[LG] ε² sur RH

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@@ -4664,11 +4664,11 @@ notons $X(k′)$ l'ensemble des $k$-places de $K$ à valeurs dans $k′$
 on a une application naturelle $X(k′) → X$, envoyant
 une place $φ:K → k′ ∪ \{∞\}$ sur l'anneau de valuation $φ^{-1}(k′)$.  
 (Ce dernier correspond à une classe de valuations sur $K$.)
-Si $k′ \bo k$ est finie de degré $n$,
-l'image cette application est $\{x ∈ X: \deg(x)|n\}$ ; la fibre
+Si l'extension $k′ \bo k$ est finie de degré $n$,
+l'image cette application est l'ensemble $\{x ∈ X: \deg(x)|n\}$ ; la fibre
 au-dessus de $x$ est exactement de cardinal $\deg(x)$.
 Il en résulte que l'entier $N_K(n)$ ci-dessus n'est autre
-que le cardinal de $X(k_n)$ où $k_n$ désigne une extension
+que le cardinal de $X(k_n)$, où $k_n$ désigne une extension
 de $k$ de degré $n$ (unique à isomorphisme près).
 
 
@@ -5392,9 +5392,11 @@ constantes $k$, de cardinal $q$ et de caractéristique $p$.
 On note $g$ le genre de $K$.
 
 \subsection{Énoncé}
-On a vu que la fonction Zêta de $K$ s'écrit $Z(T)=\frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)}$,
-où $P$ est un polynôme à coefficients entier de degré $2g$ satisfaisant $P(0)=1$.
-On peut donc l'écrire $P(T)=∏_{i=0}^{2 g_K} (1-α_i T)$, où les $α_i$ sont les
+D'après \ref{équation fonctionnelle zêta} (iii), la fonction Zêta de $K$ est une
+fraction rationnelle de la forme $\frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)}$,
+où $P$ est un polynôme à coefficients entiers de degré $2g$ satisfaisant $P(0)=1$.
+Un tel polynôme se factorise de façon unique, à l'ordre des facteurs près,
+en un produit $P(T)=∏_{i=0}^{2 g_K} (1-α_i T)$ : les $α_i$ sont les
 inverses des racines de $P$ dans le corps $𝐂$ des complexes.
 En identifiant la dérivée logarithmique de la fraction rationnelle $Z$
 avec l'expression établie en \ref{réécriture Zêta corps de fonctions},
@@ -5412,9 +5414,10 @@ De plus, l'ensemble des nombres $α$ est stable par $α↦ q/α$.
 
 \begin{démo}
 Seul le complément est à vérifier.
-La stabilité par $α↦ q/α$ est conséquence de l'équation fonctionnelle satisfaite
-par $P$ (\ref{}) d'après laquelle l'ensemble des zéros de $P$ est stable
-par $z↦ 1/(qz)$.
+La stabilité par $α↦ q/α$ est conséquence de l'équation fonctionnelle
+$P(q^{-1}T^{-1})=q^{-χ/2}T^{-χ_K}P(T)$ (\ref{équation fonctionnelle
+zêta} (iii,b), qui entraîne la stabilité de l'ensemble des zéros de $P$
+par $z↦ q^{-1}z^{-1}$.
 %Il en résulte également que $∏_i α_i = ∏_i q/α_i$ d'où
 %$∏_i α_i = ± q^g$. On laisse le soin au lecteur de vérifier
 %que l'égalité $∏_i α_i = -q^g$ contredit l'équation fonctionnelle (et l'égalité
@@ -5422,11 +5425,21 @@ par $z↦ 1/(qz)$.
 \end{démo}
 
 \begin{corollaire2}
-La connaissance des entiers $N(1),…,N(2g)$ détermine les valeurs de $N(n)$
+La connaissance des entiers $N(1),…,N(g)$ détermine les valeurs de $N(n)$
 pour $n$ arbitraire.
 \end{corollaire2}
 
-[Améliorer ($g$ suffit); cf. [Katz, p. 19] \XXX]
+\begin{démo}
+Commençons par observer que la connaissance de tous les $N(n)$
+est équivalente à la connaissance de la fonction Zêta,
+qui est égale à $\exp(∑_{n=1}^∞ N(n)\frac{T^n}{n})$ (cf. \ref{réécriture Zêta corps de fonctions}, ($††$)).
+Écrivons $P(T)=∑₀^{2g} c_n T^n$. D'après l'équation fonctionnelle satisfaite
+par $P$, on a $c_{2g-n}=q^{g-n}c_n$ pour chaque $0 ≤ n ≤ g$. Il en résulte que la fonction
+Zêta $Z=P (1-T)^{-1}(1-qT)^{-1}$ est déterminée par $c₁,…,c_g$.
+Or, l'égalité
+$1+c₁T+c₂T²+\cdots+c_g T^g ≡ (1-T)(1-qT)\exp(∑_{n=1}^∞ N(n)\frac{T^n}{n})}) \mod (T^{g+1})$
+montre que ces coefficients $c₁,…,c_g$ sont déterminés par les $N(n)$, $1 ≤ n ≤ g$.
+\end{démo}
 
 L'objectif de cette section est de démontrer le théorème suivant.
 
@@ -5446,7 +5459,8 @@ L'implication non triviale de l'équivalence sera établie ci-dessous. \XXX
 
 Fixons une clôture algébrique $\sur{k}$ du corps des constantes $k$ et, 
 pour chaque entier $n$, notons $k_n$ l'unique sous-extension de $\sur{k} \bo k$
-de degré $n$. On veut estimer la taille des ensembles $X(k_n)$.
+de degré $n$. On veut estimer la taille des ensembles $X(k_n)$
+définis en \ref{notation-Xk}.
 Il est tautologique que $X(k_n)$ s'identifie à l'ensemble
 $\Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)$ des points
 fixes de l'automorphisme de Frobenius $\Frob_k$ agissant sur
@@ -5461,20 +5475,20 @@ correspondant est net, il existe un unique $g ∈ G$ tel
 que $\Frob_k(x)=g(x)$. Il en résulte
 que
 \[
-1+q=\# 𝐏¹(k)=\frac{1}{\# G} ∑_{g ∈ G} \Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)+ 𝖮(1).
+1+q=\# 𝐏¹(k)=\frac{1}{\# G} ∑_{g ∈ G} \#\Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)+ 𝖮(1).
 \]
 Le terme supplémentaire est là pour tenir compte des points de ramification.
-Il en résulte que, si l'on sait \emph{majorer} le cardinal des
-ensembles $ \Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)$ on sait également
+Il en résulte que si l'on sait \emph{majorer} le cardinal des
+ensembles $ \Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)$, on sait également
 minorer celui de $\Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)=X(k)$.
 
 
 \begin{théorème2}[Bombieri]
 Supposons $q=p^α$ avec $α$ pair, $q>(g+1)⁴$
-et qu'il existe $x ∈ X(k)$.
+et qu'il existe un \emph{point rationnel} $x ∈ X(k)$.
 Alors pour tout $g ∈ \Aut(K\bo k)$, on a la majoration
 \[
-\# \Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big) ≤ 1+q+(2g+1) √{q}.
+\# \Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big) -(1+q) < (2g+1) √{q}.
 \]
 \end{théorème2}