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author | Fabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-05-18 19:06:44 +0200 |
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committer | Fabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-05-18 19:06:44 +0200 |
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[AVD-D] étiquettes + toudou
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-rw-r--r-- | chapitres/AVD-Dedekind.tex | 53 |
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diff --git a/chapitres/AVD-Dedekind.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex index fbe2cf4..086a951 100644 --- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex +++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex @@ -118,7 +118,8 @@ $\gtilde{k}=k ∪ \{∞\}$ et [...] \begin{définition2} \XXX -Place : $K → \gtilde{k}$. +Place : $K → \gtilde{k}$. Place sur $K₀$ : isomorphisme +sur $K₀$. \end{définition2} En conflit avec Weil [BNT]. @@ -129,6 +130,7 @@ critère d'intégralité en terme de places. \XXX Groupe abélien totalement ordonné $Γ$. Valuation\index{valuation} : $v:A → Γ ∪\{∞\}$. +(On dit parfois « valuation additive ».) \begin{proposition2} \XXX @@ -197,16 +199,19 @@ Utiliser si possible les constructions du chapitre sur KASW. \end{démo} \subsection{Valeurs absolues}\XXX -Valeurs absolues\index{valeur absolue}. Corps valué\index{corps valué}. -Corps topologique. Cas ultramétrique. +Valeurs absolues\index{valeur absolue} : $|x+y| ≤ |x|+|y|$ (On dit parfois +« valuation multiplicative ».) Impropre : $|x|=1$ si $x ≠ +0$, $0$ sinon. Corps valué\index{corps valué}. Corps topologique. Cas ultramétrique. + +La définition n'est pas parfaitement standardisée : on +autorise parfois variante : $|1+x|$ bornée sur $|x| ≤ 1$. % ☡ +Cf. Bourbaki, AC, tome 2, p. 118-. \begin{proposition2} -Toute valeur absolue est équivalente à un valeur absolue -satisfaisant l'inégalité triangulaire. +Toute (pseudo-)valeur absolue est équivalente à un valeur absolue +(satisfaisant donc l'inégalité triangulaire). \end{proposition2} -La définition n'est pas parfaitement standardisée. % ☡ - Lien avec valuation de rang $1$ (cas ultramétrique). \begin{théorème2} @@ -228,15 +233,27 @@ sous-anneau compact maximal (si corps résiduel fini) etc. Exemple : valuation de Gauß sur $k(X)$ (\cite[VI]{Local@Cassels}). \begin{proposition2} +\label{Ostrowski} \XXX Ostrowski. \end{proposition2} +% peut-être que ce n'est pas un théorème dû à Ostrowski. + \begin{proposition2} -\XXX -$k(X)$. +\label{k-valuations de k(X)} +Soit $k$ un corps et soit $A$ un anneau de valuation +de $k(X)$ contenant $k$ et différent de $k(X)$. Si +l'indéterminée $X$ appartient à $A$, il existe $P +∈ k[X]$ \emph{irréductible} tel que $A=k[X]_{(P)}$ ; +dans le cas contraire, $A=k[1/X]_{(1/X)}$. \end{proposition2} +\begin{démo} +Cf. par exemple Bourbaki, AC, tome 2, p. 91. C'est un cas +particulier d'un résultat général (anneau principal etc.). +\end{démo} + \begin{proposition2} \XXX Formule du produit [cas particulier ?] @@ -730,23 +747,25 @@ local). \subsection{} \begin{proposition2} -Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$. +Soit $A$ un anneau nœthérien intègre de corps des fractions $K$. Les conditions suivante sont équivalentes : \begin{enumerate} \item $A$ est nœthérien, normal, de dimension un ; -\item tout idéal fractionnaire de $A$ est inversible ; +\item tout idéal fractionnaire non nul de $A$ est inversible ; \item $A$ est nœthérien et pour tout idéal maximal $𝔪$ de $A$, le localisé $A_𝔪$ est un corps ou bien un anneau de valuation discrète. +\item tout idéal non nul $I$ s'écrit +de manière unique $I=∏_𝔭 𝔭^{n_𝔭}$… [cf. infra] \end{enumerate} \end{proposition2} \begin{démo} -AC, diviseurs p. 217. +AC, diviseurs p. 217 ou Serre, Corps locaux. \end{démo} \begin{definition2} -Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekin}. +Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekind}. \end{definition2} \begin{proposition2} @@ -768,8 +787,12 @@ $L\bo K$, le normalisé $B$ de $A$ dans $L$ est un anneau de Dedekind. \end{théorème2} -\begin{démo} -p. ex. Bourbaki, [Neukirch], chap.I., §12, p. 77, ou [Zariski-Samuel, Ⅴ]. +\begin{démo}[première démonstration] +p. ex. Bourbaki ou [Neukirch], chap.I., §12, p. 77. +\end{démo} + +\begin{démo}[seconde démonstration] +[Zariski-Samuel, Ⅴ] (cas séparable puis radiciel). \end{démo} Corollaire : fermeture intégrale d'un Dedekind est de Dedekind. |