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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2013-04-07 20:11:09 +0200 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2013-04-07 20:11:09 +0200 |
commit | fc1ab3baf396cce97e519ec6e4c82d1137c25eb6 (patch) | |
tree | 302b34698d85f915a93e01eb80aad069d3db09a5 | |
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[radicaux] correction des quelques coquilles. À VÉRIFIER !
En effet, j'ai changé un petit calcul et supprimé
une parenthèse sans regarder en détail.
-rw-r--r-- | chapitres/radicaux.tex | 14 |
1 files changed, 7 insertions, 7 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex index f89a976..de9fdfa 100644 --- a/chapitres/radicaux.tex +++ b/chapitres/radicaux.tex @@ -32,7 +32,7 @@ Lorsque c'est le cas, on notera $\bimu_m(k)$, ou simplement $\bimu_m$, le groupe multiplicatif des racines $m$-ièmes de l'unité dans $k$. \end{convention2} -Remarquons que si $k$ contient les racines $m$-ièmes de l'unité, quel +Remarquons que si $k$ contient les racines $m$-ièmes de l'unité, pour tout $a \in k$, le polynôme $X^m - a$ admet une racine $\alpha$ dans $k$ si et seulement s'il est scindé (il s'écrit $\prod_{i=0}^{m-1} (X - \zeta^i \alpha)$ où $\zeta$ est une racine @@ -42,7 +42,7 @@ $\alpha$ dans $k$ si et seulement si il est scindé (il s'écrit $\prod_{i=0}^{p-1} (X - \alpha - i)$). \begin{proposition2}\label{groupe-de-galois-cyclotomique} -Soit $k$ un corps et $m$ un entier non multiplie de la caractéristique +Soit $k$ un corps et $m$ un entier non multiple de la caractéristique de $k$. Soit $F = k(\zeta)$ le corps extension de $k$ par l'ajout d'une racine primitive $m$-ième de l'unité $\zeta$ (c'est-à-dire le corps de décomposition de $\Phi_m$ sur $k$) : alors $F$ est @@ -601,7 +601,7 @@ stratégie exposée en \ref{generalites-calcul-expressions-racines-de-1}, dont nous reprenons les notations. En particulier, la notation $\root n \of x$ désigne la « détermination principale » de la racine $n$-ième de $x$ -dans lex complexes, c'est-à-dire celle dont la partie réelle est la +dans les complexes, c'est-à-dire celle dont la partie réelle est la plus grande et, en cas d'égalité (qui se produit uniquement si $x$ est réel négatif), celle qui a la partie imaginaire positive ; et on cherche à exprimer, avec cette notation, le nombre @@ -703,7 +703,7 @@ exprimer les résultats (on a vu que $\zeta = \frac{1}{2} + Si $\omega$ désigne une racine primitive $7$-ième de l'unité, alors vu que $3$ est primitif modulo $7$ on considère les quantités $\alpha_j := \sum_{i=0}^5 (-\zeta^2)^{ij} \omega^{3^i}$ (ici, $-\zeta^2 = -\frac{1}{2}(1 + \sqrt{-3})$ une racine primitive $6$-ième de l'unité). +\frac{1}{2}(1 + \sqrt{-3})$ est une racine primitive $6$-ième de l'unité). On a bien sûr $\alpha_0 = -1$. Commençons par nous intéresser à $\gamma := \frac{1}{2}(\omega + @@ -712,9 +712,9 @@ Commençons par nous intéresser à $\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \frac{1}{6}(\alpha_0 + \alpha_2 + \alpha_4)$ : on va donc calculer $(\alpha_2)^3$ et $(\alpha_4)^3$ en travaillant modulo $\Phi_7$. On trouve $(\alpha_2)^3 = -7 - 21\zeta = \frac{7}{2} - -\frac{21}{2}\sqrt{-3} = \frac{7}{2}(1-\sqrt{-3})$ et $(\alpha_4)^3 = +\frac{21}{2}\sqrt{-3} = \frac{7}{2}(1-3\sqrt{-3})$ et $(\alpha_4)^3 = 14 + 21\zeta = \frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3} = -\frac{7}{2}(1+\sqrt{-3})$ (soit en faisant un nouveau calcul, soit en +\frac{7}{2}(1+3\sqrt{-3})$ (soit en faisant un nouveau calcul, soit en appliquant la conjugaison complexe c'est-à-dire en faisant agir le groupe de Galois de $\QQ(\zeta)\bo\QQ$, cf. \ref{remarque-groupe-de-galois-sur-zeta-dans-calcul-de-omega}). @@ -1123,7 +1123,7 @@ permutation cyclique des variables $Z_0,\ldots,Z_{n-1}$. En notant $\Tr(x) = \sum_{i=0}^{p-1} \sigma^i(x)$, on a $\Tr(A^\ell) = 0$ pour $0 \leq \ell \leq p-2$ ou $p \leq \ell \leq 2p-3$, et $\Tr(A^{p-1}) = --{e_1}^{p-1}$ et $\Tr(A^{2p-2}) = -{e_1}^{2p-2)}$. Si $x = +-{e_1}^{p-1}$ et $\Tr(A^{2p-2}) = -{e_1}^{2p-2}$. Si $x = \sum_{i=0}^{p-1} c_i A^i$ alors $c_i = -\Tr(x A^{p-1-i})/{e_1}^{p-1}$ sauf $c_0 = -\Tr(x A^{p-1})/{e_1}^{p-1} - c_{p-1} {e_1}^{p-1}$. \end{proposition2} |