résiduel $κ(y)$ un corps composé de $k_e$ et de $κ(x)$ et, +par conséquent, de degré $(e,\deg(x))$ sur $k$ ; +\item si $x ∈ X$, la fibre au-dessus de $x$ est de cardinal +$\frac{e}{(e,\deg(x))}$. +\end{enumerate} +Il résulte formellement de tout ceci que l'on a $N_{K_e}(n)=N_K(n)$ pour chaque +entier $n ≥ 1$. En termes de fonctions Zêta, cela se traduit par l'égalité +\[ +Z_{K_e}(T^e)= ∏_{μ ∈ μ_e(𝐂)} Z_K(μT). +\] +(Utiliser la formule $(††)$.) \subsubsection{Fonction zêta complétée} \label{fonction zêta complétée} @@ -5157,14 +5153,12 @@ la fonction $Z_K(T)$ est une fraction rationnelle $Q(T^d)$, où $Q$ a un pôle simple en $1$ (cf. $h_K ≠ 0$). Il en résulte que pour tout corps de fonctions $L$ et tout entier $n ≥ 1$, la fonction rationnelle $Z_L(T^n)$ un pôle simple en $1$. -Appliquons cette remarque au corps $K_d=K ⊗_{𝐅_q} 𝐅_{q^d}$ obtenu à partir de $K$ par extension des scalaires -de $𝐅_q$ à $𝐅_{q^d}$ et à l'entier $n=d$. -[...] - -Comme $Z_K$ ne dépend que de $T^d$, cette formule se réécrit -$Z_{K_d}(T^d)=Z_K(T)^d$. Le terme de gauche a un +Appliquons cette remarque au corps $K_d$ obtenu à partir de $K$ par extension +des scalaires de degré $d$ (cf. \ref{extension des scalaires pour Zêta}) +Comme $Z_K$ ne dépend que de $T^d$, la formule établie en \emph{loc. cit.} +devient $Z_{K_d}(T^d)=Z_K(T)^d$. Le terme de gauche a un pôle simple en $T=1$ et le terme de droite un pôle de -multiplicité $d$. On a donc $d=1$. CQFD. +multiplicité $d$. On a donc $d=1$. CQFD. \[⁂\] @@ -5370,17 +5364,6 @@ $g$ mesure la complexité de la courbe : $Z(K)$ est connu dès que l'on connaît les $g$ premières valeurs. -\subsubsection{}Extension des scalaires. Si $K\bo k$, -on note $k_d$ l'unique extension de degré $d$ de $k$ -dans une clôture algébrique fixée et $K_{k_d}$ le \emph{corps} -$K ⊗_k k_d$ \XXX. - -\begin{lemme2} -\[ -Z(K_{k_d}\bo k_d,T)= ∏_{ζ ∈ μ_d(𝐂)} Z(K\bo k, ζT). -\] -\end{lemme2} - Il suffit donc de démontrer le théorème après extension des scalaires. |