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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-06-01 13:23:52 (GMT)
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-06-01 13:23:52 (GMT)
commit4baf6e8e6d844a6b3ce3a1a3ce80f600bc6c817a (patch)
treec162019a87cc1f01bbb108700d27cffc8f30385e /chapitres/AVD-Dedekind.tex
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[AVD-D] quelques sorites sur EVT. (Applications : à faire)
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-rw-r--r--chapitres/AVD-Dedekind.tex95
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diff --git a/chapitres/AVD-Dedekind.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
index aa76cd6..81a7db5 100644
--- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex
+++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
@@ -228,6 +228,100 @@ partir de $K$ et sa topologie (induite par la
valuation/valeur absolue) : $𝔭=\{x:x^n → 0\}$, $𝒪=$
sous-anneau compact maximal (si corps résiduel fini) etc.
+\subsection{Espaces vectoriels topologiques sur un corps valué non discret}
+\label{EVT sur corps valué}
+
+\subsubsection{}
+Soit $K$ un corps valué \emph{non discret}. Un $K$-\textbf{espace vectoriel topologique}
+est un $K$-espace vectoriel $E$ muni d'une topologie
+compatible à l'addition et la multiplication par les
+scalaires : les applications $E×E → E$, $(v,w) ↦ v+w$ et
+$K×E → E$, $(λ,v) ↦ λv$ sont continues. (Cette définition
+a un sens sous la seule hypothèse que $K$ soit
+un \emph{corps topologique}.) Exemple : si un espace vectoriel $E$ est muni
+d'une application (appelée \emph{norme}) $‖⋅‖: E → 𝐑_+$,
+telle que $‖x+y ‖ ≤ ‖x ‖ + ‖y ‖$, $‖ λ x ‖=|λ| ‖x ‖$
+et $‖x‖=0$ soit équivalent à $x=0$, la topologie sur $E$
+définie par la distance $d(x,y)=‖x-y ‖$ en fait un
+$K$-espace vectoriel topologique. (Si $E$ est de plus
+complet, on dit — comme dans le cas classique où $K=𝐑$
+ou $𝐂$ — que c'est un \emph{espace de Banach}.)
+
+\subsubsection{}Soit $V$ un voisinage de l'origine, notée $0$,
+d'un espace vectoriel topologique sur un corps
+valué non discret $K$. Il existe un voisinage de
+l'origine $W$ qui soit \textbf{équilibré} : pour chaque
+$λ ∈ K$ tel que $|λ| ≤ 1$, $λ W ⊆ W$. En effet, il
+existe par continuité de la multiplication $K×E → E$
+un réel $ε>0$ et un voisinage $U$ de $0$ tels
+que $|λ| ≤ ε$ et $v ∈ U$ entraînent $λ v ∈ U$.
+Soit $μ ∈ K$ tel que $0<|μ|≤ ε$. Le voisinage $W=μU$
+de $0$ est contenu dans $V$ et est équilibré.
+
+\subsubsection{}Un espace vectoriel topologique est \emph{séparé}
+si et seulement si pour tout vecteur non nul $v$,
+il existe un voisinage de l'origine $0$ ne contenant pas $v$.
+La condition est trivialement nécessaire ; la réciproque
+résulte du fait que les translations sont des
+homéomorphismes.
+
+\subsubsection{}Soit $E$ un $K$-espace vectoriel
+topologique, de dimension $1$ et séparé. Vérifions que
+pour chaque $v ∈ E -\{0\}$, l'application $K → E$, $λ
+↦ λ v$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels
+\emph{topologiques}. La bijectivité et la continuité
+ne font aucun doute ; il faut vérifier la
+\emph{bicontinuité} : pour tout $ε>0$, il existe
+un voisinage $V$ de $0$ dans $E$ tel que $λ v ∈ E$ entraîne
+$|λ| < ε$. La valeur absolue de $K$ étant non discrète,
+il existe $μ ∈ K$ tel que $0<|μ|<ε$. Par séparation
+de $E$, il existe un voisinage $V$ de $0$ tel que
+$μ v ∉ V$. D'après ce qui précède, on peut supposer $V$
+\emph{équilibré}. La relation $λ v ∈ V$ entraîne $|λ| ≤ |μ|$.
+En effet on aurait dans le cas contraire $|μ λ^{-1}|<1$
+d'où $μv=(μ λ^{-1})λv ∈ V$. Absurde.
+
+Signalons une première application de cette observation :
+une forme $K$-linéaire $φ:E → K$ est \emph{continue}
+si et seulement si l'hyperplan $H=\Ker(φ)$ est \emph{fermé}.
+La condition est bien entendu nécessaire.
+Considérons la réciproque. Le quotient $E/H$ est
+naturellement un espace vectoriel topologique :
+on le munit de la topologie quotient. La surjection
+canonique $E ↠ E/H$ est donc, tautologiquement, continue.
+Lorsque $H$ est fermé, ce quotient est séparé (et réciproquement).
+D'après ce qui précède, la seconde flèche de la factorisation de $φ$
+en $E ↠ E/H → K$ est un homéomorphisme. CQFD.
+
+\begin{proposition2}
+Soit $E$ un espace vectoriel topologique séparé, de dimension
+finie $n$ sur un corps valué \emph{complet} non discret $K$.
+Pour toute base $e₁,…,e_n$ de $E$ sur $K$, l'application
+linéaire $K^n → E$, $(λ_i) ↦ ∑_i λ_i v_i$ est un
+isomorphisme.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+On procède par récurrence, le cas $n=1$ ayant été établi
+ci-dessus. La continuité et la bijectivité de l'application considérée
+dans l'énoncé est immédiate. Pour démontrer que son inverse
+est continu (bicontinuité), il suffit de vérifier que
+pour chaque $j$, l'application $∑_i λ_i v_i ↦ λ_j$, $E → K$
+est continue. Or, une telle forme linéaire est de noyau
+$H_j=\mathrm{Vect}(e_i:i ≠ j)$. Par hypothèse
+de récurrence, ce sous-espace vectoriel topologique
+est isomorphe à $K^{n-1}$ donc complet donc fermé dans $E$.
+La forme linéaire « $j$-ième coordonnée »
+est donc continue.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}
+Tout sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel topologique
+sur un corps valué complet non discret est complet et fermé.
+\end{corollaire2}
+
+Ceci a été vu au cours de la démonstration précédente.
+
\subsection{Exemples}
Exemple : valuation de Gauß sur $k(X)$ (\cite[VI]{Local@Cassels}).
@@ -386,6 +480,7 @@ Enfin, $A[X]/f$ est local (cf. $A[X]/f\otimes_A A/\MM_A$) et de corps des fracti
$L$.
\end{proof}
+
\subsection{Lemme de Krasner et applications}
\begin{proposition2}