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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2013-01-18 18:04:33 +0100 |
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[LG] ε² sur RH
-rw-r--r-- | chapitres/locaux-globaux.tex | 48 |
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 3c2b65f..d6e4e40 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -4664,11 +4664,11 @@ notons $X(k′)$ l'ensemble des $k$-places de $K$ à valeurs dans $k′$ on a une application naturelle $X(k′) → X$, envoyant une place $φ:K → k′ ∪ \{∞\}$ sur l'anneau de valuation $φ^{-1}(k′)$. (Ce dernier correspond à une classe de valuations sur $K$.) -Si $k′ \bo k$ est finie de degré $n$, -l'image cette application est $\{x ∈ X: \deg(x)|n\}$ ; la fibre +Si l'extension $k′ \bo k$ est finie de degré $n$, +l'image cette application est l'ensemble $\{x ∈ X: \deg(x)|n\}$ ; la fibre au-dessus de $x$ est exactement de cardinal $\deg(x)$. Il en résulte que l'entier $N_K(n)$ ci-dessus n'est autre -que le cardinal de $X(k_n)$ où $k_n$ désigne une extension +que le cardinal de $X(k_n)$, où $k_n$ désigne une extension de $k$ de degré $n$ (unique à isomorphisme près). @@ -5392,9 +5392,11 @@ constantes $k$, de cardinal $q$ et de caractéristique $p$. On note $g$ le genre de $K$. \subsection{Énoncé} -On a vu que la fonction Zêta de $K$ s'écrit $Z(T)=\frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)}$, -où $P$ est un polynôme à coefficients entier de degré $2g$ satisfaisant $P(0)=1$. -On peut donc l'écrire $P(T)=∏_{i=0}^{2 g_K} (1-α_i T)$, où les $α_i$ sont les +D'après \ref{équation fonctionnelle zêta} (iii), la fonction Zêta de $K$ est une +fraction rationnelle de la forme $\frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)}$, +où $P$ est un polynôme à coefficients entiers de degré $2g$ satisfaisant $P(0)=1$. +Un tel polynôme se factorise de façon unique, à l'ordre des facteurs près, +en un produit $P(T)=∏_{i=0}^{2 g_K} (1-α_i T)$ : les $α_i$ sont les inverses des racines de $P$ dans le corps $𝐂$ des complexes. En identifiant la dérivée logarithmique de la fraction rationnelle $Z$ avec l'expression établie en \ref{réécriture Zêta corps de fonctions}, @@ -5412,9 +5414,10 @@ De plus, l'ensemble des nombres $α$ est stable par $α↦ q/α$. \begin{démo} Seul le complément est à vérifier. -La stabilité par $α↦ q/α$ est conséquence de l'équation fonctionnelle satisfaite -par $P$ (\ref{}) d'après laquelle l'ensemble des zéros de $P$ est stable -par $z↦ 1/(qz)$. +La stabilité par $α↦ q/α$ est conséquence de l'équation fonctionnelle +$P(q^{-1}T^{-1})=q^{-χ/2}T^{-χ_K}P(T)$ (\ref{équation fonctionnelle +zêta} (iii,b), qui entraîne la stabilité de l'ensemble des zéros de $P$ +par $z↦ q^{-1}z^{-1}$. %Il en résulte également que $∏_i α_i = ∏_i q/α_i$ d'où %$∏_i α_i = ± q^g$. On laisse le soin au lecteur de vérifier %que l'égalité $∏_i α_i = -q^g$ contredit l'équation fonctionnelle (et l'égalité @@ -5422,11 +5425,21 @@ par $z↦ 1/(qz)$. \end{démo} \begin{corollaire2} -La connaissance des entiers $N(1),…,N(2g)$ détermine les valeurs de $N(n)$ +La connaissance des entiers $N(1),…,N(g)$ détermine les valeurs de $N(n)$ pour $n$ arbitraire. \end{corollaire2} -[Améliorer ($g$ suffit); cf. [Katz, p. 19] \XXX] +\begin{démo} +Commençons par observer que la connaissance de tous les $N(n)$ +est équivalente à la connaissance de la fonction Zêta, +qui est égale à $\exp(∑_{n=1}^∞ N(n)\frac{T^n}{n})$ (cf. \ref{réécriture Zêta corps de fonctions}, ($††$)). +Écrivons $P(T)=∑₀^{2g} c_n T^n$. D'après l'équation fonctionnelle satisfaite +par $P$, on a $c_{2g-n}=q^{g-n}c_n$ pour chaque $0 ≤ n ≤ g$. Il en résulte que la fonction +Zêta $Z=P (1-T)^{-1}(1-qT)^{-1}$ est déterminée par $c₁,…,c_g$. +Or, l'égalité +$1+c₁T+c₂T²+\cdots+c_g T^g ≡ (1-T)(1-qT)\exp(∑_{n=1}^∞ N(n)\frac{T^n}{n})}) \mod (T^{g+1})$ +montre que ces coefficients $c₁,…,c_g$ sont déterminés par les $N(n)$, $1 ≤ n ≤ g$. +\end{démo} L'objectif de cette section est de démontrer le théorème suivant. @@ -5446,7 +5459,8 @@ L'implication non triviale de l'équivalence sera établie ci-dessous. \XXX Fixons une clôture algébrique $\sur{k}$ du corps des constantes $k$ et, pour chaque entier $n$, notons $k_n$ l'unique sous-extension de $\sur{k} \bo k$ -de degré $n$. On veut estimer la taille des ensembles $X(k_n)$. +de degré $n$. On veut estimer la taille des ensembles $X(k_n)$ +définis en \ref{notation-Xk}. Il est tautologique que $X(k_n)$ s'identifie à l'ensemble $\Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)$ des points fixes de l'automorphisme de Frobenius $\Frob_k$ agissant sur @@ -5461,20 +5475,20 @@ correspondant est net, il existe un unique $g ∈ G$ tel que $\Frob_k(x)=g(x)$. Il en résulte que \[ -1+q=\# 𝐏¹(k)=\frac{1}{\# G} ∑_{g ∈ G} \Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)+ 𝖮(1). +1+q=\# 𝐏¹(k)=\frac{1}{\# G} ∑_{g ∈ G} \#\Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)+ 𝖮(1). \] Le terme supplémentaire est là pour tenir compte des points de ramification. -Il en résulte que, si l'on sait \emph{majorer} le cardinal des -ensembles $ \Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)$ on sait également +Il en résulte que si l'on sait \emph{majorer} le cardinal des +ensembles $ \Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)$, on sait également minorer celui de $\Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)=X(k)$. \begin{théorème2}[Bombieri] Supposons $q=p^α$ avec $α$ pair, $q>(g+1)⁴$ -et qu'il existe $x ∈ X(k)$. +et qu'il existe un \emph{point rationnel} $x ∈ X(k)$. Alors pour tout $g ∈ \Aut(K\bo k)$, on a la majoration \[ -\# \Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big) ≤ 1+q+(2g+1) √{q}. +\# \Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big) -(1+q) < (2g+1) √{q}. \] \end{théorème2} |