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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-02-23 13:46:35 +0100 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-02-23 13:46:35 +0100 |
commit | 6a68d5a77b707388a751b413aab831f05dd86648 (patch) | |
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[AC,AVD,Dedekind,plan] création deux fichiers et début de plan détaillé (+copié-collé)
Tout ce qui est copié-collé sera à réécrire totalement ;
ces énoncés/démonstrations commencent par un \XXX
J'aurais pu les commenter mais cela peut faire un bon point
de départ.
Diffstat (limited to 'chapitres/AC.tex')
-rw-r--r-- | chapitres/AC.tex | 48 |
1 files changed, 47 insertions, 1 deletions
diff --git a/chapitres/AC.tex b/chapitres/AC.tex index 815480d..3aa018d 100644 --- a/chapitres/AC.tex +++ b/chapitres/AC.tex @@ -158,7 +158,26 @@ finalement $a/1=0$ dans $A[S^{-1}]$. \emph{A fortiori}, son multiple $a/s=(a/1)(1/s)$ est également nul. \end{démo} +\subsection{Conditions locales sur les modules} +\begin{proposition2} +Un module localement nul est nul. +\end{proposition2} + +\begin{définition2} +Module localement libre. +\end{définition2} + +\begin{proposition2} +Groupe de Picard ; lien avec les idéaux fractionnaires [à déplacer +sans doute]. +\end{proposition2} + +\begin{proposition2} +Passage à la limites : si $A$ intègre, corps des fractions $K$ +et $M ⊗ K ≃ N ⊗ K$ avec $M,N$ de type fini, il existe $a$ +tel que $M ⊗ A[a^{-1}] ≃ N ⊗ A[a^{-1}]$. +\end{proposition2} \section{L'espace topologique $\Spec(A)$} @@ -213,6 +232,8 @@ Conditions équivalentes : \begin{enumerate} \item existence inverse ponctuel ; \item tout $A$-module est plat ; +\item tout idéal principal est idempotent ; +\item tout idéal de type fini est facteur direct ; % Atiyah-MacDonald, chap. 2, exercice 27 \item $\Spec(A)$ séparé et $A$ est réduit ; \item pour tout $𝔭$, $A_𝔭$ est un corps. \end{enumerate} @@ -222,6 +243,8 @@ Conditions équivalentes : anneau absolument plat. \end{définition2} +Exemple : algèbre de Boole. + \begin{théorème2}[Chevalley] Soit $A$ un anneau nœthérien et $B$ une $A$-algèbre de type fini. Alors l'image de $\Spec(B)$ dans $\Spec(A)$ @@ -243,7 +266,13 @@ est ouverte. \section{Quelques conditions de finitude} -fini, type fini, présentation finie. +fini, type fini, présentation finie, longueur finie. +nœthérien, artinien, Jordan-Hölder. + +\begin{proposition2} +Un anneau est artinien si et seulement si il est nœthérien de +dimension nulle (càd ...). +\end{proposition2} \section{Éléments et morphismes entiers} @@ -1170,6 +1199,11 @@ pas complète. Lemme de Nakayama \end{proposition2} +\begin{corollaire2} +$\chap{M}$ est séparé pour la topologie $𝔪$-adique si $A$ est +nœthérien, $M$ de type fini. +\end{corollaire2} + \begin{proposition2} Artin-Rees. \end{proposition2} @@ -1179,6 +1213,18 @@ Exactitude dans le cas nœthérien. Complétion est complète dans cas nœthérien (idéal de type fini). \end{proposition2} +\begin{proposition2} +Lemme de Hensel. +\end{lemme2} + +\begin{proposition2} +Les conditions suivantes sont équivalentes : +[...] +\end{proposition2} + +\begin{définition2} +Anneau hensélien. +\end{définition2} \section{Fonctions $ζ$} |