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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-07 20:16:48 (GMT)
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-07 20:16:48 (GMT)
commit2993f48dd0f863e8e4009e81d32b3379d866a542 (patch)
tree60cca2fafefd9753078b480df94d8e0130c3efcb /chapitres/AVD-Dedekind.tex
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-rw-r--r--chapitres/AVD-Dedekind.tex45
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diff --git a/chapitres/AVD-Dedekind.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
index e76758c..beafa50 100644
--- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex
+++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
@@ -8,7 +8,10 @@
\input{../configuration/numerotation}
\input{../configuration/formules}
\input{../configuration/encoredesmacros}
+
\synctex=1
+\input{.cv}
+
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{graphics}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
@@ -37,6 +40,7 @@
\begin{center}
Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind
\end{center}
+\version
\tableofcontents
\else
\chapter{Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind}
@@ -160,6 +164,7 @@ Un $A$-module de type fini est libre si et seulement si il est sans torsion.
(Cas particulier des résultats précédents.)
\begin{proposition2}
+\label{structure corps discrètement valué complet parfait égale caractéristique}
\XXX
Si $K$ est complet à corps résiduel parfait $k$ et d'égale
caractéristique, $K=k((t))$.
@@ -167,17 +172,19 @@ caractéristique, $K=k((t))$.
\begin{démo}
\XXX
-Relèvement de Teichmüller ; cf. p. ex. [ANAF] chap. 10, th. 1.
+Relèvement de Teichmüller ; cf. p. ex. [ANAF] chap. 10,
+th. 1 ou [BNT] p. 20.
\end{démo}
-Cas d'égale caractéristique.
+Cas d'inégale caractéristique.
\begin{proposition2}
+\label{structure corps discrètement valué complet fini inégale caractéristique}
Si corps résiduel fini, c'est une extension finie de $𝐐_p$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
-[ANAF], chap. 10, fin §1.
+Cf. [ANAF], chap. 10, fin §1.
\end{démo}
\begin{théorème2}
@@ -190,8 +197,8 @@ Utiliser si possible les constructions du chapitre sur KASW.
\end{démo}
\subsection{Valeurs absolues}\XXX
-Valeurs absolues\index{valeur absolue}. Corps valué\index{corps valué}
-Cas ultramétrique.
+Valeurs absolues\index{valeur absolue}. Corps valué\index{corps valué}.
+Corps topologique. Cas ultramétrique.
\begin{proposition2}
Toute valeur absolue est équivalente à un valeur absolue
@@ -209,6 +216,13 @@ Le théorème d'approximation.
Cf. Artin [ANAF].
+\subsubsection{}
+\label{topologie et anneau des entiers}
+Expliquer comment retrouver $𝒪$ et $𝔭$ à
+partir de $K$ et sa topologie (induite par la
+valuation/valeur absolue) : $𝔭=\{x:x^n → 0\}$, $𝒪=$
+sous-anneau compact maximal (si corps résiduel fini) etc.
+
\subsection{Exemples}
Exemple : valuation de Gauß sur $k(X)$ (\cite[VI]{Local@Cassels}).
@@ -247,6 +261,7 @@ Cf. \cite[V.1.1]{Local@Cassels}.
Artin [theory of algebraic numbers], §3. Bourbaki, AC. Voir aussi Gabber-Ramero (Almost ring theory).
\subsection{Prolongement des valuations}
+\label{prolongement valuations}
Valeurs absolues : cf. \cite[VII]{Cassels}.
@@ -678,24 +693,32 @@ Serre [CL] p. 85.
\section{Différentielles}
+\begin{proposition2}
+$K ≃ k((T))$. Alors, $\dim_K Ω¹_K=1$.
+\end{proposition2}
+
\begin{théorème2}
-$K=k((t))$.
-$\Res_t(y)=\Res_u(y dt/du)$.
-Généralisation (avec la trace) [Lang, prop. 4.2].
+$K ≃ k((T))$, $x,y$ deux uniformisantes. Alors, $\Res_x(ω)=\Res_y(ω)$.
+[Généralisation (avec la trace) [Lang, prop. 4.2].]
\end{théorème2}
\begin{démo}
-[ANAF] chap. 10, th. 3 (première formule).
-Lang, Introduction to algebraic and abelian functions pour
-la généralisation.
+[ANAF] chap. 10, th. 3 (première formule) ; Lang, Introduction to algebraic and abelian functions pour
+la généralisation ; [GAGC] p. 29— 31.
\end{démo}
\begin{définition2}
+\label{résidu forme différentielle formelle}
Définition du résidu $Ω¹_{K\bo k} → k$.
\end{définition2}
Hasse, chap. 25, différentielles (p. 467).
+\begin{proposition2}
+\label{non nullité du résidu}
+L'application $k$-linéaire $\Res:Ω¹_K → k$ est surjective.
+\end{proposition2}
+
\section{Anneaux de valuation discrète tronqués}
Résultats de Deligne (cf. aussi Hiranouti, Taguti).