[AC] esquisse th. de comparaison de Riemann (courbe + dévissage)

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@@ -41,6 +41,9 @@ Notions d'algèbre commutative
 \chapter{Notions d'algèbre commutative}
 \fi
 
+\newcommand{\Top}{\mathop{\mathrm{Top}}}
+
+
 %%% À faire·:
 
 \section{L'espace topologique $\Spec(A)$}
@@ -154,8 +157,55 @@ Finitude de la normalisation dans le cas d'algèbres
 sur un corps.
 \end{proposition2}
 
+\begin{proposition2}
+Soit $A$ un anneau intègre, $K=\Frac(A)$ et $f ∈ A[X₁,…,X_n]$ où $n ≥ 1$.
+Si $f$ est irréductible sur une clôture algébrique $\sur{K}$ de $K$,
+il existe un élément $a$ de $A$, non nul, tel que pour tout corps
+quotient $A ↠ k$ tel que l'image de $a$ soit non nulle,
+le polynôme $f_k ∈ k[X₁,…,X_n]$ est irréductible. % et même géométriquement irréductible
+\end{proposition2}
+
+%\begin{démo}
+%Écrivons $f=∑ a_α X^α$ et notons $d$ le degré total de $f$.
+%Fixons deux entiers $p,q$ tels que $p+q=d$. Regarder
+%l'idéal de $A[b,c]$ engendré par les équations $a_α=∑_{β+γ=α} b_β c_γ$
+%et appliquer le Nullstellensatz. \XXX
+%\end{démo}
+
 \subsection{Anneaux de Jacobson}
 
+\section{Complétion}
+% référence : de Jong.
+
+\begin{définition2}
+$A$ anneau $I$ idéal $M$ module. $\chap{A}$, $\chap{M}$.
+\end{définition2}
+
+\begin{définition2}
+Complet si $M ⥲ \chap{M}$.
+\end{définition2}
+
+\begin{miseengarde2}
+Il existe un anneau $A$ et un idéal maximal $𝔪$ de $A$
+tel que la limite projective $\chap{A}=\lim A/𝔪^n$ ne soit
+pas complète.
+\end{miseengarde2}
+
+\begin{proposition2}
+\label{Nakayama}
+Lemme de Nakayama
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+Artin-Rees.
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+Exactitude dans le cas nœthérien.
+Complétion est complète dans cas nœthérien (idéal de type fini).
+\end{proposition2}
+
+
 \section{Fonctions $ζ$}
 
 
@@ -165,26 +215,126 @@ sur un corps.
 \subsection{}Soit $A$ une $𝐂$-algèbre de type fini.
 
 \begin{définition2}
-$Top(A)$ espace topologique.
+$\Top(A)$ espace topologique.
 \end{définition2}
 
-\begin{théorème2}
-$A$ est connexe ssi $Top(A)$ est connexe.
-\end{théorème2}
 
-\begin{démo}[Esquisse]
-
-\end{démo}
+\begin{proposition2}[Théorème de comparaison de Riemann]
+Soit $P ∈ 𝐂[X,Y]$ un polynôme irréductible. Le fermé $𝒵=\{(x,y)
+∈ 𝐂²: P(x,y)=0\}$ de $𝐂²$ est \emph{connexe}.
+\end{proposition2}
 
+%\begin{démo}
+% tirée d'un TD de Gaëtan
+%Soit $S$ un ensemble fini de points de $𝐂$. On note $H_S$ l'anneau
+%des fonctions méromorphes sur $𝐂$ sans pôles hors de $S$. C'est un
+%anneau intègre. Le sous-anneau $F_S$ des fractions rationnelles dans $H_S$
+%est intégralement clos dans $H_S$. (En effet, si $f^n=∑_0^{n-1} a_i f^i$,
+%et $z ∉ S$, $|f(z) ≤ 1+∑ |a_i(z)|$.)
+%Quitte à faire un changement de variables linéaire $(x,y) ↦ (x,λ x
+%+y)$, on peut supposer que $P$ est unitaire vu comme élément
+%de $𝐂(Y)[X]$ ; on note $d$ son degré. La projection $π : 𝒵 → 𝐂$,
+%$(x,y) ↦ y$ est un revêtement à $d$ feuillets au-dessus d'un ouvert
+%de Zariski non vide $U=𝐂-S$. Soit $𝒲$ une composante connexe de
+%$π^{-1}(U)$. La fonction $𝐂-S → 𝐂[T]$, $x ↦ ∏_{z ∈ 𝒲_x} (T-z)$
+%appartient à $H_S[T]$.
+%On utilise alors \refext{Ent}{intégralement clos préserve
+%irréductibilité}. \XXX
+%\end{démo}
+
+Plus généralement :
 
-\section{Divers}
+\begin{théorème2}
+$A$ est connexe ssi $\Top(A)$ est connexe.
+\end{théorème2}
 
-\begin{proposition2}
-\label{Nakayama}
-Lemme de Nakayama
-\end{proposition2}
+%\begin{démo}[Esquisse]
+%\begin{enumerate}
+%\item On a déjà vu que si $A ≠ 0$, $\Top(A)$ est non vide
+%(Nullstellensatz). Comme $\Top(A×B) = \Top(A) ∐ \Top(B)$
+%et $A ↠ B$ induit $\Top(B) ↪ \Top(A)$ [immersion fermée],
+%on a l'implication $\Top(A)$ connexe ⇒ $A$ connexe.
+%
+%\item Soit $A$ intègre de type fini sur $𝐂$ et $a ≠ 0$ dans $A$.
+%Alors, $\Top(A)$ est connexe si et seulement si $\Top(A[a^{-1}])$
+%l'est. Variante : $\Top(A/a)$ est partout rare. Cf. Red book, §10,
+%recopié ici.
+%\begin{itemize}
+%\item On peut supposer $X$ normal car si $A\norm$=normalisation de $A$, 
+%et $X\norm=\Spec(A\norm)$,
+%$π:X\norm→X$ est 
+%surjectif donc si $∃$ $D⊂Z^{an}$ boule 
+%ouverte, $π^{-1}(D)$ est ouvert et dans ${Z\norm}^{an}=π^{-1}(Z^{an})$.
+%D'autre part, $A\norm$ est une $𝐂$-algèbre de type fini (cf. \ref{}).
+%\item D'après le lemme de normalisation (\ref{}), il existe $A₀=𝐂[X₁,…,X_d]⊆A$
+%tel que $A₀→A$ soit fini. Puisque $A$ est normal (et $A₀$ aussi), 
+%il existe $a₀∈A₀$ tel que $a|a₀$.  En effet, $a₀:=∏_σ σ(a)=N_K/K₀(a)$
+%est entier sur $A₀$ (car chaque $σ(a)$ l'est) et appartient à
+%$K₀$. D'autre part, $a|a₀$ car chaque $σ(a)∈A$ ($A$ est normal). On
+%peut donc supposer que $a=a₀∈A₀$.  (Remplacer $a$ par un multiple
+%$a₀$ grossit $Z^{an}$.)
+%\item Soit $z∈\Top(A)$ tel que $a(z)=0$. Soit $z₀$ son image 
+%dans $\Top(A₀)=𝐂^d$. On a $a(z)=a₀(z₀)=0$.
+%Rappel : $A=𝐂[X₁,…,X_d,Y₁,…,Y_r]/(g_1,…,g_e)$ donc
+%$\Top(A)=\{(x₁,…,x_d,y₁,…,y_r)∈𝐂^(d+r), g_i(x,y)=0\}$. La
+%fonction $a$ est un polynôme sur $𝐂^{d+r}$ qui ne dépend que
+%de $x₁,…,x_d$. (La fonction $a₀$ est la même fonction,
+%vue sur $𝐂^d$.) [On note $a$ pour $\Top(a)$ etc.]  Soit $w$ tel que
+%$a₀(w)≠0$. Soit $f(t):=a₀((1-t)z₀+tw)$. Puisque $f(1)≠0$,
+%il existe un nombre fini de $t$ tels que $f(t)=0(=f(0))$. Il existe
+%donc une suite $z₀(ε)$ telle que $z₀(ε)→z₀$ quand $ε→0$
+%mais $a₀(z₀(ε))≠0$ (càd $z₀(ε)∉\Top(A₀/a₀)$).
+%\item On veut relever les $z₀(ε)$ en des $z(ε)$ qui tendent vers $z$. 
+%(Les relèvements n'appartiennent pas à $\Top(A/a)$ par construction.)
+%Soient $\{z,p₁,…,p_m\}$ les relèvements de $z₀$ dans $\Top(A)$. (Les
+%fibres sont finies.)  Il existe une fonction $b∈A$ telle que $b(z)=0$
+%mais $b(p_i)≠0$. (Fait général sur un ensemble fini de points dans
+%$𝐂^{d+r}$.)  Posons $A₀'=A₀[b]$ ; c'est un sous-anneau de $A$, fini
+%sur $A₀$.  Soit $F∈𝐂[X₁,…,X_d,W]=W^n+…+α_n(X₁,…,X_d)$
+%l'équation polynômial irréductible satisfaite par les $X$ et $b$.
+%Puisque $b(z)=0$, on a $α_n(z₀)=F(z₀,b(z))=0$. On a $A₀'≃A₀[W]/F(X,W)$.
+%On a donc $\Top(A)→\Top(A₀')→\Top(A₀)$, càd :
+%$\{(x,y)∈𝐂^{d+r},g(x,y)=0\}→\{(x,w)∈𝐂^{d+1}, F(x,w)=0\}→\{x∈𝐂^d\}$.
+%Ces applications sont continues, *surjectives* (Cohen-Seidenberg)
+%[à fibres finies].  Puisque $α_n(z₀)=0$ et donc $α_n(z₀(ε))→0$,
+%et puisque $α_n(z₀(ε))$ est le produit des racines de l'équation
+%en $W$, $F(z₀(ε),W)=0$, il existe une suite $w(ε)$ telle que $w(ε)→0$
+%et $F(z₀(ε),w(ε))=0$. On a donc relevé la suite $z₀(ε)$ au
+%niveau de $\Top(A₀')$.
+ 
+%\item Soit $z(ε)$ un relèvement quelconque de $(z₀(ε),w(ε))$.
+%L'application $\Top(A)→\Top(A'₀)$ est relativement compacte 
+%(fait général à tout morphisme fini) : les fonctions
+%$y∈A$ sont entières sur $A₀'$ ; si les coefficients $α'$ d'une
+%équation de dépendance intégrale $y^N+α'₁y^{N-1}+…+α'_N=0$
+%sont bornés, il en est de même de $y$.
+%Puisque l'image $(z₀(ε),w(ε))$ de $z(ε)$ converge, il existe une 
+%sous-suite de $z(ε)$ convergeant également. Une telle sous-suite
+%converge nécessairement vers $z$ car si elle converge vers 
+%$p_i≠z∈π^{-1}(z₀)$, on aurait $0≠b(p_i)=\lim w(ε)=0$. Absurde.
+%\end{itemize}
+%\item Soit $K=\Frac(A)$ et $d$ son degré de transcendance. Il existe
+%$t₁, …,t_d$ dans $A$, algébriquement indépendants dans $K$, tels que
+%$K/𝐂(t₁,…,t_d)$ soit algébrique séparable. Posons
+%$B=𝐂[t₁,…,t_{d-1}]⊆A$. Il existe $x$ entier sur $B[t_d]$ tel
+%que $K=𝐂(t₁,…,t_d)(x)$. Posons $T=t_d$ et $f$ le polynôme minimal
+%de $x$ dans $L[T,X$]. On peut supposer $f$ dans $B[X,T]$, quitte
+%à remplacer $B$ par $B[b^{-1}]$. Faits :
+%\begin{itemize}
+%\item OPS $A=B[X,T]/f$, $B$ intègre, $f$ irréductible dans $B[X,T]$.
+%\item OPS $f$ géométriquement irréductible sur $L=\Frac(B)$.
+%\end{itemize}
+%On utilise également le fait suivant : si $A → A ′$ est fini, injectif
+%alors $\Top(A ′) → \Top(A)$ est surjectif (variante de Nakayama).
+%\item OPS $\Top(A) → \Top(B)$ submersif donc application ouverte (th. Chevalley ?).
+%Les fibres étant de dimension $1$, on se ramène au cas suivant :
+%\item Soit $A$ intègre, de dimension $1$. Alors, $\Top(A)$ est
+%connexe. Cf. infra.
+%\end{enumerate}
+%\end{démo}
 
 
+\section{Divers}
 
 
 \ifx\danslelivre\undefined