[AC,AVD,Dedekind,plan] création deux fichiers et début de plan détaillé (+copié-collé)

 Tout ce qui est copié-collé sera à réécrire totalement ;
ces énoncés/démonstrations commencent par un \XXX
J'aurais pu les commenter mais cela peut faire un bon point
de départ.

1 files changed, 47 insertions, 1 deletions

diff --git a/chapitres/AC.tex b/chapitres/AC.tex
index 815480d..3aa018d 100644
--- a/chapitres/AC.tex
+++ b/chapitres/AC.tex
@@ -158,7 +158,26 @@ finalement $a/1=0$ dans $A[S^{-1}]$. \emph{A fortiori},
 son multiple $a/s=(a/1)(1/s)$ est également nul.
 \end{démo}
 
+\subsection{Conditions locales sur les modules}
 
+\begin{proposition2}
+Un module localement nul est nul.
+\end{proposition2}
+
+\begin{définition2}
+Module localement libre.
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+Groupe de Picard ; lien avec les idéaux fractionnaires [à déplacer
+sans doute].
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+Passage à la limites : si $A$ intègre, corps des fractions $K$
+et $M ⊗ K ≃ N ⊗ K$ avec $M,N$ de type fini, il existe $a$
+tel que $M ⊗ A[a^{-1}] ≃ N ⊗ A[a^{-1}]$.
+\end{proposition2}
 
 \section{L'espace topologique $\Spec(A)$}
 
@@ -213,6 +232,8 @@ Conditions équivalentes :
 \begin{enumerate}
 \item existence inverse ponctuel ;
 \item tout $A$-module est plat ;
+\item tout idéal principal est idempotent ;
+\item tout idéal de type fini est facteur direct ; % Atiyah-MacDonald, chap. 2, exercice 27
 \item $\Spec(A)$ séparé et $A$ est réduit ;
 \item pour tout $𝔭$, $A_𝔭$ est un corps.
 \end{enumerate}
@@ -222,6 +243,8 @@ Conditions équivalentes :
 anneau absolument plat.
 \end{définition2}
 
+Exemple : algèbre de Boole.
+
 \begin{théorème2}[Chevalley]
 Soit $A$ un anneau nœthérien et $B$ une $A$-algèbre
 de type fini. Alors l'image de $\Spec(B)$ dans $\Spec(A)$
@@ -243,7 +266,13 @@ est ouverte.
 
 \section{Quelques conditions de finitude}
 
-fini, type fini, présentation finie.
+fini, type fini, présentation finie, longueur finie.
+nœthérien, artinien, Jordan-Hölder.
+
+\begin{proposition2}
+Un anneau est artinien si et seulement si il est nœthérien de
+dimension nulle (càd ...).
+\end{proposition2}
 
 \section{Éléments et morphismes entiers}
 
@@ -1170,6 +1199,11 @@ pas complète.
 Lemme de Nakayama
 \end{proposition2}
 
+\begin{corollaire2}
+$\chap{M}$ est séparé pour la topologie $𝔪$-adique si $A$ est
+nœthérien, $M$ de type fini.
+\end{corollaire2}
+
 \begin{proposition2}
 Artin-Rees.
 \end{proposition2}
@@ -1179,6 +1213,18 @@ Exactitude dans le cas nœthérien.
 Complétion est complète dans cas nœthérien (idéal de type fini).
 \end{proposition2}
 
+\begin{proposition2}
+Lemme de Hensel.
+\end{lemme2}
+
+\begin{proposition2}
+Les conditions suivantes sont équivalentes :
+[...]
+\end{proposition2}
+
+\begin{définition2}
+Anneau hensélien.
+\end{définition2}
 
 \section{Fonctions $ζ$}