[AVD-D] EVT localement compact sur corps *valué* (non discret) est de dimension fini

 Il y a un énoncé plus général dans [BNT] mais il semblerait
que l'on puisse s'en passer. (Et, in fine, les énoncés
sont équivalents compte tenu de la description des corps
localement compacts que l'on cherche à établir...)

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index b54470d..8656e84 100644
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@@ -335,6 +335,48 @@ sur un corps valué complet non discret est complet et fermé.
 
 Ceci a été vu au cours de la démonstration précédente.
 
+\begin{proposition2}
+\label{EVT localement compact sur corps valué est de dimension finie}
+Tout espace vectoriel topologique localement compact
+sur un corps valué non discret est de dimension finie.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Soient $V$ un voisinage compact de l'origine et $μ
+∈ K$ tel que $0<|μ|<1$. Il existe un nombre \emph{fini} d'éléments
+$v_i ∈ V$ tels que $V$ soit contenu dans
+la réunion $⋃_i (v_i + μV)$. Soit $F$ le sous-$K$-espace
+vectoriel engendré par les $v_i$ ; il est de dimension finie
+donc fermé. L'espace topologique quotient $G=E/F$
+est donc \emph{séparé}. L'image $W$ de $V$ dans $G$
+est un voisinage compact de l'origine : l'image d'un compact
+est compact et l'application $E ↠ G$ est ouverte,
+comme il résulte immédiatement de la définition
+de la topologie quotient et du fait que si $U$ est
+ouvert dans $E$, l'ensemble $U+F$ l'est également.
+Par construction $W ⊆ μW$ — c'est-à-dire $μ^{-1}W ⊆ W$ —
+d'où, par récurrence, $μ^{-n} W ⊆ W$ pour chaque $n ≥ 1$.
+Soit $x ∈ G$. L'application $λ ↦ λ x$ étant
+continue en $λ =0$ et $μ^n$ tendant vers zéro
+il existe $n$ tel que $μ^n x ∈ W$ et, par conséquent,
+$x ∈ W$. Ainsi $W=G$ si bien que $G$ est un $K$-espace
+vectoriel topologique \emph{compact}. Nous allons montrer
+que, le corps valué $K$ étant non discret, le quotient $G$
+est nécessairement trivial. Ceci suffit pour conclure.
+Un espace vectoriel topologique compact étant complet,
+c'est naturellement espace vectoriel topologique sur le
+complété de $K$. On peut donc supposer $K$ complet.
+Si $G$ est non trivial, il contient une droite,
+nécessairement fermée et isomorphe à $K$ (cf. \emph{supra}).
+Il en résulte que $K$ est compact. C'est absurde :
+l'application continue $λ ↦ |λ|$ est non bornée,
+comme le montre la suite $μ^{-n}$.
+CQFD.
+%EVT I.15
+\end{démo}
+
+
+
 \subsection{Exemples}
 
 Exemple : valuation de Gauß sur $k(X)$ (\cite[VI]{Local@Cassels}).