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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-02-21 21:08:52 +0100 |
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diff --git a/chapitres/AC.tex b/chapitres/AC.tex index 540680d..5c2a6b6 100644 --- a/chapitres/AC.tex +++ b/chapitres/AC.tex @@ -241,10 +241,14 @@ Image d'un morphisme plat de type fini (sur nœthérien) est ouverte. \end{corollaire2} +\section{Quelques conditions de finitude} + +fini, type fini, présentation finie. + \section{Éléments et morphismes entiers} -\section{Définitions et premières propriétés} +\subsection{Définitions et premières propriétés} Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. Pour tout élément $b$ de $B$, notons $A[b]$ le sous-ensemble @@ -258,10 +262,10 @@ Plus généralement, pour toute partie $S$ de $B$ on note $A[S]$ l'image de l'unique morphisme de $A$-algèbres $A[X_s, s∈S]→B$ envoyant $X_s$ sur $s$, qui est aussi l'intersection dans $B$ de toutes les $A$-algèbres contenant $S$. -\begin{définition}\label{element-entier} +\begin{définition2}\label{element-entier} Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $b\in B$ est \emph{entier} sur $A$ si $A[b]$ est un $A$-module de type fini. -\end{définition} +\end{définition2} \begin{exemples} Tout élément $b∈B$ de la forme $a\cdot 1_B$, \cad @@ -274,9 +278,9 @@ complexe $\sqrt{2}$ est entier sur $𝐙$. Il est naturel de compléter cette définition par la suivante. -\begin{définition}\label{morphisme-fini} +\begin{définition2}\label{morphisme-fini} Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $B$ -est une \emph{$A$-algèbre finie} si $B$ est un $A$-module \emph{de type fini}. \end{définition} +est une \emph{$A$-algèbre finie} si $B$ est un $A$-module \emph{de type fini}. \end{définition2} On dit aussi, indifféremment, que $B$ est « finie sur $A$ », ou encore que « le morphisme $A→B$ est fini ». D'autre part, lorsque cela ne semble pas prêter à @@ -284,11 +288,11 @@ confusion, on dira parfois que la $A$-algèbre $B$ est \emph{finie} (sous-entend Ainsi, un élément $b$ d'une $A$-algèbre $B$ est entier sur $A$ \ssi l'anneau $A[b]$ est fini sur $A$ au sens de la définition précédente. -\begin{lemme}\label{composé de finis=fini} +\begin{lemme2}\label{composé de finis=fini} Le composé de deux morphismes finis est fini. Plus généralement, si $A$ est un anneau, $B$ une $A$-algèbre \emph{finie} et $M$ un $B$-module de type fini, le $A$-module $M$ est de type fini. -\end{lemme} +\end{lemme2} \begin{démo} Par hypothèse, il existe deux entiers $r,r'$ et @@ -298,7 +302,7 @@ $(A^r)^{r'}↠M$. Puisque $(A^r)^{r'}$ est $A$-isomorphe à $A^{rr'}$, la conclusion en résulte. \end{démo} -\begin{proposition}\label{caracterisation-entiers} +\begin{proposition2}\label{caracterisation-entiers} Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. Considérons un élément $b∈B$. Les conditions suivantes sont équivalentes : @@ -308,7 +312,7 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes : que $P(b)=0$ ; \item \label{3} il existe un sous-$A$-\emph{algèbre} de $B$ \emph{finie} sur $A$, contenant $b$. \end{enumerate} -\end{proposition} +\end{proposition2} En particulier, si $B$ est finie sur $A$, tout élément de $B$ est entier sur $A$. @@ -372,9 +376,9 @@ l'endomorphisme $χ_u(u)$ de $A^n$ soit identiquement nul. La commutativité du diagramme ci-dessus entraîne que $χ_u(b)=0$. CQFD. \end{démo} -\begin{corollaire} +\begin{corollaire2} Tout élément de $𝐐$ entier sur $𝐙$ appartient à $𝐙$. -\end{corollaire} +\end{corollaire2} \begin{démo} En effet, si $r=x/y\in \QQ$, où $x,y\in \ZZ-\{0\}$ sont premiers @@ -387,10 +391,10 @@ que $y$ divise $x$. Compte tenu de l'hypothèse faite, on a $y=±1$ et finalement $r∈𝐙$. \end{démo} -\begin{proposition}\label{entiers=sous-algebre} +\begin{proposition2}\label{entiers=sous-algebre} Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. L'ensemble des éléments de $B$ entiers sur $A$ est une sous-$A$-algèbre. -\end{proposition} +\end{proposition2} En d'autres termes, si $b$ et $b'$ sont deux éléments de $B$ entiers sur $A$, les éléments $b+b'$, $bb'$, et les $ab$ pour tout @@ -454,34 +458,34 @@ sont donc entiers sur $A$ en vertu de \ref{caracterisation-entiers}, \ref{3}. \end{démo} -\begin{remarque} +\begin{remarque2} La définition \ref{element-entier} et la proposition \ref{caracterisation-entiers} s'étendent au cas où $B$ n'est pas nécessairement commutative. Cependant, la démonstration montre seulement que la somme (resp. le produit) de deux éléments entiers \emph{permutables} est entier. -\end{remarque} +\end{remarque2} -\begin{définition}\label{entiere} +\begin{définition2}\label{entiere} Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. Si tout élément de $B$ est entier sur $A$, on dit que $B$ est une \emph{$A$-algèbre entière} ou encore que le morphisme $A→B$ est \emph{entier}. \index{morphisme entier} -\end{définition} +\end{définition2} -\begin{proposition}\label{entier-sur-entier} +\begin{proposition2}\label{entier-sur-entier} Le composé de deux morphismes entiers est entier. -\end{proposition} +\end{proposition2} En d'autres termes, si $B$ est une $A$-algèbre entière et $C$ une $B$-algèbre entière, alors $C$ est entier sur $A$ (pour la structure d'algèbre définie par composition). %De la proposition triviale \ref{epi=fini} on tire le corollaire suivant. -%\begin{corollaire}\label{quotient-fini=fini} +%\begin{corollaire2}\label{quotient-fini=fini} %Tout quotient d'une algèbre entière (resp. finie) est entière (resp. finie). -%\end{corollaire} +%\end{corollaire2} \begin{démo} Soient $A,B$ et $C$ comme dans la glose suivant l'énoncé. @@ -530,9 +534,9 @@ $A→C$ est donc de type fini. On a vu ci-dessus qu'une $A$-algèbre finie est entière. Réciproquement : -\begin{proposition}\label{fini=entier+tf} +\begin{proposition2}\label{fini=entier+tf} Un morphisme d'anneaux est fini \ssi il est entier et de type fini. -\end{proposition} +\end{proposition2} \begin{démo}[Première démonstration] @@ -555,13 +559,13 @@ Chaque $A[b_i]$ est un $A$-\emph{module} de type fini ; il en est de même de leur produit tensoriel. \end{démo} -\begin{proposition}\label{localisation-entier=entier} +\begin{proposition2}\label{localisation-entier=entier} Soient $A→B$ un morphisme entier (resp. fini) et $S$ une partie de $A$. Le morphisme induit $A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$ entre les anneaux de fractions associés (\refext{Spec}{Spec-localisation}) est entier (resp. fini). -\end{proposition} +\end{proposition2} Cette proposition est un cas particulier de \ref{cb-entier}. @@ -592,12 +596,12 @@ sont générateurs sur $A[S^{-1}]$. \begin{facultatif} -\section{Intégrité et changement de base} +\subsection{Intégrité et changement de base} Les résultats de cette section ne seront pas utilisé dans la suite de ce chapitre. -\begin{proposition}\label{stabilite-type-fini} +\begin{proposition2}\label{stabilite-type-fini} \begin{enumerate} \item Le produit tensoriel de deux morphismes de type fini est de type fini : si $A→B₁$ et $A→B₂$ sont de type fini, le morphisme canonique $A→B₁⊗_A B₂$ @@ -606,7 +610,7 @@ est de type fini. type fini et $A→A'$ est un morphisme, le morphisme canonique $A'→B⊗_A A'$ est de type fini. \end{enumerate} -\end{proposition} +\end{proposition2} \begin{démo} (i) Soient $A→B₁$ et $A→B₂$ les deux morphismes de type fini de l'énoncé. @@ -622,10 +626,10 @@ de $A'$-algèbres $A[X₁,\dots,X_r]⊗_A A'⭇A'[X₁,\dots,X_r]$. \end{démo} -\begin{proposition}\label{cb-entier} +\begin{proposition2}\label{cb-entier} Soit $A→B$ un morphisme entier (resp. fini). Alors, pour toute $A$-algèbre $A'$, la $A'$-algèbre $B⊗_A A'$ est entière (resp. finie). -\end{proposition} +\end{proposition2} \begin{démo} D'après \ref{stabilite-type-fini} et \ref{fini=entier+tf}, il suffit de @@ -642,10 +646,10 @@ $\gtilde{C}$ est un quotient de $C'=C⊗_A A'$ qui est fini sur $A'$ (comme module) car $C$ l'est sur $A$. \end{démo} -\begin{corollaire}\label{pdt-tens-entiers} +\begin{corollaire2}\label{pdt-tens-entiers} Soient $A$ un anneau et $B₁,B₂$ deux $A$-algèbres entières (resp. finies). Le produit tensoriel $B₁⊗_A B₂$ est entier (resp. fini) sur $A$. -\end{corollaire} +\end{corollaire2} \begin{démo} Cela résulte de \ref{cb-entier} et \ref{entier-sur-entier}. @@ -654,11 +658,11 @@ Cela résulte de \ref{cb-entier} et \ref{entier-sur-entier}. La généralisation suivante du corollaire précédent est également utile. -\begin{corollaire}\label{produit-tensoriel-d-entiers} +\begin{corollaire2}\label{produit-tensoriel-d-entiers} Soient $k$ un anneau, $A₁$ et $A₂$ deux $k$-algèbres. Si $A₁→B₁$ et $A₂→B₂$ sont deux morphismes entiers (resp. finis), le morphisme $A₁⊗_k A₂→B₁⊗_k B₂$ qui s'en déduit est également entier (resp. fini). -\end{corollaire} +\end{corollaire2} \begin{démo} D'après \ref{cb-entier}, les morphismes $A₁⊗_k A₂→B₁⊗_k A₂$ et $B₁⊗_k A₂→B₁⊗_k @@ -669,21 +673,21 @@ B₂$ l'est aussi. \end{facultatif} -\section{Clôture intégrale, anneaux normaux} +\subsection{Clôture intégrale, anneaux normaux} -\begin{définition}\label{normalisation,normal} +\begin{définition2}\label{normalisation,normal} Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions. La sous-$A$-algèbre $A^\japmath{正}$ de $K$ constitué des éléments de $K$ entiers sur $A$ est appelé \emph{clôture intégrale} \index{clôture intégrale} ou \emph{normalisation} \index{normalisation} de $A$ dans $K$. Si l'inclusion naturelle, entière, $A→A^\japmath{正}$ est un isomorphisme, on dit que $A$ est un anneau \emph{intégralement clos} \index{intégralement clos} ou \emph{normal}\index{normal}. -\end{définition} +\end{définition2} -\begin{définition}\label{fermeture-integrale} +\begin{définition2}\label{fermeture-integrale} L'ensemble des éléments de $B$ entiers sur $A$ est appelé \emph{fermeture intégrale de $A$ dans $B$}\index{fermeture intégrale}. -\end{définition} +\end{définition2} \begin{lemme2} \label{intégralement clos préserve irréductibilité} @@ -703,21 +707,18 @@ reste irréductible dans $B[X]$. Contre-exemple non japonais. +\subsection{Relèvements des idéaux premiers} - - -\section{Relèvements des idéaux premiers} - -\begin{théorème}\label{relèvement idéaux} +\begin{théorème2}\label{relèvement idéaux} Soit $A↪B$ un morphisme \emph{injectif} entier. L'application canonique $\Spec(B)→\Spec(A)$, $𝔮↦𝔮∩A$, est surjective. -\end{théorème} +\end{théorème2} -\begin{corollaire} +\begin{corollaire2} Soit $A→B$ un morphisme entier. L'image du morphisme $\Spec(B)→\Spec(A)$ est l'ensemble des idéaux premiers de $A$ contenant $\Ker(A→B)$. -\end{corollaire} +\end{corollaire2} \begin{démo}[Démonstration du corollaire] En effet, le morphisme $A'=A/\Ker(A→B)→B$ déduit @@ -765,10 +766,10 @@ injection entière $A/𝔭↪B/𝔮$ de but un corps. Il résulte du lemme ci-dessous que $A/𝔭$ est un corps, \cad que $𝔭=𝔪$. CQFD. \end{démo} -\begin{lemme} +\begin{lemme2} Soit $A↪B$ un morphisme injectif entier entre anneaux intègres. L'anneau $A$ est un corps \ssi $B$ est un corps. -\end{lemme} +\end{lemme2} \begin{démo} Le fait que $B$ soit un corps si $A$ l'est est @@ -781,7 +782,7 @@ par $a^{n-1}$, on obtient $b∈A$. L'élément $a$ est donc inversible \emph{dans $A$}. \end{démo} -\begin{définition}\label{idéal dessus-dessous} +\begin{définition2}\label{idéal dessus-dessous} Soient $A→B$ un morphisme d'anneaux et $𝔞$ un idéal de $A$. On dit qu'un idéal $𝔟$ de $B$ est \emph{au-dessus} de $𝔞$ ou encore est un \emph{relèvement} de $𝔞$ si l'image inverse @@ -789,14 +790,14 @@ $𝔟∩A$ de $𝔟$ dans $A$ est égale à $𝔞$ (cf. \refext{Spec}{convention image inverse idéal}). Si cette relation est satisfaite, on dit également que $𝔞$ est \emph{en-dessous} de $𝔟$. -\end{définition} +\end{définition2} -\begin{corollaire}\label{cas égalité relèvement idéaux premiers} +\begin{corollaire2}\label{cas égalité relèvement idéaux premiers} Soient $A→B$ un morphisme entier, $𝔮$ un idéal premier de $B$ et $𝔭=𝔮∩A$ son image inverse dans $A$. L'idéal premier $𝔭$ est maximal \ssi $𝔮$ est maximal. D'autre part, si $𝔮'$ est un autre idéal premier de $B$ au-dessus de $𝔭$ et \emph{contenant} $𝔮$, on a $𝔮=𝔮'$. -\end{corollaire} +\end{corollaire2} \begin{démo} Le premier point résulte du fait que le morphisme $A'=A/𝔭→B'=B/𝔮$ est entier et @@ -807,11 +808,11 @@ supposer $A$ local. Il résulte du premier point que $𝔮$ et $𝔮'$ sont alors maximaux donc égaux. \end{démo} -\begin{corollaire}[Cohen-Seidenberg]\label{relèvement de paires} +\begin{corollaire2}[Cohen-Seidenberg]\label{relèvement de paires} Soient $A→B$ un morphisme entier, $𝔞⊆𝔭$ deux idéaux de $A$ et $𝔟$ un idéal de $B$ au-dessus de $𝔞$. Si $𝔭$ est premier, il existe un idéal premier $𝔮$ de $B$ contenant $𝔟$ et au-dessus de $𝔭$. -\end{corollaire} +\end{corollaire2} \begin{démo} Le morphisme $A/𝔞→B/𝔟$ étant entier et injectif, il résulte de @@ -821,7 +822,7 @@ correspond à un idéal premier $𝔮$ de $B$ contenant $𝔟$, au-dessus de $𝔭$ (cf. \refext{Spec}{ideaux-quotient}). \end{démo} -\section{Anneau des invariants sous l'action d'un groupe fini} +\subsection{Anneau des invariants sous l'action d'un groupe fini} Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe fini agissant sur $B$ par automorphismes, et $A=\Fix_G(B)$ le sous-anneau de @@ -832,7 +833,7 @@ associée. Nous verrons en particulier que, sous certaines hypothèses, l'ensemble $X$ s'identifie à l'ensemble des $G$-orbites de $Y$, \cad au \emph{quotient} $Y/G$ de $Y$ sous l'action de $G$. -\subsection{Intégralité et finitude} +\subsubsection{Intégralité et finitude} \begin{proposition2}\label{quotient par groupe fini est entier} Soient $B$ un anneau et $G$ un groupe fini agissant @@ -882,7 +883,7 @@ de la $k$-algèbre de type fini $C$, elle est de type fini sur $k$ si $k$ est nœthérien. \end{démo} -\subsection{Commutation à la localisation} +\subsubsection{Commutation à la localisation} Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe agissant par automorphismes sur $B$ et $T$ une partie multiplicative de $B$ stable par l'action de @@ -1217,8 +1218,7 @@ Soit $P ∈ 𝐂[X,Y]$ un polynôme irréductible. Le fermé $𝒵=\{(x,y) %de Zariski non vide $U=𝐂-S$. Soit $𝒲$ une composante connexe de %$π^{-1}(U)$. La fonction $𝐂-S → 𝐂[T]$, $x ↦ ∏_{z ∈ 𝒲_x} (T-z)$ %appartient à $H_S[T]$. -%On utilise alors \refext{Ent}{intégralement clos préserve -%irréductibilité}. \XXX +%On utilise alors \ref{intégralement clos préserve irréductibilité}. \XXX %\end{démo} Plus généralement : |