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author | Fabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-06-01 15:23:52 +0200 |
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[AVD-D] quelques sorites sur EVT. (Applications : à faire)
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-rw-r--r-- | chapitres/AVD-Dedekind.tex | 95 |
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diff --git a/chapitres/AVD-Dedekind.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex index aa76cd6..81a7db5 100644 --- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex +++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex @@ -228,6 +228,100 @@ partir de $K$ et sa topologie (induite par la valuation/valeur absolue) : $𝔭=\{x:x^n → 0\}$, $𝒪=$ sous-anneau compact maximal (si corps résiduel fini) etc. +\subsection{Espaces vectoriels topologiques sur un corps valué non discret} +\label{EVT sur corps valué} + +\subsubsection{} +Soit $K$ un corps valué \emph{non discret}. Un $K$-\textbf{espace vectoriel topologique} +est un $K$-espace vectoriel $E$ muni d'une topologie +compatible à l'addition et la multiplication par les +scalaires : les applications $E×E → E$, $(v,w) ↦ v+w$ et +$K×E → E$, $(λ,v) ↦ λv$ sont continues. (Cette définition +a un sens sous la seule hypothèse que $K$ soit +un \emph{corps topologique}.) Exemple : si un espace vectoriel $E$ est muni +d'une application (appelée \emph{norme}) $‖⋅‖: E → 𝐑_+$, +telle que $‖x+y ‖ ≤ ‖x ‖ + ‖y ‖$, $‖ λ x ‖=|λ| ‖x ‖$ +et $‖x‖=0$ soit équivalent à $x=0$, la topologie sur $E$ +définie par la distance $d(x,y)=‖x-y ‖$ en fait un +$K$-espace vectoriel topologique. (Si $E$ est de plus +complet, on dit — comme dans le cas classique où $K=𝐑$ +ou $𝐂$ — que c'est un \emph{espace de Banach}.) + +\subsubsection{}Soit $V$ un voisinage de l'origine, notée $0$, +d'un espace vectoriel topologique sur un corps +valué non discret $K$. Il existe un voisinage de +l'origine $W$ qui soit \textbf{équilibré} : pour chaque +$λ ∈ K$ tel que $|λ| ≤ 1$, $λ W ⊆ W$. En effet, il +existe par continuité de la multiplication $K×E → E$ +un réel $ε>0$ et un voisinage $U$ de $0$ tels +que $|λ| ≤ ε$ et $v ∈ U$ entraînent $λ v ∈ U$. +Soit $μ ∈ K$ tel que $0<|μ|≤ ε$. Le voisinage $W=μU$ +de $0$ est contenu dans $V$ et est équilibré. + +\subsubsection{}Un espace vectoriel topologique est \emph{séparé} +si et seulement si pour tout vecteur non nul $v$, +il existe un voisinage de l'origine $0$ ne contenant pas $v$. +La condition est trivialement nécessaire ; la réciproque +résulte du fait que les translations sont des +homéomorphismes. + +\subsubsection{}Soit $E$ un $K$-espace vectoriel +topologique, de dimension $1$ et séparé. Vérifions que +pour chaque $v ∈ E -\{0\}$, l'application $K → E$, $λ +↦ λ v$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels +\emph{topologiques}. La bijectivité et la continuité +ne font aucun doute ; il faut vérifier la +\emph{bicontinuité} : pour tout $ε>0$, il existe +un voisinage $V$ de $0$ dans $E$ tel que $λ v ∈ E$ entraîne +$|λ| < ε$. La valeur absolue de $K$ étant non discrète, +il existe $μ ∈ K$ tel que $0<|μ|<ε$. Par séparation +de $E$, il existe un voisinage $V$ de $0$ tel que +$μ v ∉ V$. D'après ce qui précède, on peut supposer $V$ +\emph{équilibré}. La relation $λ v ∈ V$ entraîne $|λ| ≤ |μ|$. +En effet on aurait dans le cas contraire $|μ λ^{-1}|<1$ +d'où $μv=(μ λ^{-1})λv ∈ V$. Absurde. + +Signalons une première application de cette observation : +une forme $K$-linéaire $φ:E → K$ est \emph{continue} +si et seulement si l'hyperplan $H=\Ker(φ)$ est \emph{fermé}. +La condition est bien entendu nécessaire. +Considérons la réciproque. Le quotient $E/H$ est +naturellement un espace vectoriel topologique : +on le munit de la topologie quotient. La surjection +canonique $E ↠ E/H$ est donc, tautologiquement, continue. +Lorsque $H$ est fermé, ce quotient est séparé (et réciproquement). +D'après ce qui précède, la seconde flèche de la factorisation de $φ$ +en $E ↠ E/H → K$ est un homéomorphisme. CQFD. + +\begin{proposition2} +Soit $E$ un espace vectoriel topologique séparé, de dimension +finie $n$ sur un corps valué \emph{complet} non discret $K$. +Pour toute base $e₁,…,e_n$ de $E$ sur $K$, l'application +linéaire $K^n → E$, $(λ_i) ↦ ∑_i λ_i v_i$ est un +isomorphisme. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +On procède par récurrence, le cas $n=1$ ayant été établi +ci-dessus. La continuité et la bijectivité de l'application considérée +dans l'énoncé est immédiate. Pour démontrer que son inverse +est continu (bicontinuité), il suffit de vérifier que +pour chaque $j$, l'application $∑_i λ_i v_i ↦ λ_j$, $E → K$ +est continue. Or, une telle forme linéaire est de noyau +$H_j=\mathrm{Vect}(e_i:i ≠ j)$. Par hypothèse +de récurrence, ce sous-espace vectoriel topologique +est isomorphe à $K^{n-1}$ donc complet donc fermé dans $E$. +La forme linéaire « $j$-ième coordonnée » +est donc continue. +\end{démo} + +\begin{corollaire2} +Tout sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel topologique +sur un corps valué complet non discret est complet et fermé. +\end{corollaire2} + +Ceci a été vu au cours de la démonstration précédente. + \subsection{Exemples} Exemple : valuation de Gauß sur $k(X)$ (\cite[VI]{Local@Cassels}). @@ -386,6 +480,7 @@ Enfin, $A[X]/f$ est local (cf. $A[X]/f\otimes_A A/\MM_A$) et de corps des fracti $L$. \end{proof} + \subsection{Lemme de Krasner et applications} \begin{proposition2} |