[AC, RT, Azu, CG, Alg] mise au propre partielle suite au gros copié-collé

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index 540680d..5c2a6b6 100644
--- a/chapitres/AC.tex
+++ b/chapitres/AC.tex
@@ -241,10 +241,14 @@ Image d'un morphisme plat de type fini (sur nœthérien)
 est ouverte.
 \end{corollaire2}
 
+\section{Quelques conditions de finitude}
+
+fini, type fini, présentation finie.
+
 \section{Éléments et morphismes entiers}
 
 
-\section{Définitions et premières propriétés}
+\subsection{Définitions et premières propriétés}
 Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
 Pour tout élément $b$ de $B$, notons
 $A[b]$ le sous-ensemble
@@ -258,10 +262,10 @@ Plus généralement, pour toute partie $S$ de $B$ on note $A[S]$ l'image
 de l'unique morphisme de $A$-algèbres $A[X_s, s∈S]→B$ envoyant $X_s$
 sur $s$, qui est aussi l'intersection dans $B$ de toutes les $A$-algèbres contenant $S$.
 
-\begin{définition}\label{element-entier}
+\begin{définition2}\label{element-entier}
 Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $b\in B$
 est \emph{entier} sur $A$ si $A[b]$ est un $A$-module de type fini.
-\end{définition}
+\end{définition2}
 
 \begin{exemples}
 Tout élément $b∈B$ de la forme $a\cdot 1_B$, \cad 
@@ -274,9 +278,9 @@ complexe $\sqrt{2}$ est entier sur $𝐙$.
 
 Il est naturel de compléter cette définition par la suivante.
 
-\begin{définition}\label{morphisme-fini}
+\begin{définition2}\label{morphisme-fini}
 Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $B$
-est une \emph{$A$-algèbre finie} si $B$ est un $A$-module \emph{de type fini}. \end{définition}
+est une \emph{$A$-algèbre finie} si $B$ est un $A$-module \emph{de type fini}. \end{définition2}
 
 On dit aussi, indifféremment, que $B$ est « finie sur $A$ », ou encore que « le
 morphisme $A→B$ est fini ». D'autre part, lorsque cela ne semble pas prêter à
@@ -284,11 +288,11 @@ confusion, on dira parfois que la $A$-algèbre $B$ est \emph{finie} (sous-entend
 Ainsi, un élément $b$ d'une $A$-algèbre $B$ est entier sur $A$ \ssi
 l'anneau $A[b]$ est fini sur $A$ au sens de la définition précédente.
 
-\begin{lemme}\label{composé de finis=fini}
+\begin{lemme2}\label{composé de finis=fini}
 Le composé de deux morphismes finis est fini.
 Plus généralement, si $A$ est un anneau, $B$ une $A$-algèbre \emph{finie}
 et $M$ un $B$-module de type fini, le $A$-module $M$ est de type fini.
-\end{lemme}
+\end{lemme2}
 
 \begin{démo}
 Par hypothèse, il existe deux entiers $r,r'$ et
@@ -298,7 +302,7 @@ $(A^r)^{r'}↠M$. Puisque $(A^r)^{r'}$ est $A$-isomorphe à
 $A^{rr'}$, la conclusion en résulte. 
 \end{démo}
 
-\begin{proposition}\label{caracterisation-entiers} 
+\begin{proposition2}\label{caracterisation-entiers} 
 Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
 Considérons un élément $b∈B$.
 Les conditions suivantes sont équivalentes : 
@@ -308,7 +312,7 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes :
 que $P(b)=0$ ;
 \item \label{3} il existe un sous-$A$-\emph{algèbre} de $B$ \emph{finie} sur $A$, contenant $b$.
 \end{enumerate}
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
 
 En particulier, si $B$ est finie sur $A$, tout élément de $B$ est entier sur
 $A$. 
@@ -372,9 +376,9 @@ l'endomorphisme $χ_u(u)$ de $A^n$ soit identiquement nul.
 La commutativité du diagramme ci-dessus entraîne que $χ_u(b)=0$. CQFD.
 \end{démo}
 
-\begin{corollaire}
+\begin{corollaire2}
 Tout élément de $𝐐$ entier sur $𝐙$ appartient à $𝐙$.
-\end{corollaire}
+\end{corollaire2}
 
 \begin{démo}
 En effet, si $r=x/y\in \QQ$, où $x,y\in \ZZ-\{0\}$ sont premiers
@@ -387,10 +391,10 @@ que $y$ divise $x$. Compte tenu de l'hypothèse faite, on a $y=±1$
 et finalement $r∈𝐙$.
 \end{démo}
 
-\begin{proposition}\label{entiers=sous-algebre}
+\begin{proposition2}\label{entiers=sous-algebre}
 Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. 
 L'ensemble des éléments de $B$ entiers sur $A$ est une sous-$A$-algèbre.
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
 
 En d'autres termes, si $b$ et $b'$ sont deux éléments de $B$ entiers
 sur $A$, les éléments $b+b'$, $bb'$, et les $ab$ pour tout
@@ -454,34 +458,34 @@ sont donc entiers sur $A$ en vertu de \ref{caracterisation-entiers}, \ref{3}.
 \end{démo}
 
 
-\begin{remarque}
+\begin{remarque2}
 La définition \ref{element-entier} et la proposition
 \ref{caracterisation-entiers} s'étendent 
 au cas où $B$ n'est pas nécessairement commutative.
 Cependant, la démonstration montre seulement
 que la somme (resp. le produit)
 de deux éléments entiers \emph{permutables} est entier.
-\end{remarque}
+\end{remarque2}
 
-\begin{définition}\label{entiere}
+\begin{définition2}\label{entiere}
 Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
 Si tout élément de $B$ est entier sur $A$, on dit que $B$ est une 
 \emph{$A$-algèbre entière} ou encore que le morphisme $A→B$ est
 \emph{entier}. \index{morphisme entier}
-\end{définition}
+\end{définition2}
 
-\begin{proposition}\label{entier-sur-entier}
+\begin{proposition2}\label{entier-sur-entier}
 Le composé de deux morphismes entiers est entier.
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
 
 En d'autres termes, si $B$ est une $A$-algèbre entière et $C$ 
 une $B$-algèbre entière, alors $C$ est entier 
 sur $A$ (pour la structure d'algèbre définie par composition).
  
 %De la proposition triviale \ref{epi=fini} on tire le corollaire suivant.
-%\begin{corollaire}\label{quotient-fini=fini}
+%\begin{corollaire2}\label{quotient-fini=fini}
 %Tout quotient d'une algèbre entière (resp. finie) est entière (resp. finie).
-%\end{corollaire}
+%\end{corollaire2}
 
 \begin{démo}
 Soient $A,B$ et $C$ comme dans la glose suivant l'énoncé.
@@ -530,9 +534,9 @@ $A→C$ est donc de type fini.
 On a vu ci-dessus qu'une $A$-algèbre finie est entière.
 Réciproquement :
 
-\begin{proposition}\label{fini=entier+tf}
+\begin{proposition2}\label{fini=entier+tf}
 Un morphisme d'anneaux est fini \ssi il est entier et de type fini.
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
 
 
 \begin{démo}[Première démonstration]
@@ -555,13 +559,13 @@ Chaque $A[b_i]$ est un $A$-\emph{module} de type fini ; il en
 est de même de leur produit tensoriel.
 \end{démo}
 
-\begin{proposition}\label{localisation-entier=entier}
+\begin{proposition2}\label{localisation-entier=entier}
 Soient $A→B$ un morphisme entier (resp. fini) et $S$ une partie
 de $A$. Le morphisme induit $A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$
 entre les anneaux de fractions associés
 (\refext{Spec}{Spec-localisation})
 est entier (resp. fini).
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
 
 Cette proposition est un cas particulier de 
 \ref{cb-entier}.
@@ -592,12 +596,12 @@ sont générateurs sur $A[S^{-1}]$.
 
 \begin{facultatif}
 
-\section{Intégrité et changement de base}
+\subsection{Intégrité et changement de base}
 
 Les résultats de cette section ne seront pas utilisé dans la 
 suite de ce chapitre.
 
-\begin{proposition}\label{stabilite-type-fini}
+\begin{proposition2}\label{stabilite-type-fini}
 \begin{enumerate}
 \item Le produit tensoriel de deux morphismes de type fini est de type fini : 
 si $A→B₁$ et $A→B₂$ sont de type fini, le morphisme canonique $A→B₁⊗_A B₂$
@@ -606,7 +610,7 @@ est de type fini.
 type fini et $A→A'$ est un morphisme, le morphisme canonique $A'→B⊗_A A'$ est de
 type fini.
 \end{enumerate}
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
 
 \begin{démo}
 (i) Soient $A→B₁$ et $A→B₂$ les deux morphismes de type fini de l'énoncé.
@@ -622,10 +626,10 @@ de $A'$-algèbres $A[X₁,\dots,X_r]⊗_A A'⭇A'[X₁,\dots,X_r]$.
 \end{démo}
 
 
-\begin{proposition}\label{cb-entier}
+\begin{proposition2}\label{cb-entier}
 Soit $A→B$ un morphisme entier (resp. fini). Alors, pour toute $A$-algèbre $A'$,
 la $A'$-algèbre $B⊗_A A'$ est entière (resp. finie).
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
 
 \begin{démo}
 D'après \ref{stabilite-type-fini} et \ref{fini=entier+tf}, il suffit de
@@ -642,10 +646,10 @@ $\gtilde{C}$ est un quotient de $C'=C⊗_A A'$ qui est fini sur $A'$ (comme
 module) car $C$ l'est sur $A$.
 \end{démo}
 
-\begin{corollaire}\label{pdt-tens-entiers}
+\begin{corollaire2}\label{pdt-tens-entiers}
 Soient $A$ un anneau et $B₁,B₂$ deux $A$-algèbres entières (resp. finies).
 Le produit tensoriel $B₁⊗_A B₂$ est entier (resp. fini) sur $A$.
-\end{corollaire}
+\end{corollaire2}
 
 \begin{démo}
 Cela résulte de \ref{cb-entier} et \ref{entier-sur-entier}.
@@ -654,11 +658,11 @@ Cela résulte de \ref{cb-entier} et \ref{entier-sur-entier}.
 La généralisation suivante du corollaire précédent est également 
 utile.
 
-\begin{corollaire}\label{produit-tensoriel-d-entiers}
+\begin{corollaire2}\label{produit-tensoriel-d-entiers}
 Soient $k$ un anneau, $A₁$ et $A₂$ deux $k$-algèbres.
 Si $A₁→B₁$ et $A₂→B₂$ sont deux morphismes entiers (resp. finis), le morphisme
 $A₁⊗_k A₂→B₁⊗_k B₂$ qui s'en déduit est également entier (resp. fini).
-\end{corollaire}
+\end{corollaire2}
 
 \begin{démo}
 D'après \ref{cb-entier}, les morphismes $A₁⊗_k A₂→B₁⊗_k A₂$ et $B₁⊗_k A₂→B₁⊗_k
@@ -669,21 +673,21 @@ B₂$ l'est aussi.
 \end{facultatif}
 
 
-\section{Clôture intégrale, anneaux normaux}
+\subsection{Clôture intégrale, anneaux normaux}
 
-\begin{définition}\label{normalisation,normal}
+\begin{définition2}\label{normalisation,normal}
 Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions. La sous-$A$-algèbre
 $A^\japmath{正}$ de $K$ constitué des éléments de $K$ entiers sur $A$ est appelé \emph{clôture
 intégrale} \index{clôture intégrale} ou \emph{normalisation} \index{normalisation} 
 de $A$ dans $K$. Si l'inclusion naturelle,
 entière, $A→A^\japmath{正}$ est un isomorphisme, on dit que $A$ est un anneau
 \emph{intégralement clos} \index{intégralement clos} ou \emph{normal}\index{normal}.
-\end{définition}
+\end{définition2}
 
-\begin{définition}\label{fermeture-integrale}
+\begin{définition2}\label{fermeture-integrale}
 L'ensemble des éléments de $B$ entiers sur $A$ est appelé \emph{fermeture
 intégrale de $A$ dans $B$}\index{fermeture intégrale}.
-\end{définition}
+\end{définition2}
 
 \begin{lemme2}
 \label{intégralement clos préserve irréductibilité}
@@ -703,21 +707,18 @@ reste irréductible dans $B[X]$.
 
 Contre-exemple non japonais.
 
+\subsection{Relèvements des idéaux premiers}
 
-
-
-\section{Relèvements des idéaux premiers}
-
-\begin{théorème}\label{relèvement idéaux}
+\begin{théorème2}\label{relèvement idéaux}
 Soit $A↪B$ un morphisme \emph{injectif} entier. L'application
 canonique $\Spec(B)→\Spec(A)$, $𝔮↦𝔮∩A$, est surjective.
-\end{théorème}
+\end{théorème2}
 
-\begin{corollaire}
+\begin{corollaire2}
 Soit $A→B$ un morphisme entier. L'image du morphisme 
 $\Spec(B)→\Spec(A)$ est l'ensemble des idéaux premiers de $A$
 contenant $\Ker(A→B)$.
-\end{corollaire}
+\end{corollaire2}
 
 \begin{démo}[Démonstration du corollaire]
 En effet, le morphisme $A'=A/\Ker(A→B)→B$ déduit 
@@ -765,10 +766,10 @@ injection entière $A/𝔭↪B/𝔮$ de but un corps. Il résulte du lemme
 ci-dessous que $A/𝔭$ est un corps, \cad que $𝔭=𝔪$. CQFD.
 \end{démo}
 
-\begin{lemme}
+\begin{lemme2}
 Soit $A↪B$ un morphisme injectif entier entre anneaux intègres.
 L'anneau $A$ est un corps \ssi $B$ est un corps.
-\end{lemme}
+\end{lemme2}
 
 \begin{démo}
 Le fait que $B$ soit un corps si $A$ l'est est
@@ -781,7 +782,7 @@ par $a^{n-1}$, on obtient $b∈A$. L'élément
 $a$ est donc inversible \emph{dans $A$}.
 \end{démo}
 
-\begin{définition}\label{idéal dessus-dessous}
+\begin{définition2}\label{idéal dessus-dessous}
 Soient $A→B$ un morphisme d'anneaux et $𝔞$ un idéal de $A$.
 On dit qu'un idéal $𝔟$ de $B$ est \emph{au-dessus} de $𝔞$ ou
 encore est un \emph{relèvement} de $𝔞$ si l'image inverse 
@@ -789,14 +790,14 @@ $𝔟∩A$ de $𝔟$ dans $A$ est égale à $𝔞$ (cf.
 \refext{Spec}{convention image inverse idéal}). 
 Si cette relation est satisfaite, on dit également
 que $𝔞$ est \emph{en-dessous} de $𝔟$.
-\end{définition}
+\end{définition2}
 
-\begin{corollaire}\label{cas égalité relèvement idéaux premiers}
+\begin{corollaire2}\label{cas égalité relèvement idéaux premiers}
 Soient $A→B$ un morphisme entier, $𝔮$ un idéal premier de $B$ et
 $𝔭=𝔮∩A$ son image inverse dans $A$. L'idéal premier $𝔭$ est maximal
 \ssi $𝔮$ est maximal. D'autre part, si $𝔮'$ est un autre idéal premier
 de $B$ au-dessus de $𝔭$ et \emph{contenant} $𝔮$, on a $𝔮=𝔮'$.
-\end{corollaire}
+\end{corollaire2}
 
 \begin{démo}
 Le premier point résulte du fait que le morphisme $A'=A/𝔭→B'=B/𝔮$ est entier et 
@@ -807,11 +808,11 @@ supposer $A$ local. Il résulte du premier point que $𝔮$ et $𝔮'$ sont
 alors maximaux donc égaux.
 \end{démo}
 
-\begin{corollaire}[Cohen-Seidenberg]\label{relèvement de paires}
+\begin{corollaire2}[Cohen-Seidenberg]\label{relèvement de paires}
 Soient $A→B$ un morphisme entier, $𝔞⊆𝔭$ deux idéaux de $A$
 et $𝔟$ un idéal de $B$ au-dessus de $𝔞$. Si $𝔭$ est premier,
 il existe un idéal premier $𝔮$ de $B$ contenant $𝔟$ et au-dessus de $𝔭$.
-\end{corollaire}
+\end{corollaire2}
 
 \begin{démo}
 Le morphisme $A/𝔞→B/𝔟$ étant entier et injectif, il résulte de 
@@ -821,7 +822,7 @@ correspond à un idéal premier $𝔮$ de $B$ contenant $𝔟$,
 au-dessus de $𝔭$ (cf. \refext{Spec}{ideaux-quotient}). 
 \end{démo}
 
-\section{Anneau des invariants sous l'action d'un groupe fini}
+\subsection{Anneau des invariants sous l'action d'un groupe fini}
 
 Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe fini agissant 
 sur $B$ par automorphismes, et $A=\Fix_G(B)$ le sous-anneau de
@@ -832,7 +833,7 @@ associée. Nous verrons en particulier que, sous certaines hypothèses,
 l'ensemble $X$ s'identifie à l'ensemble des $G$-orbites de $Y$,
 \cad au \emph{quotient} $Y/G$ de $Y$ sous l'action de $G$.
 
-\subsection{Intégralité et finitude}
+\subsubsection{Intégralité et finitude}
 
 \begin{proposition2}\label{quotient par groupe fini est entier}
 Soient $B$ un anneau et $G$ un groupe fini agissant 
@@ -882,7 +883,7 @@ de la $k$-algèbre de type fini $C$, elle est de type fini
 sur $k$ si $k$ est nœthérien.
 \end{démo}
 
-\subsection{Commutation à la localisation}
+\subsubsection{Commutation à la localisation}
 
 Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe agissant par automorphismes
 sur $B$ et $T$ une partie multiplicative de $B$ stable par l'action de
@@ -1217,8 +1218,7 @@ Soit $P ∈ 𝐂[X,Y]$ un polynôme irréductible. Le fermé $𝒵=\{(x,y)
 %de Zariski non vide $U=𝐂-S$. Soit $𝒲$ une composante connexe de
 %$π^{-1}(U)$. La fonction $𝐂-S → 𝐂[T]$, $x ↦ ∏_{z ∈ 𝒲_x} (T-z)$
 %appartient à $H_S[T]$.
-%On utilise alors \refext{Ent}{intégralement clos préserve
-%irréductibilité}. \XXX
+%On utilise alors \ref{intégralement clos préserve irréductibilité}. \XXX
 %\end{démo}
 
 Plus généralement :