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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-06-21 09:03:53 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-06-21 09:03:53 (GMT)
commite81b38a4616fec7976f4d2df865f6cb09524a2bf (patch)
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[AVD-D] clarification énoncé sur extensions valuations
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-rw-r--r--chapitres/AVD-Dedekind.tex32
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diff --git a/chapitres/AVD-Dedekind.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
index 1601126..37df69f 100644
--- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex
+++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
@@ -462,22 +462,34 @@ Artin [theory of algebraic numbers], §3. Bourbaki, AC. Voir aussi Gabber-Ramero
\subsection{Prolongement des valuations}
\label{prolongement valuations}
-
-
\begin{proposition2}
\label{finitude préservée par complétion}
-Soit $L\bo K$ une extension finie et soit
-$|⋅|$ une valeur absolue non triviale sur $K$.
-$\chap{K}$ est l'adhérence de $K$ dans $\chap{L}$.
-$[\chap{L}:\chap{K}] ≤ [L:K]$.
+Soient $(K, |⋅|)$ un corps valué et $L \bo K$ une
+extension.
+\begin{enumerate}
+\item Il existe une valuation sur $L$ qui étend $|⋅|$.
+\item Si $L \bo K$ est algébrique \emph{radicielle}
+cette extension est unique.
+\item Si l'extension $L\bo K$ est finie et $|⋅|′$
+est un tel prolongement. Alors $e(|⋅|′/|⋅|)=\chap{e}$,
+$f=\chap{f}$ et $ef ≤ [\chap{L}:\chap{K}] ≤ [L:K]$.
+\item Si l'extension $L\bo K$ est finie, et $||$ non impropre,
+l'ensemble des valuations deux-à-deux indépendantes est fini
+et
+\[\chap{K} ⊗_K L ↠ ∏_i \chap{L}_{||_i}\]
+de noyau le radical de $\chap{K} ⊗_K L$.
+\end{enumerate}
\end{proposition2}
+Attention confusion possible valuation/valeur absolue... \XXX
-Valeurs absolues : cf. \cite[VII]{Cassels}.
-
-
-
+\begin{démo}
+(i) AC, VI, §1, nº3, cor. 3 (p. 89).
+(iii) op. cit., p. 136-137.
+(Utilise densité pour valuations indépendantes.)
+\end{démo}
+Valeurs absolues : cf. \cite[VII]{Cassels}.
\subsection{Hensélisation et complétion}