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author | Fabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-02-21 20:00:43 +0100 |
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[AC] esquisse th. de comparaison de Riemann (courbe + dévissage)
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diff --git a/chapitres/AC.tex b/chapitres/AC.tex index 46d68a2..e876df9 100644 --- a/chapitres/AC.tex +++ b/chapitres/AC.tex @@ -41,6 +41,9 @@ Notions d'algèbre commutative \chapter{Notions d'algèbre commutative} \fi +\newcommand{\Top}{\mathop{\mathrm{Top}}} + + %%% À faire·: \section{L'espace topologique $\Spec(A)$} @@ -154,8 +157,55 @@ Finitude de la normalisation dans le cas d'algèbres sur un corps. \end{proposition2} +\begin{proposition2} +Soit $A$ un anneau intègre, $K=\Frac(A)$ et $f ∈ A[X₁,…,X_n]$ où $n ≥ 1$. +Si $f$ est irréductible sur une clôture algébrique $\sur{K}$ de $K$, +il existe un élément $a$ de $A$, non nul, tel que pour tout corps +quotient $A ↠ k$ tel que l'image de $a$ soit non nulle, +le polynôme $f_k ∈ k[X₁,…,X_n]$ est irréductible. % et même géométriquement irréductible +\end{proposition2} + +%\begin{démo} +%Écrivons $f=∑ a_α X^α$ et notons $d$ le degré total de $f$. +%Fixons deux entiers $p,q$ tels que $p+q=d$. Regarder +%l'idéal de $A[b,c]$ engendré par les équations $a_α=∑_{β+γ=α} b_β c_γ$ +%et appliquer le Nullstellensatz. \XXX +%\end{démo} + \subsection{Anneaux de Jacobson} +\section{Complétion} +% référence : de Jong. + +\begin{définition2} +$A$ anneau $I$ idéal $M$ module. $\chap{A}$, $\chap{M}$. +\end{définition2} + +\begin{définition2} +Complet si $M ⥲ \chap{M}$. +\end{définition2} + +\begin{miseengarde2} +Il existe un anneau $A$ et un idéal maximal $𝔪$ de $A$ +tel que la limite projective $\chap{A}=\lim A/𝔪^n$ ne soit +pas complète. +\end{miseengarde2} + +\begin{proposition2} +\label{Nakayama} +Lemme de Nakayama +\end{proposition2} + +\begin{proposition2} +Artin-Rees. +\end{proposition2} + +\begin{proposition2} +Exactitude dans le cas nœthérien. +Complétion est complète dans cas nœthérien (idéal de type fini). +\end{proposition2} + + \section{Fonctions $ζ$} @@ -165,26 +215,126 @@ sur un corps. \subsection{}Soit $A$ une $𝐂$-algèbre de type fini. \begin{définition2} -$Top(A)$ espace topologique. +$\Top(A)$ espace topologique. \end{définition2} -\begin{théorème2} -$A$ est connexe ssi $Top(A)$ est connexe. -\end{théorème2} -\begin{démo}[Esquisse] - -\end{démo} +\begin{proposition2}[Théorème de comparaison de Riemann] +Soit $P ∈ 𝐂[X,Y]$ un polynôme irréductible. Le fermé $𝒵=\{(x,y) +∈ 𝐂²: P(x,y)=0\}$ de $𝐂²$ est \emph{connexe}. +\end{proposition2} +%\begin{démo} +% tirée d'un TD de Gaëtan +%Soit $S$ un ensemble fini de points de $𝐂$. On note $H_S$ l'anneau +%des fonctions méromorphes sur $𝐂$ sans pôles hors de $S$. C'est un +%anneau intègre. Le sous-anneau $F_S$ des fractions rationnelles dans $H_S$ +%est intégralement clos dans $H_S$. (En effet, si $f^n=∑_0^{n-1} a_i f^i$, +%et $z ∉ S$, $|f(z) ≤ 1+∑ |a_i(z)|$.) +%Quitte à faire un changement de variables linéaire $(x,y) ↦ (x,λ x +%+y)$, on peut supposer que $P$ est unitaire vu comme élément +%de $𝐂(Y)[X]$ ; on note $d$ son degré. La projection $π : 𝒵 → 𝐂$, +%$(x,y) ↦ y$ est un revêtement à $d$ feuillets au-dessus d'un ouvert +%de Zariski non vide $U=𝐂-S$. Soit $𝒲$ une composante connexe de +%$π^{-1}(U)$. La fonction $𝐂-S → 𝐂[T]$, $x ↦ ∏_{z ∈ 𝒲_x} (T-z)$ +%appartient à $H_S[T]$. +%On utilise alors \refext{Ent}{intégralement clos préserve +%irréductibilité}. \XXX +%\end{démo} + +Plus généralement : -\section{Divers} +\begin{théorème2} +$A$ est connexe ssi $\Top(A)$ est connexe. +\end{théorème2} -\begin{proposition2} -\label{Nakayama} -Lemme de Nakayama -\end{proposition2} +%\begin{démo}[Esquisse] +%\begin{enumerate} +%\item On a déjà vu que si $A ≠ 0$, $\Top(A)$ est non vide +%(Nullstellensatz). Comme $\Top(A×B) = \Top(A) ∐ \Top(B)$ +%et $A ↠ B$ induit $\Top(B) ↪ \Top(A)$ [immersion fermée], +%on a l'implication $\Top(A)$ connexe ⇒ $A$ connexe. +% +%\item Soit $A$ intègre de type fini sur $𝐂$ et $a ≠ 0$ dans $A$. +%Alors, $\Top(A)$ est connexe si et seulement si $\Top(A[a^{-1}])$ +%l'est. Variante : $\Top(A/a)$ est partout rare. Cf. Red book, §10, +%recopié ici. +%\begin{itemize} +%\item On peut supposer $X$ normal car si $A\norm$=normalisation de $A$, +%et $X\norm=\Spec(A\norm)$, +%$π:X\norm→X$ est +%surjectif donc si $∃$ $D⊂Z^{an}$ boule +%ouverte, $π^{-1}(D)$ est ouvert et dans ${Z\norm}^{an}=π^{-1}(Z^{an})$. +%D'autre part, $A\norm$ est une $𝐂$-algèbre de type fini (cf. \ref{}). +%\item D'après le lemme de normalisation (\ref{}), il existe $A₀=𝐂[X₁,…,X_d]⊆A$ +%tel que $A₀→A$ soit fini. Puisque $A$ est normal (et $A₀$ aussi), +%il existe $a₀∈A₀$ tel que $a|a₀$. En effet, $a₀:=∏_σ σ(a)=N_K/K₀(a)$ +%est entier sur $A₀$ (car chaque $σ(a)$ l'est) et appartient à +%$K₀$. D'autre part, $a|a₀$ car chaque $σ(a)∈A$ ($A$ est normal). On +%peut donc supposer que $a=a₀∈A₀$. (Remplacer $a$ par un multiple +%$a₀$ grossit $Z^{an}$.) +%\item Soit $z∈\Top(A)$ tel que $a(z)=0$. Soit $z₀$ son image +%dans $\Top(A₀)=𝐂^d$. On a $a(z)=a₀(z₀)=0$. +%Rappel : $A=𝐂[X₁,…,X_d,Y₁,…,Y_r]/(g_1,…,g_e)$ donc +%$\Top(A)=\{(x₁,…,x_d,y₁,…,y_r)∈𝐂^(d+r), g_i(x,y)=0\}$. La +%fonction $a$ est un polynôme sur $𝐂^{d+r}$ qui ne dépend que +%de $x₁,…,x_d$. (La fonction $a₀$ est la même fonction, +%vue sur $𝐂^d$.) [On note $a$ pour $\Top(a)$ etc.] Soit $w$ tel que +%$a₀(w)≠0$. Soit $f(t):=a₀((1-t)z₀+tw)$. Puisque $f(1)≠0$, +%il existe un nombre fini de $t$ tels que $f(t)=0(=f(0))$. Il existe +%donc une suite $z₀(ε)$ telle que $z₀(ε)→z₀$ quand $ε→0$ +%mais $a₀(z₀(ε))≠0$ (càd $z₀(ε)∉\Top(A₀/a₀)$). +%\item On veut relever les $z₀(ε)$ en des $z(ε)$ qui tendent vers $z$. +%(Les relèvements n'appartiennent pas à $\Top(A/a)$ par construction.) +%Soient $\{z,p₁,…,p_m\}$ les relèvements de $z₀$ dans $\Top(A)$. (Les +%fibres sont finies.) Il existe une fonction $b∈A$ telle que $b(z)=0$ +%mais $b(p_i)≠0$. (Fait général sur un ensemble fini de points dans +%$𝐂^{d+r}$.) Posons $A₀'=A₀[b]$ ; c'est un sous-anneau de $A$, fini +%sur $A₀$. Soit $F∈𝐂[X₁,…,X_d,W]=W^n+…+α_n(X₁,…,X_d)$ +%l'équation polynômial irréductible satisfaite par les $X$ et $b$. +%Puisque $b(z)=0$, on a $α_n(z₀)=F(z₀,b(z))=0$. On a $A₀'≃A₀[W]/F(X,W)$. +%On a donc $\Top(A)→\Top(A₀')→\Top(A₀)$, càd : +%$\{(x,y)∈𝐂^{d+r},g(x,y)=0\}→\{(x,w)∈𝐂^{d+1}, F(x,w)=0\}→\{x∈𝐂^d\}$. +%Ces applications sont continues, *surjectives* (Cohen-Seidenberg) +%[à fibres finies]. Puisque $α_n(z₀)=0$ et donc $α_n(z₀(ε))→0$, +%et puisque $α_n(z₀(ε))$ est le produit des racines de l'équation +%en $W$, $F(z₀(ε),W)=0$, il existe une suite $w(ε)$ telle que $w(ε)→0$ +%et $F(z₀(ε),w(ε))=0$. On a donc relevé la suite $z₀(ε)$ au +%niveau de $\Top(A₀')$. + +%\item Soit $z(ε)$ un relèvement quelconque de $(z₀(ε),w(ε))$. +%L'application $\Top(A)→\Top(A'₀)$ est relativement compacte +%(fait général à tout morphisme fini) : les fonctions +%$y∈A$ sont entières sur $A₀'$ ; si les coefficients $α'$ d'une +%équation de dépendance intégrale $y^N+α'₁y^{N-1}+…+α'_N=0$ +%sont bornés, il en est de même de $y$. +%Puisque l'image $(z₀(ε),w(ε))$ de $z(ε)$ converge, il existe une +%sous-suite de $z(ε)$ convergeant également. Une telle sous-suite +%converge nécessairement vers $z$ car si elle converge vers +%$p_i≠z∈π^{-1}(z₀)$, on aurait $0≠b(p_i)=\lim w(ε)=0$. Absurde. +%\end{itemize} +%\item Soit $K=\Frac(A)$ et $d$ son degré de transcendance. Il existe +%$t₁, …,t_d$ dans $A$, algébriquement indépendants dans $K$, tels que +%$K/𝐂(t₁,…,t_d)$ soit algébrique séparable. Posons +%$B=𝐂[t₁,…,t_{d-1}]⊆A$. Il existe $x$ entier sur $B[t_d]$ tel +%que $K=𝐂(t₁,…,t_d)(x)$. Posons $T=t_d$ et $f$ le polynôme minimal +%de $x$ dans $L[T,X$]. On peut supposer $f$ dans $B[X,T]$, quitte +%à remplacer $B$ par $B[b^{-1}]$. Faits : +%\begin{itemize} +%\item OPS $A=B[X,T]/f$, $B$ intègre, $f$ irréductible dans $B[X,T]$. +%\item OPS $f$ géométriquement irréductible sur $L=\Frac(B)$. +%\end{itemize} +%On utilise également le fait suivant : si $A → A ′$ est fini, injectif +%alors $\Top(A ′) → \Top(A)$ est surjectif (variante de Nakayama). +%\item OPS $\Top(A) → \Top(B)$ submersif donc application ouverte (th. Chevalley ?). +%Les fibres étant de dimension $1$, on se ramène au cas suivant : +%\item Soit $A$ intègre, de dimension $1$. Alors, $\Top(A)$ est +%connexe. Cf. infra. +%\end{enumerate} +%\end{démo} +\section{Divers} \ifx\danslelivre\undefined |