diff options
author | Fabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-06-21 11:03:53 +0200 |
---|---|---|
committer | Fabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-06-21 11:03:53 +0200 |
commit | e81b38a4616fec7976f4d2df865f6cb09524a2bf (patch) | |
tree | d4ddcb672b4f4273e82272ffee61fb4503250517 /chapitres/AVD-Dedekind.tex | |
parent | 872ca046b6fa8e4f33b5e0eb7c385ffa99714de8 (diff) | |
download | galois-e81b38a4616fec7976f4d2df865f6cb09524a2bf.tar.gz galois-e81b38a4616fec7976f4d2df865f6cb09524a2bf.tar.bz2 galois-e81b38a4616fec7976f4d2df865f6cb09524a2bf.zip |
[AVD-D] clarification énoncé sur extensions valuations
Diffstat (limited to 'chapitres/AVD-Dedekind.tex')
-rw-r--r-- | chapitres/AVD-Dedekind.tex | 32 |
1 files changed, 22 insertions, 10 deletions
diff --git a/chapitres/AVD-Dedekind.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex index 1601126..37df69f 100644 --- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex +++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex @@ -462,22 +462,34 @@ Artin [theory of algebraic numbers], §3. Bourbaki, AC. Voir aussi Gabber-Ramero \subsection{Prolongement des valuations} \label{prolongement valuations} - - \begin{proposition2} \label{finitude préservée par complétion} -Soit $L\bo K$ une extension finie et soit -$|⋅|$ une valeur absolue non triviale sur $K$. -$\chap{K}$ est l'adhérence de $K$ dans $\chap{L}$. -$[\chap{L}:\chap{K}] ≤ [L:K]$. +Soient $(K, |⋅|)$ un corps valué et $L \bo K$ une +extension. +\begin{enumerate} +\item Il existe une valuation sur $L$ qui étend $|⋅|$. +\item Si $L \bo K$ est algébrique \emph{radicielle} +cette extension est unique. +\item Si l'extension $L\bo K$ est finie et $|⋅|′$ +est un tel prolongement. Alors $e(|⋅|′/|⋅|)=\chap{e}$, +$f=\chap{f}$ et $ef ≤ [\chap{L}:\chap{K}] ≤ [L:K]$. +\item Si l'extension $L\bo K$ est finie, et $||$ non impropre, +l'ensemble des valuations deux-à-deux indépendantes est fini +et +\[\chap{K} ⊗_K L ↠ ∏_i \chap{L}_{||_i}\] +de noyau le radical de $\chap{K} ⊗_K L$. +\end{enumerate} \end{proposition2} +Attention confusion possible valuation/valeur absolue... \XXX -Valeurs absolues : cf. \cite[VII]{Cassels}. - - - +\begin{démo} +(i) AC, VI, §1, nº3, cor. 3 (p. 89). +(iii) op. cit., p. 136-137. +(Utilise densité pour valuations indépendantes.) +\end{démo} +Valeurs absolues : cf. \cite[VII]{Cassels}. \subsection{Hensélisation et complétion} |