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path: root/chapitres/AVD-Dedekind.tex
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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-05-18 17:06:44 (GMT)
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-05-18 17:06:44 (GMT)
commit4513658178c0282ee6727c8b79d0c64456cbdceb (patch)
tree9ec641b466110221e87f498e27ccc3e97e9387b0 /chapitres/AVD-Dedekind.tex
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[AVD-D] étiquettes + toudou
Diffstat (limited to 'chapitres/AVD-Dedekind.tex')
-rw-r--r--chapitres/AVD-Dedekind.tex53
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diff --git a/chapitres/AVD-Dedekind.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
index fbe2cf4..086a951 100644
--- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex
+++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
@@ -118,7 +118,8 @@ $\gtilde{k}=k ∪ \{∞\}$ et [...]
\begin{définition2}
\XXX
-Place : $K → \gtilde{k}$.
+Place : $K → \gtilde{k}$. Place sur $K₀$ : isomorphisme
+sur $K₀$.
\end{définition2}
En conflit avec Weil [BNT].
@@ -129,6 +130,7 @@ critère d'intégralité en terme de places.
\XXX
Groupe abélien totalement ordonné $Γ$.
Valuation\index{valuation} : $v:A → Γ ∪\{∞\}$.
+(On dit parfois « valuation additive ».)
\begin{proposition2}
\XXX
@@ -197,16 +199,19 @@ Utiliser si possible les constructions du chapitre sur KASW.
\end{démo}
\subsection{Valeurs absolues}\XXX
-Valeurs absolues\index{valeur absolue}. Corps valué\index{corps valué}.
-Corps topologique. Cas ultramétrique.
+Valeurs absolues\index{valeur absolue} : $|x+y| ≤ |x|+|y|$ (On dit parfois
+« valuation multiplicative ».) Impropre : $|x|=1$ si $x ≠
+0$, $0$ sinon. Corps valué\index{corps valué}. Corps topologique. Cas ultramétrique.
+
+La définition n'est pas parfaitement standardisée : on
+autorise parfois variante : $|1+x|$ bornée sur $|x| ≤ 1$. % ☡
+Cf. Bourbaki, AC, tome 2, p. 118-.
\begin{proposition2}
-Toute valeur absolue est équivalente à un valeur absolue
-satisfaisant l'inégalité triangulaire.
+Toute (pseudo-)valeur absolue est équivalente à un valeur absolue
+(satisfaisant donc l'inégalité triangulaire).
\end{proposition2}
-La définition n'est pas parfaitement standardisée. % ☡
-
Lien avec valuation de rang $1$ (cas ultramétrique).
\begin{théorème2}
@@ -228,15 +233,27 @@ sous-anneau compact maximal (si corps résiduel fini) etc.
Exemple : valuation de Gauß sur $k(X)$ (\cite[VI]{Local@Cassels}).
\begin{proposition2}
+\label{Ostrowski}
\XXX
Ostrowski.
\end{proposition2}
+% peut-être que ce n'est pas un théorème dû à Ostrowski.
+
\begin{proposition2}
-\XXX
-$k(X)$.
+\label{k-valuations de k(X)}
+Soit $k$ un corps et soit $A$ un anneau de valuation
+de $k(X)$ contenant $k$ et différent de $k(X)$. Si
+l'indéterminée $X$ appartient à $A$, il existe $P
+∈ k[X]$ \emph{irréductible} tel que $A=k[X]_{(P)}$ ;
+dans le cas contraire, $A=k[1/X]_{(1/X)}$.
\end{proposition2}
+\begin{démo}
+Cf. par exemple Bourbaki, AC, tome 2, p. 91. C'est un cas
+particulier d'un résultat général (anneau principal etc.).
+\end{démo}
+
\begin{proposition2}
\XXX
Formule du produit [cas particulier ?]
@@ -730,23 +747,25 @@ local).
\subsection{}
\begin{proposition2}
-Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$.
+Soit $A$ un anneau nœthérien intègre de corps des fractions $K$.
Les conditions suivante sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $A$ est nœthérien, normal, de dimension un ;
-\item tout idéal fractionnaire de $A$ est inversible ;
+\item tout idéal fractionnaire non nul de $A$ est inversible ;
\item $A$ est nœthérien et pour tout idéal maximal $𝔪$ de $A$,
le localisé $A_𝔪$ est un corps ou bien un anneau de valuation
discrète.
+\item tout idéal non nul $I$ s'écrit
+de manière unique $I=∏_𝔭 𝔭^{n_𝔭}$… [cf. infra]
\end{enumerate}
\end{proposition2}
\begin{démo}
-AC, diviseurs p. 217.
+AC, diviseurs p. 217 ou Serre, Corps locaux.
\end{démo}
\begin{definition2}
-Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekin}.
+Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekind}.
\end{definition2}
\begin{proposition2}
@@ -768,8 +787,12 @@ $L\bo K$, le normalisé $B$ de $A$ dans $L$ est un anneau
de Dedekind.
\end{théorème2}
-\begin{démo}
-p. ex. Bourbaki, [Neukirch], chap.I., §12, p. 77, ou [Zariski-Samuel, Ⅴ].
+\begin{démo}[première démonstration]
+p. ex. Bourbaki ou [Neukirch], chap.I., §12, p. 77.
+\end{démo}
+
+\begin{démo}[seconde démonstration]
+[Zariski-Samuel, Ⅴ] (cas séparable puis radiciel).
\end{démo}
Corollaire : fermeture intégrale d'un Dedekind est de Dedekind.