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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-01 00:58:01 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-01 00:58:01 (GMT)
commite99d66ac2440eadfdeca236778414ed30661e685 (patch)
treeb97b33e1a6cc8a407b715914e78f003a70c7eeca /chapitres/AVD-Dedekind.tex
parent565d995f145c72889db62a732509e0548ee85903 (diff)
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-rw-r--r--chapitres/AVD-Dedekind.tex77
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diff --git a/chapitres/AVD-Dedekind.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
index 1e7a36e..0fb7a4e 100644
--- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex
+++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
@@ -1,28 +1,9 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\usepackage{palatino,euler}
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-
-\input{.cv}
-
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-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
\title{Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind}
-
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
\externaldocument{formes-tordues}
@@ -31,17 +12,8 @@
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{categories}
-
-
-%\textwidth16cm
-%\hoffset-1.5cm
-\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
-
\begin{document}
-\begin{center}
-Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind
-\end{center}
-\version
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind}
@@ -223,7 +195,7 @@ EVN sur un corps valué (/normé)=… ? (cf. infra) \XXX
Lien avec valuation de rang $1$ (cas ultramétrique).
-valeur absolue archimédienne ↔ « L'Arénaire » (\textgreek{Ψαµµίτης})
+valeur absolue archimédienne ↔ « L'Arénaire » (Ψαµµίτης)
d'Archimède dans lequel il introduit un système pour nommer les grands nombres.
\subsubsection{}Définir $Σ(K)$ (ensemble des classes d'équivalences de
@@ -587,11 +559,11 @@ Notamment :
\begin{proposition2}
\XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet, $K$ son corps des fractions,
et $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Soit $B$ la normalisation de $A$ dans
-$K$ ; on suppose que l'indice de ramification $e=n$ \cad que l'extension
+$K$ ; on suppose que l'indice de ramification $e=n$ c'est-à-dire que l'extension
est \emph{totalement ramifiée}. Alors, si $x$ est une uniformisante
de $B$, et $f=\mathrm{Irr}_K(x)$ on a :
\begin{itemize}
-\item $f$ est d'Eisenstein \cad unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$,
+\item $f$ est d'Eisenstein c'est-à-dire unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$,
\item $$\begin{array}{l}A[X]/f→ B\\ X\mapsto x\end{array}$$
est un isomorphisme. En particulier $A[X]/f$ est local.
\end{itemize}
@@ -633,7 +605,7 @@ $𝐂_p$ est algébriquement clos.
\end{corollaire2}
\begin{démo}
-Fontaine-\jap{欧阳}, §3.1
+Fontaine-{\IPAMincho 欧阳}, §3.1
\end{démo}
\begin{proposition2}
@@ -642,7 +614,7 @@ Ax-Sen
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Fontaine-\jap{欧阳}, §3.1
+Fontaine-{\IPAMincho 欧阳}, §3.1
\end{démo}
@@ -740,7 +712,7 @@ pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}≃ k_L$, non canoniquement.
1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0⥲ G$.
Soit $\sigma\in G$. Comme $B$ est local, $\sigma(\MM_B)=\MM_B$ et $\sigma$
induit donc un automorphisme de $k_L$ sur $k_K$, nécessairement trivial (car
-$k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, \cad
+$k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, c'est-à-dire
$v_L(\sigma(x)-x)\geq 1$ et, en prenant $x=\pi_L$, $\sigma\in G_0$.
Remarquons que comme, d'après la proposition précédente, $B=A[\pi_L]$,
réciproquement, si $\sigma\in G_i$,
@@ -924,12 +896,13 @@ Comme $k$ est algébriquement clos et contient donc $n$ racines
de l'unité, l'extension (de Kummer) $K_n:=K(\sqrt[n]{t})/K$ est galoisienne
de groupe $\mu_n(k)$.
Considérons une extension composée $L_n=L K_n$ :
-$$
-\xymatrix{
-L \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & L_n \\
-K=k((t)) \ar@{-}[r] & K_n=k((t^{1/n})) \ar@{-}[u]
-}
-$$
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%L \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & L_n \\
+%K=k((t)) \ar@{-}[r] & K_n=k((t^{1/n})) \ar@{-}[u]
+%}
+%$$
L'extension $L_n/K$ est elle aussi galoisienne, de groupe cyclique.
Son groupe de Galois étant cyclique, il n'a donc qu'un seul quotient isomorphe à $\ZZ/n$.
Cela se traduit par l'égalité $L=K_n$
@@ -1016,14 +989,14 @@ Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekind}.
\begin{proposition2}
\XXX
-Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
-Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\Specmax(A)$
+Soit $\mathfrak{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
+Il existe un unique sous-ensemble $S_{\mathfrak{a}}$ de $\Specmax(A)$
et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_{𝔭}(𝔞)$, $𝔭\in S$,
-tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$
-De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si
-$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$,
-où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$)
-pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$).
+tels que $$\mathfrak{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\mathfrak{a})}.$$
+De plus si $\mathfrak{a}\subset \mathfrak{a'}$ si et seulement si
+$n_{𝔭}(\mathfrak{a})\leq n_{𝔭}(\mathfrak{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$,
+où l'on pose $n_{𝔭}(\mathfrak{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\mathfrak{a}')=0$)
+pour $𝔭\notin S_{\mathfrak{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\mathfrak{a}'}$).
\end{proposition2}
\begin{théorème2}[Krull-Akiduki] %秋月康夫
@@ -1136,7 +1109,7 @@ $\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\b
\end{démo}
\begin{définition2}
-Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}=\N_{K \bo 𝐐}(𝒟_{K\bo 𝐐})$.
+Discriminant $\mathfrak{d}_{K/\QQ}=\N_{K \bo 𝐐}(𝒟_{K\bo 𝐐})$.
\end{définition2}
\begin{proposition2}