summaryrefslogtreecommitdiffstats
diff options
context:
space:
mode:
authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2010-12-22 16:53:58 +0100
committerFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2010-12-22 16:53:58 +0100
commitfc7ee9cb90596f7cd78a35a79f90e185c2cd6c1c (patch)
tree2f0b487983fa136ed01bca2ac0f4d7177741a376
parentf0c92ef8068fa1e95761103627c867ff61992189 (diff)
parent230c24adbde74344db6af4d23a3801efe8863be4 (diff)
downloadgalois-fc7ee9cb90596f7cd78a35a79f90e185c2cd6c1c.tar.gz
galois-fc7ee9cb90596f7cd78a35a79f90e185c2cd6c1c.tar.bz2
galois-fc7ee9cb90596f7cd78a35a79f90e185c2cd6c1c.zip
Merge git.madore.org:galois
-rw-r--r--calculs-galois.tex44
1 files changed, 43 insertions, 1 deletions
diff --git a/calculs-galois.tex b/calculs-galois.tex
index 80fb563..db573a2 100644
--- a/calculs-galois.tex
+++ b/calculs-galois.tex
@@ -616,7 +616,7 @@ $(x,x'')$ sur $(x,x')$ (car $x,x''$ appartiennent au même bloc $B$, ce
qui n'est pas le cas de $x,x'$).
\end{proof}
-\begin{exemples2}
+\begin{exemples2}\label{exemples-groupes-de-permutations}
\begin{itemize}
\item Pour chaque $n\geq 1$, le groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$
tout entier est un groupe de permutations de degré $n$ : il est
@@ -1443,6 +1443,48 @@ pour tout $i\in\Gamma$ (autrement dit, $w'$ se déduit de $w$ par une
identification par un automorphisme intérieur de $K$).}) : de
nouveau, on a $(f,\sigma)\cdot w \equiv (f,\sigma)\cdot w'$ pour tout
$(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma S$.
+
+Réciproquement, supposons vérifiées ces trois conditions, et montrons
+que l'action de $K \wr_\Gamma S$ sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ est
+primitive. La transitivité ne faisant aucun doute (puisque déjà
+$K^\Gamma$ est transitif sur $\Delta^\Gamma$), on veut montrer que le
+stabilisateur $U$ dans $K \wr_\Gamma S$ d'un élément (quelconque) de
+$\Omega$ est un sous-groupe maximal de $K \wr_\Gamma S$. Choisissons
+l'élément constant de valeur $x_0$, où $x_0 \in\Delta$. Le
+stabilisateur $U$ est donc l'ensemble des $(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma
+S$ tels que $f(i) \in V$ pour tout $i$, où $V$ est le (sous-groupe
+maximal de $K$) stabilisateur de $x_0$ dans $\Delta$. Soit $H$ un
+sous-groupe de $K \wr_\Gamma S$ contenant strictement $U$ : on veut
+montrer que $H = K \wr_\Gamma S$.
+
+Tout d'abord, $H$ contient un élément $(f,\sigma)$ non contenu dans
+$U$, et, comme $\sigma$ (c'est-à-dire $(1,\sigma)$) appartient à $U$,
+l'élément $f \in K^\Gamma$ lui-même (c'est-à-dire $(f,\sigma)$)
+appartient à $H$ et non à $V^\Gamma$. Il existe donc $i_0$ tel que
+$f(i_0) \not\in V$.
+
+Le sous-groupe $V$ de $K$ est égal à son normalisateur $N_K(V)$ : en
+effet, $V \trianglelefteq N_K(V)$, et comme $V$ est maximal on doit
+avoir $N_K(V) = V$ ou $N_K(V) = K$. Or la seconde possibilité
+impliquerait $V \trianglelefteq K$, mais on
+sait (\ref{exemples-groupes-de-permutations}) que $V$ ne peut pas
+contenir de sous-groupe distingué autre que $\{1\}$, donc on aurait
+$V=\{1\}$, c'est-à-dire que $K$ serait régulier, ce qu'on a exclu.
+Reste donc $N_K(V) = V$.
+
+On a donc $f(i_0) \not\in N_K(V)$, c'est-à-dire qu'il existe $v \in V$
+tel que $f(i_0)\, v\, f(i_0)^{-1} \not\in V$. Définissons $g \colon
+\Gamma \to K$ par $g(i_0) = v$ et $g(i) = 1$ pour tout $i\neq i_0$ :
+ainsi, $g \in V^\Gamma \leq U \leq H$. Le commutateur $h = f g f^{-1}
+g^{-1}$ appartient à $H$ et vaut $1$ en tout $i \neq i_0$ tandis qu'en
+$i_0$ on a $h(i_0) \not\in V$. Comme $V$ est maximal, $h(i_0)$ et $V$
+engendrent $K$, donc $H$ contient toute fonction $h\colon \Gamma \to
+K$ telle que $h(i) = 1$ pour $i \neq i_0$. Comme $S$ est (qui est
+contenu dans $U$ donc dans $H$) est transitif sur $\Gamma$, pour tout
+$i_1 \in \Gamma$, il est encore vrai que $H$ contient toute fonction
+$h\colon \Gamma \to K$ telle que $h(i) = 1$ pour $i \neq i_1$. Or ces
+fonctions engendrent manifestement $K^\Gamma$, et comme $H$ contient
+aussi $S$, on a prouvé $H = K \wr_\Gamma S$.
\end{proof}
\subsection{Le théorème de O'Nan-Scott}