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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-11-22 17:35:36 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-11-22 17:37:38 +0100
commitfb6a8632bdff8253e59269afbb8127fddcb178f8 (patch)
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[Gröbner] Algorithme de calcul d'un inverse dans une algèbre de type fini (explicitement présentée) sur un corps.
-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex26
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index 6e6e05a..ba38aba 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1421,6 +1421,32 @@ condition de \ref{equivalences-ideaux-affines-dimension-zero} est
alors manifestement satisfaite de $J$ si elle l'est de $I$.
\end{proof}
+\begin{algorithme2}\label{algorithme-calcul-inverse-algebre-de-type-fini}
+Donné un idéal $I$ (défini par ses générateurs) de
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]$, et $x$ un élément de $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$, on
+peut déterminer si $x$ est inversible dans cette algèbre et, le cas
+échéant, en calculer un inverse.
+\end{algorithme2}
+\begin{proof}[Description de l'algorithme]
+Introduisons une nouvelle variable $Y$ : soit $\tilde I$ l'idéal de
+$k[Z_1,\ldots,Z_d,Y]$ engendré par $I$ (c'est-à-dire, par les
+générateurs donnés de $I$) et par $\hat x Y - 1$ (où $\hat x$ est un
+relèvement quelconque de $x$ à $k[Z_1,\ldots,Z_d]$, étant évident que
+$\tilde I$ ne dépend pas de ce choix). On calcule la base de Gröbner
+réduite $\tilde B$ de $\tilde I$ pour un ordre monomial $\preceq$
+quelconque qui ordonne $Y$ après n'importe quel monôme en
+$Z_1,\ldots,Z_d$ : cette base est de la forme $B \cup C$ où $B$ est la
+base de Gröbner réduite de $I$ (pour le même ordre monomial,
+c'est-à-dire, pour sa restriction aux monômes en $Z_1,\ldots,Z_d$) et
+$C$ est formé de polynômes de degré partiel en $Y$ valant exactement
+$1$. L'élément $x$ est inversible si et seulement si $C$ est réduit à
+un unique polynôme $Y - g$ avec $g \in k[Z_1,\ldots,Z_d]$, et lorsque
+c'est le cas, la classe de $g$ modulo $I$ est l'inverse recherché.
+\end{proof}
+\begin{proof}
+\XXX
+\end{proof}
+
\subsection{Algèbre de décomposition universelle d'un polynôme}\label{section-algebre-de-decomposition-universelle}