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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-23 23:09:43 (GMT)
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[AVD, corps locaux/globaux] petite réorganisation + précision sur plan adèles/idèles et Riemann-Roch
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+\ifx\danslelivre\undefined
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+\title{Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind}
+
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+\begin{document}
+\begin{center}
+Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind
+\end{center}
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind}
+\fi
+
+\section{Anneaux de valuation, places et valeurs absolues : généralités}
+
+\subsection{Anneaux de valuation}
+
+\subsubsection{}Relation de domination\index{domination, relation de} entre anneaux locaux
+
+\begin{théorème2}
+Soient $K$ un corps et $A$ un sous-anneau de $K$.
+Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item $A$ est maximal pour la relation d'ordre de domination ;
+\item pour tout $x ∈ K-\{0\}$, ou bien $x ∈ A$ ou bien $1/x ∈ A$ ;
+\item $K=\Frac(A)$ et l'ensemble des idéaux de $A$ est totalement
+ordonné pour l'inclusion.
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+\begin{définition2}
+\XXX
+Anneau de valuation \index{anneau de valuation} si
+intègre et [...]
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Un anneau de valuation est local, intégralement clos
+dont tout idéal de type fini est principal.
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+Si $L\bo K$ est une extension. La clôture intégrale
+de $A$ dans $L$ est l'intersection des anneaux de valuation
+de $L$ contenant $A$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+[AC Ch.VI, §1, n.3, Cor.3]
+\end{démo}
+
+\begin{théorème2}
+\XXX
+Tout $A$-module de type fini sans torsion est libre.
+Tout $A$-module sans torsion est plat.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+[AC. Ch.VI, §3, n.6, Lemme 1]
+\end{démo}
+
+\begin{théorème2}
+\XXX
+Tout $A$-module de présentation fini de torsion
+est isomorphe à un $A$-module de la forme
+\[
+A/a₁ ⊕ \cdots ⊕ A/a_n.
+\]
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Gabber-Ramero, Almost, 6.1.14.
+\end{démo}
+
+\subsection{Places}
+
+\subsubsection{Droite projective}\XXX Si $k$ est un corps,
+$\gtilde{k}=k ∪ \{∞\}$ et [...]
+
+\begin{définition2}
+\XXX
+Place : $K → \gtilde{k}$.
+\end{définition2}
+
+En conflit avec Weil [BNT].
+
+critère d'intégralité en terme de places.
+
+\subsection{Valuations}
+\XXX
+Groupe abélien totalement ordonné $Γ$.
+Valuation\index{valuation} : $v:A → Γ ∪\{∞\}$.
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Anneau de valuation=place (modulo isom.)=valuation (modulo isom).
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+\[\dim(A)=\text{rang convexe}(Γ) ≤ \rang(Γ ⊗ 𝐐).\]
+(Bijection explicite.)
+\end{proposition2}
+
+Le rang convexe est appelé hauteur par Bourbaki.
+
+\begin{démo}
+Gabber-Ramero, 6.1.20—6.1.23.
+\end{démo}
+
+\begin{définition2}
+\XXX
+Rang\index{rang d'une valuation} d'une valuation.
+\end{définition2}
+
+\subsection{Anneaux de valuation discrète}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX Un anneau local nœthérien normal de dimension $1$ est un anneau de
+valuation discrète. [à énoncer sous forme de conditions équivalentes]
+\end{proposition2}
+
+Deux AVD de même corps des fractions sont égaux.
+Un $A$-module de type fini est libre si et seulement si il est sans torsion.
+(Cas particulier des résultats précédents.)
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Si $K$ est complet à corps résiduel parfait $k$ et d'égale
+caractéristique, $K=k((t))$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Relèvement de Teichmüller ; cf. p. ex. [ANAF] chap. 10, th. 1.
+\end{démo}
+
+Cas d'égale caractéristique.
+
+\begin{proposition2}
+Si corps résiduel fini, c'est une extension finie de $𝐐_p$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+[ANAF], chap. 10, fin §1.
+\end{démo}
+
+\begin{théorème2}
+\XXX
+Cas général (Witt).
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Utiliser si possible les constructions du chapitre sur KASW.
+\end{démo}
+
+\subsection{Valeurs absolues}\XXX
+Valeurs absolues\index{valeur absolue}. Corps valué\index{corps valué}
+Cas ultramétrique.
+
+\begin{proposition2}
+Toute valeur absolue est équivalente à un valeur absolue
+satisfaisant l'inégalité triangulaire.
+\end{proposition2}
+
+La définition n'est pas parfaitement standardisée. % ☡
+
+Lien avec valuation de rang $1$ (cas ultramétrique).
+
+\begin{théorème2}
+\XXX
+Le théorème d'approximation.
+\end{théorème2}
+
+Cf. Artin [ANAF].
+
+\subsection{Exemples}
+
+Exemple : valuation de Gauß sur $k(X)$ (\cite[VI]{Local@Cassels}).
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Ostrowski.
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+$k(X)$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Formule du produit [cas particulier ?]
+\end{proposition2}
+
+\begin{théorème2}
+\label{théorème de plongement dans Qp}
+Soit $K$ une extension de type fini de $𝐐$ et soit $E ⊆ K^×$
+un sous-ensemble fini. Il existe une infinité de nombres premiers $p$
+pour lesquels il existe un plongement $ι:K ↪ 𝐐_p$, tel que pour chaque
+$e ∈ E$, $|ι(e)|=1$.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Cf. \cite[V.1.1]{Local@Cassels}.
+\end{démo}
+
+
+\section{Théorie élémentaire de la ramification}
+
+Artin [theory of algebraic numbers], §3. Bourbaki, AC. Voir aussi Gabber-Ramero (Almost ring theory).
+
+\subsection{Prolongement des valuations}
+
+Valeurs absolues : cf. \cite[VII]{Cassels}.
+
+\subsection{Hensélisation et complétion}
+
+\subsection{Indice de ramification}
+
+\begin{définition2}
+indice de ramification
+\end{définition2}
+
+\begin{théorème2}
+\XXX
+$L\bo K$ extension finie, $K$ valué, $B$ clôture
+intégrale de $A=K^+$ dans $L$.
+Alors,
+\[
+∑_{𝔭 ∈ \Specmax(B)} (Γ_𝔭 : Γ)[κ(𝔭) : κ] ≤ [L:K].
+\]
+\end{théorème2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Cas galoisien :
+\[
+efn ≤ [L:K].
+\].
+Cas hensélien :
+\[
+ef ≤ [L:K]
+\]
+\end{proposition2}
+
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Cas d'égalité : valuation discrète et extension séparable.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+AC, ch.VI, §8, n.5, Cor.1
+
+\end{démo}
+
+\begin{exemple2}
+\XXX
+Cas inséparable : cf. Gabber-Ramero 6.2.7 (iii).
+\end{exemple2}
+
+\begin{définition2}
+\XXX
+Extension totalement ramifiée ; extension non ramifiée.
+\end{définition2}
+
+Voir Artin, [ANAF] chap. IV.
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Extension d'Eisenstein.
+\end{proposition2}
+
+Notamment :
+
+\begin{proposition2}
+\XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet, $K$ son corps des fractions,
+et $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Soit $B$ la normalisation de $A$ dans
+$K$ ; on suppose que l'indice de ramification $e=n$ \cad que l'extension
+est \emph{totalement ramifiée}. Alors, si $x$ est une uniformisante
+de $B$, et $f=\mathrm{Irr}_K(x)$ on a :
+\begin{itemize}
+\item $f$ est d'Eisenstein \cad unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$,
+\item $$\begin{array}{l}A[X]/f→ B\\ X\mapsto x\end{array}$$
+est un isomorphisme. En particulier $A[X]/f$ est local.
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+
+\begin{proof}
+\XXX Écrivons $f=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_n$. Ses coefficients sont entiers sur $A$
+et dans $K$. [...]
+Autre argument : comme la valuation $\MM_A$-adique étendue de $x$ est $1/n$,
+le polygone de Newton a pour unique pente $-\frac{1}{n}$ (cf. \ref{Newton}).
+Il en résulte que $v(a_0)=1$ et que $v(a_i)\geq 1$.
+Enfin, $A[X]/f$ est local (cf. $A[X]/f\otimes_A A/\MM_A$) et de corps des fractions
+$L$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Lemme de Krasner et applications}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Lemme de Krasner (dans cas valué complet).
+\end{proposition2}
+
+\begin{théorème2}
+\XXX
+Formule de masse de Krasner-Serre (1978) :
+\[
+∑_{L\bo K \text{tot. ramif. deg } n} 1/q^{c(L)}=n.
+\]
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Serre, Œuvres 115.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}
+$𝐂_p$ est algébriquement clos.
+(Énoncé général.)
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Fontaine-\jap{欧阳}, §3.1
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Ax-Sen
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Fontaine-\jap{欧阳}, §3.1
+\end{démo}
+
+
+\subsection{Sorites}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Extension composée de deux extensions nr (modérée) est nr (modérée).
+\end{proposition2}
+
+\subsection{Structure du groupe de Galois}
+
+\subsubsection{}Supposons $A$ hensélien, $L\bo K$ finie.
+On a un accouplement $I× ( Γ_E \bo Γ_K) → μ(λ)$,
+où $λ$ est le corps résiduel de $L^+$.
+
+\begin{théorème2}
+Si $κ$ est séparablement clos, $I=\Gal(L\bo K)$
+et $I → \Hom_𝐙(Γ_E \bo Γ_K, μ(κ))$ est surjectif,
+de noyau un $p$-groupe.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Gabber-Ramero, 6.2.12.
+\end{démo}
+
+Théorie de Kummer :
+
+\begin{corollaire2}
+Si $(p,[L:K])=1$, on a $\Gal(L\bo K) ≃ \Hom_𝐙(Γ_E \bo Γ_K, μ(κ))$.
+De plus, si $Γ_E \bo Γ_K=⨁ 𝐙/n_i$, il existe des $a_i ∈ K^×$
+tels que $L=K[a_i^{1/n_i}]$.
+\end{corollaire2}
+
+\subsection{Cas d'un anneau de valuation discrète}
+
+\begin{théorème2}
+\XXX Soit $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des
+fractions $K$ et $L\bo K$ une extension finie \emph{séparable}.
+La clôture intégrale $B$ de $A$ dans $K$ est un $A$-module
+libre de rang $[L:K]$ et est un anneau de valuation discrète
+complet. Il existe un entier $e ≥ 1$, divisant $[L:K]$,
+tel que la restriction de $v_B$ à $A$ soit égale à $\frac{1}{e}v_A$.
+\end{théorème2}
+
+
+\begin{définition2}
+\XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions $K$,
+$L/K$ une extension galoisienne totalement ramifiée de groupe $G$
+et $B$ le normalisé de $A$ dans $L$.
+Soit $\pi_L$ une uniformisante de $B$. On pose, pour $i\ge -1$,
+$$
+G_i:=\{\sigma\in G,\ v_L(\sigma(\pi_L)-\pi_L)\geq i+1\}
+$$
+Ce sont les sous-groupes de \emph{ramification} de $G$. Ils forment
+une filtration décroissante de $G$.
+\end{définition2}
+
+[généralisation : cas extension résiduelle séparable.]
+
+\begin{exercice2}
+Interprétation géométrique dans le cas d'une courbe affine
+et d'un automorphisme : la longueur du lieu des points
+fixes (supposés isolés) est la somme des $v_x(g π - π)$.
+\end{exercice2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Introduisons une filtration décroissante du groupe des unités de $B$,
+$B^{\times}=:U^{(0)}_L$, notée $U^{(i)}_L:=1+\MM_B^i$ pour $i\geq 1$.
+\begin{enumerate}
+\item $G_0⥲ G$,
+\item Chaque $G_i$ est un sous-groupe de $G$, indépendant du choix de $\pi_L$,
+\item L'application
+$$\left\{\begin{array}{l}G_i→ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\\ \sigma\mapsto
+\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\end{array}\right.$$ est indépendante du
+choix de $\pi_L$, et induit une injection canonique
+$$
+G_i/G_{i+1}↪ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L.
+$$
+\item On a des isomorphismes canoniques :
+$$
+\begin{array}{l}
+ U^{(0)}_L/U^{(1)}_L⥲ k_L^{\times}\\
+ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L⥲ \MM_B^i/\MM_B^{i+1}
+\end{array}
+$$
+pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}≃ k_L$, non canoniquement.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0⥲ G$.
+Soit $\sigma\in G$. Comme $B$ est local, $\sigma(\MM_B)=\MM_B$ et $\sigma$
+induit donc un automorphisme de $k_L$ sur $k_K$, nécessairement trivial (car
+$k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, \cad
+$v_L(\sigma(x)-x)\geq 1$ et, en prenant $x=\pi_L$, $\sigma\in G_0$.
+Remarquons que comme, d'après la proposition précédente, $B=A[\pi_L]$,
+réciproquement, si $\sigma\in G_i$,
+pour tout $x\in B$, on a $v_L(\sigma(x)-x)\geq i+1$.
+
+2) Pour $\sigma,\sigma'\in G_i$, l'égalité
+$$\sigma'\sigma(\pi_L)-\pi_L=\sigma'\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big)+\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big),
+$$
+où deux termes de droite appartiennent à $\MM_L^{i+1}$, suffit à montrer
+que $G_i\subset G$ est un sous-groupe.
+
+3) Montrons que pour chaque $\sigma\in G_i$, la quantité
+$\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\in U^{(i)}_L$ est, modulo $U_L^{(i+1)}$, indépendante du choix de
+l'uniformisante $\pi_L$. Soit $u\in B^{\times}$ une unité. L'égalité
+$$
+\frac{\sigma(u\pi_L)}{u\pi_L}=\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\frac{\sigma(u)}{u}.
+$$
+jointe au fait que pour un tel $\sigma$, $\sigma(u)-u\in \MM_L^{i+1}$, et donc
+$\frac{\sigma(u)}{u}\in 1+ \MM_L^{i+1}$, montre que modulo $U_L^{(i+1)}$ cette image est
+bien indépendante du choix de l'unité $u$.
+
+Pour tout $\sigma\in G$, $\sigma(\pi_L)$ est une uniformisante. Il en résulte
+que pour chaque $\sigma'\in G_i$,
+$$
+\frac{\sigma'\big(\sigma(\pi_L)\big)}{\sigma(\pi_L)}=
+\frac{\sigma'(\pi_L)}{\pi_L} \mod U^{(i+1)}_L.
+$$
+Ainsi, pour $\sigma,\sigma'\in G_i$,
+l'égalité
+$$
+\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\pi_L}=\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\sigma(\pi_L)}
+\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}
+$$
+entraîne que $G_i→ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L$ est un morphisme de groupe ; son
+noyau est par définition $G_{i+1}$.
+
+4) L'anneau $B$ étant local, la surjection canonique $B↠ k_L$ induit
+un isomorphisme $B^{\times}→ 1+\MM_B→ k_L^{\times}$.
+Enfin,
+$$
+\begin{array}{l}
+U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L→ \MM_B^{i}/\MM_B^{i+1}\\
+1+x\mapsto x
+\end{array}
+$$
+est un isomorphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite).
+Comme $\MM_B$ est principal, le terme de droite est un $k_L$-espace
+vectoriel de dimension $1$.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}
+\XXX
+Sous les hypothèses précédentes :
+\begin{enumerate}
+\item $G_0/G_1$ est cyclique d'ordre premier à la caractéristique de $k_K$,
+\item si $\mathrm{car}(k_K)=0$, $G_1=\{1\}$ et $G_0$ est cyclique.
+\end{enumerate}
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Comme $G_0/G_1$ est isomorphe à un sous-groupe fini de $k^{\times}$, il est cyclique
+et d'ordre premier à la caractéristique.
+
+Enfin, pour $i\geq 1$, $U^{(i)}_L / U^{(i+1)}_L≃ k_L$ n'a pas de sous-groupe
+fini si $k_L$ est de caractéristique nulle. En particulier $G_i/G_{i+1}=\{1\}$,
+pour tout $i>0$. Comme $G_i=\{1\}$ pour $i\geq N:=\max_{\sigma\in G-\{e\}} v_L(\sigma(\pi_L)-
+\pi_L)$, on a bien $G_1=G_2=\cdots = G_N=\{1\}$.
+\end{démo}
+
+\section{Discriminant et différente }
+
+\begin{définition2}
+\XXX
+Différente $𝔇_{L\bo K}$.
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+$𝔇_{L\bo K}=B$ si et seulement si $L\bo K$ est non ramifiée.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Artin [ANAF] chap. V.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}
+Formule de transitivité : $𝔇_{M\bo K}=𝔇_{M\bo L} 𝔇_{L\bo K}$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}[Euler]
+\XXX
+$\Tr(x^i/f ′(x))=0$ si $i<n-1$, $=1$ si $i=n-1$.
+(À énoncer sous une forme générale.)
+\end{proposition2}
+
+Cf. Serre [CL], p. 65.
+
+\begin{corollaire2}
+\XXX
+\begin{enumerate}
+\item $𝔇$ divise $(f ′(x))$.
+\item si extension résiduelle séparable, …
+\end{enumerate}
+\end{corollaire2}
+
+[ANAF] chap. V.
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Structure extensions finies résiduellement
+séparable : extension non ramifiée puis extension
+totalement ramifiée (Eisenstein).
+\end{proposition2}
+
+[ANAF] chap. V, th. 8.
+
+
+\section{Puiseux-Newton}
+
+\subsection{Polygone de Newton}
+\begin{definition2}[Polygone de Newton]
+\XXX Soient $K$ un corps muni d'une valuation discrète et $f=a_nX^n+\cdots+a_0$
+un polynôme à coefficients dans $K$. On appelle \emph{polygone de Newton}
+l'enveloppe convexe de l'ensemble des points de $\RR^2$ au-dessus
+des couples $(i,v(a_i))$, $0\leq i \leq n$.
+\end{definition2}
+
+
+\begin{theoreme2}[Factorisation et pentes du polygone de Newton]
+\XXX Soient $K$ le corps des fractions d'un anneau de valuation discrète
+complet et $f=a_nX^n+\cdots+a_0\in K[X]$ un polynôme séparable de degré $n$.
+Soient $L$ un corps de décomposition de $f$ et $v_L$ la valuation de $L$ prolongeant
+celle de $K$. Soient $(x_i,y_i)$, $i=1,\dots,r$ les sommets
+du polygone de Newton, qui a donc $r$ pentes [...]. Alors,
+$$
+f=g_1\cdots g_r
+$$
+où :
+\begin{enumerate}
+\item Chaque polynôme $g_i\in K[X]$ est de degré $x_i-x_{i-1}$,
+\item Les racines $\alpha$ de $g_i$ sont toutes de valeur absolue :
+$$
+v_L(\alpha)=-\frac{y_i-y_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}.
+$$
+\end{enumerate}
+\end{theoreme2}
+
+Remarque : on retrouve le critère d'Eisenstein.
+
+
+\subsection{Théorème de Puiseux et structure de l'inertie modérée}
+
+On explicite ici une conséquence du théorème général
+de structure de $π₁$ modéré (cf. supra).
+
+\begin{theoreme2}
+\XXX Soit $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique nulle.
+Alors, $$k((t))\sep=\cup_{n\geq 1} k((t^{1/n})).$$
+$\Gal_{k((t))} ≃ \chap{𝐙}$.
+\end{theoreme2}
+
+[généralisation : variante modérée et caractéristique mixte. Cf. p.
+ex. Hasse, chap. 16.]
+
+\begin{démo}
+Cf. th. général.
+\end{démo}
+
+\begin{démo}[Seconde démonstration]
+\XXX
+Soit $L$ une extension finie galoisienne de
+$K=k((t))=\mathrm{Frac}(k[[t]])$ où
+$k$ est algébriquement clos de caractéristique nulle. En particulier
+$L/K$ est totalement ramifiée. Il résulte du corollaire
+précédent que $G=\Gal(L/K)$ est cyclique d'ordre $[L:K]$.
+Comme $k$ est algébriquement clos et contient donc $n$ racines
+de l'unité, l'extension (de Kummer) $K_n:=K(\sqrt[n]{t})/K$ est galoisienne
+de groupe $\mu_n(k)$.
+Considérons une extension composée $L_n=L K_n$ :
+$$
+\xymatrix{
+L \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & L_n \\
+K=k((t)) \ar@{-}[r] & K_n=k((t^{1/n})) \ar@{-}[u]
+}
+$$
+L'extension $L_n/K$ est elle aussi galoisienne, de groupe cyclique.
+Son groupe de Galois étant cyclique, il n'a donc qu'un seul quotient isomorphe à $\ZZ/n$.
+Cela se traduit par l'égalité $L=K_n$
+et finalement $K\sep=\cup_n K_n$.
+\end{démo}
+
+\section{Extensions cyclotomiques}
+
+\begin{théorème2}
+\XXX
+$𝐐_p(μ_n)\bo 𝐐_p$ est totalement ramifiée et $π=1-ζ$
+est une uniformisante ; $𝒪=𝐐_p[ζ]$.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Serre [CL] p. 85.
+\end{démo}
+
+
+\section{Différentielles}
+
+\begin{théorème2}
+$K=k((t))$.
+$\Res_t(y)=\Res_u(y dt/du)$.
+Généralisation (avec la trace) [Lang, prop. 4.2].
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+[ANAF] chap. 10, th. 3 (première formule).
+Lang, Introduction to algebraic and abelian functions pour
+la généralisation.
+\end{démo}
+
+\begin{définition2}
+Définition du résidu $Ω¹_{K\bo k} → k$.
+\end{définition2}
+
+
+\section{Anneaux de valuation discrète tronqués}
+
+Résultats de Deligne (cf. aussi Hiranouti, Taguti).
+
+\section{Anneaux de Dedekind : généralités}
+
+\subsection{}
+
+\begin{proposition2}
+Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$.
+Les conditions suivante sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item $A$ est nœthérien, normal, de dimension un ;
+\item tout idéal fractionnaire de $A$ est inversible ;
+\item $A$ est nœthérien et pour tout idéal maximal $𝔪$ de $A$,
+le localisé $A_𝔪$ est un corps ou bien un anneau de valuation
+discrète.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+AC, diviseurs p. 217.
+\end{démo}
+
+\begin{definition2}
+Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekin}.
+\end{definition2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
+Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\Specmax(A)$
+et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_{𝔭}(𝔞)$, $𝔭\in S$,
+tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$
+De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si
+$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$,
+où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$)
+pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$).
+\end{proposition2}
+
+\begin{théorème2}[Krull-Akizuki] %秋月康夫
+Soit $A$ un anneau nœthérien intègre de dimension un
+et de corps des fractions $K$. Pour toute extension finie
+$L\bo K$, le normalisé $B$ de $A$ dans $L$ est un anneau
+de Dedekind.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+p. ex. Bourbaki ou [Neukirch], chap.I., §12, p. 77.
+\end{démo}
+
+Corollaire : fermeture intégrale d'un Dedekind est de Dedekind.
+
+\subsubsection{}Lien entre indices de ramification et décomposition en
+produit d'idéaux premiers.
+
+\subsection{Diviseurs}
+
+\begin{définition2}
+diviseurs, diviseurs effectifs etc.
+\end{définition2}
+
+\subsection{Sorites sur la ramification}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX Le composé de deux extensions non ramifiées est non ramifiée.
+\end{proposition2}
+
+\subsection{Différente}
+
+\begin{définition2}
+Différente $𝒟_{L\bo K}$ (via la trace).
+\end{définition2}
+
+Lien avec la définition locale.
+
+\begin{proposition2}
+Critère de ramification via division de $𝒟_{L\bo K}$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{corollaire2}
+Presque tous les idéaux sont non-ramifiés.
+\end{corollaire2}
+
+Méthodes de calcul.
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Si $B=A[X]/f$, $𝒟_{L\bo K}=\Ann Ω¹_{B\bo A}=(f′(x))$.
+Plus généralement, si $L=K(x)$, $x ∈ B$ et $f$ est le polynôme
+minimal, on a $𝒟$ divise $(f'(x))$ avec égalité ssi $B=K[x]$.
+[Il faut peut-être sans doute supposer $B$ libre sur $A$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Formule
+\[
+\frac{1}{f(X)}= ∑ …
+\]
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+\[
+\mathrm{d\acute{e}t}(\sigma_i(x_j))^2
+=|\mathrm{d\acute{e}t}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\]
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+$\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\big)$.
+\end{démo}
+
+\begin{définition2}
+Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}$.
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+Si $𝐐(ζ_n)\bo 𝐐$, le discriminant est $n^{φ(n)}/∏_{p|n} p^{φ(n)/(p-1)}$.
+\end{proposition2}
+
+
+
+\section{Notes}
+
+
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi