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author | Fabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-04-07 22:16:48 +0200 |
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committer | Fabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-04-07 22:16:48 +0200 |
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-rw-r--r-- | chapitres/AVD-Dedekind.tex | 45 |
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diff --git a/chapitres/AVD-Dedekind.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex index e76758c..beafa50 100644 --- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex +++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex @@ -8,7 +8,10 @@ \input{../configuration/numerotation} \input{../configuration/formules} \input{../configuration/encoredesmacros} + \synctex=1 +\input{.cv} + \usepackage{stmaryrd} \usepackage{graphics} \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} @@ -37,6 +40,7 @@ \begin{center} Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind \end{center} +\version \tableofcontents \else \chapter{Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind} @@ -160,6 +164,7 @@ Un $A$-module de type fini est libre si et seulement si il est sans torsion. (Cas particulier des résultats précédents.) \begin{proposition2} +\label{structure corps discrètement valué complet parfait égale caractéristique} \XXX Si $K$ est complet à corps résiduel parfait $k$ et d'égale caractéristique, $K=k((t))$. @@ -167,17 +172,19 @@ caractéristique, $K=k((t))$. \begin{démo} \XXX -Relèvement de Teichmüller ; cf. p. ex. [ANAF] chap. 10, th. 1. +Relèvement de Teichmüller ; cf. p. ex. [ANAF] chap. 10, +th. 1 ou [BNT] p. 20. \end{démo} -Cas d'égale caractéristique. +Cas d'inégale caractéristique. \begin{proposition2} +\label{structure corps discrètement valué complet fini inégale caractéristique} Si corps résiduel fini, c'est une extension finie de $𝐐_p$. \end{proposition2} \begin{démo} -[ANAF], chap. 10, fin §1. +Cf. [ANAF], chap. 10, fin §1. \end{démo} \begin{théorème2} @@ -190,8 +197,8 @@ Utiliser si possible les constructions du chapitre sur KASW. \end{démo} \subsection{Valeurs absolues}\XXX -Valeurs absolues\index{valeur absolue}. Corps valué\index{corps valué} -Cas ultramétrique. +Valeurs absolues\index{valeur absolue}. Corps valué\index{corps valué}. +Corps topologique. Cas ultramétrique. \begin{proposition2} Toute valeur absolue est équivalente à un valeur absolue @@ -209,6 +216,13 @@ Le théorème d'approximation. Cf. Artin [ANAF]. +\subsubsection{} +\label{topologie et anneau des entiers} +Expliquer comment retrouver $𝒪$ et $𝔭$ à +partir de $K$ et sa topologie (induite par la +valuation/valeur absolue) : $𝔭=\{x:x^n → 0\}$, $𝒪=$ +sous-anneau compact maximal (si corps résiduel fini) etc. + \subsection{Exemples} Exemple : valuation de Gauß sur $k(X)$ (\cite[VI]{Local@Cassels}). @@ -247,6 +261,7 @@ Cf. \cite[V.1.1]{Local@Cassels}. Artin [theory of algebraic numbers], §3. Bourbaki, AC. Voir aussi Gabber-Ramero (Almost ring theory). \subsection{Prolongement des valuations} +\label{prolongement valuations} Valeurs absolues : cf. \cite[VII]{Cassels}. @@ -678,24 +693,32 @@ Serre [CL] p. 85. \section{Différentielles} +\begin{proposition2} +$K ≃ k((T))$. Alors, $\dim_K Ω¹_K=1$. +\end{proposition2} + \begin{théorème2} -$K=k((t))$. -$\Res_t(y)=\Res_u(y dt/du)$. -Généralisation (avec la trace) [Lang, prop. 4.2]. +$K ≃ k((T))$, $x,y$ deux uniformisantes. Alors, $\Res_x(ω)=\Res_y(ω)$. +[Généralisation (avec la trace) [Lang, prop. 4.2].] \end{théorème2} \begin{démo} -[ANAF] chap. 10, th. 3 (première formule). -Lang, Introduction to algebraic and abelian functions pour -la généralisation. +[ANAF] chap. 10, th. 3 (première formule) ; Lang, Introduction to algebraic and abelian functions pour +la généralisation ; [GAGC] p. 29— 31. \end{démo} \begin{définition2} +\label{résidu forme différentielle formelle} Définition du résidu $Ω¹_{K\bo k} → k$. \end{définition2} Hasse, chap. 25, différentielles (p. 467). +\begin{proposition2} +\label{non nullité du résidu} +L'application $k$-linéaire $\Res:Ω¹_K → k$ est surjective. +\end{proposition2} + \section{Anneaux de valuation discrète tronqués} Résultats de Deligne (cf. aussi Hiranouti, Taguti). |