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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-04-07 18:11:09 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-04-07 18:11:09 (GMT)
commitfc1ab3baf396cce97e519ec6e4c82d1137c25eb6 (patch)
tree302b34698d85f915a93e01eb80aad069d3db09a5
parent966c1f67ec52c3f9e5b6a27604f7a6ac70631974 (diff)
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[radicaux] correction des quelques coquilles. À VÉRIFIER !
En effet, j'ai changé un petit calcul et supprimé une parenthèse sans regarder en détail.
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex14
1 files changed, 7 insertions, 7 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index f89a976..de9fdfa 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -32,7 +32,7 @@ Lorsque c'est le cas, on notera $\bimu_m(k)$, ou simplement $\bimu_m$,
le groupe multiplicatif des racines $m$-ièmes de l'unité dans $k$.
\end{convention2}
-Remarquons que si $k$ contient les racines $m$-ièmes de l'unité, quel
+Remarquons que si $k$ contient les racines $m$-ièmes de l'unité,
pour tout $a \in k$, le polynôme $X^m - a$ admet une racine $\alpha$
dans $k$ si et seulement s'il est scindé (il s'écrit
$\prod_{i=0}^{m-1} (X - \zeta^i \alpha)$ où $\zeta$ est une racine
@@ -42,7 +42,7 @@ $\alpha$ dans $k$ si et seulement si il est scindé (il s'écrit
$\prod_{i=0}^{p-1} (X - \alpha - i)$).
\begin{proposition2}\label{groupe-de-galois-cyclotomique}
-Soit $k$ un corps et $m$ un entier non multiplie de la caractéristique
+Soit $k$ un corps et $m$ un entier non multiple de la caractéristique
de $k$. Soit $F = k(\zeta)$ le corps extension de $k$ par l'ajout
d'une racine primitive $m$-ième de l'unité $\zeta$ (c'est-à-dire le
corps de décomposition de $\Phi_m$ sur $k$) : alors $F$ est
@@ -601,7 +601,7 @@ stratégie exposée
en \ref{generalites-calcul-expressions-racines-de-1}, dont nous
reprenons les notations. En particulier, la notation $\root n \of x$
désigne la « détermination principale » de la racine $n$-ième de $x$
-dans lex complexes, c'est-à-dire celle dont la partie réelle est la
+dans les complexes, c'est-à-dire celle dont la partie réelle est la
plus grande et, en cas d'égalité (qui se produit uniquement si $x$ est
réel négatif), celle qui a la partie imaginaire positive ; et on
cherche à exprimer, avec cette notation, le nombre
@@ -703,7 +703,7 @@ exprimer les résultats (on a vu que $\zeta = \frac{1}{2} +
Si $\omega$ désigne une racine primitive $7$-ième de l'unité, alors vu
que $3$ est primitif modulo $7$ on considère les quantités $\alpha_j
:= \sum_{i=0}^5 (-\zeta^2)^{ij} \omega^{3^i}$ (ici, $-\zeta^2 =
-\frac{1}{2}(1 + \sqrt{-3})$ une racine primitive $6$-ième de l'unité).
+\frac{1}{2}(1 + \sqrt{-3})$ est une racine primitive $6$-ième de l'unité).
On a bien sûr $\alpha_0 = -1$.
Commençons par nous intéresser à $\gamma := \frac{1}{2}(\omega +
@@ -712,9 +712,9 @@ Commençons par nous intéresser à $\gamma := \frac{1}{2}(\omega +
\frac{1}{6}(\alpha_0 + \alpha_2 + \alpha_4)$ : on va donc calculer
$(\alpha_2)^3$ et $(\alpha_4)^3$ en travaillant modulo $\Phi_7$. On
trouve $(\alpha_2)^3 = -7 - 21\zeta = \frac{7}{2} -
-\frac{21}{2}\sqrt{-3} = \frac{7}{2}(1-\sqrt{-3})$ et $(\alpha_4)^3 =
+\frac{21}{2}\sqrt{-3} = \frac{7}{2}(1-3\sqrt{-3})$ et $(\alpha_4)^3 =
14 + 21\zeta = \frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3} =
-\frac{7}{2}(1+\sqrt{-3})$ (soit en faisant un nouveau calcul, soit en
+\frac{7}{2}(1+3\sqrt{-3})$ (soit en faisant un nouveau calcul, soit en
appliquant la conjugaison complexe c'est-à-dire en faisant agir le
groupe de Galois de $\QQ(\zeta)\bo\QQ$,
cf. \ref{remarque-groupe-de-galois-sur-zeta-dans-calcul-de-omega}).
@@ -1123,7 +1123,7 @@ permutation cyclique des variables $Z_0,\ldots,Z_{n-1}$.
En notant $\Tr(x) = \sum_{i=0}^{p-1} \sigma^i(x)$, on a $\Tr(A^\ell) = 0$
pour $0 \leq \ell \leq p-2$ ou $p \leq \ell \leq 2p-3$, et $\Tr(A^{p-1}) =
--{e_1}^{p-1}$ et $\Tr(A^{2p-2}) = -{e_1}^{2p-2)}$. Si $x =
+-{e_1}^{p-1}$ et $\Tr(A^{2p-2}) = -{e_1}^{2p-2}$. Si $x =
\sum_{i=0}^{p-1} c_i A^i$ alors $c_i = -\Tr(x A^{p-1-i})/{e_1}^{p-1}$
sauf $c_0 = -\Tr(x A^{p-1})/{e_1}^{p-1} - c_{p-1} {e_1}^{p-1}$.
\end{proposition2}