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author | Fabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-06-08 17:59:01 +0200 |
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committer | Fabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-06-08 17:59:01 +0200 |
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[AVD-D] EVT localement compact sur corps *valué* (non discret) est de dimension fini
Il y a un énoncé plus général dans [BNT] mais il semblerait
que l'on puisse s'en passer. (Et, in fine, les énoncés
sont équivalents compte tenu de la description des corps
localement compacts que l'on cherche à établir...)
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-rw-r--r-- | chapitres/AVD-Dedekind.tex | 42 |
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diff --git a/chapitres/AVD-Dedekind.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex index b54470d..8656e84 100644 --- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex +++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex @@ -335,6 +335,48 @@ sur un corps valué complet non discret est complet et fermé. Ceci a été vu au cours de la démonstration précédente. +\begin{proposition2} +\label{EVT localement compact sur corps valué est de dimension finie} +Tout espace vectoriel topologique localement compact +sur un corps valué non discret est de dimension finie. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +Soient $V$ un voisinage compact de l'origine et $μ +∈ K$ tel que $0<|μ|<1$. Il existe un nombre \emph{fini} d'éléments +$v_i ∈ V$ tels que $V$ soit contenu dans +la réunion $⋃_i (v_i + μV)$. Soit $F$ le sous-$K$-espace +vectoriel engendré par les $v_i$ ; il est de dimension finie +donc fermé. L'espace topologique quotient $G=E/F$ +est donc \emph{séparé}. L'image $W$ de $V$ dans $G$ +est un voisinage compact de l'origine : l'image d'un compact +est compact et l'application $E ↠ G$ est ouverte, +comme il résulte immédiatement de la définition +de la topologie quotient et du fait que si $U$ est +ouvert dans $E$, l'ensemble $U+F$ l'est également. +Par construction $W ⊆ μW$ — c'est-à-dire $μ^{-1}W ⊆ W$ — +d'où, par récurrence, $μ^{-n} W ⊆ W$ pour chaque $n ≥ 1$. +Soit $x ∈ G$. L'application $λ ↦ λ x$ étant +continue en $λ =0$ et $μ^n$ tendant vers zéro +il existe $n$ tel que $μ^n x ∈ W$ et, par conséquent, +$x ∈ W$. Ainsi $W=G$ si bien que $G$ est un $K$-espace +vectoriel topologique \emph{compact}. Nous allons montrer +que, le corps valué $K$ étant non discret, le quotient $G$ +est nécessairement trivial. Ceci suffit pour conclure. +Un espace vectoriel topologique compact étant complet, +c'est naturellement espace vectoriel topologique sur le +complété de $K$. On peut donc supposer $K$ complet. +Si $G$ est non trivial, il contient une droite, +nécessairement fermée et isomorphe à $K$ (cf. \emph{supra}). +Il en résulte que $K$ est compact. C'est absurde : +l'application continue $λ ↦ |λ|$ est non bornée, +comme le montre la suite $μ^{-n}$. +CQFD. +%EVT I.15 +\end{démo} + + + \subsection{Exemples} Exemple : valuation de Gauß sur $k(X)$ (\cite[VI]{Local@Cassels}). |