[AVD-D] étiquettes + toudou

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index fbe2cf4..086a951 100644
--- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex
+++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
@@ -118,7 +118,8 @@ $\gtilde{k}=k ∪ \{∞\}$ et [...]
 
 \begin{définition2}
 \XXX
-Place : $K → \gtilde{k}$.
+Place : $K → \gtilde{k}$. Place sur $K₀$ : isomorphisme
+sur $K₀$.
 \end{définition2}
 
 En conflit avec Weil [BNT].
@@ -129,6 +130,7 @@ critère d'intégralité en terme de places.
 \XXX
 Groupe abélien totalement ordonné $Γ$.
 Valuation\index{valuation} : $v:A → Γ ∪\{∞\}$.
+(On dit parfois « valuation additive ».)
 
 \begin{proposition2}
 \XXX
@@ -197,16 +199,19 @@ Utiliser si possible les constructions du chapitre sur KASW.
 \end{démo}
 
 \subsection{Valeurs absolues}\XXX
-Valeurs absolues\index{valeur absolue}. Corps valué\index{corps valué}.
-Corps topologique. Cas ultramétrique.
+Valeurs absolues\index{valeur absolue} : $|x+y| ≤ |x|+|y|$ (On dit parfois
+« valuation multiplicative ».) Impropre : $|x|=1$ si $x ≠
+0$, $0$ sinon. Corps valué\index{corps valué}. Corps topologique. Cas ultramétrique.
+
+La définition n'est pas parfaitement standardisée : on
+autorise parfois variante : $|1+x|$ bornée sur $|x| ≤ 1$. % ☡
+Cf. Bourbaki, AC, tome 2, p. 118-.
 
 \begin{proposition2}
-Toute valeur absolue est équivalente à un valeur absolue
-satisfaisant l'inégalité triangulaire.
+Toute (pseudo-)valeur absolue est équivalente à un valeur absolue
+(satisfaisant donc l'inégalité triangulaire).
 \end{proposition2}
 
-La définition n'est pas parfaitement standardisée. % ☡
-
 Lien avec valuation de rang $1$ (cas ultramétrique).
 
 \begin{théorème2}
@@ -228,15 +233,27 @@ sous-anneau compact maximal (si corps résiduel fini) etc.
 Exemple : valuation de Gauß sur $k(X)$ (\cite[VI]{Local@Cassels}).
 
 \begin{proposition2}
+\label{Ostrowski}
 \XXX
 Ostrowski.
 \end{proposition2}
 
+% peut-être que ce n'est pas un théorème dû à Ostrowski.
+
 \begin{proposition2}
-\XXX
-$k(X)$.
+\label{k-valuations de k(X)}
+Soit $k$ un corps et soit $A$ un anneau de valuation
+de $k(X)$ contenant $k$ et différent de $k(X)$. Si
+l'indéterminée $X$ appartient à $A$, il existe $P
+∈ k[X]$ \emph{irréductible} tel que $A=k[X]_{(P)}$ ;
+dans le cas contraire, $A=k[1/X]_{(1/X)}$.
 \end{proposition2}
 
+\begin{démo}
+Cf. par exemple Bourbaki, AC, tome 2, p. 91. C'est un cas
+particulier d'un résultat général (anneau principal etc.).
+\end{démo}
+
 \begin{proposition2}
 \XXX
 Formule du produit [cas particulier ?]
@@ -730,23 +747,25 @@ local).
 \subsection{}
 
 \begin{proposition2}
-Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$.
+Soit $A$ un anneau nœthérien intègre de corps des fractions $K$.
 Les conditions suivante sont équivalentes :
 \begin{enumerate}
 \item $A$ est nœthérien, normal, de dimension un ;
-\item tout idéal fractionnaire de $A$ est inversible ;
+\item tout idéal fractionnaire non nul de $A$ est inversible ;
 \item $A$ est nœthérien et pour tout idéal maximal $𝔪$ de $A$,
 le localisé $A_𝔪$ est un corps ou bien un anneau de valuation
 discrète.
+\item tout idéal non nul $I$ s'écrit
+de manière unique $I=∏_𝔭 𝔭^{n_𝔭}$… [cf. infra]
 \end{enumerate}
 \end{proposition2}
 
 \begin{démo}
-AC, diviseurs p. 217.
+AC, diviseurs p. 217 ou Serre, Corps locaux.
 \end{démo}
 
 \begin{definition2}
-Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekin}.
+Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekind}.
 \end{definition2}
 
 \begin{proposition2}
@@ -768,8 +787,12 @@ $L\bo K$, le normalisé $B$ de $A$ dans $L$ est un anneau
 de Dedekind.
 \end{théorème2}
 
-\begin{démo}
-p. ex. Bourbaki, [Neukirch], chap.I., §12, p. 77, ou [Zariski-Samuel, Ⅴ].
+\begin{démo}[première démonstration]
+p. ex. Bourbaki ou [Neukirch], chap.I., §12, p. 77.
+\end{démo}
+
+\begin{démo}[seconde démonstration]
+[Zariski-Samuel, Ⅴ] (cas séparable puis radiciel).
 \end{démo}
 
 Corollaire : fermeture intégrale d'un Dedekind est de Dedekind.